Indice degli argomenti

  • Introduzione

    Geometria 1 - Corso B

    A.A. 2011-12 (12 CFU)


    Docenti: Prof. Cinzia CASAGRANDE - Prof. Cristiana BERTOLIN

    Tutore : Dott. Simon Garruto


    Testi consigliati:
    Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.
    Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).
    In linea generale ogni volume di
    Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

    Ricevimento studenti
    (C. Casagrande): su appuntamento (contattare per e-mail).
    Martedì 18 giugno h 13-14 ricevimento studenti della Prof. Bertolin (nel suo studio a Palazzo Campana)

    Prove scritte anni precedenti (con soluzioni):
    vedi la cartella TEMI D'ESAME tra le risorse

    Prova di autovalutazione: un fac-simile di un esame scritto, da svolgersi in 3 ore; vedi tra le risorse o in fondo alla pagina (vedi anche la correzione)


    Esercitazioni con Maple
    Nei giorni:
    mercoledi' 30 maggio, ore 15 - 17 (Algebra Lineare) (il file Maple e' disponibile in fondo alla pagina)
    mercoledi' 6 giugno, ore 10 - 12 (Geometria Analitica)
    nell'Aula Informatizzata 5 di palazzo Campana si svolgeranno due sessioni di esercitazioni del corso di Geometria 1. Gli studenti svolgeranno degli esercizi sugli argomenti del corso con l'ausilio del software Maple e sotto la supervisione di Federica Galluzzi e Simon Garruto.



    Esame

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve almeno aver raggiunto il punteggio di 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta, pertanto: se si supera la prova scritta al primo appello di una sessione d'esame si può sostenere la prova orale o al primo appello o al secondo. Nel momento in cui viene consegnato uno scritto, viene automaticamente annullata un'eventuale ammissione all'orale dallo scritto precedente. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.


    Si invitano gli studenti a non iscriversi ad uno scritto nel caso sappiano gia' che non si presenteranno, e a cancellare l'iscrizione nel caso cambino idea riguardo allo scritto. Questo per evitare sprechi: la prenotazione delle aule e la preparazione dei testi viene fatta in base al numero degli iscritti.


    I testi delle prove scritte, alcuni con le soluzioni, si trovano nella cartella TEMI D'ESAME.

    Appello di febbraio 2013: giovedi' 21/2 alle ore 13-14 (prima degli orali) si terra' la correzione della prova scritta, in aula 3.



    In fondo alla pagina sono inserite le videoriprese di TUTTE le lezioni e le esercitazioni del Corso A relative all'A.A. 2009/10. Le lezioni verranno rese disponibili man mano che il corso procede.
    Le videoriprese sono state realizzate grazie al contributo del Settore Integrazione Studenti Disabili dell'Ateneo e la collaborazione del Laboratorio Multimediale G. Quazza afferente alla Facoltà di Scienze della Formazione", del Corso di Studi in Matematica (Facoltà di Scienze M.F.N.), del Servizio ICT del Dipartimento di Informatica, e del Dipartimento di Matematica
    I Docenti ringraziano calorosamente tutti coloro che si sono prodigati per questo progetto e per questa opportunità unica e di inestimabile valore per gli studenti che per motivi diversi non possono essere presenti alla lezioni in aula.

  • Argomento 1

    SETTIMANA 1
    8/3/2012, 13-15 (C.) Introduzione al corso, informazioni pratiche. Richiami di algebra: gruppi, anelli, campi. Spazio vettoriale su un campo K, spazi vettoriali reali e complessi. Esempi: Rn, Kn, C come spazio vettoriale complesso e reale, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni da un intervallo di R in R, funzioni da un insieme S in K. Proprieta' formali di uno spazio vettoriale. Significato geometrico delle operazioni vettoriali in R2. Sottospazio vettoriale, definizione e prime proprieta', sottospazi banali.
    9/3/2012, 13-15 (C.)
    Esempi di sottospazi vettoriali: sottospazi di R, K, C, R2. Il sottospazio Kd[t] dei polinomi di grado al piu' d. Sottospazi notevoli delle funzioni da un intervallo in R. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio. Somma di sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari, il sottospazio L(v1,...,vh) delle combinazioni lineari di v1,...,vh. Esempi ed esercizi. Vettori applicati come segmenti orientati in S1, S2, S3 (retta, piano e spazio di punti). Equipollenza di vettori applicati, insieme delle classi di equipollenza V1, V2, V3. Corrispondenza tra S3 e V3 ottenuta fissando un punto O. Operazioni che rendono V3 uno spazio vettoriale reale.

