Indice degli argomenti

  • Introduzione

    Geometria 1 - Corso B (cognomi P-Z)

    A.A. 2012-13 (12 CFU)


    Docenti: Prof. Cinzia CASAGRANDE - Prof. Alessandra BERNARDI

    Tutori : Simone Buffa - Enrica Mazzon


    Testi consigliati:
    Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.
    Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).
    Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 2000.
    In linea generale ogni volume di
    Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

    Ricevimento studenti
    C. Casagrande: venerdi' 14.30-15.30 nello studio del docente, oppure su appuntamento.
    A. Bernardi: giovedì 15-18
    nello studio del docente, oppure su appuntamento.


    Prove scritte anni precedenti (alcune con soluzioni):
    vedi la cartella TEMI D'ESAME ANNI PRECEDENTI tra le Risorse

    Esame

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve almeno aver raggiunto il punteggio di 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta, pertanto: se si supera la prova scritta al primo appello di una sessione d'esame si può sostenere la prova orale o al primo appello o al secondo. Nel momento in cui viene consegnato uno scritto, viene automaticamente annullata un'eventuale ammissione all'orale dallo scritto precedente. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

    Studenti degli anni precedenti: anche gli studenti degli anni precedenti devono sostenere l'esame con il corso A (A-O) o con il corso B (P-Z) a seconda del loro cognome.

    Integrazioni (per studenti ISCRITTI AL CORSO DI LAUREA, a cui sia stata ufficialmente riconosciuta una parte dell'esame): se uno studente deve sostenere un'integrazione di Geometria 1, e afferisce al corso B, deve contattare il docente per concordare il programma dell'integrazione e le modalita' di esame (che si svolgera' durante uno degli appelli d'esame). Nel caso l'esame preveda la prova scritta, lo studente deve avvisare il docente almeno due settimane prima della data della prova, in modo tale che il docente possa preparare una prova scritta apposita.

    Si invitano gli studenti a non iscriversi ad uno scritto nel caso sappiano gia' che non si presenteranno, e a cancellare l'iscrizione nel caso cambino idea riguardo allo scritto. Inoltre, si invitano gli studenti ad iscriversi solo allo scritto del corso B (o solo allo scritto del corso A, se sono del corso A), e non a entrambi. Questo per evitare sprechi: la prenotazione delle aule e la preparazione dei testi viene fatta in base al numero totale degli iscritti.

  • Argomento 1

    SETTIMANA 1

    5/3/2013, 11-13 (C.) Introduzione al corso, informazioni varie. Richiami di algebra: gruppi, anelli, campi. La struttura di gruppo abeliano su Rn e Kn. Vettori riga e vettori colonna. Prodotto di un elemento del campo per un vettore. Definizione di spazio vettoriale su un campo K; spazi vettoriali reali e complessi. Verifica che Kn e' uno spazio vettoriale su K. Esempi: polinomi a coefficienti in un campo; funzioni da un intervallo di R in R; funzioni da un insieme in un campo. Significato geometrico delle operazioni in R2. Prime proprieta' formali degli spazi vettoriali.

    6/3/2013, 11-13 (B.) Matrici a valori in un campo K: definizione, esempi (matrice quadrata, matrice riga, matrice colonna, matrice nulla, matrice identità, matrice diagonale, matrice triangolare, matrice trasposta), gruppo abeliano rispetto all'operazione di somma, spazio vettoriale, prodotto tra matrici, il prodotto non definisce una struttura di gruppo nell'insieme delle matrici, unicità della matrice inversa.

    7/3/2013, 9-11 (C.) Struttura di anello su Kn,n. Gruppo lineare generale. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Trasposta di un prodotto di matrici. Se A e' invertibile, anche At e' invertibile, e (At)-1=(A-1)t. Traccia di una matrice quadrata. Traccia di un prodotto di matrici.
    Vettori geometrici applicati nello spazio di punti S3 (nel piano S2, nella retta S1). Equipollenza tra vettori geometrici applicati; vettori geometrici liberi. Corrispondenza biunivoca tra classi di equipollenza e vettori applicati in un punto fissato O. Corrispondenza biunivoca tra punti dello spazio e vettori applicati in un punto fissato O. Somma di vettori geometrici, prodotto di un vettore geometrico per un numero reale. Struttura di spazio vettoriale reale sull'insieme V3 (V2, V1) dei vettori geometrici liberi in S3 (S2, S1).
    Definizione di sottospazio vettoriale.

