Indice degli argomenti

  • Introduzione

    Geometria 1 - corso B (cognomi N-Z)

    Laurea Triennale in Matematica, primo anno, a.a. 2013/14, 96 ore, 12 crediti.
    Il corso e' annuale e si tiene meta' al primo semestre, meta' al secondo semestre.

    Docenti:

    Prof. Cinzia Casagrande     (primo semestre)

    Prof. Luigi Vezzoni     (secondo semestre)


    Tutori: Danila Costamagna (primo semestre), Laura Pertusi (secondo semestre).

    Testi consigliati:

    Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.
    Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).
    Lang, Introduction to Linear Agebra, Springer 1986.
    Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 2000.
    In linea generale ogni volume di     Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

    Ricevimento studenti
    C. Casagrande (primo semestre): giovedi' 11-12, oppure su appuntamento.

    TUTORATO:

    Per dar modo agli studenti di verificare i progressi del loro apprendimento verranno pubblicate periodicamente su questa pagina delle liste di problemi da risolvere a casa. Le soluzioni verranno raccolte da un Tutore che provvederà a correggerle (ma non a valutarle). Il Tutore procederà a tenere una correzione pubblica dei problemi proposti a cui tutti gli studenti interessati possono accedere.

    Orario TUTORATO

    • I semestre: Ogni 2 settimane a partire da Martedì 22 Otttobre, MAR 11-13 (Aula Lagrange). Tutorato straordinario: GIO 9/1 ore 9-11.
    • II semestre: Ogni 2 settimane il VEN 11-13 (Aula Magna), nei giorni:
      14 marzo, 28 marzo, 11 aprile, 9 maggio, 23 maggio, 6 giugno
       

    RECUPERO:

    Durante il secondo semestre si terranno degli incontri di recupero sugli argomenti del primo semestre, per permettere a chi non ha sostenuto con successo la prova intermedia di presentarsi meglio preparato agli appelli di giugno. Durante questi incontri verranno rivisti i concetti fondamentali e verranno svolti esercizi. Gli incontri sono aperti a tutti, ma sono fortemente consigliati solo a chi ha avuto difficoltà nel primo semestre.

    Orario RECUPERO

    II semestre: a partire da martedì 4 marzo: MAR 14-16, Aula C

    Prove scritte anni precedenti (alcune con soluzioni): vedi la cartella TEMI D'ESAME ANNI PRECEDENTI tra le Risorse

    Esame

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

    PROVE PARZIALI: e' possibile essere ammessi all'orale anche superando due prove scritte parziali. La prima prova scritta parziale si terra' nell'appello di febbraio, in contemporanea con l'esame scritto. La seconda prova parziale si terra' negli appelli di giugno e luglio (in contemporanea con gli scritti) e si puo' sostenere una volta sola (o a giugno, o a luglio). Per accedere alla prova orale tramite le prove parziali, bisogna aver ottenuto un punteggio di almeno 16/30 in entrambe le prove, e aver raggiunto la media di almeno 18/30. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si supera la seconda prova parziale. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. Le prove parziali sono aperte anche a studenti degli anni precedenti, ma in un appello in cui si sostiene una prova parziale, non si puo' sostenere anche l'esame scritto.

    Studenti degli anni precedenti: anche gli studenti degli anni precedenti devono sostenere l'esame con il corso A (A-M) o con il corso B (N-Z) a seconda del loro cognome.

    Integrazioni (per studenti ISCRITTI AL CORSO DI LAUREA, a cui sia stata ufficialmente riconosciuta una parte dell'esame): se uno studente deve sostenere un'integrazione di Geometria 1, e afferisce al corso B, deve contattare il docente per concordare il programma dell'integrazione e le modalita' di esame (che si svolgera' durante uno degli appelli d'esame). Nel caso l'esame preveda la prova scritta, lo studente deve avvisare il docente almeno due settimane prima della data della prova, in modo tale che il docente possa preparare una prova scritta apposita.

