Indice degli argomenti

  • Introduzione


    Geometria UNO - Corso A -

    A.A. 2013-14

    (Studenti A-O)



    DOCENTI: Prof. Alberto ALBANO -- Prof. Andrea MORI

    TUTORI:
    Danila COSTAMAGNA (I semestre) - Laura PERTUSI (II semestre)





    INFORMAZIONI GENERALI :
    • Il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Il corso è suddiviso tra primo e secondo semestre in due parti di 48 ore ciascuna. Nel I semestre il docente è A. Mori, nel II semestre il docente è A. Albano.
    ORARIO:
    • I semestre : MER 16-18 (Aula Magna), VEN 14-16 (Aula Magna)
    • II semestre: MAR 9-11 (Aula Magna), VEN 9-11 (Aula Magna)
    RICEVIMENTO DOCENTI:
    • Alberto ALBANO: (II semestre) Lunedì 16-18 (fino al 24 marzo) Lunedì 14 - 16 (dal 31 marzo).
    • Andrea MORI: (I semestre) Giovedì 11-13 (fino al 9/1/14). Ricevimento extra: MAR 14/1 ore 14-17, MER 15/1 ore 14-17, MER 22/1 ore 14/17, GIO 23/1 ore 14/17, MAR 28/1 ore 14/17, MER 29/1 ore 14/17.
    ARGOMENTO:
    Il corso è soprattutto un'introduzione all' Algebra Lineare e allo studio della geometria degli spazi lineari, con particolare riguardo al caso di dimensione finita.
    TESTI CONSIGLIATI:
    Il materiale presentato nel Corso è di carattere fondazionale ed è oggetto di innumeveroli libri di testo. Ciascuno di essi può essere utilizzato come supporto alla preparazione dell'esame congiuntamente con gli appunti delle lezioni. Si suggerisce vivamente la consultazione di più di un volume. Se ne da qui un breve elenco indicativo.
    • Abbena-Fino-Giannella "Algebra Lineare e Geometria Analitica, Vol 1", Aracne Ed.
    • Abbena-Fino-Giannella "Algebra Lineare e Geometria Analitica, Vol 2", Aracne Ed.
    • K. Anton e C. Rorres "Elementary Linear Algebra with Applications", Wiley.
    • S. Lang "Algebra Lineare", Boringhieri Ed.
    • S. Lang "Introduction to Linear Algebra", UTM, Springer
    • K. Nicholson "Algebra Lineare", McGraw-Hill
    • E. Sernesi "Geometria 1", Boringhieri Ed.

    TUTORATO:

    Per dar modo agli studenti di verificare i progressi del loro apprendimento verranno pubblicate periodicamente su questa pagina delle liste di problemi da risolvere a casa. Le soluzioni verranno raccolte da un Tutore che provvederà a correggerle (ma non a valutarle). Il Tutore procederà a tenere una correzione pubblica dei problemi proposti a cui tutti gli studenti interessati possono accedere.

    Orario TUTORATO

    • I semestre: Ogni 2 settimane a partire da Martedì 22 Otttobre, MAR 11-13 (Aula Lagrange). Tutorato straordinario: GIO 9/1 ore 9-11.
    • II semestre: Ogni 2 settimane il VEN 11-13 (Aula Magna), nei giorni:
      14 marzo, 28 marzo, 11 aprile, 9 maggio, 23 maggio, 6 giugno
       

    RECUPERO:

    Durante il secondo semestre si terranno degli incontri di recupero sugli argomenti del primo semestre, per permettere a chi non ha sostenuto con successo la prova intermedia di presentarsi meglio preparato agli appelli di giugno. Durante questi incontri verranno rivisti i concetti fondamentali e verranno svolti esercizi. Gli incontri sono aperti a tutti, ma sono fortemente consigliati solo a chi ha avuto difficoltà nel primo semestre.