    8/3/2013, 11-13 (C.) Sottospazi vettoriali, proprieta' ed esempi. Sottospazi banali. Il sottospazio Kd[t] dei polinomi di grado al piu' d. Sottospazi notevoli delle matrici quadrate: matrici diagonali, triangolari superiori, simmetriche e antisimmetriche. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme finito di vettori. Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Esempi: Kn, Km,n, Kd[t], A(R3,3) sono finitamente generati; K[t] non e' finitamente generato.
  • Argomento 2

    SETTIMANA 2

    12/3/2013, 11-13 (C.) Equazioni lineari e sistemi lineari in un campo K. Sistemi compatibili e incompatibili, sistemi omogenei, sistemi quadrati. Un sistema e' omogeneo se e solo se ammette la soluzione nulla. Forma matriciale di un sistema lineare, matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice completa. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari che producono un sistema equivalente. Operazioni elementari sulle righe della matrice completa. Metodo di eliminazione di Gauss. Matrici ridotte per righe, sistemi ridotti. Matrici a gradini. Esempi.

    13/3/2013, 11-13 (B.) Esercizi: su sottospazi e sistemi lineari. Intersezione finita di sottospazi è un sottospazio. Dimostrare che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo con m equazioni ed n variabili a valori in K è un sottospazio di C^n. Matrici ortogonali: definizione, O(n,R) sottogruppo di GL(n,R).

    14/3/2013, 9-11 (C.) Somma di sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare. Esempi. I vettori v1,...,vn sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di loro si puo' scrivere come combinazione lineare degli altri. Base di uno spazio vettoriale. Esempi, basi canoniche di Kn, Km,n, Kd[t]. I vettori v1,...,vn sono una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di v1,...,vn. Coordinate di un vettore rispetto ad una base, corrispondenza biunivoca tra V e Kn indotta da una base. Esempi.

    15/3/2013, 11-13 (C.) Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Teorema di Steinitz del completamento della base. In uno spazio vettoriale finitamente generato, tutte le basi hanno la stessa cardinalita'. Dimensione di uno spazio vettoriale; esempi: Kn, Km,n, Kd[t]. C, come spazio vettoriale reale, ha dimensione 2. R, come spazio vettoriale su Q, non e' finitamente generato. Relazione tra dimensione, cardinalita' di sistemi di generatori, e cardinalita' di insiemi di vettori linearmente indipendenti. Lo spazio vettoriale delle funzioni da un intervallo in R non e' finitamente generato.
  • Argomento 3

    SETTIMANA 3

    19/3/2013, 11-13 (B.): Esercizi su vettori linearmente dipendenti o indipendenti, basi di sottospazi, sottospazio intersezione e sottospazio somma.

    20/3/2013, 11-13 (B.): Dimensione sottospazi di spazi vettoriali finitamente generati. Formula di Grassmann. Esempi. Somma diretta. Matrici quadrate come somma in modo unico di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica.

    21/3/2013, 9-11 (C.): Dipendenza e indipendenza lineare di vettori geometrici nello spazio. Gli spazi vettoriali reali V1, V2 e V3 hanno dimensione rispettivamente 1,2 e 3. Sistemi di riferimento affini. Angoli tra vettori geometrici. Angolo orientato tra due vettori geometrici nel piano. Basi ortogonali di V2 e V3, basi ortogonali positive e negative. Lunghezze di vettori geometrici, versori, basi ortonormali (positive e negative) di V1, V2 e V3. Sistemi di riferimento cartesiani. Distanza tra due punti. Prodotto scalare in Rn: definizione in coordinate e prime proprieta'. Norma di un vettore di Rn.

