Attività settimanale

  • Introduzione

    Geometria 1 - 2014/15

    Laurea Triennale in Matematica, primo anno, 96 ore, 12 crediti.
    Il corso e' annuale e si tiene meta' al I semestre, meta' al II semestre.
    Orario I semestre: mer 14-16 aula A, ven 16-17 aula A (teoria). Esercitazioni: ven 17-18 in: aula A il corso A (cognomi A-M), aula 4 il corso B (cognomi N-Z).

    Docenti:
    Prof. Cinzia Casagrande (teoria)
    Esercitazioni I semestre, corso A: Prof. Federica Galluzzi   
    Esercitazioni I semestre, corso B: Prof. Margherita Roggero
    Esercitazioni II semestre, corso A: Prof. Cristiana Bertolin
    Esercitazioni II semestre, corso B: Prof. Andrea Mori

    Testi consigliati:
    Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 1994.
    Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.
    Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer 1986.
    Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).
    In linea generale ogni volume di Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

    Ricevimento studenti, I semestre
    C. Casagrande:  martedi' 10-11 (nello studio del docente), oppure su appuntamento.
    F.Galluzzi: lunedi' 11-12  oppure su appuntamento.
    M. Roggero: giovedi' 11-12 o su appuntamento

    Tutorato:
    Per dare modo agli studenti di verificare i progressi del loro apprendimento, verranno pubblicati periodicamente su questa pagina dei fogli di problemi da risolvere a casa. Le soluzioni verranno raccolte da un tutore, che provvedera' a correggerle (ma non a valutarle). Il tutore procedera' a tenere una discussione/correzione in classe dei problemi proposti. Lo svolgimento di questi esercizi e' parte integrante del corso.
    Tutori: Federico Roccati (primo semestre), Francesco Cattafi (secondo semestre).
    Orario tutorato I semestre:
    aula Lagrange, ogni due settimane, a partire da martedi' 14/10
    Martedi' 11-12: cognomi A-L
    Martedi' 12-13: cognomi M-Z
    Calendario:
    mar 14/10 consegna foglio 1, discussione foglio 0
    mar 28/10 consegna foglio 2, discussione foglio 1
    mar 11/11 consegna foglio 3, discussione foglio 2
    mar 25/11 consegna foglio 4, discussione foglio 3
    mar 9/12 consegna foglio 5, discussione foglio 4
    mer 17/12 (al solito 11-12 A-L, 12-13 M-Z aula Lagrange) consegna foglio 6, discussione foglio 5
    mar 13/1 ultimo tutorato a corsi riuniti in aula C (di fianco all'aula A): discussione foglio 6 e foglio 7
       

    Prove scritte anni precedenti (alcune con soluzioni): vedi la cartella TEMI D'ESAME. Le prove scritte sono da svolgersi in 3 ore, le prove di esonero sono da svolgersi in 2 ore.

    Esame
    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    Prove parziali
    : e' possibile essere ammessi all'orale anche superando due prove scritte parziali. La prima prova scritta parziale si terra' nell'appello di gennaio, in contemporanea con l'esame scritto. La seconda prova parziale si terra' negli appelli di giugno e luglio (in contemporanea con gli scritti) e si puo' sostenere una volta sola (o a giugno o a luglio). Per accedere alla prova orale tramite le prove parziali, bisogna aver ottenuto un punteggio di almeno 16/30 in entrambe le prove, e aver raggiunto la media di almeno 18/30. La prova orale deve essere sostenuta a giugno o a luglio. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. Le prove parziali sono aperte anche a studenti degli anni precedenti, ma in un appello in cui si sostiene una prova parziale, non si puo' sostenere anche l'esame scritto.
    Studenti degli anni precedenti
    nell'a.a. 14/15 il corso e' unico, non e' piu' diviso in corsi A e B; l'iscrizione all'esame e' quindi la stessa per tutti.
    Integrazioni
     (per studenti iscritti al corso di laurea, a cui sia stata ufficialmente riconosciuta una parte dell'esame): se uno studente deve sostenere un'integrazione di Geometria 1, deve contattare il docente per concordare il programma dell'integrazione e le modalita' di esame (che si svolgera' durante uno degli appelli d'esame). Nel caso l'esame preveda la prova scritta, lo studente deve avvisare il docente almeno due settimane prima della data della prova, in modo tale che il docente possa preparare una prova scritta apposita.
    Si invitano gli studenti a non iscriversi ad uno scritto nel caso sappiano gia' che non si presenteranno, e a cancellare l'iscrizione nel caso cambino idea riguardo allo scritto. Questo per evitare sprechi: la prenotazione delle aule e la preparazione dei testi viene fatta in base al numero totale degli iscritti. 