    Orario RECUPERO

    II semestre: a partire da martedì 4 marzo: MAR 14-16, Aula C

    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale, entrambe obbligatorie, da sostenersi nel medesimo appello.
    • Si è ammessi alla prova orale ottenendo almeno 18 punti nella prova scritta.
    • Il non superamento di una prova orale comporta la necessità di sostenere nuovamente anche la prova scritta.
    • PROVE PARZIALI. E' possibile ottenere l'ammissione all'orale di giugno o di luglio anche superando due prove scritte parziali: la prima si terrà a metà corso, nell'intervallo tra I e II semestre, mentre della seconda se ne terranno due congiuntamente alle prove scritte degli appelli estivi.
    • Per essere ammessi alla seconda prova scritta parziale bisogna ottenere almeno 16 punti nella prima. Per essere ammessi all'orale mediante le prove scritte parziali bisogna ottenere almeno 16 punti nella seconda prova parziale con una media complessiva di almeno 18 punti tra le due prove parziali.
    • Se non si ottiene l'ammissione all'orale con la seconda prova scritta parziale di giugno, non sarà possibile sostenere la prova scritta parziale di luglio, ma si potrà sostenere la prova scritta generale.
    E' disponibile una prova di autovalutazione per la prima prova scritta parziale, in programma per il 6 Febbraio. Scarica. (26.1.14: Caricata versione con soluzioni)

    NUOVO ---> Scarica la Prova Parziale 1 (6.2.14) con soluzioni -- Versione 1 -- Versione 2 -- Versione 3


    PROVE SCRITTE ANNI PRECEDENTI:

    I testi integrali delle prove d'esame includono quasi tutti le soluzioni.
    (il riferimento all'anno è quello in cui si è svolta la prova)

    a.a. 2009-10 : scarica
    a.a. 2010-11 : scarica
    a.a. 2011-12 : scarica
    a.a. 2012-13 : scarica

    anno in corso
    - 28 giugno 2013 - Versione 1
    - 12 luglio 2013 - Versione 1
    - 16 gennaio 2014 -- con soluzioni
    - 6 Febbraio 2014 -- con soluzioni
    - 7 luglio 2014 -- senza soluzioni


  • Argomento 1

    Settimana 1

    2.10.2013: LEZIONE I
    Introduzione al corso.
    Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi compatibili ed incompatibli. Sistemi omogenei. Sistemi equivalenti. Trasformazioni di Gauss.
    Esempi.


    4.10.2013: LEZIONE II
    Matrici associate ad un sistea lineare. Trasformazioni di gauss in termini di matrici. Matrici ridotte e loro utilità. Teorema di riduzione in forma ridotta. Esempi.
    Somma di matrici e sue proprietà formali. Definizione di moltiplicazione di due matrici.


  • Argomento 2

    Settimana 2

    LEZIONE III - 9.10.2013
    Proprietà della moltiplicazione tra matrici. Trasposta di una matrice. Trasposizione e moltiplicazione.
    Forma matriciale di un sistema lineare. Motivazioni per la ricerca della matrice inversa.
    Relazione tra le soluzioni di un sistema compatibile e quelle del sistema omogeneo associato.


    LEZIONE IV -11.10.2013
    Struttura di spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema omogeneo.
    Definizione formale di spazio vettoriale.
    Sottospazi. Esempi.
  • Argomento 3

    Settimana 3

    LEZIONE V -- 16/10/2013
    Intersezione di sottospazi. L'unione insiemistica di sottospazi non è un sottospazio.
    Combinazioni lineari. Sottospazio generato da un insieme di vettori e sua caratterizzazione.
    Generatori di un sottospazio. Spazi vettoriali finitamente generati e non finitamente generati. L'esempio dei polinomi.


    LEZIONE VI -- 18/10/2013
    Spazio somma di due sottospazi. Somma diretta. Esempi.
    Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Relazione tra dipendenza lineare e combinazione lineari. Esempi.
    Definizione di base di uno spazio vettoriale.
  • Argomento 4

    Settimana 4


    LEZIONE VII -- 23/10/2013
    Esempi di basi: le basi standard. Esempio di base infinita (polinomi)
    Teorema di esistenza per le basi (caso f.g.).
    Unicità della scrittura di un vettore in termini di una base. Coordinate.
    Lemma di Steinitz. Equinumerosità delle basi (caso f.g.), il concetto di dimensione.