    Si invitano gli studenti a non iscriversi ad uno scritto nel caso sappiano gia' che non si presenteranno, e a cancellare l'iscrizione nel caso cambino idea riguardo allo scritto. Inoltre, si invitano gli studenti ad iscriversi solo allo scritto del corso B (o solo allo scritto del corso A, se sono del corso A), e non a entrambi. Questo per evitare sprechi: la prenotazione delle aule e la preparazione dei testi viene fatta in base al numero totale degli iscritti.

    E' disponibile tra le Risorse (vedi anche qui sotto) un prototipo del primo esonero, con le soluzioni. Il compito e' da svolgersi in due ore.

    Giovedi' 13/2, dalle 13 alle 14.30, in aula 4, si terra' la correzione della prima prova di esonero.


    Campusnet

  • Argomento 1

    1/10, 14-16. Presentazione del corso, informazioni pratiche. Matrici reali, componenti, vettori riga e vettori colonna: Rm,n e Rn. Matrici quadrate, diagonale. Matrici nulle. Somma di matrici: definizione, esempi, proprieta' associativa e commutativa, somma con la matrice nulla. Prodotto di un numero per una matrice. Matrice opposta -A; A+(-A)=O. Prodotto di matrici righe per colonne: definizione ed esempi. Il prodotto di matrici quadrate non e' commutativo.

    2/10, 14-16. Prodotto di matrici: proprieta' associativa e proprieta' distributiva rispetto alla somma. Matrice unitaria, prodotto per la matrice unitaria. Esempio in cui non vale la legge di cancellazione; esempio di matrici quadrate non nulle il cui prodotto e' nullo. Matrici invertibili, esempi. Quando esiste, la matrice inversa e' unica. Inversa di un prodotto. Matrice trasposta. Matrici simmetriche, antisimmetriche, diagonali, triangolari superiori e inferiori. Trasposta di un prodotto. La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile.

    Attenzione    : martedi' 8 ottobre e mercoledi' 9 ottobre non ci sara' lezione.

  • Argomento 2

    15/10, 14-16. Equazioni lineari e sistemi lineari. Matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice completa; notazione matriciale per i sistemi lineari. Sistemi quadrati, sistemi omogenei. Soluzioni di un sistema lineare, sistemi compatibili e non. Un sistema omogeneo e' sempre compatibile. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari su un sistema e sulle righe di una matrice. Matrici equivalenti per righe. Matrici ridotte a scala. Metodo di eliminazione di Gauss: ogni matrice e' equivalente per righe ad una matrice ridotta a scala. Esercizi.

    16/10, 14-16. Discussione di un sistema lineare quando la matrice associata e' ridotta a scala. Un sistema omogeneo in cui le equazioni sono meno delle incognite ha sempre una soluzione non nulla. Sistemi quadrati con matrice dei coefficienti invertibile: metodo di risoluzione di Gauss-Jordan. Applicazione al calcolo della matrice inversa, esempio. Determinante e inversa di matrici quadrate di ordine 2. Traccia di una matrice quadrata, traccia di un prodotto di matrici. Significato geometrico delle operazioni vettoriali in R2 e R3. Vettori geometrici applicati nel piano e nello spazio.

  • Argomento 3

    22/10, 14-16. Equipollenza tra vettori applicati, vettori geometrici liberi come classi di equipollenza, insiemi V1, V2 e V3 dei vettori liberi nella retta, nel piano e nello spazio rispettivamente. Fissato un punto O nello spazio, V3 si identifica con i vettori applicati in O. Somma di vettori geometrici, prodotto di un vettore per un numero reale. Sistemi di riferimento affini nella retta, nel piano e nello spazio. Angoli tra vettori geometrici.

    23/10, 14-16. Lunghezze di vettori geometrici. Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali nella retta, nel piano e nello spazio. Il prodotto scalare standard in Rn: definizione in coordinate e prime proprieta' algebriche. Norma di un vettore di Rn. Il prodotto scalare di due vettori non nulli in R2 o R3 e' zero se e solo se i due vettori sono ortogonali. Proiezione ortogonale di un punto su una retta nel piano o nello spazio, espressione in termini di prodotto scalare. Il prodotto scalare di due vettori non nulli in R2 o R3 e' uguale al prodotto delle norme per il coseno dell'angolo tra i due vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare in Rn. Esempi.

