Indice degli argomenti

  • Introduzione

    Topologia Algebrica

    Laurea Magistrale in Matematica, primo semestre, 48 ore, 6 crediti.

    Docenti: Cinzia Casagrande e Federica Galluzzi.

    Casagrande ricevimento: giovedi' 11-12

    Testi consigliati:

    Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica

    Fulton, Algebraic Topology

    (per la parte su rivestimenti e gruppo fondamentale)

    Hatcher, Algebraic Topology (per l'omologia)

    Lee, Introduction to Topological Manifolds

    Modalità d'esame: l'esame è orale, ma farà parte dell'esame lo svolgimento (facoltativo) di un compito scritto che verrà assegnato nell'ultima lezione, da consegnare dopo una settimana, la cui valutazione contribuirà al voto finale. A chi non avesse svolto il compito scritto, all'esame verrà richiesto di risolvere un (semplice) esercizio.

    Compito di fine corso: il testo e' disponibile qui sotto. Il compito e' da consegnare entro giovedi' 16 gennaio, si puo' lasciare nello studio di Casagrande (ci sara' una busta sulla porta), oppure inviarlo per posta elettronica.

    Appelli: 21/1/2013, h 9.30, aula 2; 11/2/2013, h 9.30, aula 1

    Orario: lun 9-11 e gio 16-18, aula 5.

    Pagina web del corso dell'anno scorso

    Campusnet

  • Argomento 1

    Lunedì 30 Settembre (9.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

    Presentazione del corso, motivazione. Esempi di risultati che otterremo con la topologia algebrica: invarianza della dimensione; le sfere non sono contraibili. 
    Richiami di topologia. Spazi topologici localmente connessi per archi. Varietà topologiche. Esempi: le sfere, le superfici topologiche compatte, gli spazi proiettivi reali e complessi.


    Venerdì 4 Ottobre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

    Categorie e funtori, definizioni ed esempi. Richiami su azioni di gruppo su un insieme. Azione di un gruppo su uno spazio topologico, prime proprieta'. Azioni libere e propriamente discontinue; esempi. 
    Definizione di rivestimento, aperti uniformemente rivestiti. Esempio: la mappa esponenziale dalla retta alla circonferenza.


    • Argomento 2

      Lunedì 7 Ottobre (9.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

      Prime proprieta' dei rivestimenti. Fibre e grado di un rivestimento. Esempi. Rivestimenti definiti da azioni propriamente discontinue di gruppi. Somma a un punto di spazi topologici.

       Download (You Tube) di tre rivestimenti del cerchio

      Giovedì 10 Ottobre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

      Ogni rivestimento di grado 2 e' un G-rivestimento. Un esempio di rivestimento di grado 3 (della somma a un punto di due circonferenze) che non e' un G-rivestimento.
      Isomorfismi tra rivestimenti. Sollevamenti; unicita' del sollevamento fissato il valore in un punto. Gruppo degli automorfismi di un rivestimento. Se p e' un G-rivestimento, il gruppo degli automorfismi di p coincide con G. Esempi.
      • Argomento 3

        Lunedì 14 Ottobre (09.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

        Se il gruppo di trasformazioni di rivestimento agisce transitivamente su una fibra, il rivestimento e' un G-rivestimento.  Prodotto di cammini. Equivalenza omotopica di cammini: assiomi di gruppo. Definizione di gruppo fondamentale. Dipendenza dal punto base e connessione per archi. Funtorialita'. Spazi topologici semplicemente connessi.

         Download (YouTube): omotopia tra due cammini

         Download(YouTube) : tutti i cammini nel piano sono omotopi.


        Giovedì 17 Ottobre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

        Omotopia tra funzioni continue. Spazi topologici contraibili. Retratti e retratti di deformazione. Esempi.
        Retrazioni e gruppo fondamentale. .  

        • Argomento 4

          Lunedì 21 Ottobre (09.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

          Teorema di invarianza omotopica.  Sollevamenti di cammini omotopi della circonferenza sul rivestimento 
          t -->e2?it..  Grado (winding number) di un arco chiuso sulla circonferenza. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Sollevamenti di omotopie (senza dim.) Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse (dim. parziale). La dimostrazione completa (e altro) si trova su

          Omeomorfismo del toro con S1 x S1

          Esempi: il piano puntato e la sfera non sono omeomorfi. Il toro e la sfera non sono omeomorfi.


          Giovedì 24 Ottobre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

          La congettura di Poincare'.Teorema di monodromia: i sollevamenti di cammini omotopi sono omotopi. L'omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da un rivestimento e' iniettivo. Esistenza dei rivestimenti. Il rivestimento universale del nastro di Moebius. Il rivestimento universale di S1^ S1.