    LEZIONE VIII -- 25/10/2013
    Teorema di completamento dei una base. Esempi concreti.
    Un sottospazio di uno spazio finitamente generato è finitamente generato.
    Formula di Grassmann. Applicazione: lo spazio delle matrici quadrate è somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche.
  • Argomento 5

    Settimana 5


    LEZIONE IX -- 30/10/2013
    Lo spazio (piano, retta) euclideo come collezione di punti soddisfacenti regole assiomatiche.
    Segmenti orientati. Equipollenza.
    Vettori come classi di equipollenza.
    Struttura di spazio vettoriale sull'insieme dei vettori dello spazio (piano, retta) euclideo.

    • Argomento 6

      Settimana 6


      LEZIONE X -- 6/11/2013
      Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici nello spazio (piano, retta) euclideo ha dimensione 3 (2, 1).
      Dipendenza lineare come equivalente algebrico di parallelismo e complanarità.
      Prodotto scalare di vettori. Perpendicolarità. Proiezioni ortogonali. Angolo tra vettori.
      Calcoli in coordinate. Basi ortonomali.


      LEZIONE XI -- 8/11/2013
      Basi ortonormali positive e negative. Coseni direttori.
      Prodotto vettoriale.Parallelismo e altre proprietà.
      Calcolo in coordinate.
    • Argomento 7

      Settimana 7


      LEZIONE XII -- 13/11/2013
      Funzioni tra insiemi, riepilogo (funzioni iniettive, suriettive, eccetera)
      Funzioni a valori in spazi vettoriali
      Funzioni notevoli tra spazi vettoriali, le traslazioni.
      Funzioni lineari. Primi esempi


      LEZIONE XIII -- 15/11/2013
      Funzioni lineari, esempi.
      Determinazione di una funzione lineare dai valoriassuntisu una base. Unicità.
      Matrice associata ad una funzione lineare.

      Modifica introduzione
    • Argomento 8

      Settimana 8


      LEZIONE XIV -- 20/11/2013
      Riduzione del calcolo di una funzione lineare alla moltiplicazione per la matrice associata.
      Corrispondenza tra trasformazioni e matrici e loro operazioni: somma/somma, composizione/prodotto. Esempi.
      Nucleo di una funzione lineare.


      LEZIONE XV -- 22/11/2013
      Il nucleo di una funzione lineare è banale se e soltanto se la funzione è iniettiva.
      Sottospazio immagine di una funzione lineare.
      dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f)).
      Esempi e conseguenze immediate.
      Modifica introduzione
    • Argomento 9

      Settimana 9

      LEZIONE XVI -- 27/11/2013
      Due spazi della stessa dimensione (finita) sono isomorfi.
      Forme lineari e lo spazio duale.
      Base duale, dim V*=dim V.
      La funzione trasposta di una funzione lineare.

      LEZIONE XVII -- 29/11/2013
      La matrice associata a F* è la trasposta della matrice associata ad F.
      Esempi di forme lineari notevoli sullo spazio dei polinomi di grado limitato.
    • Argomento 10

      Settimana 10

      LEZIONE XVIII -- 4/12/2013
      Ortogonale di un sottospazio.
      Complementarità delle dimensioni di un sottospazio e del suo ortogonale.
      L'ortrogonale del nucleo di una funzione è l'immagine della funzione.