    • Argomento 4

      29/10, 14-16. Esempi su prodotto scalare e proiezioni ortogonali in R3. Vettori e matrici a elementi complessi: Cn, Cm,n. Sistemi lineari a coefficienti complessi. Esempi. Definizione di spazio vettoriale reale. Esempi: Rn, Rm,n, C, i polinomi R[t], l'insieme delle funzioni da un dominio fissato a R, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo reale.

      30/10, 14-16. Richiami sulla nozione di campo; esempi: numeri complessi, reali, razionali. Spazio vettoriale su un campo K: definizione, prime proprietà formali. Esempi: Kn, Km,n. Sottospazi vettoriali. Esempi in R2. Sottospazi banali. Spazio vettoriale dei polinomi K[t] e sottospazio K[t]d dei polinomi di grado al più d.

    • Argomento 5

      5/11, 14-16. Ancora esempi di sottospazi vettoriali. Sottospazi dello spazio vettoriale delle funzioni da un intervallo in R: funzioni continue, funzioni derivabili, funzioni nulle in un punto fissato. Un sottogruppo che non e' un sottospazio. Un sottospazio reale di C che non e' un sottospazio complesso. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite, a coefficienti in K, sono un sottospazio di Kn. Sottospazi di Kn,n: matrici diagonali, triangolari superiori, simmetriche, antisimmetriche.
      Combinazioni lineari, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Esempi: Kn, Km,n, K[t]d sono finitamente generati; K[t] non e' finitamente generato.

      6/11, 14-15. Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Base di uno spazio vettoriale. Esempi: le basi canoniche di Kn e Km,n, la base di K[t]d data dai monomi.

      6/11, 15-16. Esercizi.

    • Argomento 6

      12/11, 14-16. Un insieme di vettori v1,...,vn e' una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di v1,...,vn. Coordinate rispetto a una base, corrispondenza biunivoca tra V e Kn data dalle coordinate rispetto a una base. Esempio. Ogni sistema di generatori contiene una base: estrazione di una base per scarti successivi. Lemma di Steinitz o dello scambio. Applicazione: in uno spazio vettoriale finitamente generato, tutte le basi hanno la stessa cardinalita'. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi: Kn, Km,n, K[t]d.

      13/11, 14-16. Ancora esempi su dimensione e basi: C come spazio vettoriale reale ha dimensione 2, R come spazio vettoriale sul campo dei numeri razionali non e' finitamente generato. Relazione tra dimensione, cardinalita' di un insieme di generatori, e cardinalita' di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Gli spazi vettoriali reali V1, V2 e V3 dei vettori geometrici liberi nella retta, nel piano e nello spazio: basi e dimensione. Lo spazio vettoriale reale delle funzioni da un intervallo in R non e' finitamente generato. Dimensione di un sottospazio: esempi.

      • Argomento 7

        19/11, 14-15. Dimensione di un sottospazio: dimostrazione. Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti a una base. Operazioni su sottospazi vettoriali: intersezione e somma. Esempi. Formula di Grassmann: enunciato.

        19/11, 15-16. Esercizi su basi, dimensione e sottospazi vettoriali.

        20/11, 14-15. Dimostrazione della formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi: caratterizzazioni equivalenti. Sottospazi supplementari.

        20/11, 15-16. Esercizi su sottospazi, intersezione, somma e somma diretta.

      • Argomento 8

        26/11, 14-16. Applicazioni lineari, definizione ed esempi. Endomorfismi, applicazione identica, applicazione nulla. Applicazione lineare LA:Kn->Km data da LA(x)=Ax, dove A e' una matrice mxn; relazione con il sistema lineare Ax=b. La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Isomorfismi, spazi vettoriali isomorfi. Un'applicazione lineare e' isomorfismo sse e' biunivoca. Se V ha dimensione n, fissando una base si ottiene un isomorfismo tra V e Kn. L'immagine di un sottospazio e' un sottospazio. Immagine di un'applicazione lineare. Esempi.