  • 29 settembre - 5 ottobre

    Mer 1/10, 14-16: introduzione al corso, informazioni pratiche.
    Matrici a elementi reali e vettori numerici; vettori riga, vettori colonna. Matrici quadrate, matrici nulle. Operazioni tra matrici: somma di matrici e sue proprieta'; matrice opposta. Prodotto di un numero per una matrice; proprieta'. Prodotto righe per colonne: definizione ed esempi. Il prodotto di matrici non e' commutativo. Proprieta' associativa del prodotto di matrici.

    Ven 3/10, 16-17: proprieta' del prodotto di matrici rispetto alla somma di matrici e rispetto al prodotto di una matrice per un numero. Matrice unitaria; il prodotto di una matrice A a sinistra o a destra per la matrice unitaria e' ancora la matrice A. Esempi: due matrici non nulle il cui prodotto e' nullo; tre matrici A,B,C tali che AB=AC ma A e' non nulla e B e' diversa da C. Matrici quadrate invertibili. Esempi: una matrice invertibile e una non invertibile.

    Ven 3/10, 17-18: Matrice trasposta. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Trasposizione e operazioni tra matrici (somma e moltiplicazione per uno scalare).

  • 6 ottobre - 12 ottobre

    Mer 8/10, 14-16: unicita' della matrice inversa. Inversa di un prodotto di matrici invertibili. Leggi di cancellazione. Determinante di una matrice 2x2; una matrice 2x2 e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo; forma esplicita dell'inversa.
    Equazioni lineari e sistemi lineari. Matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice completa. Sistemi quadrati, sistemi omogenei, sistemi compatibili e non. Notazione vettoriale e matriciale per i sistemi lineari. Sistemi equivalenti.

    Ven 10/10, 16-17: Operazioni elementari su un sistema lineare; le operazioni elementari producono un sistema equivalente. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Matrici ridotte a scala. Metodo di riduzione o di eliminazione di Gauss: come usare le operazioni elementari per ottenere, da una matrice, una matrice ridotta a scala. 

    Ven 10/10, 17-18: Esempi ed esercizi di riduzione a scala di una matrice. Applicazioni alla risoluzione di sistemi lineari.

  • 13 ottobre - 19 ottobre

    Mer 15/10, 14-16: relazione tra trasposta di un prodotto di matrici e prodotto delle matrici trasposte. Se A e' una matrice invertibile, allora anche At e' invertibile, e (At)-1=(A-1)t. Interpretazione geometrica delle operazioni in R2 e in R3. Vettori geometrici applicati nella retta, nel piano e nello spazio. Equipollenza tra vettori applicati, vettori liberi. Somma tra vettori liberi, proprieta'. Prodotto di un numero reale per un vettore libero, proprieta'.

    Ven 17/10, 16-17: calcolo dell'inversa di una matrice col metodo di Gauss-Jordan. Esempi ed esercizi.

    Ven 17/10, 17-18: Esercizi sui sistemi lineari.

    • 20 ottobre - 26 ottobre

      Mer 22/10, 14-16: Spazi vettoriali reali. Esempi: vettori numerici; matrici; vettori geometrici liberi; funzioni da un insieme in R; spazio nullo; l'insieme dei numeri complessi come spazio vettoriale reale; prodotto di due spazi vettoriali; insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Prime proprieta' formali. 

      Ven 24/10, 16-17: Sottospazi vettoriali, definizione ed esempi.

      Ven  24/10, 17-18:  Esercizi su spazi vettoriali reali e sottospazi. 

    • 27 ottobre - 2 novembre

      Mer 29/10, 14-16: Definizione di campo; esempi: Q, R, C. Spazi vettoriali su un campo K. Esempi: Kn; spazio vettoriale Km,n delle matrici mxn a elementi in K; le funzioni da un insieme fissato X in K; i polinomi K[t] in una indeterminata a coefficienti in K. Sistemi lineari a coefficienti in un campo K. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio vettoriale di Kn se e solo se il sistema è omogeneo.
      Sottospazio L(v1,...,vm) generato da un insieme finito di vettori; combinazioni lineari. L(v1,...,vm) è l'intersezione di tutti i sottospazi contenenti v1,...,vm. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati. Esempi: Kn è finitamente generato. 

      Ven 29/10, 16-17: K[t] non e' finitamente generato; Km,n e K[t]d (spazio vettoriale dei polinomi di grado al piu' d) sono finitamente generati. Un sistema lineare e' compatibile se e solo se il vettore dei termini noti si puo' scrivere come combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti. Relazione tra l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare e l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato; traslazioni in uno spazio vettoriale. Intersezione di sottospazi vettoriali.

      Ven 29/10, 17-18:  Esercizi su combinazioni lineari di vettori e insiemi di generatori di sottospazi.

