Attività settimanale

  • Introduzione

    GEOMETRIA 3 - primo semestre




    DOCENTE: Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890


    INFORMAZIONI GENERALI :

    • Il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione) e si svolge nel PRIMO semestre


    ORARIO:

    • MAR 14-16 (Aula Magna), MER 14-16 (Aula Magna)


    RICEVIMENTO DOCENTI:

    • su appuntamento (telefonare o mandare email)


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di tre parti:

    1. Topologia:  il teorema di classificazione delle superfici topologiche (connesse e compatte) - omotopia - cenni sul gruppo fondamentale.

    2. Calcolo differenziale: Vettori tangenti e forme differenziali - fibrato tangente e cotangente - algebra esterna - \(k\)-forme differenziali - differenziale esterno e collegamenti con grad, div, rot - integrali  di \(k\)-forme su \(k\)-catene - il teorema di Stokes - il caso delle superfici: i teoremi di Gauss e Green

    3. Geometria delle superfici: La mappa di Gauss - seconda forma fondamentale - curvatura normale - formula di Eulero - il Theorema Egregium di Gauss - il teorema di Gauss-Bonnet


    TESTI CONSIGLIATI:

    Per la parte 1:

    N. Hitchin, Geometry of surfaces  scaricabile liberamente.

         Capitolo 1 per la la classificazione delle superfici.

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Disponibile in biblioteca (1 copia in italiano, 1 copia in inglese). 

         Capitolo 11 per la classificazione delle superfici, capitoli 13-16 per omotopia e gruppo fondamentale.

    G. Occhetta, Geometria III scaricabile liberamente.

          Capitolo 1 per la classificazione delle superfici, capitoli 2 e 3 per omotopia e gruppo fondamentale.

    W.S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology disponibile in biblioteca (1 copia).

          Capitolo 1 per la classificazione delle superfici, capitolo 2 per omotopia e gruppo fondamentale.

    W.S. Massey, Algebraic Topology: an Introduction disponibile in biblioteca (4 copie). E' lo stesso libro del precedente, in una edizione più vecchia. La parte che serve per il corso è la stessa.

    A. Albano, La semplificazione dell'algoritmo del taglia e incolla, disponibile qui sotto. Dimostrazione completa della semplificazione discussa più volte a lezione, che è possibile usare nelle prove scritte.


    Per la parte 2:

    A. Fino, appunti delle lezioni dell'anno 2013/14, disponibili nella pagina moodle del corso dell'anno scorso

         Lezioni del 15 ottobre, 18 ottobre, 23 ottobre, 29 ottobre, disponibili anche qui sotto.

    A. Albano, Note sulle forme differenziali, disponibili qui sotto. La versione attuale non è ancora completa, ma può essere già usata per lo studio. Controllare periodicamente fino all'arrivo della versione definitiva.

    M. do Carmo, Differential Forms and Applications, disponibile in biblioteca (1 copia)

    M. Spivak, Calculus on Manifolds. In biblioteca è mancante, se non riuscite a trovarlo chiedete a lezione.


    Per la parte 3:

    N. Hitchin, Geometry of surfaces  scaricabile liberamente.

         Capitolo 3 per la geometria delle superfici.


    P.M. Gandini, S. Garbiero, Appunti di Geometria III scaricabile liberamente.

        Capitolo 5 per la geometria delle superfici



    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale da sostenersi nel medesimo appello.

    • La prova scritta è costituita da esercizi e domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30simi. Per superare l'esame occorre raggiungere il punteggio di 18/30.

    • Normalmente non c'è prova orale, ma la Commissione d'esame può richiedere ad uno studente di rispondere ad alcune domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Non ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale ci sarà una discussione degli errori della prova scritta.

    • Lo studente ha il diritto di chiedere lo svolgimento di una prova orale, con le modalità descritte sopra, per modificare il voto dello scritto.



    PROVE SCRITTE ANNI PRECEDENTI:

    Vedere le prove scritte disponibili nella pagina moodle del corso dell'anno scorso

  • 29 settembre - 5 ottobre

    LEZIONE 1 -- 30 settembre 2014

    Introduzione al corso.

    Il teorema di classificazione delle superfici topologiche: discussione sul concetto di superficie. Esempi di superfici (sfera, toro, bottiglia di Klein). Costruzione di superfici mediante identificazione dei lati di un poligono.