          Articolo di Milnor sulla Congettura di Poincare'
          • Argomento 5

            Lunedì 28 Ottobre (09.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

            Criterio di esistenza di un sollevamento.
            Applicazioni dell'azione di monodromia: dato un rivestimento, al variare dei punti della fibra su un punto x, le immagini del gruppo fondamentale dello spazio totale formano una classe di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale dello spazio base con punto base x. Il gruppo fondamentale dello spazio base agisce (a destra) sulla fibra del rivestimento e l'azione e' transitiva: il grado del rivestimento e' pari all'indice  
            dei sottogruppi immagine del gruppo fondamentale dello spazio totale.


             Giovedì 31 Ottobre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

            Dato un G-rivestimento, G e' isomorfo al gruppo quoziente del gruppo fondamentale dello spazio base  modulo l'immagine del gruppo fondamentale dello spazio totale. Applicazioni: il rivestimento universale e il gruppo fondamentale della circonferenza, del toro, del piano meno un punto, degli spazi proiettivi reali, della bottiglia di Klein. 
             Caratterizzazioni dei G-rivestimenti. 


            • Argomento 6

              Lunedì 4 Novembre (09.00 -11.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

              Corrispondenza tra classi di isomorfismo di rivestimenti di X e classi di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di X. Se X e' localmente c.p.a. e ogni suo punto ha un intorno aperto semplicemente connesso, la corrispondenza e' biunivoca. Rivestimenti della circonferenza e del nastro di Moebius. 

              Gruppi abeliani: insiemi di generatori, insiemi linearmente indipendenti, basi. Gruppi abeliani liberi, rango. Gruppi abeliani finitamente generati, sottogruppo di torsione, rango. 

              Giovedì 7 Novembre (16.00 -18.00) Aula 5  (F.Galluzzi)

              Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati (senza dimostrazione). Esempi. Se G e' un gruppo abeliano finitamente generato e H e' un suo sottogruppo, allora sia H che G/H sono finitamente generati, e rk(G)=rk(H)+rk(G/H). Se G/H e' libero, G e' isomorfo alla somma diretta di H e G/H.
              Gruppo libero generato da un insieme qualsiasi (non abeliano).
              Complessi di catene e morfismi di complessi. Gruppi di omologia di un complesso di catene. Omomorfismi in omologia indotti da un morfismo di complessi; per ogni n l'omologia da' un funtore covariante  dalla categoria dei complessi di catene alla categoria dei gruppi abeliani. Caratteristica di Eulero di un complesso di catene di gruppi abeliani f.g.: la somma alternata dei ranghi coincide con la somma alternata dei ranghi dei gruppi di omologia.
              Simplessi in R^q.  q-simplessi singolari.
              • Argomento 7

                Lunedì 11 Novembre (09.00 -11.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Struttura di Delta-complesso su uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Esempi: la circonferenza, la sfera, il toro. Gruppo abeliano libero su un insieme S come insieme delle somme formali finite di elementi di S. Simplessi di un Delta-complesso, omomorfismi di bordo. Esempio: il toro.

                Giovedì 14 Novembre (16.00 -18.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Il complesso delle catene simpliciali associato ad un Delta-complesso. Gruppi di omologia simpliciale. Esempi: il toro, la sfera, la bottiglia di Klein. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincare'. In un complesso di catene finito di gruppi abeliani finitamente generati, la somma alterna dei ranghi dei gruppo del complesso e' uguale alla somma alterna dei ranghi dei gruppi di omologia. Applicazione: la caratteristica di Eulero-Poincare' di un Delta-complesso si puo' calcolare dal numero di simplessi in ogni dimensione. Esempi: triangolazioni di superfici compatte. Grafi.

                Per chi e' in difficolta' con la parte algebrica:
                Una referenza (di teoria) sui gruppi abeliani finitamente generati: Lang, Algebra, capitolo I, sezione 8 "Finitely generated abelian groups".
                Un esercizio sui gruppi abeliani finitamente generati e i quozienti: i sottogruppi di Z^2
                1) (baby case) descrivere tutti i sottogruppi H di Z (=numeri interi) e i quozienti Z/H
                2) Consideriamo il gruppo G=Z^2 e sia H un sottogruppo di G.
                2.a) Determinare il possibile rango di H e descrivere H come gruppo astratto
                2.b) Nel caso in cui H abbia rango 1, descrivere i possibili H, e descrivere G/H
                2.c) (piu' difficile) cosa succede quando H ha rango 2?
                • Argomento 8

                  Lunedì 18 Novembre (09.00 -11.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Piano proiettivo reale: struttura di Delta-complesso e gruppi di omologia simpliciale. Catene singolari in uno spazio topologico, omomorfismi di bordo. Data un'applicazione continua f:X->Y, f induce un morfismo di complessi tra il complesso delle catene singolari di X e il complesso delle catene singolari di Y. Gruppi di omologia singolare. Data un'applicazione continua f:X->Y, f induce un omomorfismo di gruppi da Hn(X) a Hn(Y) per ogni n. Funtorialita'. I gruppi di omologia singolare sono invarianti per omeomorfismo. Gruppi di omologia singolare del punto. Se X e' connesso per archi, H0(X) e' isomorfo a Z.