    • 3 novembre - 9 novembre

      Mer 5/11, 14-16: Somma di sottospazi vettoriali. La somma di due sottospazi e' un sottospazio, ed e' il piu' piccolo sottospazio che contiene l'unione dei due sottospazi.
      Esempio: struttura di spazio vettoriale reale o complesso sul campo dei numeri complessi C.
      Dipendenza e indipendenza lineare, definizione ed esempi. Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno dei vettori si puo' scrivere come combinazione lineare dei restanti. Base di uno spazio vettoriale. Esempi: basi canoniche di Kn e Km,n, base per K[t]d data dalle potenze di t. Un insieme di vettori v1,...,vn e' una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di v1,...,vn. Coordinate di un vettore rispetto a una base.


      Ven 7/11, 16-17:  Se V e' uno spazio vettoriale non nullo, V ammette una base se e solo se e' finitamente generato. Ogni sistema di generatori contiene una base (metodo degli scarti successivi). Lemma di Steinitz (solo enunciato).  Corollario: tutte le basi hanno la stessa cardinalita'. Dimensione di uno spazio vettoriale, esempi: Kn, Km,n, K[t]d, C come spazio vettoriale complesso/reale.

      Ven 7/11, 17-18:  Esercizi su insiemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti e sulla costruzione di insiemi di generatori di un sottospazio vettoriale.

      • 10 novembre - 16 novembre

        Avviso:
        la lezione di mercoledì 12/11, 14-16, è sospesa per malattia del docente. Le esercitazioni di Algebra 1 si terranno nell'orario 14-16 invece che 16-18.

        Ven 14/11, 16-17: Cenni sul principio di induzione. Dimostrazione del Lemma di Steinitz. Se uno spazio vettoriale ha dimensione n, ogni sistema di generatori di V ha cardinalita' maggiore o uguale a n, e se ha cardinalita' n, allora e' una base.

        Ven 14/11, 17-18: Esercizi su insiemi di generatori e basi. Estrazione di una base da un insieme di generatori.

      • 17 novembre - 23 novembre

        Mer 19/11, 14-16: Se uno spazio vettoriale ha dimensione n, ogni insieme di vettori linearmente indipendenti in V ha cardinalita' minore o uguale a n, e se ha cardinalita' n, allora e' una base. Uno spazio vettoriale e' finitamente generato se e solo se gli insiemi di vettori linearmente indipendenti hanno cardinalita' limitata. Esempi di spazi vettoriali non finitamente generati: le funzioni da un intervallo in R; R come spazio vettoriale su Q.
        Se V ha dimensione n, ogni sottospazio W di V ha dimensione al piu' n, e dim W=n se e solo se W=V. Esempi: sottospazi di R, R2, R3. Esempio: dimensione e una base dello spazio vettoriale delle matrici reali simmetriche. Formula di Grassmann: enunciato.

        Ven 21/11, 16-17: Dimostrazione della formula di Grassmann, esempi. Somma diretta di due sottospazi, caratterizzazioni equivalenti, esempi. Sottospazi supplementari.


        Ven 21/11, 17-18 :  Esercizi su generatori, basi, dimensione di sottospazi, formula di Grassmann.


        • 24 novembre - 30 novembre

          Mer 26/11, 14-16: Somma diretta di piu' sottospazi. Esempio: lo spazio vettoriale Rn,n delle matrici quadrate reali e' somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche.
          Il prodotto VxW di due spazi vettoriali e' finitamente generato se e solo se V e W sono finitamente generati, e in tal caso dim(VxW)=dim V+dim W.
          Teorema del rango: data una matrice A in Km,n la dimensione dello span lineare delle righe di A in Kn e' uguale alla dimensione dello span lineare delle colonne di A in Km.

          Ven 28/11, 16-17: Osservazioni sul rango di una matrice: rk(A)=0 se e solo se A e' la matrice nulla; rk(A) e' minore uguale sia del numero di righe che del numero di colonne di A; rk(A)=rk(At). Se A e' quadrata di ordine n, A ha rango n se e solo se le righe formano una base di Kn, e lo stesso per le colonne. Calcolo del rango di una matrice con la riduzione di Gauss: le operazioni sulle righe mantengono lo span lineare delle righe e quindi anche il rango. Quando la matrice e' ridotta a scala, il rango e' pari al numero di righe non nulle, e le righe non nulle formano una base dello span lineare delle righe. Applicazione al calcolo della dimensione e di una base dello span di m vettori in Kn. Se V e' uno spazio vettoriale di dimensione n con una base B fissata, come utilizzare lo stesso metodo (lavorando in coordinate in Kn) per calcolare la dimensione e una base dello span di m vettori in V.  

          Ven 28/11, 17-18 :  Applicazione dei risultati visti a lezione sul rango delle matrici allo studio di generatori, basi, dimensione di spazi vettoriali e sottospazi. 