    • Argomento 2

      SETTIMANA 2

      12/3/2012, 14-16 (B.) Definizione di matrice. Esempi: matrici quadrate, matrice nulla, matrici diagonali, matrice unità. Somma di due matrici e proprietà di tale somma. Prodotto di un numero reale per una matrice e sue proprietà. Struttura di R-spazio vettoriale per R^m,n. Prodotto di due matrici e sue proprieta, in particolare non commutatività e divisori dello zero. Struttura di anello per le matrici quadrate R^n,n. Esempi.

      13/3/2012, 13-15 (B.) Matrici invertibili. GL(n,R). Trasposta di una matrice e sue proprietà. Matrici triangolari superiori. Matrici diagonali. Matrici simmetriche. Matrici antisimmetriche. Matrici ortogonali. Traccia di una matrice e sue proprietà. Esercizi sui sottospazi vettoriali.

      14/3/2012, 16-18 (B.) Esercizi sui sottospazi vettoriali. Equazioni lineari e sue soluzioni. Equazioni lineari omogenee. Esempi. Sistemi lineari e sue soluzioni. Matrice dei coefficienti, matrice dei termini noti, matrice completa.

      15/3/2012, 13-15 (B.) Metodo di riduzione di Gauss. Esempi. Equazioni matriciali.

      16/3/2012, 13-15 (B.) Esercizi sulle equazioni matriciali. Calcolo della matrice inversa.
    • Argomento 3

      SETTIMANA 3

      19/3/2012, 14-16 (C.)
      L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare e' un sottospazio vettoriale se e solo se il sistema e' omogeneo. Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Esempi: Kn, Kd[t], K[t]. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Esempi. Indipendenza lineare di vettori geometrici in V3: due vettori sono dipendenti se e solo se sono paralleli, tre vettori sono dipendenti se e solo se sono complanari, 4 vettori sono sempre dipendenti. Base di uno spazio vettoriale, la basi canoniche di Kn e Rm,n.

      20/3/2012, 13-15 (C.)
      Base di Kd[t] data dai monomi. Coordinate di un vettore rispetto a una base, corrispondenza biunivoca tra V e Kn indotta da una base. I vettori v1,...,vn formano una base se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di v1,...,vn. Esempi. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Esempio di un sistema di generatori per lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche A(R3,3) ed estrazione di una base. Teorema di Steinitz del completamento della base.

      21/3/2012, 16-18 (C.) Ogni base di V ha la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Esempi. Se V ha dimensione n, un sistema di generatori di cardinalità n è una base, e un insieme di n vettori linearmente indipendenti è una base. La base come insieme massimale di vettori indipendenti. Esempi di spazi vettoriali non finitamente generati. Dimensione di un sottospazio. Somma diretta di due sottospazi, sottospazi supplementari, dimensione della somma diretta. Formula di Grassmann (senza dimostrazione). Sottospazi di R2 e R3, posizioni reciproche.

      22/3/2012, 13-15 (C.) Sistemi di riferimento affini in S1, S2 e S3 e corrispondenza biunivoca indotta con R, R2 e R3. Angoli tra vettori geometrici nel piano e nello spazio, basi ortogonali positive e negative. Lunghezza di vettori geometrici, versori, basi ortonormali. Sistemi di riferimento cartesiani in S1, S2 e S3. Prodotto scalare e norma in Rn, proprietà formali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori di Rn in termini del prodotto scalare, coincidenza con la nozione geometrica in dimensione 2. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore.

      23/3/2012, 13-15 (B.) Esercizi sugli argomenti seguenti: vettori linearmente indipendenti, sistema di generatori, base, dimensione, somma diretta.