                  Giovedì 21 Novembre (16.00 -18.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) L'n-esimo gruppo di omologia di uno spazio topologico X e' isomorfo alla somma diretta degli n-esimi gruppi omologia delle componenti connesse per archi di X. Applicazioni a H0(X), esempi. Omologia ridotta. Se X e' un Delta-complesso, il complesso delle catene simpliciali e' un sottocomplesso del complesso delle catene singolari. Isomorfismo tra gruppi di omologia simpliciale e gruppi di omologia singolare (solo enunciato). Breve panoramica su spazi topologici triangolabili e varieta' topologiche. Gruppo fondamentale e primo gruppo di omologia: omomorfismo di Hurewicz.

                  • Argomento 9

                    Lunedì 25 Novembre (09.00 -11.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Commutatori, sottogruppo generato dai commutatori, abelianizzato di un gruppo. Se X e' uno spazio topologico connesso per archi, l'omomorfismo di Hurewicz induce un isomorfismo tra H1(X) e l'abelianizzato del gruppo fondamentale di X (solo enunciato).
                    Esercizi: struttura di Delta-complesso e gruppi di omologia simpliciale di S1 e di S1VS1.
                    Invarianza omotopica dei gruppi di omologia singolare: enunciato e strategia della dimostrazione. Riduzione all'enunciato: se X e' uno spazio topologico e i0,i1 sono le inclusioni di X in XxI "al piano 0" e "al piano 1", i0 e i1 inducono gli stessi omomorfismi in omologia.
                    Omotopia tra morfismi di complessi di catene. Morfismi omotopi inducono gli stessi omomorfismi in omologia.

                    Giovedì 28 Novembre (16.00 -18.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Dimostrazione dell'invarianza omotopica tramite l'operatore prisma. Applicazioni: spazi topologici contraibili, retratti di deformazione. Bottiglia di Klein: richiami sul rivestimento universale e il gruppo fondamentale; calcolo del sottogruppo dei commutatori e dell'abelianizzato del gruppo fondamentale, e relazione con il primo gruppo di omologia.

                    • Argomento 10

                      Lunedì 2 Dicembre (09.00 -11.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Successioni esatte di gruppi abeliani, esempi. Successioni esatte corte, successioni esatte corte spezzanti. Successioni esatte e complessi di catene. In una successione esatta finita di gruppi abeliani finitamente generati, la somma alterna dei ranghi e' nulla. Successioni esatte corte di complessi di catene. Successione esatta lunga in omologia: construzione dell'omomorfismo di connessione.

                      Giovedì 5 Dicembre (16.00 -18.00) Aula 5 (Cinzia Casagrande) Esempi di successioni esatte corte di gruppi abeliani. Successione esatta lunga in omologia: dimostrazione dell'esattezza. Omologia relativa ad un ricoprimento: definizione e isomorfismo con i gruppi di omologia singolare (solo enunciato). Successione di Mayer-Vietoris per l'omologia e per l'omologia ridotta.

                      • Argomento 11

                        9/12/2013, 14-16 (CC): Gruppi di omologia delle sfere. Applicazioni: le sfere non sono contraibili. Il teorema del punto fisso di Brouwer. Invarianza della dimensione. Gruppi di omologia della somma a un punto di due varieta' topologiche. Esempi.

                        12/12/2013, 16-18 (CC): Gruppi di omologia e rivestimento universale delle superfici topologiche compatte. Esercizio sul calcolo sui gruppi di omologia singolare tramite Mayer-Vietoris. Gruppi di omologia dello spazio proiettivo reale di dimensione 3: prima parte.
                        • Argomento 12

                          16/12/2013, 9-11 (CC): Gruppi di omologia dello spazio proiettivo reale tridimensionale. Panoramica (senza dimostrazioni) delle proprieta dei gruppi di omologia di una varieta' topologica X di dimensione n: Hi(X)=0 se i>n; Hn(X) e' 0 o Z, e Hn(X)=0 se X non e' compatta. Se X e' compatta, tutti i suoi gruppi di omologia sono finitamente generati; esempio di un aperto U di R2 tale che H1(U) non e' finitamente generato. Orientabilita': richiami sulla definizione per una varieta' differenziabile; orientazione locale di una varieta' topologica in un punto. Una varieta' topologica compatta X di dimensione n e' orientabile se e solo se Hn(X)=Z. Esempi.

                          19/12/2013, 16-18 (CC): Simmetrie dei gruppi di omologia di una varieta' topologica compatta e orientabile di dimensione n: bi=bn-i per i numeri di Betti, Ti=Tn-1-i per i sottogruppi di torsione (senza dimostrazione!); esempi. Panoramica senza dimostrazioni sulla relazione tra coomologia di de Rham e l'omologia singolare per una varieta' differenziabile, tramite l'integrazione di k-forme su k-simplessi lisci; teorema di de Rham. Esempio: R2 meno l'origine.