        • 1 dicembre - 7 dicembre

          Mer 3/12, 14-16: Rango e sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli, teorema di nullità più rango (solo enunciato). Caso dei sistemi quadrati. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. Caso delle matrici 2x2. Introduzione al determinante, richiami su permutazioni, gruppo simmetrico, segno di una permutazione. Osservazioni sulla cardinalità di uno spazio vettoriale finitamente generato in relazione alla cardinalità del campo. 

          Ven 5/12, 16-18: Determinante di una matrice quadrata: definizione tramite le permutazioni. Prime proprietà: il determinante di A è uguale al determinante di At; det(A)=0 se A ha una riga (o una colonna) nulla, o se A ha due righe (o due colonne) uguali. Linearità del determinante nelle righe e nelle colonne. Comportamento del determinante per permutazione delle righe o delle colonne della matrice. Determinante di una matrice triangolare superiore. Calcolo del determinante tramite la riduzione di Gauss, esempio.

          • 8 dicembre - 14 dicembre

            Mer 10/12, 14-16: Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sottomatrici, minori, complementi algebrici. Formula di Laplace per riga e per colonna. Esempi. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di una sua sottomatrice quadrata con determinante non nullo. Esempi.
            Applicazioni lineari: definizione.

            Ven 12/12, 16-17: Esempi di applicazioni lineari. Proiezione su un sottospazio indotta da una scomposizione in somma diretta. Traccia di una matrice. Il determinante di una matrice e' lineare in ogni riga e in ogni colonna. Applicazione LA:Kn->Km data da LA(x)=Ax, dove A e' una matrice mxn. Ogni applicazione lineare da Kn a Km e' di questa forma.

            Ven 12/12, 17-18: Esercizio 1, 3 (solo punto a) della Prima Prova Intermedia 6/2/2014 

          • 15 dicembre - 21 dicembre

            Mer 17/12, 14-16: La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Isomorfismi. Un'applicazione lineare e' isomorfismo se e solo se e' biunivoca. Esempio: se n=dim V, fissando una base si ottiene un isomorfismo tra V e Kn . Se A e' una matrice quadrata, l'applicazione lineare LA:Kn->Kn e' isomorfismo se e solo se A e' invertibile. L'immagine di un sottospazio tramite un'applicazione lineare e' un sottospazio; immagine di un'applicazione lineare. La controimmagine di un sottospazio tramite un'applicazione lineare e' un sottospazio; nucleo di un'applicazione lineare. L'applicazione lineare f e' iniettiva sse ker f={0}. Se w appartiene all'immagine di f, le controimmagini di w tramite f sono un traslato di ker f. Se f:V->W e' lineare e V=L(v1,...,vr), allora Im f=L(f(v1),...,f(vr)). Se f e' suriettiva, dim V e' maggiore o uguale di dim W. Se f e' iniettiva, f porta vettori indipendenti in vettori indipendenti, e dim V e' minore o uguale di dim W. Un isomorfismo porta basi in basi. Due spazi vettoriali V e W sono isomorfi sse hanno la stessa dimensione. Rango di un'applicazione lineare; teorema di nullita' piu' rango per applicazioni lineari. Applicazione: teorema di nullita' piu' rango per matrici. 

            Ven 19/12, 16-18: Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione e' un isomorfismo sse e' iniettiva, sse e' suriettiva. Applicazioni del teorema di nullita' piu' rango alle immagini e controimmagini di sottospazi. Come si calcolano l'immagine e la controimmagine di un sottospazio tramite applicazione lineare, esempi.
            Esistenza e unicita' di un'applicazione lineare una volta assegnati i valori su una base. Esempi.
            Lo spazio vettoriale L(V;W) delle applicazioni lineari da V a W. Isomorfismo tra L(Kn;Km) e Km,n.


            L'ultimo tutorato del primo semestre si terra' martedi' 13/1 in un unico gruppo con tutti gli studenti, 11-13, in aula C. In tale tutorato verra' restituito e discusso il foglio 6 e discusso il foglio 7.

            La prima parte del corso finira' mercoledi' 7/1 con due ore di esercitazioni 14-16: in aula A il corso A, in aula C il corso B.

          • 5 gennaio - 11 gennaio

            Mer 7 gennaio 14.00-16.00 : (Esercitazione)   E' stato completato l'esercizio 3 della prima prova parziale del febbraio 2014.  Sono stati svolti  l'esercizio 4 del Foglio di Esercizi n.7 (non l'ultima domanda sulla controimmagine del sottospazio.) e l'esercizio  1 dell'esame di giugno 2012.