    Definizione rigorosa di superficie topologica. Cenni sull'orientabilità.



    LEZIONE 2 -- 1 ottobre 2014

    Richiami sulla topologia quoziente.

    Teorema: Il quoziente di uno spazio compatto Hausdorff per una mappa chiusa è ancora Hausdorff.
    Conseguenza: identificando a due a due i lati di un poligono (con un numero pari di lati) si ottiene sempre una superficie topologica.

    Somma connessa. La sfera è elemento neutro per la somma connessa. Somma connessa di tori.

    Il piano proiettivo reale come quoziente di un poligono. Il piano proiettivo non è orientabile. La somma connessa di due piani proiettivi è una bottiglia di Klein.
  • 6 ottobre - 12 ottobre

    LEZIONE 3 -- 7 ottobre 2014

    La somma connessa nella rappresentazione poligonale.

    Teorema di Radó: Ogni superficie topologica connessa e compatta è triangolabile.
    Corollario: ogni superficie si ottiene da un poligono con un numero pari di lati, identificando i lati a due a due.

    Discussione sull'esistenza di una decomposizione in simplessi (= triangoli di dimensione superiore) per le varietà di dimensione \( n \).

    Teorema: La somma connessa di un toro e di un piano proiettivo è omeomorfa alla somma connessa di tre piani proiettivi.



    LEZIONE 4 -- 8 ottobre 2014

    Teorema di classificazione: Ogni superficie topologica connessa e compatta è omeomorfa ad una delle seguenti:

    • \(S^2\) = sfera
    • \( T_g \) = somma connessa di \( g \) tori, \( g \ge 1 \)
    • \( P_n \) = somma connessa di \( n \) piani proiettivi, \( n \ge 1 \)


    Dimostrazione del teorema di classificazione mediante l'algoritmo del "taglia e incolla".

    Esercizi sulla riduzione di una superficie rappresentata mediante un poligono alla sua forma standard.

  • 13 ottobre - 19 ottobre

    LEZIONE 5 -- 14 ottobre 2014

    Il problema dell'unicità della rappresentazione nel teorema di classificazione: invarianti topologici.

    La caratteristica di Eulero: definizione mediante triangolazioni e mediante suddivisioni.
    Teorema. Se \( X, Y \) sono due superfici topologiche allora
    \(
    \chi(X\sharp Y) = \chi(X) + \chi(Y) - 2
    \)

    Corollario.
    • \( \chi(S^2) = 2 \)
    • \( \chi(T_g) = 2 - 2g \)
    • \( \chi(P_n)  = 2 - n \)

    Cenni sulla dimostrazione dell'invarianza topologica della caratteristica di Eulero mediante raffinamenti.

    La relazione di omotopia fra funzioni. L'omotopia è una relazione di equivalenza.


    Per maggiori dettagli sulla caratteristica di Eulero, vedere il libro di Massey, Capitolo 1, §8.



    LEZIONE 6 -- 15 ottobre 2014

    Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico: cammini, lacci, omotopia relativa.

    Moltiplicazione di cammini e definizione dell'operazione nel gruppo fondamentale.

    Definizione di spazio contraibile. Il gruppo fondamentale di uno spazio contraibile è il gruppo banale.

    Funtorialità del gruppo fondamentale: una funzione continua \( f : X \to Y \) induce un omomorfismo di gruppi
    \( f_* : \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, f(x_0)) \)

    Il gruppo fondamentale della circonferenza:
    \(
    \pi_1(S^1) \cong {\bf Z}
    \)

    Traccia della dimostrazione: rivestimento \( {\bf R} \to S^1 \), sollevamento di cammini, grado di un cammino.


    Per maggiori dettagli sul gruppo fondamentale, si può
    • consultare il Massey, Capitolo 2, §1-5
    • consultare il Kosniowski, Capitoli 13-16
    • consultare le dispense di Occhetta, Capitolo 3
    I dettagli delle dimostrazioni delle proprietà del gruppo fondamentale NON sono parte del programma d'esame.
    Inoltre, il corso di Geometria 4 affronta a fondo il tema del gruppo fondamentale.
  • 20 ottobre - 26 ottobre

    LEZIONE 7 -- 21 ottobre 2014

    Esempi di teoremi di geometria e algebra dimostrati con l'uso del gruppo fondamentale della circonferenza.