      LEZIONE XIX -- 6/12/2013
      Rango di una matrice. Rango per righe uguale al rango per colonne.
      Teorema di Rouchè-Capelli.
      Esempi.
      Modifica introduzione

      Modifica introduzione
    • Argomento 11

      Settimana 11

      LEZIONE XX -- 11/12/2013
      Richiami sulle permutazioni, segno di una permutazione.
      Definizione di determinante di una matrice quadrata.
      Prime proprietà dei determinanti

      LEZIONE XXI -- 13/12/2013
      Ulteriori proprietà dei determinanti.
      Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante.
      Teorema di Binet (senza dimostrazione)
      Cofattori. Sviluppo di Laplace.
    • Argomento 12

      Settimana 12

      LEZIONE XXII-- 18/12/2013
      Determinante di Vandermonde.
      Una matrice quadrato ha determinante non nullo se e soltanto se il suo rango è massimo.
      Calcolo della matrice inversa secondo Gauss-Jordan


      LEZIONE XXIII -- 20/12/2013
      Esercizi di ricapitolazione.
    • Argomento 13

      Settimana 13


      LEZIONE XXIV -- 8/1/2014
      Esercizi di ricapitolazione.
      • Argomento 14

        INIZIO SECONDO SEMESTRE




        Settimana 14


        LEZIONE 25 — 25/02/2014

        Matrici e applicazioni lineari. La matrice di un'applicazione lineare f : V → W fissate le basi in V e in W. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici.

        La matrice del cambiamento di base. Come cambia la matrice di un'applicazione lineare al cambiare delle basi.

        Matrice di un endomorfismo f : V → V (usando la stessa base in partenza e in arrivo). Matrici simili. Le matrici di un endomorfismo fissato (al variare della base) sono tutte simili fra loro.




        LEZIONE 26 — 28/02/2014

        La similitudine fra matrici è una relazione di equivalenza.

        Definizione di endomorfismo diagonalizzabile e di matrice diagonalizzabile. Proprietà dei vettori di una base in cui la matrice di un endomorfismo è diagonale.

        Definizione di autovalori e autovettori. Esempi: rotazioni nel piano euclideo.

        Il polinomio caratteristico di una matrice. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico (e quindi la loro esistenza dipende dal campo degli scalari).

        Esempi: matrice reale con autovalori complessi; endomorfismo che possiede tutti gli autovalori ma non è diagonalizzabile (su nessun campo).

        Definizione di autospazio.

        Teorema: Un autospazio è un sottospazio vettoriale.

        Teorema: il polinomio caratteristico dipende solo dall'endomorfismo o, equivalentemente, tutte le matrici che rappresentano un endomorfismo hanno lo stesso polinomio caratteristico.

        Definizione di molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
      • Argomento 15

        Settimana 15


        LEZIONE 27 — 04/03/2014


        Teorema: La somma di autospazi è diretta.

        Criteri di diagonalizzazione: varie condizioni equivalenti all'esistenza di una base di autovettori, espresse in termini degli autovalori e degli autospazi.

        Teorema: Per un autovalore λ valgono le diseguaglianze

        1 ≤ molt_geom(λ) ≤ molt_alg(λ)



        Corollario: Un endomorfismo f : V V è diagonalizzabile se e solo se

        1. molt_alg(λ1) + molt_alg(λ2) + ... + molt_alg(λk) = dim V
        2. per i = 1, ..., k si ha molt_geom(λi) = molt_alg(λi)

        Esercizi sulla diagonalizzazione: calcolo di autovalori, autovettori, autospazi e matrici di passaggio.



        LEZIONE 28 — 07/03/2014


        Polinomi e matrici: significato di p(A). L'insieme dei polinomi che si annullano su una matrice A è un ideale IA non nullo di K[t].

        Definizione di polinomio minimo della matrice A come il generatore monico di IA.

        L'aggiunta di una matrice e le regole di Laplace sullo sviluppo dei determinanti.

        Il Teorema di Cayley-Hamilton: il polinomio caratteristico cA(t) della matrice A appartiene all'ideale IA, cioè si annulla sulla matrice: cA(A) = 0.
      • Argomento 16

        Settimana 16


        LEZIONE 29 — 11/03/2014


        Teorema: α è una radice del polinomio minimo se e solo se α è un autovalore.