            • INIZIO SECONDO SEMESTRE

              Orario II semestre: mar 9-11, ven 9-11. Le aule e i gruppi per le esercitazioni sono gli stessi del primo semestre.
              Le esercitazioni saranno h 9-11 nei giorni: ven 13/3, ven 27/3, ven 17/4, mar 5/5, mar 19/5, ven 5/6.
              Le lezioni restanti sono di teoria.

              Ricevimento studenti, II semestre:
              C. Casagrande: giovedi' 15.30-16.30 (nello studio del docente), oppure su appuntamento
              C. Bertolin: giovedi' 16 - 17 (nello studio del docente), oppure su appuntamento
              A. Mori: lunedì 14:15-15:30 (studio docente) o su appuntamento.

              Orario tutorato II semestre:
              giovedi' 14-16, aula 4, ogni due settimane, a partire da giovedi' 12/3, a corsi riuniti 
              Calendario:
              gio 12/3 consegna foglio 8, discussione prima prova intermedia
              gio 26/3 consegna foglio 9, discussione foglio 8
              gio 9/4 consegna foglio 10, discussione foglio 9
              gio 23/4 (h 11-13 in aula A) consegna foglio 11, discussione foglio 10
              gio 7/5 consegna foglio 12, discussione foglio 11
              gio 21/5 (h 11-13 in aula A) consegna foglio 13, discussione foglio 12
              gio 4/6 (h 11-13 in aula A) discussione foglio 13

              Recupero: tenuto da Ekkehart Winterroth
              Durante il II semestre si terranno degli incontri di recupero sugli argomenti del primo semestre, per permettere a chi non ha sostenuto con successo la prova intermedia di presentarsi meglio preparato agli appelli estivi. Durante questi incontri verranno rivisti i concetti fondamentali e verranno svolti esercizi. Gli incontri sono aperti a tutti, ma sono fortemente consigliati solo a chi ha avuto difficoltà nel primo semestre.
              Orario recupero: martedi' 14-16, aula 4. L'ultimo incontro del corso di recupero sarà martedì 28 aprile.

              • 2 marzo - 8 marzo

                Mar 3/3, 9-11: Teorema di Binet. Gruppo lineare generale; il determinante definisce un omomorfismo di gruppi da GL(n,K) nel gruppo moltiplicativo del campo K. Gruppo lineare speciale. Il determinante della matrice inversa e' l'inverso del determinante. Una matrice e' invertibile se e solo se ha inversa destra (o sinistra). Espressione della matrice inversa in termini di complementi algebrici (senza dimostrazione), esempio. Matrice associata ad un'applicazione lineare f rispetto a delle basi del dominio e del codominio; espressione di f in coordinate. Esempio. Fissate le basi di V e W, la matrice associata definisce un isomorfismo di spazi vettoriali tra L(V;W) e Km,n. La matrice associata a una composizione di applicazioni lineari e' il prodotto delle matrici associate alle due applicazioni. Introduzione al cambiamento di base.

                Ven 6/3, 9-11: Cambiamento di base, matrice associata, equazioni. La matrice inversa da' il cambiamento di base inverso. Applicazioni lineari e cambiamenti di base: relazione tra le due matrici associate alla stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse. Orientazione di spazi vettoriali reali: basi equiorientate. Una base v1,...,vn di Rn e' positiva se e' equiorientata con la base canonica, se e solo se: det[v1|...|vn]>0. Significato geometrico dell'essere una base positiva/negativa in R2 e in R3; angolo orientato tra due vettori non nulli nel piano. Vettori geometrici e sistemi di riferimento affini nella retta, nel piano e nello spazio. Lunghezze o norme di vettori geometrici; versori. Basi ortonormali positive per V1, V2 e V3. Sistemi di riferimento cartesiani nella retta, nel piano o nello spazio. Sottospazi affini di Rn.

              • 9 marzo - 15 marzo

                Mar 10/3, 9-11: Sottospazi affini di Rn. Un sottospazio affine di Rn e' un sottospazio vettoriale se e solo se passa per l'origine. Descrizione parametrica di un sottospazio affine. Rette e iperpiani. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile e' un sottospazio affine. Ogni sottospazio affine di dimensione m in Rn puo' essere descritto da n-m equazioni lineari (senza dimostrazione). Sottospazi affini paralleli. L'intersezione (se non vuota) di due sottospazi affini e' un sottospazio affine.
                Prodotto scalare (standard) in Rn: definizione e prime proprieta'. Norma di un vettore di Rn, versori. Significato geometrico del prodotto scalare in R2 e in R3: due vettori non nulli sono ortogonali se e solo se hanno prodotto scalare zero; proiezione ortogonale di un vettore su una retta in termini di prodotto scalare; il prodotto scalare di due vettori non nulli e' pari al prodotto delle norme per il coseno dell'angolo tra i vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare (verranno dimostrate in seguito negli spazi euclidei). Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale di Rn


                Ven 13/3, 9-11: Esercizi su: matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse e cambiamenti di base.