    22/3/2013, 11-13 (C.): Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare e' nullo. Il prodotto scalare come prodotto delle norme per il coseno dell'angolo tra i due vettori. Proiezione ortogonale di un vettore su una retta passante per l'origine. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare (solo enunciati). Prodotto scalare con un versore, coseni direttori. Sottospazi affini di Rn come traslati di sottospazi vettoriali; sottospazio direttore e dimensione. Esempi: sottospazi affini di R, R2 e R3. Descrizione parametrica di un sottospazio affine. Esempio: la retta.
  • Argomento 4

    SETTIMANA 4

    26/3/2013, 11-13 (C.): Sottospazi supplementari. Somma diretta di piu' sottospazi. Prodotto diretto di spazi vettoriali. Applicazioni lineari: definizione e primi esempi. Proiezione su un sottospazio data da una scomposizione in somma diretta. Applicazione lineare LA: Kn->Km data da una matrice A in Km,n.

    27/3/2013, 11-13 (B.): Esercizi su vettori e basi ortonormali. Immagine e nucleo di una applicazione lineare: definizione, sottospazi, esercizi.
  • Argomento 5

    Settimana 5

    3/4/2013, 11-13 (B.) Composizione di applicazioni lineari, isomorfismo, inversa di una applicazione lineare, isomorfismo tra spazio vettoriale finitamente generato su K e Kn, immagine di un sottospazio è un sottospazio, la pre-immagine di un sottospazio è un sottospazio, applicazione lineare iniettiva sse Ker(f)=0, pre-immagine di un elemento dell'immagine tramite un'applicazione lineare, sistema di generatori per l'Immagine di un'applicazione lineare, f:V -> W lineare e suriettiva => dim(V) e' maggiore o uguale di dim(W), f:V -> W lineare e iniettiva => dim(V) e' minore o uguale di dim(W), f:V -> W isomorfismo => dim(V) = dim(W).

    4/4/2013, 9-11 (C.) Rango di un'applicazione lineare; teorema di nullita' piu' rango per applicazioni lineari. Applicazioni. Dimensione dell'immagine e della controimmagine di un sottospazio tramite un'applicazione lineare. Rango di una matrice come massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Relazione tra una matrice A, l'applicazione lineare LA associata ad A, e il sottospazio N(A) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad A. Teorema di nullita' piu' rango per matrici. Teorema del rango: il rango di una matrice coincide con il massimo numero di righe linearmente indipendenti; enunciato e inizio della dimostrazione.

    5/4/2013, 11-13 (C.) Fine della dimostrazione del teorema del rango. Il rango di una matrice e' uguale al rango della sua trasposta. Rango e sistemi lineari non omogenei: teorema di Rouche'-Capelli. Calcolo del rango di una matrice con l'eliminazione di Gauss; esempi. Matrici quadrate: caratterizzazioni equivalenti dell'avere rango massimo. Una matrice ha rango massimo se e solo se e' invertibile. Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan, prima parte.

  • Argomento 6

    Settimana 6

    9/4/2013, 11-13 (C.) Calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan, seconda parte. Determinante di una matrice quadrata, definizione tramite le permutazioni. Il determinante di A e' uguale al determinante di At. Se A ha due colonne (o due righe) uguali, det(A)=0. Il determinante e' lineare in ogni riga e in ogni colonna. La matrice unitaria ha determinante 1. Se A ha una colonna o una riga nulla, det(A)=0. Scambiando due colonne (o due righe) di A, det(A) cambia di segno.

    10/4/13, 11-13 (B.): Esercizi con l'utilizzo del rango e del determinate di matrici: sistemi lineari con parametro, automorfismi. Esercizi su applicazioni lineari, immagine di vettori, basi ortogonali.

    11/4/2013, 11-13 (C.) Determinante di una matrice triangolare superiore. Calcolo del determinante tramite l'eliminazione di Gauss, esempi. Teorema di Binet, applicazioni. Un matrice e' invertibile sse il determinante e' non nullo, il determinante dell'inversa e' l'inverso del determinante. Sottomatrici, minori, complementi algebrici. Calcolo del determinante con lo sviluppo di Laplace per riga o per colonna, esempi. Secondo teorema di Laplace.