        27/11, 14-16. Se f:V->W e' lineare, le immagini di un sistema di generatori di V generano Im(f). Corollario: se f e' suriettiva, la dimensione di V e' maggiore o uguale della dimensione di W. Caso di LA:Kn->Km: le colonne di A sono le immagini dei vettori della base canonica di Kn e generano Im(LA). Esempi. La controimmagine di un sottospazio vettoriale e' un sottospazio vettoriale; nucleo di un'applicazione lineare. L'applicazione f e' iniettiva sse ker(f)={0}. Un'applicazione lineare iniettiva porta vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Corollario: se f e' iniettiva, la dimensione di V e' minore o uguale della dimensione di W. Due spazi vettoriali V e W (su un campo K) sono isomorfi sse hanno la stessa dimensione. Rango di un'applicazione lineare, esempi.

        • Argomento 9

          Attenzione: il tutorato di martedi' 3/12 si terra' dalle 10 alle 11 invece che dalle 12 alle 13, sempre in aula Lagrange.

          3/12, 14-15. Teorema di nullita' piu' rango per applicazioni lineari. Applicazioni. Applicazioni alle immagini e controimmagini di sottospazi vettoriali. Esistenza e unicita' di un'applicazione lineare f:V->W una volta assegnati i valori di f su una base di V.

          3/12, 15-16. Esercizi su applicazioni lineari, nucleo, immagine, immagine e controimmagine di sottospazi.

          4/12, 14-15. Ogni applicazione lineare f:Kn->Km e' della forma f(x)=Ax, dove A e' la matrice le cui colonne sono f(e1),...,f(en). Controimmagini di un elemento. Rango di una matrice come dimensione del sottospazio generato dalle colonne. Teorema di nullita' piu' rango per matrici. Teorema del rango: il rango coincide con la dimensione del sottospazio generato dalle righe; enunciato e inizio della dimostrazione.

          4/12, 15-16. Esercizi su applicazioni lineari.

        • Argomento 10

          10/12, 14-16. Teorema del rango: fine della dimostrazione. Il rango di una matrice e' uguale al rango della trasposta. Teorema di Rouche'-Capelli. Calcolo del rango con l'eliminazione di Gauss: le operazioni elementari sulle righe non cambiano il rango, e il rango di una matrice ridotta a scala e' uguale al numero di righe non nulle. Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimo.

          11/12, 14-15. Determinante di una matrice quadrata: definizione tramite le permutazioni. Il determinante di una matrice A e' uguale a quello di At. Se A ha due righe o due colonne uguali, allora det(A)=0. Il determinante e' lineare in ogni riga e in ogni colonna.

          11/12, 15-16. Esercizi su rango di matrici, matrice inversa, applicazioni lineari.

          ULTIMI TUTORATI PRIMO SEMESTRE: CALENDARIO
          Ci sara' un tutorato finale mercoledi' 8/1 h 9-11, in aula Lagrange. In tale tutorato la tutrice ritirera' ancora i fogli rimasti da correggere, che saranno lasciati al centro stampa una volta corretti.
          Foglio 5: verra' restituito e discusso nel tutorato del 17/12.
          Foglio 6: e' da consegnare il 17/12, verra' restituito e discusso l'8/1.
          Foglio 7: puo' essere consegnato il 17/12 o l'8/1, verra' discusso l'8/1.
          Foglio 8: verra' assegnato giovedi' 19/12; e' da consegnare l'8/1 e verra' discusso l'8/1.

        • Argomento 11

          17/12, 14-16. Il determinante di una matrice cambia di segno scambiando due righe o due colonne. Sottomatrici, minori, complementi algebrici. Sviluppo di Laplace lungo una riga o lungo una colonna, esempi. Determinante di una matrice triangolare superiore. Calcolo del determinante tramite la riduzione di Gauss. Una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di un minore non nullo: enunciato ed esempio.