                • 16 marzo - 22 marzo

                  Mar 17/3, 9-11: Proprieta' dei complementi ortogonali: un sottospazio e il suo complemento ortogonale sono supplementari; il complemento ortogonale del complemento ortogonale e' il sottospazio di partenza. Esempi. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale. Sottospazi affini ortogonali. La direzione ortogonale a un iperpiano e' data dal vettore dei coefficienti dell'equzione. Esempi: descrizione parametrica e per equazioni di una retta in R2 e di un piano in R3. Rotazioni attorno all'origine in R2, matrici associate. Matrici ortogonali e gruppo ortogonale. Significato geometrico del determinante in R2 e in R3: se u e v sono vettori non nulli in R2 e a e' l'angolo orientato da u a v, det[u|v] e' il prodotto delle norme di u e v per il seno di a. Area di un parallelogramma e di un triangolo nel piano in termini di determinante. Dati tre vettori v1,v2,v3 in R3, il valore assoluto di det[v1|v2|v3] e' il volume del parallelepipedo di lati v1,v2,v3 (senza dimostrazione). Volume di un tetraedro. Prodotto vettoriale in R3: definizione geometrica.

                  Ven 20/3, 9-11: Prodotto vettoriale in R3: definizione in coordinate. Proprieta' del prodotto vettoriale. Prodotto misto di tre vettori. Proiezione ortogonale su un piano in R3. Geometria analitica nel piano: retta per un punto con data direzione, retta per un punto con data direzione ortogonale, retta per due punti distinti. Posizione reciproca di due rette. Distanza di un punto da una retta. Geometria analitica nello spazio: descrizione parametrica e con equazioni di piano e retta. Piano per tre punti non allineati. Posizione reciproca di due piani, di tre piani, di un piano e una retta.  

                • 23 marzo - 29 marzo

                  Mar 24/3, 9-11: Posizione reciproca di due rette in R3, rette complanari e rette sghembe. Distanza di un punto da un piano, di un punto da una retta, tra due piani, tra una retta e un piano, tra due rette. Retta ortogonale e incidente a due rette sghembe, esempio.
                  Struttura di spazio vettoriale e di anello sull'insieme degli endomorfismi di uno spazio vettoriale fissato; isomorfismo con Kn,n dato dalla matrice rispetto ad una base fissata. Matrici simili. Essere simili e' una relazioni di equivalenza su Kn,n. Matrici simili hanno lo stesso determinante, lo stesso rango e la stessa traccia, ma non vale il viceversa. Matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili. Introduzione al problema della diagonalizzazione; autovettori e autovalori di un endomorfismo.

                  Ven 27/3, 9-11: Esercitazione sugli argomenti seguenti: calcolo vettoriale e geometria analitica. Corso A: prova d'esame del 17/6/2009 e prova d'esame del 22/9/2009

                  • 30 marzo - 5 aprile

                    Mar 31/3, 9-11: Determinante e traccia di un endomorfismo. Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo/di una matrice. Gli autospazi sono sottospazi vettoriali. Endomorfismi/matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di una matrice. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico. Se A e' nxn, il polinomio caratteristico di A ha grado n; coefficienti di grado n, n-1 e termine noto del polinomio caratteristico. Esempi. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Richiami su radici di polinomi e molteplicita' di radici, polinomi totalmente riducibili, campi algebricamente chiusi. Esempio di una matrice diagonalizzabile su C e non su R. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

                  • 6 aprile - 12 aprile

                    Ven 10/4, 9-11: Gli autospazi di un endomorfismo sono in somma diretta. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicita' geometrica e' sempre minore o uguale della molteplicita' algebrica. Criteri di diagonalizzabilita': un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico e' totalmente riducibile, e se per ogni autovalore la molteplicita' algebrica e' uguale a quella geometrica. Esempi.
                    Criteri per determinare se due matrici quadrate sono simili.
                    Spazio vettoriale duale: definizione; forme lineari. Lo spazio vettoriale duale V* ha la stessa dimensione di V. Ogni forma lineare si scrive in coordinate come un polinomio omogeneo di grado 1.

                  • 13 aprile - 19 aprile

                    Mar 14/4, 9-11: Se V ha dimensione n e un endomorfismo f di V ha n autovalori distinti, allora f e' diagonalizzabile.
                    Spazi vettoriali duali: applicazione trasposta di un'applicazione lineare. Base duale, esempio. Data f:V->W lineare e fissate basi B di V e C di W, se A e' associata a f rispetto alle basi B e C, la matrice associata all'applicazione trasposta ft:W*->V* rispetto alle basi duali C* e B* e' la matrice trasposta At. Applicazioni: f e fhanno lo stesso rango; f e' iniettiva se e solo se ft e' sueriettiva, e viceversa. Spazio vettoriale biduale. Isomorfismo canonico tra V e il suo biduale.
                    Definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Primi esempi: prodotto scalare standard in Rn; esempio di prodotto scalare non standard su R3

                    Ven 17/4, 9-11:  Esercitazione sulla diagonalizzazione.