    • Argomento 4

      SETTIMANA 4

      26/3/2012, 14-16 (C.)
      Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempi. La composizione di applicazioni lineari è lineare. Isomorfismi, spazi vettoriali isomorfi. Un'applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se è biunivoca. Isomorfismo tra V e Kn indotto da una base fissata. L'immagine e la controimmagine di un sottospazio sono dei sottospazi. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale. Sottospazi affini come traslati di sottospazi vettoriali. La controimmagine di un elemento di Im f è un traslato di Ker f. Esempi. Le immagini di un sistema di generatori del dominio generano Im f. Se f è iniettiva, immagini di vettori linearmente indipendenti sono linearmente indipendenti. Due spazi vettoriali su K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
      27/3/2012, 13-15 (C.) Teorema fondamentale delle applicazioni lineari. Rango di un'applicazione lineare. Teorema nullita' piu' rango per le applicazioni lineari, conseguenze, esempi. Spazi vettoriali associati ad una matrice A in Rm,n: N(A) spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Ax=0, C(A) sottospazio di Rm generato dalle colonne di A, R(A) sottospazio di Rn generato dalle righe di A. Rango di A come dimensione di C(A). Relazione con l'applicazione lineare LA: Rn->Rm data dalla moltiplicazione per A. Teorema nullita' piu' rango per le matrici. Teorema di Rouche'-Capelli.

      28/3/2012, 16-18 (C.) Teorema del rango: per ogni matrice A, dim R(A)=dim C(A)=rk A. Il rango di una matrice è uguale a quello della trasposta. Esempi. Calcolo del rango di una matrice con l'eliminazione di Gauss. Esempi. Matrici quadrate di rango massimo, caratterizzazioni equivalenti. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. Determinante di una matrice quadrata di ordine 2 o 3.

      29/3/2012, 13-15 (C.) Coseni direttori di un vettore di Rn. Geometria analitica nel piano: distanza tra due punti. La retta come traslato di un sottospazio vettoriale 1-dimensionale. Vettore direzione, rappresentazione parametrica della retta. La retta come luogo di zeri di un'equazione lineare. Direzione normale. Retta per un punto con fissata direzione normale, retta per due punti. Posizioni reciproche di due rette, angolo tra due rette. Distanza di un punto da una retta. Fasci di rette, impropri e propri.

      30/3/2012, 13-15 (B.) Esercizi sugli argomenti seguenti: applicazioni lineari, nucleo, immagine, vettore proiezione ortogonale, prodotto scalare.

    • Argomento 5

      SETTIMANA 5

      2/4/2012, 14-16 (C.)
      Matrici a elementi in un campo K. Determinante di una matrice quadrata a elementi in un campo. Il determinante di una matrice e` uguale a quello della trasposta. Se A ha due righe o due colonne uguali, det A=0. Il determinante e` lineare in ogni riga e in ogni colonna. Scambiando due righe o due colonne il determinante cambia di segno. Determinante di una matrice triangolare. Calcolo del determinante con l'eliminazione di Gauss. Esempi.

      3/4/2012, 13-15 (C.) Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Teorema di Binet, determinante della matrice inversa. Sottomatrici, minori, complementi algebrici. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Esempi. Secondo teorema di Laplace. Espressione esplicita della matrice inversa.

      4/4/2012, 16-18 (C.) Metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari quadrati. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di un suo minore non nullo. Esempi. Matrice A associata ad un'applicazione lineare f rispetto a delle basi del dominio e del codominio. Se v ha coordinate x, f(v) ha coordinate Ax. Esempi. Cambiamento di base in uno spazio vettoriale, matrice associata, equazioni.

    • Argomento 6

      SETTIMANA 6

      11/4/2012, 16-18 (C.) Fasci propri di rette in R2. Area di un parallelogrammo in Rn in termini di determinanti e prodotti scalari. Area del parallelogrammo e del triangolo in R2 di spigoli u e v in termini del determinante della matrice M=[u|v]. Relazione tra determinante di M e angolo orientato da u a v. Il valore assoluto del determinante di una matrice reale nxn è il volume del parallelepipedo di Rn generato dalle colonne (senza dimostrazione). Volume di un tetraedro in R3 (senza dimostrazione). Basi positive e negative di Rn (a seconda del segno del determinante della matrice avente per colonne i vettori della base). Esercizi.