    Teorema. (del punto fisso di Brouwer) Sia \( D^n \) la palla chiusa in \( \mathbf{R}^n \) di raggio unitario. Ogni funzione continua \( h : D^n \to D^n \) ha un punto fisso, cioè esiste \( x \in X \) tale che \( h(x) = x \).
    (solo i casi \( n = 1, 2\)).

    Teorema fondamentale dell'algebra. Ogni polinomio (in una indeterminata) a coefficienti complessi di grado \( k \ge 1 \) ha almeno una radice complessa.


    Per maggiori dettagli, vedere il Kosniowski, Corollari 16.9 e 16.10 alla fine del Capitolo 16.

    I dettagli della dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra NON sono parte del programma d'esame.




    LEZIONE 8 -- 22 ottobre 2014

    Le strutture di \( \mathbf{R}^n \): spazio vettoriale e spazio affine.
    Discussione sulla definizione di spazio affine. Azioni di gruppi su insiemi.

    Definizione dello spazio tangente \( T_p\mathbf{R}^n \) ad \( \mathbf{R}^n \) in un suo punto \( p \).

    Vettori tangenti e derivate direzionali.

    Vettori tangenti e derivazioni sull'algebra delle funzioni \( \mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}^n) \).

    Il differenziale di una funzione differenziabile \( F : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m \) è una funzione lineare fra spazi tangenti: descrizione geometrica.


    • 27 ottobre - 2 novembre

      NO LEZIONE --  28 ottobre 2014

      Lezione sospesa per indisponibilità dell'aula.



      LEZIONE 9 -- 29 ottobre 2014

      Il differenziale come applicazione lineare fra spazi tangenti.

      Lo spazio tangente in un punto \(p\) come classi di equivalenza di curve passanti per \(p\).

      Teorema. Sia \(F : \mathbf{R}^n  \to \mathbf{R}^m\) una funzione differenziabile. Il differenziale \(F_{*, p}\) manda il vettore tangente ad una curva \(\alpha(t)\) in \(p\) nel vettore tangente alla curva immagine \((F\circ\alpha)(t) = F(\alpha(t))\) nel punto \(F(p)\).

      Teorema. Se \(F : \mathbf{R}^n  \to \mathbf{R}^m\) e \(G : \mathbf{R}^m  \to \mathbf{R}^p\) sono differenziabili, allora \((G\circ F)_* = G_* \circ F_*\).

      Il fibrato tangente \(T\mathbf{R}^n\). Campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente.

      Discussione sulla nozione di fibrato (vettoriale). Esempi di fibrati sulla circonferenza: il cilindro (fibrato banale) e il nastro di Moebius (fibrato non banale).

      • 3 novembre - 9 novembre

        LEZIONE 10 -- 4 novembre 2014

        Definizione di fibrato vettoriale e discussione di alcuni esempi: il fibrato tangente ad \( \mathbf{R}^n\), il fibrato tangente alla circonferenza, il nastro di Möbius.

        Il fibrato tangente alla circonferenza è banale, il fibrato tangente alla sfera \(S^2 \) non è banale.

        Teorema. (Kervaire, Bott-Milnor) (solo enunciato) Se il fibrato tangente a \(S^n \) è banale (cioè \(TS^n = S^n \times \mathbf{R}^n\)), allora \(n = 1, 3, 7\).


        Il fibrato cotangente \(T^*\mathbf{R}^n\). Campi vettoriali (sezioni del fibrato tangente) e \(1\)-forme (sezioni del fibrato cotangente): se \(\omega\) è una \(1\)-forma e \(X\) un campo vettoriale, allora \(\omega(X)\) è una funzione.


        Applicazioni \(k\)-lineari alternanti. Prodotto wedge di forme lineari e determinanti.

        \(k\)-forme e campi vettoriali.


        LEZIONE 11 -- 5 novembre 2014 


        Esercizi sulle superifici topologiche: risoluzione di alcuni esercizi assegnati nelle scorse settimane (equazione di una superficie orientabile di genere \(g\) in \(\mathbf{R}^3\), forme normali di poligoni)


        L'algebra \(\Omega^*(\mathbf{R}^n)\). Le \(1\)-forme \(\{dx_i\}\) come base duale della base \(\left\{\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right\}\)

        Esempi di calcolo di \(\omega(X, Y)\) per una \(2\)-forma \(\omega\).

