Indice degli argomenti

  • Introduzione


    Geometria Superiore

    A.A. 2013-14




    DOCENTI: Prof. Alberto ALBANO -- Prof. Cristiana BERTOLIN



    INFORMAZIONI GENERALI :
    • Il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • C'è anche la possibilità di sostenere l'esame per soli 6 crediti. Il programma per l'esame da 6 crediti è formato di punti 1. e 2. degli argomenti del corso.

    ORARIO:

    • II semestre: LUN 14-16 (Aula 1), MAR 16-18 (Aula 1), MER 11-13 (Aula 5)



    RICEVIMENTO DOCENTI:
    • Alberto ALBANO: su appuntamento, chiedere a lezione
    • Cristiana BERTOLIN: su appuntamento, chiedere a lezione

    ARGOMENTI:

    1. Geometria delle varietà differenziabili
      1.  
      • Coomologia di deRham e coomologia a supporto compatto
      • Applicazioni: dualità di Poincaré, formula di Künneth
      • Teoria di Morse
      • Il lemma di Sard
         
    2. Fondamenti di teoria delle varietà complesse
      1.  
      • Varietà analitiche e complesse
      • Struttura locale delle varietà analitiche
      • Fasci e coomologia di Cech
      • Teoremi di deRham e Dolbeault
    3. Algebra omologica
      • Limiti e colimiti in una categoria
      • Funtori derivati
      • Estensioni ed Exti, torsori ed Hi
      • Categorie derivate
         
         
       

    TESTI CONSIGLIATI:.
      1. R. Bott - L. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer
      2. J. Milnor - Morse Theory, Princeton University Press
      3. P. Griffiths - J. Harris - Principles of Algebraic Geometry, Wiley
      4. S. Mac Lane - Categories for the working mathematician,
        Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5. Springer-Verlag, New York-Berlin.
      5. C. Weibel - Introduction to homological algebra, Cambridge University Press, Cambridge.

    ESAMI:
    • L'esame consiste in una prova orale.
    • All'orale potrà essere chiesto lo svolgimento di uno degli esercizi nei fogli qui sotto. Ci sono tre fogli di esercizi, uno per ogni parte del corso


       

  • Argomento 1

    Settimana 1


    LEZIONE 1 — 24/02/2014


    Introduzione al corso.

    Il complesso di forme differenziali su Rn. Forme chiuse e forme esatte. Definizione di coomologia di deRham.
    Forme differenziali a suppporto compatto. Coomologia di deRham a supporto compatto.
    Esempi di calcolo:H*DR(R), H*c(R).



    LEZIONE 2 — 25/02/2014


    Esempio di coomologia non banale: H1DR(R2 - {O}) ha dimensione almeno 1.
    Pullback di forme. Il pullback commuta con la derivazione esterna. Il complesso di forme e la coomologia di deRham come funtore. Estensione della coomologia di deRham alle varietà differenziabili.
    Partizione dell'unità (richiami).
    Successione di Mayer-Vietoris per la coomologia di deRham: successione esatta di complessi e successione esatta lunga di coomologia.
    Esempi: la coomologia della circonferenza S1.


    Il file "paracompattezza" è parte di una serie di note scritte da Brian Conrad su argomenti di geometria differenziale. Visitate il suo sito
    Brian Conrad
    per molto altro materiale interessante (e piuttosto avanzato) di geometria algebrica e teoria dei numeri.




    LEZIONE 3 — 26/02/2014


    La mappa cobordo della successione di Mayer-Vietoris. Coomologia della circonferenza: un generatore per H1.
    Coomologia a supporto compatto come funtore covariante per le inclusioni aperte.
    La successione di Mayer-Vietoris per la coomologia a suppporto compatto.
    Calcolo della coomologia di Rn: il lemma di Poincaré.
    Invarianza omotopica della coomologia di deRham.



  • Argomento 2

    Settimana 2


    LEZIONE 4 — 03/03/2014


    Coomologia delle sfere.

    Il lemma di Poincaré per la coomologia a supporto compatto. La coomologia a supporto compatto non è invariante per omotopia. Generatori espliciti della coomologia a supporto compatto di Rn.
    Discussione generale sulle teorie omologiche: leggere l'articolo di Eilenberg-Steenrod sulla presentazione assiomatica di una teoria omologica.
    Lemma: una mappa (continua) propria f : RnRn ha immagine chiusa.
    Dimostrazione: per esercizio.
    Leggere l'articolo di Palais per approfondimenti di natura topologica.