          18/12, 14-15. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di un minore non nullo: dimostrazione. Le rotazioni nel piano come applicazioni lineari, matrici associate. Significato geometrico del determinante nel piano: dati u,v in R2, il valore assoluto di det[u|v] e' pari all'area del parallelogramma di lati u e v; il segno di u e v dipende dall'angolo orientato da u a v. Basi positive e negative di R2. Area di un triangolo in R2. Caso di R3: volume di un parallelepipedo e di un prisma in termini di determinante (senza dimostrazione).

          18/12, 15-16. Esercizi.

        • Argomento 12

          7/1, 14-16. Prodotto vettoriale in R3: definizione geometrica e in coordinate. Proprieta' ed esempi. Prodotto misto di 3 vettori in R3. Proiezione ortogonale di un punto su un piano in R3. Esercizi sul prodotto vettoriale.

          8/1, 14-16. Esercizi di riepilogo. Esempi della matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a delle basi del dominio e del codominio, e dell'espressione in coordinate di un'applicazione lineare.

          FINE DEL PRIMO SEMESTRE

          • Argomento 13

            25/2, 9-11. La matrice di cambiamento di base in uno spazio vettoriale. Applicazioni lineari. 
            Una volta fissate due basi ogni applicazione lineare può essere rappresentata da una matrice. Calcolo esplicito della matrice associata ad un'applicazione lineare. 
            Esempi ed esercizi. 

            27/2, 9-11. La composizione di applicazioni lineari si traduce nel prodotto tra matrici. Descrizione della matrice associata ad un'applicazione lineare in relazione al cambiamento delle basi. Definizione di autovalore e autovattore di un'applicazione lineare. Glia autospazi di un'applicazione lineare sono in somma diretta.  

            4/3, 9-11. Calcolo degli autovalori di un'applicazione lineare. Il polinomio caratteristico. Il polinomio caratteristico di due matrici simili coincide. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. La molteplicità goemetrica è sempre minore della molteplicità algebrica. Esercizi sul calcolo di autovettori e autovalori di una matrice.  

          • Argomento 14

            6/3, 9-11. La matrice aggiunta di una matrice quadrata. Relazione tra la matrice aggiunta e matrice inversa. Il teorema di Caley-Hamilton (con dimostrazione). L'ideale dei polinomi che annullano una matrice. La definizione del polinomio minimo. Esempi ed esercizi. 

            11/3, 9-11. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno gli stessi autovalori. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo ha tutte le radici nel campo e hanno tutte molteplicità uno. Esercizi su autovalori e autovettori. 

          • Argomento 15

            13/3, 9-11. Geometria analitica nel piano reale: retta vettoriale (eq. parametriche e cartesiana), vettore direttore di una retta e vettore ortogonale. Retta affine  (eq. parametriche e cartesiana), vettore direttore di una retta e vettore ortogonale. Passaggio da eq. parametriche a eq. cartesiana e viceversa. Esercizi: Retta parallela ad una direzione e passante per un punto fissati, retta perpendicolare ad una direzione e passante per un punto fissati. Retta per due punti. Posizione reciproca delle rette nel piano. 

            18/3, 9-11. Distanza di un punto da una retta. Fasci di rette propri e impropri. Angoli tra due rette
            Geometria analitica nello spazio. Distanze tra du punti. Piani nello spazio: equazione parametrica e cartesiana di un piano nello spazio. Equazione del piano passante per tre punti non allineati. 

          • Argomento 16

            20/3, 9-11. Due esercizi (a richiesta) sulla diagonalizzazione delle matrici dipendenti da parametri. 
            L'equazioni parametriche e cartesiane della retta nello spazio. Posizione reciproca di due e tre piani nello spazio. Esercizi. 