        Rapporto fra polinomio minimo e polinomio caratteristico. Decomposizione su un campo algebricamente chiuso.

        Teorema: Una matrice è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo si decompone in fattori distinti di primo grado.

        Esercizi su autovalori e autovettori.


        LEZIONE 30 — 14/03/2014


        Geometria analitica del piano. Descrizione di luoghi geometrici: il punto di vista cartesiano e il punto di vista parametrico.
        Coordinate cartesiane e coordinate polari. L'equazione della circonferenza.


        Rette nel piano: equazioni cartesiane e parametriche.
        La retta per un punto e parallela ad un vettore.
        La retta per un punto e perpendicolare ad un vettore.


        Fasci di rette: famiglie dipendenti linearmente da un parametro.
        L'insieme delle direzioni nel piano come insieme quoziente: le direzioni nel piano sono in corrispondenza biunivoca naturale con i punti di una circonferenza.


      • Argomento 17

        Settimana 17


        LEZIONE 31 — 18/03/2014


        Geometria analitica dello spazio.

        Piani nello spazio: equazioni cartesiane e parametriche.
        Il piano per un punto e parallelo a due vettori.
        Il piano per un punto e perpendicolare ad un vettore.


        Rette nello spazio: equazioni cartesiane e parametriche.
        Fasci di piani.


        La posizione reciproca di rette e piani nello spazio. Rette sghembe.


        LEZIONE 32 — 21/03/2014


        Esercizi di geometria analitica.

        Distanza punto-retta nel piano e nello spazio.
        Distanza punto-piano nello spazio.


      • Argomento 18

        Settimana 18


        LEZIONE 33 — 25/03/2014


        Prodotti scalari. Spazi vettoriali Euclidei.

        Esempi:
        1. il prodotto scalare standard su Rn
        2. il prodotto scalare sullo spazio dei polinomi dato tramite integrazione
        3. il prodotto scalare sullo spazio delle matrici: A∙B = tr(tAB)

        La nozione di norma e le sue proprietà in spazi vettoriali Euclidei.
        Il teorema di Pitagora, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la disuguaglianza triangolare (o di Minkowski).


        La nozione di angolo in uno spazio vettoriale Euclideo.


        LEZIONE 34 — 28/03/2014


        Perpendicolarità e parallelismo in uno spazio vettoriale Euclideo.

        Basi ortonormali. Il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

        Ortogonale di un vettore e di un sottospazio. Complementi ortogonali.


      • Argomento 19

        Settimana 19


        LEZIONE 35 — 01/04/2014


        Esercizi su prodotti scalari, ortogonale di un sottospazio, metodo di Gram-Schmidt.

        Matrici ortogonali: definizione e proprietà.
        Relazione fra matrici ortogonali e basi ortonormali.
        Il determinante di una matrice ortogonale.



        LEZIONE 36 — 04/04/2014


        Isomorfismo canonico fra uno spazio vettoriale euclideo e il suo duale.

        Aggiunta euclidea di un endomorfismo.

        Prodotti Hermitiani: definizione, esempi.


      • Argomento 20

        Settimana 20


        LEZIONE 37 — 08/04/2014


        Aggiunta Hermitiana di un endomorfismo di uno spazio vettoriale complesso.

        Matrici ed endomorfismi notevoli: definizione di endomorfismo Hermitiano (o autoaggiunto), unitario, normale.

        La decomposizione di Schur: enunciato e dimostrazione della triangolarizzazione di matrici complesse.


        LEZIONE 38 — 11/04/2014


        Decomposizione di Schur: diagonalizzazione di endomorfismi normali.

        Autovalori di matrici Hermitiane.
        Diagonalizzazione di matrici simmetriche reali.


        Esercizi su Gram-Schmidt e aggiunte.


        • Argomento 21

          Settimana 21


          LEZIONE 39 — 15/04/2014


          Esercizi su prodotti scalari, prodotti hermitiani, Gram-Schmidt.