                    • 20 aprile - 26 aprile

                      Mar 21/4, 9-11: Esempi di spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma indotta da un prodotto scalare, proprieta' della norma, disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori non nulli, vettori ortogonali. Esempio con un prodotto scalare non standard in R3. Vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Versori, basi ortogonali e ortonormali. Esistenza di basi ortonormali: procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esempio esplicito di calcolo di una base ortonormale di un iperpiano in R4, con il prodotto scalare standard. Le coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale si ottengono tramite il prodotto scalare. L'espressione del prodotto scalare nelle coordinate rispetto a una base ortonormale e' data dal prodotto scalare standard in Rn. Complementi ortogonali, proprieta'. Esempio nello spazio vettoriale R2,2 con il prodotto scalare standard. Complementi ortogonali e basi ortogonali. Proiezione ortogonale su un sottospazio.

                      Avviso: giovedi' 23/4 il tutorato si terra' h 11-13 in aula A invece che 14-16.

                      Ven 24/4, 9-11: Isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo, caratterizzazioni equivalenti. Isometrie e matrici ortogonali. Una matrice A in Rn,n e' ortogonale se e solo se le sue colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale di Rn. Gruppo SO(n) delle matrici ortogonali speciali. Classificazione delle matrici ortogonali di ordine due; le isometrie lineari di R2 sono le rotazioni attorno all'origine e le riflessioni rispetto ad una retta per l'origine.
                      Data una base ortonormale B di V e una base qualsiasi B' di V, la matrice del cambiamento di base da B a B' e' ortogonale se e solo se la base B' e' ortonormale.
                      Endomorfismi simmetrici o autoaggiunti, definizione ed esempio. Un endomorfismo e' simmetrico se e solo se la sua matrice rispetto ad una base ortonormale e' simmetrica. Una matrice complessa hermitiana ha tutti autovalori reali. Teorema spettrale: enunciato e dimostrazione dell'implicazione semplice (se f e' diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale, allora f e' simmetrico). 

                      Attenzione: su segnalazione degli studenti, ho corretto alcune imprecisioni nel testo dell'esercizio 6 del foglio 9 (riflessioni) e dell'esercizio 6 del foglio 11 (matrici ortogonali 2x2), i testi presenti ora sono corretti.

                    • 27 aprile - 3 maggio

                      Mar 28/4, 9-11: Dimostrazione del teorema spettrale. Versione matriciale: una matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale. Esempi.
                      Prodotto hermitiano standard in Cn. Prodotti hermitiani su uno spazio vettoriale complesso, spazi vettoriali hermitiani. Norma su uno spazio vettoriale hermitiano, proprietà della norma: disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (senza dimostrazioni). Vettori ortogonali, basi ortonormali. Esempi in Cn con il prodotto hermitiano standard. Procedimento di Gram-Schmidt. Decomposizione di un vettore in una base ortonormale tramite il prodotto hermitiano. In coordinate rispetto ad una base ortonormale, ogni prodotto hermitiano diventa il prodotto hermitiano standard. Matrici unitarie: definizione, proprietà elementari, esempi.

                      • 4 maggio - 10 maggio

                        Mar 5/5, 9-11 : Esercizi sugli spazi vettoriali euclidei.

                        Ven 8/5, 9-11 : Isometrie lineari di spazi vettoriali hermitiani; un'endomorfismo e' un'isometria lineare se e solo se la sua matrice rispetto ad una base ortonormale e' unitaria. Endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali hermitiani;  un'endomorfismo e' autoaggiunto se e solo se la sua matrice rispetto ad una base ortonormale e' hermitiana. Teorema spettrale complesso: ogni endomorfismo autoaggiunto di uno spazio vettoriale hermitiano ammette una base ortonormale di autovettori; ogni matrice hermitiana e' simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria (senza dimostrazione). Esempi. Differenza con il caso reale: non e' un'equivalenza. Le matrici complesse che ammettono una base ortonormale di autovettori sono tutte e sole quelle che commutano con la propria trasposta coniugata (dimostrazione solo dell'implicazione facile). Esempi.
                        Affinita' di Rn e sottogruppi notevoli: traslazioni, congruenze e congruenze dirette (o rototraslazioni).
                        Cambiamenti di sistema di riferimento nella retta, nel piano e nello spazio: nel caso di sistemi di riferimento affini, il cambiamento di coordinate e' dato da un'affinita'; nel caso di sistemi di riferimento cartesiani ortogonali, il cambiamento di coordinate e' dato da una rototraslazione.