    Il teorema di Sard: enunciato e discussione del significato.

    Il grado di una mappa propria f : RnRn Definizione e dimostrazione del fatto che è un numero intero.



    LEZIONE 5 — 04/03/2014


    Buon ricoprimento di una varietà. Esistenza di un buon ricoprimento.
    Conseguenze della successione di Mayer-Vietoris per le varietà con un buon ricoprimento finito: la coomologia di deRham ha dimensione finita, la coomologia a supporto compatto ha dimensione finita.
    Dualità di Poincaré: per una varietà M di tipo finito HpDR(M) è isomorfo a Hn-pc(M).




    LEZIONE 6 — 05/03/2014


    Prodotti tensoriali di moduli su anelli commutativi: definizione tramite proprietà universale.
    Prodotto tensoriale di due omomorfismi. Proprietà di (non) esattezza del prodotto tensoriale. Cenni sulla costruzione del prodotto tensoriale.
    La formula di Künneth per la coomologia di deRham.
    Il teorema di deRham: enunciato e commenti.



    Nota:

    - il file Dispense di Algebra comprende parte delle dispense scritte da me per il corso di Istituzioni di Algebra di alcuni anni fa. Contiene le definizioni fondamentali sui prodotti tensoriali e la forma generale della dualità fra prodotto tensoriale e Hom.

    - Il file Fulton-Harris è l'appendice B del libro Fulton - Harris, Representation theory, GTM 129, Springer.
    Le sezioni B1 e B2 dicono tutto quello che c'è da sapere su prodotti tensoriali, esterni, simmetrici.
    La sezione B3 spiega dualità e contrazioni (cioè “alzare e abbassare gli indici”, in un linguaggio fisico-matematico classico).
    Il lettore scrupoloso leggerà B1 e B2 e farà l'esercizio B.9.
    Il lettore molto motivato leggerà anche B3 e farà i relativi esercizi.
    Il lettore interessato alla teoria delle rappresentazioni leggerà l'intero libro.

    - Fare gli esercizi sulla coomologia di deRham.
  • Argomento 3

    Settimana 3


    10 marzo 2014: LEZIONE 7

    Introduzione alla teoria di Morse: esempio del toro.

    Omotopia e attaccamento di celle.

    Punti critici, definizione dell'Hessiano, punti critici non degeneri.

    Il lemma di Morse.


    11 marzo 2014: LEZIONE 8


    Gruppi a un parametro di diffeomorfismi: teorema di esistenza di un gruppo generato da un campo vettoriale a supporto compatto.

    Primo teorema: se fra a e b,
    a < b non ci sono valori critici, Ma e Mb sono diffeomorfe e Ma è un retratto di deformazione di Mb.

    Secondo teorema: al passare di un valore critico il tipo d'omotopia cambia attaccando una cella di dimensione pari all'indice del punto critico. Strategia della dimostrazione.
    • Argomento 4

      Settimana 4


      17 marzo 2014: LEZIONE 9

      Il secondo teorema della teoria di Morse: al passare di un valore critico, il tipo d'omotopia cambia ataccando una cella di dimensione uguale all'indice del punto critico: dimostrazione completa.

      Esempi: decomposizione di sfere e degli spazi proiettivi complessi mediante funzioni di Morse.



      18 marzo 2014: LEZIONE 10

      Il teorema di Sard: enunciato e dimostrazione completa.

      Complementi sul teorema di Fubini.
      • Argomento 5

        Settimana 5


        24 marzo 2014: LEZIONE 11

        CW-complessi: definizione e prime proprietà topologiche. Sottocomplessi.

        Good pairs di spazi topologici. Se A è un sottocomplesso di X, allora (X, A) è un good pair.

        Omologia (singolare) relativa: definzione e successione esatta di una coppia e di una terna di spazi. Omologia ridotta.

        Teorema: l'omologia relativa di un good pair
        (X, A) è isomorfa all'omologia ridotta dello spazio quoziente X/A.




        25 marzo 2014: LEZIONE 12

        Omologia cellulare: definizione del complesso cellulare, dell'omologia cellulare e dell'isomorfismo dell'omologia cellulare con l'omologia singolare (per un CW-complesso).