    12/4/13, 11-13 (B.): Geometria analitica nel piano reale: retta vettoriale (eq. parametriche e cartesiana), vettore direttore di una retta e vettore ortogonale. Retta affine  (eq. parametriche e cartesiana), vettore direttore di una retta e vettore ortogonale. Passaggio da eq. parametriche a eq. cartesiana e viceversa. Esercizi: Retta parallela ad una direzione e passante per un punto fissati, retta perpendicolare ad una direzione e passante per un punto fissati.
    Retta per due punti.
  • Argomento 7

    16/4/2013, 11-13 (C.) Espressione esplicita della matrice inversa in termini di determinante e complementi algebrici. Metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari quadrati. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di un minore non nullo. Moltiplicando una matrice (a sinistra o a destra) per una matrice quadrata invertibile, il rango non cambia.
    Teorema fondamentale delle applicazioni lineari: esistenza e unicita' di un'applicazione lineare una volta assegnati i valori su una base. Spazio vettoriale quoziente.

    17/4/2013, 11-13 (B.) Esercizio 1 Prova scritta del 25 Giugno 2012.

    18/4/2013, 9-11 (C.) Relazione tra somma diretta e prodotto diretto. Operazioni tra applicazioni lineari; struttura di spazio vettoriale sull'insieme L(V;W) delle applicazioni lineari da V a W. Forme lineari, spazio vettoriale duale V*=L(V;K). Matrice associata ad un'applicazione lineare f rispetto a due basi fissate del dominio e del codominio. Espressione di f in coordinate. Esempi. Ogni applicazione lineare da Kn in Km e' della forma f(x)=Ax, con A matrice m per n.

    19/4/2013, 11-13 (B.) Posizione reciproca di due rette nel piano, distanza tra due punti nel piano, distanza tra un punto ed una retta nel piano, fasci di rette (propri ed impropri). Geometria analitica nello spazio: Piani e rette vettoriali (equazioni parametriche e cartesiane).
  • Argomento 8

    23/4/2013, 11-13 (C.) Isomorfismo tra L(V;W) e Km,n dato dalla matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate di V e W; la dimensione di L(V;W) e' il prodotto delle dimensioni di V e W. Base di L(V;W) corrispondente alla base canonica di Km,n. Caso dello spazio vettoriale duale: forme lineari in coordinate, base duale. Esempi. Matrice associata ad una composizione di applicazioni lineari. Cambiamento di base, matrice del cambiamento di base. Esempi. La matrice del cambiamento di base da una base B a una base B' di V puo' essere vista come la matrice associata all'identita' di V rispetto alle basi B e B'.

    Attenzione: mercoledi' 24 aprile non ci sara' lezione di Geometria 1. Il tutorato si terra' alle 11 in aula 4 al posto della lezione.
  • Argomento 9

    30/4/2013, 11-13 (C.) Esercizi su applicazioni lineari, matrici associate ad applicazioni lineari, spazio vettoriale duale.

    2/5/2013, 9-11 (C.)
    Descrizione di un sottospazio affine di Rn tramite equazioni lineari; iperpiani e iperpiani vettoriali. Applicazioni lineari e cambiamento di base. Endomorfismi, matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base fissata. Matrici simili. Matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili. Matrici simili hanno lo stesso rango, lo stesso determinante e la stessa traccia. Determinante e traccia di un endomorfismo. Introduzione al problema della diagonalizzazione di un endomorfismo; autovalori, autovettori e autospazi.