      12/4/2012, 13-15 (B.) Esercizi sugli argomenti seguenti: applicazioni lineari, matrice associata ad un'applicazione lineare, matrice del cambiamento di base.
      13/4/2012, 13-15 (C.) Somma di applicazioni lineari, prodotto di un'applicazione lineare per uno scalare. L(V,W) è uno spazio vettoriale. Isomorfismo tra L(V,W) e Km,n dato dalla matrice associata rispetto a delle basi di V e W. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari è il prodotto delle matrici associate alle due applicazioni. Applicazioni. Applicazioni lineari e cambiamenti di base: relazione tra le matrici associate a f:V->W rispetto a due coppie di basi diverse di V e W.
      Endomorfismi e automorfismi di uno spazio vettoriale, struttura di anello di End(V) e di gruppo di Aut(V), isomorfismi con Kn,n e GL(n,K) indotti da una base di V. Matrici simili, classe di similitudine. Matrici simili hanno lo stesso determinante e la stessa traccia. Matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.
    • Argomento 7

      SETTIMANA 7

      16/4/2012, 14-16 (C.) Determinante e traccia di un endomorfismo. Introduzione al problema della diagonalizzazione. Autovettori e autovalori di un endomorfismo, spettro, autospazio. Gli autospazi sono sottospazi vettoriali. Esempi. Se f è un endomorfismo di V, B una base di V, e A=MB(f), allora A è una matrice diagonale se e solo se la base B è composta da autovettori di f. Endomorfismi diagonalizzabili. Autovalori, autovettori e spettro di una matrice quadrata, matrici diagonalizzabili. Esempi. Endomorfismi e matrici triangolabili. Uno scalare a è autovalore di f se e solo se det(f-a IdV)=0.
      16-17 (C.) Retta ortogonale a un piano vettoriale in R3. Prodotto vettoriale in R3, definizione geometrica e in coordinate. Esempi.

      20/4/2012, 9-10 (B.) Esercizi su autovalori ed autovettori.

      10-12 (C.) Polinomio caratteristico di una matrice quadrata, proprietà. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Richiami su radici di polinomi, molteplicità, polinomi totalmente riducibili. Campi algebricamente chiusi e non. Differenza tra caso reale e caso complesso. Esempi. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n ha al più n autovalori. Relazione tra autovalori, traccia e determinante di un endomorfismo. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se f ha n autovalori distinti, allora f è diagonalizzabile. Esempi. Somma diretta di più sottospazi vettoriali. Gli autospazi di un endomorfismo sono in somma diretta. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, esempi.

    • Argomento 8

      SETTIMANA 8

      23/4/2012, 14-15 (C.) La molteplicità algebrica di un autovalore è maggiore o uguale della molteplicità geometrica. Criteri di diagonalizzazione: un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico è totalmente riducibile e per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con la molteplicità geometrica. Esempi. Un endomorfismo è triangolabile se e solo se il suo polinomio caratteristico è totalmente riducibile (dimostrazione solo del "solo se").
      15-17 (C.) Proprietà del prodotto vettoriale in R3. Proiezione ortogonale su un piano vettoriale. Prodotto misto di tre vettori. Geometria analitica nello spazio: sottospazi affini di R3, punti, rette e piani. Equazione cartesiana di un piano affine in R3. Piano per un punto ortogonale a un vettore non nullo, piano per un punto parallelo a due vettori linearmente indipendenti, piano per tre punti non allineati. Esempi.

      27/4/2012, 9-10 (B.) Esercizi sulla diagonalizzazione.

      10-12 (C.) Prodotti scalari in uno spazio vettoriale reale, spazi vettoriali euclidei. Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma e spazi vettoriali normati. Norma indotta da un prodotto scalare. Distanza e spazi metrici. Distanza indotta da una norma. Angolo tra due vettori non nulli, vettori ortogonali. Vettori ortogonali non nulli sono linearmente indipendenti. Versori, basi ortogonali e ortonormali. Esistenza di basi ortonormali: procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.



    • Argomento 9

      SETTIMANA 9

      4/5/2012, 9-10 (B.) Esercizi su Gram-Schmidt. Complemento ortogonale e sue proprietà.

      10-12 (C.) Proiezione ortogonale su un sottospazio di uno spazio vettoriale euclideo, significato in termini di distanza. Espressione del prodotto scalare nelle coordinate rispetto ad una base ortonormale. Isometrie lineari, caratterizzazioni equivalenti. Un'endomorfismo e' un'isometria se e solo se la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base ortonormale e' una matrice ortogonale. Gruppo ortogonale, gruppo ortogonale speciale. Matrici ortogonali di ordine 2 e isometrie lineari del piano: relazione con rotazioni e riflessioni.
    • Argomento 10

      SETTIMANA 10

      7/5/2012, 14-16 (C.) Endomorfismi simmetrici (o autoaggiunti) di uno spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice associata rispetto ad una base ortonormale è simmetrica. Un endomorfismo simmetrico ha tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale: un endomorfismo è simmetrico se e solo se è diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale. Versione matriciale: ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale. Esempio: le matrici 2 per 2.