        La derivata esterna \(d : \Omega^k(\mathbf{R}^n) \to \Omega^{k+1}(\mathbf{R}^n)\): definizione mediante le proprietà caratteristiche.

        Lemma. \(df = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i\)

        Proprietà fondamentale. \(d^2 = 0\).

        Definizione di forme chiuse ed esatte.


        • 10 novembre - 16 novembre

          LEZIONE 12 -- 11 novembre 2014

          Potenza esterna di uno spazio vettoriale (duale): definizione di \(\bigwedge^k(V^*) =\) funzioni \(k\)-lineari alternanti su \(V\).

          Proprietà. se \(\{v_1, \dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(\{h_1, \dots, h_n\}\) è la base duale, allora l'insieme \(\{h_{i_1}\wedge \dots \wedge h_{i_k}\}, \ 1\le i_1 < \dots < i_k \le n\) è una base di \(\bigwedge^k(V^*)\).

          Pull-back di forme differenziali: una funzione differenziabile \(f:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m\) induce una mappa \(f^* : \Omega^k(\mathbf{R}^m) \to  \Omega^k(\mathbf{R}^n)\).

          Proprietà di \(f^*\):
          • \(f^*(\omega_1 + \omega_2) = f^*(\omega_1) + f^*(\omega_2)\)
          • se \(g \in \Omega^0(\mathbf{R}^m)\) è una funzione differenziabile, \(f^*(g) = g\circ f\)
          • se \(\omega_1, \dots, \omega_k\) sono \(1\)-forme, allora \(f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k) = f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)\)

          Calcolo fondamentale: \(f^*\) si calcola mediante "sostituzione di variabili".

          Esempi di pull-back usando le coordinate polari.



          LEZIONE 13 -- 12 novembre 2014 

          Ulteriori proprietà di \(f^*\):
          • \(f^*(\omega\wedge\phi) = f^*(\omega)\wedge f^*(\phi)\)
          • \((f\circ g)^* = g^*\circ f^*\)
          • per una forma \(\omega\): \(f^*(d\omega) = df^*(\omega)\)


          Il lemma di Poincaré per le 1-forme su aperti stellati di \(\mathbf{R}^n\): se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa su un aperto stellato \(U\), allora esiste una funzione differenziabile \(f\) definita su \(U\) tale che \(\omega = df\).


          Lemma di Poincaré. Sia \(U\) un dominio (= aperto connesso) di \(\mathbf{R}^n\) contraibile e sia \(\omega\) una \(k\)-forma definita su \(U\). Allora \(d\omega = 0 \implies \exists \eta : \omega = d\eta\)


          • 17 novembre - 23 novembre

            LEZIONE 14 -- 18 novembre 2014

            Conclusione della dimostrazione del lemma di Poincaré.


            Teorema di ricoprimento di Lebesgue. Ogni ricoprimento aperto \(\{A_i\}\) di uno spazio metrico compatto \( (X, d) \) ammette un numero di Lebesgue, cioè un numero \(\delta > 0\) tale che ogni sottoinsieme di diametro minore di \(\delta\) è contenuto in qualche aperto del ricoprimento.


            Teorema. Se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa definita sull'aperto \(U\subseteq \mathbf{R}^n\), e \(c_0\), \(c_1\) sono due cammini in \(U\) omotopi (a estremi fissati), allora \(\int_{c_0}\omega = \int_{c_1} \omega\).

            Corollario. Se \(U\subseteq \mathbf{R}^n\) è semplicemente connesso, allora ogni \(1\)-forma chiusa è esatta.


            Definizione dell'operatore \(*\) di Hodge.


            Vedere sotto alcuni link a dimostrazioni del teorema di Lebesgue visto a lezione.



            LEZIONE 15 -- 19 novembre 2014 

            Definizione di divergenza, gradiente e rotore in termini di derivata esterna \(d\) e \(*\) di Hodge.

            Contrazione di un campo vettoriale e una forma differenziale. Le relazioni fra divergenza, gradiente e rotore in generale e in \(\mathbf{R}^3\)


            Definizione di superficie parametrizzata in \(\mathbf{R}^3\). Parametrizzazioni regolari. Esempio: il grafico di una funzione differenziabile. Discussione sulla necessità di più parametrizzazioni per coprire tutti i punti di una superficie.