    3/5/2013, 11-13 (C.) Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico. Esempi. Richiami sulle radici di polinomi. Campi algebricamente chiusi e non. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se un endomorfismo di V ha n autovalori distinti (dove n=dim V), allora e' diagonalizzabile. Esempi.
  • Argomento 10

    7/5/2013, 11-13 (C.) Dati u e v in R2, il determinante della matrice [u|v] e' pari al prodotto delle norme di u e v per il seno dell'angolo orientato da u a v. La rotazione in R2 come applicazione lineare, matrice associata. Area di un parallelogrammo e di un triangolo in R2 in termini di determinanti. Area di un parallelepipedo e di un tetraedro in R3 in termini di determinanti. Prodotto vettoriale in R3, definizione geometrica e in coordinate. Proprieta' ed esempi. Area di un parallelogrammo e di un triangolo in R3 in termini di prodotto vettoriale. Proiezione ortogonale su un piano vettoriale in R3. Prodotto misto di tre vettori in R3.

    8/5/2013, 11-13 (B.) Affinità. Equazioni affini e parametriche di rette e piani nello spazio. Esercizi su diagonalizzazione di matrici in R e in C.

    9/5/2013, 9-11 (C.) Gli autospazi di un endomorfismo sono in somma diretta. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicita' algebrica e' sempre maggiore o uguale della molteplicita' geometrica. Criteri di diagonalizzabilita'. Esempi. Spazi vettoriali euclidei: definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale, esempi.

    10/5/13, 9-11 (B.) Posizioni reciproche di piani, piani e rette, rette nello spazio. Distanze nello spazio: punto-punto, punto-retta, punto-piano, rette parallele, piani paralleli, retta parallela a un piano, minima distanza tra rette sghembe.
  • Argomento 11

    14/5/2013, 11-13 (C.) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma indotta da un prodotto scalare. Disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori non nulli, vettori ortogonali, versori. Basi ortogonali e ortonormali. Vettori non nulli a 2 a 2 ortogonali sono linearmente indipendenti. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Nelle coordinate rispetto ad una base ortonormale, il prodotto scalare diventa il prodotto scalare standard di Rn. Il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale: definizione e prime proprieta'. Esempi.

    15/5/2013, 11-13 (B.): Esercizi 1 e 2 della prova scritta del 30 gennaio 2013. (Punto 4 dell'esercizio 1 sostituito con calcolo della minima distanza tra due rette sghembe).

    16/5/2013, 9-11 (C.): Complementi ortogonali e proiezione ortogonale su un sottospazio. Proiezione ortogonale e distanza di un vettore da un sottospazio. Isometrie di uno spazio vettoriale euclideo, caratterizzazioni equivalenti. Un endomorfismo f di V e' un'isometria se e solo se la matrice di f rispetto ad una base ortonormale e' una matrice ortogonale. Endomorfismi simmetrici di uno spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo f di V e' simmetrico se e solo se la matrice di f rispetto ad una base ortonormale e' simmetrica. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo simmetrico e' totalmente riducibile. Se f e' simmetrico, autovettori di f relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Teorema spettrale: enunciato e prima parte della dimostrazione.

    17/5/2013, 11-13 (B.): Esercizio su metodo di ortogonalizzazione di G.-S.
    Circonferenza nel piano. Posizione reciproca circonferenza e retta nel piano.
    Sfere in R^3. Posizione reciproca sfera e piano in R^3. Crf ottenuta come intersezione di un piano con una sfera.
    Matrici ortogonali reali: richiami, proprietà fondamentali (righe - colonne - formano base ortonormale di R^n, determinante = \pm 1), SO( n ) (definizione, sottogruppo), O(1), O(2).
  • Argomento 12

    21/5/2013, 11-13 (C.) Matrici ortogonali di ordine due e isometrie del piano associate. Congruenze e congruenze dirette come sottogruppi delle affinita' di Rn. Cambiamento di sistema di riferimento in S1/S2/S3: cambiando sistema di riferimento affine, le coordinate di un punto cambiano tramite un'affinita'; cambiando sistema di riferimento ortogonale, le coordinate cambiano tramite una congruenza diretta.
    Teorema spettrale, seconda parte della dimostrazione. Versione matriciale del teorema spettrale: ogni matrice simmetrica reale e' simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale. Esempio.