      16-17 (C.) Rette affini in R3, rappresentazione parametrica e tramite equazioni lineari. Posizione reciproca di due piani. Posizione reciproca di tre piani. Posizione reciproca di una retta e un piano. Esercizi.

      11/5/2012, 9-10 (B.) Esercizi sugli spazi euclidei e sul teorema spettrale.

      10-12 (C.) Se f è un endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale euclideo, autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

      Prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale complesso, spazi vettoriali hermitiani. Proprietà. Il prodotto hermitiano standard in Cn. Norma indotta da un prodotto hermitiano. Vettori ortogonali, basi ortonormali. Isometrie di spazi vettoriali hermitiani. Un'endomorfismo è un'isometria se e solo se la matrice associata rispetto ad una base ortonormale è unitaria (dimostrazione solo di un'implicazione). Matrici unitarie, proprietà ed esempi. Endomorfismi autoaggiunti di uno spazio vettoriale hermitiano. Un endomorfismo è autoaggiunto se e solo se la matrice associata rispetto ad una base ortonormale è hermitiana (dimostrazione solo di un'implicazione). Matrici hermitiane, proprietà ed esempi. Teorema spettrale complesso (solo enunciato). Differenza rispetto al caso reale: un esempio di un endomorfismo diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale, ma non autoaggiunto.

      Gruppo delle affinità di Rn. Sottogruppi delle traslazioni e degli automorfismi lineari di Rn.

      
        

    • Argomento 11

      SETTIMANA 11

      14/5/2012, 14-17 (C.) Sottogruppi notevoli delle affinità di Rn: congruenze e congruenze dirette (rototraslazioni). Casi di dimensione 1, 2, 3.

      Posizione reciproca di due rette nello spazio, rette parallele, complanari e sghembe. Condizione di complanarità per due rette. Esercizi. Fasci di piani, fascio proprio e improprio.

      Forme bilineari, definizione e prime proprietà. Matrice associata rispetto ad una base, espressione in coordinate e matriciale di una forma bilineare. Forme simmetriche e antisimmetriche. Esempi. Operazioni tra forme bilineari, lo spazio vettoriale B(V) delle forme bilineari su V. Isomorfismo tra B(V) e Kn,n dato dalla matrice associata rispetto ad una base. Richiami sulla caratteristica di un campo; supponiamo per studiare le forme bilineari che K sia un campo di caratteristica diversa da 2. Scomposizione di Kn,n come somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche. Ogni forma bilineare su V si scrive in maniera unica come somma di una forma simmetrica e di una antisimmetrica.

      18/5/2012, 9-10 (B.) Esercizi su sottospazi, applicazioni lineari, diagonalizzazione, prodotto scalare, complementi ortogonali.

      10-12 (C.) Relazione tra matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Matrici congruenti. La congruenza tra matrici è una relazione di equivalenza su Kn,n, diversa dalla similitudine. Matrici congruenti hanno lo stesso rango (ma non lo stesso determinante o gli stessi autovalori). Esempi. Due matrici sono congruenti se e solo se rappresentano la stessa forma bilineare (dimostrazione solo del "se"). Rango di una forma bilineare, forme degeneri e non. Forme quadratiche, definizione ed esempi. Una forma quadratica è associata ad un'unica forma bilineare simmetrica. L'espressione in coordinate di una forma quadratica è un polinomio omogeneo di grado 2. Vettori ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica, sottospazi associati, esempi. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Il nucleo ha dimensione n-rk(phi). Esempi.

    • Argomento 12

      SETTIMANA 12

      21/5/2012, 14-16 (C.) Vettori isotropi, proprietà ed esempi. Cono isotropo di una forma quadratica su R2. Diagonalizzazione di forme quadratiche: teorema di Lagrange. Esempi. Ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale. Diagonalizzazione nel caso di campi algebricamente chiusi. Se K è algebricamente chiuso, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Forme quadratiche su C2.