        Calcolo dell'omologia di CPn e
        RPn.

        Gruppi di omotopia superiore (cenni). Commutatività dei gruppi di omotopia superiore. La successione esatta lunga di una fibrazione.

        Il teorema di Whitehead: se X,Y sono CW-complessi e f : X --> Y induce isomorfismi fra tutti i gruppi di omotopia allora X e Y sono omotopicamente equivalenti.

        Controesempio: spazi che hanno tutti i gruppi di omotopia isomorfi ma non sono omotopicamente equivalenti perché la coomologia di deRham è diversa:
        X = RP2 x S3, Y = S2 x RP3



        • Argomento 6

          Settimana 6

          31 marzo 2014: LEZIONE 13

          Definizione di funzione olomorfa e di funzione analitica in una variabile. Teorema della formula di Cauchy (con dimostrazione). Lemma di del-bar-Poincare (con dimostrazione). Definizione di funzione olomorfa e funzione analitica in più variabili. f è olomorfa se e solo se f è analitica : dimostrazione del fatto che olomorfa implica analitica nel caso di due variabili.

          1 aprile 2014: LEZIONE 14

          Teorema di Weierstrass con dimostrazione. Definizione degli anelli On,z delle funzioni olomorfe definite in un intorno del punto z di Cn . Dimostrazione delle seguenti proprietà dell'anello On,0: è un anello locale ed è UFD.

          2 aprile 2014: LEZIONE 15

          Definizione di varietà analitica con qualche proprietà. Definizione di varietà complessa. Esempio: lo spazio proiettivo. Spazi tangenti reali, complessi, olomorfi ed anti-olomorfi. f olomorfa se e so se f* preserva lo spazio tangente olomorfo. Definizione di Jacobiano di f. Orientamento delle varietà complesse. Versione olomorfa del Teorema della funzione inversa (con dimostrazione). Versione olomorfa del Teorema della funzione implicita (con dimostrazione).
          • Argomento 7

            Settimana 7


            7 aprile 2014: LEZIONE 16

            Definizione di categoria. Esempi: categoria Ab dei gruppi abeliani, categoria Vec(k) degli spazi vettoriali di dimensione finita sul campo k, categoria Mod(R) degli R-moduli con R anello. Definizione di funtore. Esempio: il funtore GLn . Definizione di trasformazione naturale. Esempio: il determinante. Definizione di 2-categoria. Definizione di categoria opposta. Definizione di funtori co-varianti e contra-varianti. Esempi: i pre-fasci e i fasci.


            8 aprile 2014: LEZIONE 17

            Definizione di freccia universale da un oggetto verso un funtore e di freccia universale da un funtore verso un oggetto. Esempi: colimiti (o limite induttivo o limite diretto), limiti (o limite proiettivo o limite inverso). Esempio di limite: ugualizzatore di due freccie, in particolare il nucleo. Definizione di morfismo di prefasci e di fasci. Definizione di isomorfismo di fasci. Definizione di spiga Fp di un fascio in un punto P.

            9 aprile 2014: LEZIONE 18

            F -->G isomorfismo di fasci se e solo se Fp -->Gp isomorfismo per ogni P di X. Definizione di prefascio nucleo Kernel e di prefascio immagine Im. Il prefascio Kernel è un fascio. Definizione di fascio associato ad un prefascio. Definizione di morfismo iniettivo / suriettivo di fasci. Condizioni equivalenti per l'iniettività e la suriettività. Defizione di sequenza esatta di fasci. Esempi. Estensione a zero di un fascio.
            • Argomento 8

              Settimana 8

              14 aprile 2014: LEZIONE 19

              Definizione del p-esimo gruppo di coomologia di Cech di un fascio. Teorema di Leray (dimostrazione del caso p=1).

              15 aprile 2014: LEZIONE 20

              Ogni sequenza esatta corta di fasci induce una sequenza esatta lunga dei corrispondenti gruppi di coomologia di Cech. Definizione di fasci di anelli. Definizione di fascio fine. I fasci fini sono aciclici (con dimostrazione del caso p=1). Teorema di de Rham (con dimostrazione).