            25/3, 9-11.  Posizione reciproca di tre piani, due rette, una retta e un piano nello spazio. Distanza di un punto da un piano e di un punto da una retta. Fasci di piani. Prodotti scalari. Spazi vettoriali Euclidei. Esempi. La nozione di norma e le sue proprietà in spazi vettoriali Euclidei. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. La nozione di angolo in uno spazio vettoriale Euclideo. Basi ortonormali.   

            27/3, 9-11. L'algoritmo di ortonormalizzazione di una base. Il complemento ortogonale: le principali proprietà. Esercizi sui prodotti scalari.  

          • Argomento 17

            1/4, 9-11. Trasformazioni ortogonali. Il gruppo delle matrici ortogonali. Esercizi sugli spazi vettoriali Euclidei e i complementi ortogonali. 

            3/4 9-11. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Il duale di uno spazio vettoriale finito dimensionale è isomorfo al suo spazio duale (ma non canonicamente isomorfo). La dualità indotta da un prodotto scalare. La definizione di applicazione aggiunta. La matrice dell'applicazione aggiunta rispetto ad una basa ortonormale. La definizione di spazio Hermitiano. La definizione di applicazione aggiunta in uno spazio Hermitiano.  

            8/4 9-11. L'applicazione aggiunta in uno spazio vettoriale Hermitiano: esistenza e unicità. La matrice associata dell'applicazione aggiunta per rispetto ad una base ortonormale. Applicazioni unitarie, Hermitiane e normali. Ogni matrice quadrata complessa è triangolabile. 

          • Argomento 18

            10/4 9-11. Triangolazione di una matrice complessa. Il teorema spettrale complesso e reale. Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. 

            15/4 9-10. Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici

            15/4 10-11. Introduzione alle forme bilineari. Forme simmetriche e antisimmetriche. Matrice associata ad una forma bilineare.  

            Giovedì 24 Aprile non ci sarà lezione.               

            29/04 9-11. Forme bilineari. Matrice associata ad una forma bilineare. Matrici congruenti. Forme bilineari simmetriche. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Polarizzazione: la forma quadratica determina la forma bilineare simmetrica. Spazi ortogonali. Esercizi.   


          • Argomento 19

            06/05 9-10. Sottospazi vettoriali ortogonali rispetto a una forma bilineare simmetrica. Esercizi.

            06/05 10-11. Il nucleo di una forma bilineare simmetrica. Il nucleo corrisponde all nullspace della matrice indotta. Forme bilineari non-degeneri. Lo spazio dei vettori isotropi. Alcuni esempi ed esercizi. 

            08/05 9-11. Forme quadratiche definite e semidefinite. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare per forme quadratiche definite positive. Forma canonica di una forma quadratica e forma normale. Algoritmi per scrivere una forma quadratica in forma canonica e in forma normale. 
            Esempi ed esercizi. 

          • Argomento 20

            13/05 9-11. Il teorema di Sylvester. Tecniche per ridurre una forma quadratica in form canonica. Lo spazio dei vettori isotropi è uno spazio vettoriale se e solo se la forma quadratica è semidefinita. La regola di Cartesio. Un esercizio di riepilogo.   

            15/05  9-10. Esercitazione sulla forma normale delle forme quadratiche
            15/05 10-11. Introduzione alle coniche. La definizione di conica. La forma canonica della circonferenza e dell'ellisse.  

            20/05  9-11. La forma canonica dell'iperbole e della parabola. La matrice completa e la matrice incompleta associata all'equazione di una conica. Riduzione a forma canonica tramite rototraslazioni. 
            Il metodo del completamento dei quadrati quando la matrice incompleta è diagonale.  

            • Argomento 21

              22/05  9-10. La dimostrazione del teorema di classificazione delle coniche. 
              22/05  10-11. Esercizi sulla riduzione a forma canonica delle coniche.  

              27/05  9-9.30. Proiezioni ortogonali: definizione e proprietà.
              27/05  9.30-11.00. Esercizi sulla riduzione a forma canonica delle coniche.  

              29/05  9.00-11.00. Esercizi di riepilogo. 

              FINE DEL CORSO

              • Argomento 22