      16-17 (C.) Distanze in R3: tra un punto e una retta, tra un punto e un piano, tra due piani, tra una retta e un piano, tra due rette. Retta ortogonale e incidente a due rette sghembe. Esercizi.

      25/5/2012, 9-10 (B.) Esercizi vari sugli argomenti svolti fino adesso.

      10-12 (C.) Diagonalizzazione di forme quadratiche reali: teorema di Sylvester, forma normale e segnatura di una forma quadratica reale. Segnatura di una matrice simmetrica reale come numero degli autovalori positivi/negativi. La segnatura di una forma quadratica reale coincide con la segnatura di una qualsiasi matrice che la rappresenta. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Diagonalizzazione di forme quadratiche su Rn: se A e' la matrice della forma quadratica (rispetto alla base canonica), e B e' una base ortogonale di autovettori di A, la matrice associata a Q rispetto a B e' diagonale. Esempi. Forme quadratiche definite positive/negative, semidefinite positive/negative, indefinite. Caratterizzazione in termini della segnatura. Esempio: classificazione delle forme quadratiche su R2.
    • Argomento 13

      SETTIMANA 13

      28/5/2012, 14-17 (C.) Regola di Cartesio sulle radici di un polinomio reale. Circonferenze in R2, retta tangente a una circonferenza in un punto. Sfere in R3, intersezione di una sfera con un piano, piano tangente a una sfera in un punto. Esercizi. Coordinate polari in R2. Coordinate cilindriche e sferiche in R3. Cambiamento di sistema di riferimento affine / cartesiano in S1/S2/S3: il cambiamento di coordinate è dato, rispettivamente, da un'affinità o da una rototraslazione. Coniche in R2, introduzione ed esempi. Equazione polinomiale e matrici associate. Coniche irriducibili e riducibili. Coniche equivalenti per rototraslazione.

      1/6/2012, 9-10 (B.) Esercizi di geometria analitica ed esercizi sulle forme quadratiche.

      10-12 (C.)
      Le matrici associate a due coniche equivalenti per rototraslazione sono congruenti. Invarianti per rototraslazione delle coniche: rango e segnatura (a meno di cambiamento di segno della matrice). Classificazione euclidea delle coniche, enunciato e descrizione delle 9 famiglie. Prima parte della dimostrazione: come effettuare una rotazione per diagonalizzare la parte quadratica dell'equazione. Esempio.
    • Argomento 14

      SETTIMANA 14

      4/6/2012, 14-17 (C.) Seconda parte della dimostrazione del teorema di classificazione delle coniche: il metodo del completamento dei quadrati. Esempio. Cenni sulla classificazione affine delle coniche in R2. Quadriche in R3, descrizione di tutte le famiglie in forma normale, principali proprietà. Quadriche di rotazione e non. Equivalenza di quadriche a meno di rototraslazione, invarianti dati dalla segnatura delle due matrici associate alla quadrica, teorema di classificazione euclidea delle quadriche in R3 (senza dimostrazione). Quadriche rigate, esempi.

      8/6/2012, 9-10 (B.) Esercizi su coniche e quadriche.

      10-12 (C.) Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale, definizione ed esempi, forme lineari. Le coordinate rispetto ad una base come forme lineari, base duale, esempi. Trasposta di un'applicazione lineare f: V -> W. Date una base B di V e una base C di W, la matrice associata all'applicazione trasposta rispetto alle basi duali C* e B* e' la trasposta della matrice associata ad f rispetto a delle basi B e C. Esempi. Date due basi B e C di V, se M e' la matrice del cambiamento di base in V da B a C, la matrice del cambiamento di base in V* da B* a C* e' (Mt)-1. Esercizi.
      • Argomento 15

        SETTIMANA 15

        11/6/2012, 14-15.30 (C.) Un'applicazione lineare f e la sua trasposta ft hanno lo stesso rango; f è iniettiva se e solo se ft è suriettiva, e viceversa. Spazio vettoriale biduale. Isomorfismo tra V e il suo biduale: ogni forma lineare su V* è data dalla valutazione in un vettore di V. Base biduale. Esercizi. Isomorfismo tra V e V* indotto da una forma bilineare non degenere.

        15.30-17 (C.) Esercizi di riepilogo dai temi d'esame.

        15/6/2012, 9.30-12 (C.) Esercizi di riepilogo dai temi d'esame.
        • Argomento 16