                        • 11 maggio - 17 maggio

                          Mar 12/5, 9-11: Forme bilineari. Espressione di una forma bilineare in coordinate, matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base. Esempi. Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, caratterizzazione in termini della matrice associata. Cambiamento di base: matrici congruenti; matrici associate ad una stessa forma bilineare rispetto a basi diverse sono congruenti tramite la matrice di cambiamento di base. Esempio di matrici congruenti ma non simili. Rango di una forma bilineare; forme bilineari degeneri e non.
                          Richiami sulla caratteristica del campo; assumiamo che il campo abbia caratteristica diversa da 2. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica; l'espressione di una forma quadratica in coordinate e' un polinomio omogeneo di secondo grado. La forma bilineare simmetrica e' univocamente determinata dalla forma quadratica associata. Vettori ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica, complemento ortogonale rispetto ad una forma bilineare simmetrica, nucleo. Esempi.

                          Ven 15/5, 9-11: Espressione del nucleo di una forma bilineare simmetrica phi in coordinate; il nucleo ha dimensione dim(V)-rk(phi). Vettori isotropi e cono isotropo, esempi.
                          Diagonalizzazione di forme quadratiche. Primo caso: campo K qualsiasi di caratteristica diversa da 2. Teorema di Lagrange: esiste una base rispetto alla quale la matrice associata alla forma quadratica e' diagonale; forma canonica. Esempio su C. Corollario: ogni matrice simmetrica su K e' congruente ad una matrice diagonale.
                          Secondo caso: campo K algebricamente chiuso (di caratteristica diversa da 2) (esempio: K=C). Allora esiste una base rispetto alla quale la matrice associata alla forma quadratica e' diagonale con 1 e 0 sulla diagonale principale. Esempio su C. Corollario: due matrici simmetriche in Kn,n sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Esempio: studio delle forme quadratiche su C2 in base al rango.
                          Terzo caso: K=R. Inizio della discussione del caso reale. 

                        • 18 maggio - 24 maggio

                          Mar 19/5, 9-11: Esercizi su forme bilineari e forme quadratiche

                          Ven 22/5, 9-11: Diagonalizzazione di forme quadratiche reali: teorema di Sylvester, segnatura di una forma quadratica reale, forma normale. Segnatura di una matrice simmetrica reale. La segnatura di una forma quadratica Q e' uguale alla segnatura della matrice associata a Q rispetto ad una base. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Come usare il teorema spettrale per trovare nella pratica una base rispetto alla quale Q si scrive in forma normale; esempio. Segno di una forma quadratica reale: forme quadratiche definite e semidefinite. Determinazione del segno a partire dalla segnatura.  

                          • 25 maggio - 31 maggio

                            Mar 26/5, 9-11: Regola di Cartesio per determinare il segno delle radici di un polinomio reale avente tutte radici reali (senza dimostrazione). Come verificare se una forma bilineare reale e' un prodotto scalare. Esempio: forme quadratiche su R2.
                            Coniche in R2 associate a un polinomio reale di secondo grado nelle coordinate. Trasformazione di una conica per rototraslazione, equivalenza per rototraslazione. Matrici simmetriche B (3x3) e A (2x2) associate a una conica, forma matriciale dell'equazione e della rototraslazione. Se due coniche sono equivalenti per rototraslazione, le corrispondenti matrici A e B sono congruenti. Conclusione: le segnature di B e A (a meno dell'ordine) sono invarianti per rototraslazione. Teorema di classificazione delle coniche in R2 a meno di rototraslazione: enunciato e breve descrizione delle 4 famiglie irriducibili.

                            Ven 29/5, 9-11: Breve descrizione delle 5 famiglie di coniche riducibili. Una conica e' riducibile se e solo se il polinomio che la definisce e' riducibile in C[x,y]. Dimostrazione del teorema di classificazione delle coniche: come ridurre una conica in forma canonica con una rotazione e poi una traslazione. Esempio dettagliato con un ellisse.
                            Circonferenze nel piano, intersezione tra una circonferenza e una retta, retta tangente a una circonferenza in un punto. Sfere nello spazio, intersezione tra una sfera e un piano, piano tangente a una sfera in un punto. Circonferenze nello spazio come intersezione di una sfera e di un piano. Esercizio.   

                          • 1 giugno - 7 giugno


                            Ven 5/6, 9-11 : Esercizi su forme quadratiche e coniche.



                            Avviso: giovedi' 4/6 il tutorato si terra' h 11-13 in aula A invece che 14-16.