              16 aprile 2014: LEZIONE 21

              Definizione di forma del tipo (p,q). Definizione di forma del tipo (p,0) olomorfa. Definizione dei gruppi di coomologia di Dolbeault. Lemma di del-bar-Poincare in più variabili (senza dimostrazione). Teorema di Dolbeault.
              • Argomento 9

                Settimana 9

                29 aprile 2014: LEZIONE 23

                Conseguenze del teorema di Dolbeault. Nozioni di funtore pieno, fedele e pienamente fedele.
                Funtori aggiunti. Categoria additiva e funtore additivo.

                30 aprile 2014: LEZIONE 24

                Nozione di nucleo e conucleo per freccie di una categoria. Categoria abeliana. Funtori esatti. Esempi. L'aggiunto sinistro è esatto a destra e l'aggiunto destro è esatto a sinistra (dimostrato). Citato i segenti lemmi: il lemma dei 5 (versione semplificata), il lemma dei 5 ed il lemma del serpente.
                • Argomento 10

                  Settimana 10

                  5 maggio 2014: LEZIONE 25

                  Complesso di (co)-catene, gruppi di (co)-omologia, quasi-isomorfismi, traslato di un complesso, bicomplesso, omotopia, morfismi omotopi a 0, morfismi omnotopi. Se f* è omotopo a 0 allora H*(f)=0. Se f* e g* sono omotopi, allora
                  H*(f)=H*(g). Del-funtore (co)-omologico. Esempi. Modulo proiettivo. Caratterizzazione dei moduli proiettivi. Risoluzione sinistra, risoluzione proiettiva.

                  6 maggio 2014: LEZIONE 26

                  In una categoria con abbastanza proiettivi, ogni oggetto ammette una risoluzione proiettiva.Due risoluzioni proiettive sono omotopicamente equivalenti. Modulo iniettivo. Caratterizzazione dei moduli iniettivi. Risoluzione destra, risoluzione iniettiva. Relazione tra funtori aggiunti, iniettivi e proiettivi.

                  7 maggio 2014: LEZIONE 27

                  Funtori derivati sinistri LnF. F-aciclicità dei proiettivi. Gli LnF sono additivi e formano un del-funtore
                  omologico. Funtori derivati destri R
                  nF.


                  • Argomento 11

                    Settimana 11

                    12 maggio 2014: LEZIONE 28

                    Gli ExtiR(A,-) ed i TorRn(A,-) con R anello. Teorema:
                    TorRn(A,B)=Hn(Tot(P* otimesR Q*)) con P*,Q* risoluzioni proiettive di A ed B (dimostrato). Teorema: ExtiR(A,B)=Hn(Tot(HomR(I*,J*))) con I*,J* risoluzioni iniettive di A ed B (senza dimostrazione). Esempi. La categoria delle estensioni di A per B, Ext(A,B). La somma di Baer di due estensioni.

                    13 maggio 2014: LEZIONE 29

                    Pull-back e push-down di estensioni. La somma di Baer di due estensioni. Teorema: le classi d'isomorfismo di estensioni di A per B formano un gruppo abeliano isomorfo a Ext1(A,B).

                    14 maggio 2014: LEZIONE 30

                    I funtori derivati destri Ri Gamma(X,-)=Hi(X,-). La categoria dei G-torsori, Tors(G). Il prodotto contratto di due torsori.
                    • Argomento 12

                      Settimana 12

                      19 maggio 2014: LEZIONE 31

                      Teorema: le classi d'isomorfismo di G-torsori formano un gruppo abeliano isomorfo a H^1(G).


                      20 maggio 2014: LEZIONE 32

                      Categoria triangolata, funtore triangolato, funtore coomologico. Lemma: gli Hom(W,-) e Hom(-,W) sono funtori coomologici. Categoria omotopica. Mapping cone. Triangoli distinti della categoria omotopica.

                      21 maggio 2014: LEZIONE 33

                      Lemma: H0 è un funtore coomologico. Sistema moltiplicativo. Localizzazione di una categoria.

                      • Argomento 13

                        Settimana 13

                        26 maggio 2014: LEZIONE 34

                        Localizzazione di una categoria triangolata. Categoria Derivata.

                        27 maggio 2014: LEZIONE 35

                        Funtori derivati nelle categorie derivate.

                        28 maggio 2014: LEZIONE 36

                        Fibrati olomorfi e divisori.
                        • Argomento 14

                          • Argomento 15