    22/5/2013, 11-13 (C.) Spazi vettoriali hermitiani: panoramica senza dimostrazioni. Prodotto hermitiano standard in Cn. Prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Norma e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortonormali; un prodotto hermitiano nelle coordinate rispetto ad una base ortonormale diventa il prodotto hermitiano standard. Isometrie e matrici unitarie, esempi. Endomorfismi autoaggiunti e matrici hermitiane. Teorema spettrale complesso. Esempi.
    Forme bilineari su uno spazio vettoriale: definizione e prime proprieta'. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base; espressione in coordinate. Relazione tra matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse; matrici congruenti. Esempi.

    23/5/2013, 9-11 (C.) Rango di una forma bilineare, forme bilineari degeneri e non. L'insieme B(V) delle forme bilineari su V forma uno spazio vettoriale su K rispetto alle usuali operazioni tra funzioni. Fissata una base di V, l'applicazione da B(V) in Kn,n che associa ad ogni forma bilineare la sua matrice e' un isomorfismo di spazi vettoriali. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, caratterizzazione in termini della matrice associata. Ogni forma bilineare si scrive in maniera unica come somma di una forma bilineare simmetrica e di una antisimmetrica. Esempi.
    Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. L'espressione di una forma quadratica in coordinate e' un polinomio omogeneo di secondo grado nelle coordinate. Unicita' della forma bilineare simmetrica che definisce una forma quadratica. Esempi. Vettori ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica f. Dato W sottospazio vettoriale di V, l'insieme W' dei vettori f-ortogonali ad ogni vettore di W e' un sottospazio vettoriale. Nucleo di una forma bilineare simmetrica f. Il nucleo ha dimensione n-rk(f), e fissata una base, corrisponde ai vettori x di Kn tali che Ax=0, dove A e' la matrice associata alla forma f rispetto alla base.

    24/5/2013, 9-11 (B.): Prove d'Esame: 14/02/13, Es. 2; 30/01/13, Es. 5, punto 3); 23/07/2013, Es 3.
  • Argomento 13

    28/5/2013, 11-13 (C.) Vettori isotropi, cono isotropo. Esempi. Diagonalizzazione di forme quadratiche: il teorema di Lagrange. Ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale. Esempio sui numeri complessi. Diagonalizzazione di forme quadratiche su campi algebricamente chiusi. Se K e' algebricamente chiuso, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Esempio sui numeri complessi. Forme quadratiche su C2.

    29/5/2013, 11-13 (B.) Spazio biduale, V e V^{**} canonicamente isomorfi. Soluzione temi d'esame: 25/6/2012 es. 4; 1/2/11, es. 3.

    30/5/2013, 9-11 (C.) Forme quadratiche reali: teorema di Sylvester, forma normale e segnatura. Segnatura di una matrice simmetrica reale come numero degli autovalori positivi / negativi. La segnatura di una forma quadratica reale coincide con la segnatura di una qualsiasi matrice che la rappresenta. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Regola di Cartesio sul segno delle radici di un polinomio reale a radici reali. Diagonalizzazione di forme quadratiche su Rn: se A e' la matrice della forma quadratica rispetto alla base canonica, e B e' una base ortogonale di autovettori di A, la matrice associata a Q rispetto a B e' diagonale. Esempio. Forme quadratiche definite positive/negative, semidefinite positive/negative, indefinite. Caratterizzazione in termini della segnatura. Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale e' una forma bilineare simmetrica definita positiva.

    31/5/2103, 11-13 (B.): Descrizione geometrica delle coniche.
    • Argomento 14

      4/6/2103, 11-13 (B.): Ogni equazione di secondo grado in R^2 in due variabili rappresenta una conica. Classificazione delle coniche tramite matrici associate.

      5/6/2013, 11-13 (B.): Esercizio su classificazione di una conica, rototraslazione che porta l'equazione data in forma canonica, calcolo dell'invariante eccentricità. Quadriche: definizione e classificazione.

      6/6/2013, 9-11 (B): Esercizi da temi d'esame: 30/01/13 es 5, 23/2/11 es 4, 25/6/2012 es 3.

      7/6/2013, 11-13 (C): Esercizi di riepilogo da temi d'esame.