          • Argomento 22

            Settimana 22


            NON C'È LEZIONE: VACANZE DI PASQUA
            • Argomento 23

              Settimana 23


              LEZIONE 40 — 29/04/2014


              Forme bilineari reali: definizione, esempi su Rn.
              Le forme bilineari su uno spazio fissato V sono uno spazio vettoriale.
              Ogni forma bilineare è la somma di una forma simmetrica e una forma antisimmetrica.


              Matrice associata ad una forma bilineare, scrittura in componenti:
              φ(x, y) = tX A Y

              Lo spazio vettoriale delle forme bilineari su uno spazio di dimensione n ha dimensione n2


              Cambiamenti di base: se P è la matrice del cambiamento di base, la matrice A di una foma bilineare cambia in A' = tP A P
              Il determinante della matrice di una forma bilineare dipende solo dalla forma bilineare a meno di un elemento non nullo dei quadrati del campo.


              Il gruppo moltiplicativo K* e il suo sottogruppo dei quadrati (K*)2.
              Il determinante della matrice di una forma bilineare determina un elemento nel gruppo quoziente K*/(K*)2.
              Esempi: C*/(C*)2 = {1} (il gruppo banale)
              R*/(R*)2 = {1, -1} (il gruppo con due elementi).
              Q*/(Q*)2 = un gruppo (infinito) piuttosto complicato


              Forme quadratiche: definizione.


              02/05/2014 - NON C'È LEZIONE

            • Argomento 24

              Settimana 24


              LEZIONE 41 — 06/05/2014


              Forme quadratiche e forme bilineari: identità di polarizzazione.

              Nucleo di una forma bilineare (quadratica) e vettori isotropi.

              Rango di una forma quadratica.


              LEZIONE 42 — 09/05/2014


              Forma canonica di una forma quadratica. Forme definite, semidefinite e indefinite.

              Esistenza di una forma canonica mediante la diagonalizzazione di matrici simmetriche.
              Non unicità della forma canonica.
              Forma normale di una forma quadratica.


              Invarianza del rango.
              Unicità della forma normale: teorema di Sylvester.


              • Argomento 25

                Settimana 25


                LEZIONE 43 — 13/05/2014


                Dimostrazione del teorema di Sylvester.
                Definizione di segnatura di una forma quadratica.
                Regola dei segni di Cartesio.
                Completamento dei quadrati e teorema di Gauss-Lagrange.


                Esercizi sulle forme quadratiche: riduzione a forma canonica e normale mediante il completamento dei quadrati e la regola di Cartesio.


                LEZIONE 44 — 16/05/2014

                Definizione di coniche come luoghi geometrici.

                Equazioni di ellisse, iperbole, parabola in forma canonica.

                Caratteristiche geometriche: fuochi, vertici, assi, asintoti.







              • Argomento 26

                Settimana 26


                LEZIONE 45 — 20/05/2014

                Le coniche come sezioni piane di un cono.

                Le coniche come luoghi di zeri di polinomi di secondo grado.

                Riduzione a forma canonica: la rotazione per allineare gli assi della conica agli assi coordinati.

                 
                 


                LEZIONE 46 — 23/05/2014


                Riduzione a forma canonica di una conica: la traslazione per portare il centro nell'origine.

                Coniche degeneri.

                RIconoscere il tipo di una conica dal rango, determinante e traccia delle matrici A e B associate alla conica.

                 




                • Argomento 27

                  Settimana 27


                  LEZIONE 47 — 27/05/2014

                  Esercizi sulle coniche: riconoscere una conica, riduzione a forma canonica, fasci di coniche.


                   


                  30/05/2014 - NON C'È LEZIONE

                  • Argomento 28

                    Settimana 28


                    LEZIONE 48 — 03/06/2014


                    Esercizi di preparazione allo scritto d'esame.

                    Svolgimento di esercizi tratti da prove d'esame degli anni precedenti.




                    FINE DEL CORSO