            Teorema. Se \(S\subseteq \mathbf{R}^3 \) è il luogo di zeri di una funzione differenziabile \(F : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}\) e \(p\in S\) è tale che \((\text{grad } f)(p) \ne 0\) allora \(S\) ammette una parametrizzazione regolare in un intorno di \(p\).


          • 24 novembre - 30 novembre

            LEZIONE 16 -- 25 novembre 2014

            Parametrizzazioni e sistemi di coordinate. Il cambiamento di coordinate è sempre un diffeomorfismo.

            Il piano tangente è ben definito, indipendentemente dalla parametrizzazione usata.

            La prima forma quadratica fondamentale: definizione e uso nel calcolo della lunghezza delle curve.



            LEZIONE 17 -- 26 novembre 2014


            Definizione di distanza su una superficie. Definizione di applicazione differenziabile fra superfici, definizione di isometria.

            Teorema. Due superfici sono localmente isometriche se e solo se esiste un cambiamento di coordinate che rende le due prime forme quadratiche fondamentali uguali.


            Cambiamento di coordinate e cambiamento dell'espressione della prima forma quadratica.


            Seconda forma quadratica fondamentale come la derivata della deformazione lungo la direzione normale. Definzione dei coefficienti \(L\), \(M\), \( N\).

            La definizione di curvatura Gaussiana \( \kappa = \dfrac{LN - M^2}{EG - F^2}\)


            Enunciato del Theorema Egregium di Gauss: la curvatura Gaussiana \(\kappa\) è invariante per isometrie.

            • 1 dicembre - 7 dicembre

              LEZIONE 18 -- 2 dicembre2014

              Theorema Egregium: dimostrazione. Nel file qui sotto è riportata la dimostrazione vista a lezione.

              Descrizione geometrica della seconda forma quadratica fondamentale.

              L'operatore forma (shape operator o di Weingarten)  \(S_P : T_PM \to T_PM\) definito tramite la derivata del campo normale alla superficie lungo le curve.

              Lemma: l'operatore forma è un endomorfismo simmetrico.

              La matrice di \(S_P\) rispetto alla base \(\{\varphi_u, \varphi_v\}\).

              Gli autovalori dell'operatore forma.

              LEZIONE 19 -- 3 dicembre 2014 

              La curvatura normale \(k_n\): definizione e relazione con la seconda forma fondamentale.

              La formula \(k_n(\mathbf{u}) = S_P(\mathbf{u})\cdot \mathbf{u}\) che mostra come tutte le curve \(\beta(s)\) con vettore tangente \(\mathbf{u}\) abbiano la stessa curvatura normale (teorema di Meusnier).

              La formula di Eulero: \( k_n(\mathbf{u}) = k_1\cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta\)

              Le curvature principali sono il massimo e il minimo delle curvature normali.

              Esempi: catenoide ed elicoide, le loro parametrizzazioni, le I forme fondamentali e l'isometria fra loro.


            • 8 dicembre - 14 dicembre

              LEZIONE 20 -- 9 dicembre2014

              Integrazione di forma differenziali (su \(\mathbf{R}^n\)).

              Definizione di \(k\)-cubo singolare. Il gruppo delle \(k\)-catene singolari.

              Bordo di una catena \(\partial c\).

              Proposizione: \(\partial^2 = 0\) (senza dimostrazione).

              Definizione di integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena.

              Teorema di Stokes. Sia \(c\) una \(k\)-catena in \(A \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(\omega\) una \((k-1)\)-forma su \(A\). Allora \( \int_{c} d\omega = \int_{\partial c} \omega\)


              LEZIONE 21 -- 10 dicembre 2014 

              Esempi ed esercizi sulle \(k\)-catene: come scrivere una corona circolare, una sfera (superficie), una palla (sfera piena), un toro.

              Teorema di Gauss-Green nel piano.


              • 15 dicembre - 21 dicembre

                LEZIONE 22 -- 16 dicembre2014

                La forma volume \(dV\) su \(\mathbf{R}^3\).
                L'elemento d'area \(dA\) su una superficie e la definizione di area.

                Il teorema della divergenza.
                Il teorema del rotore.

                La derivata tangenziale (covariante) \(\nabla_u\mathbf{a}\) di un campo vettoriale \(\mathbf{a}\).

                La non commutatività delle derivate tangenziali e la formula \(\nabla_v\nabla_u\mathbf{a} - \nabla_u\nabla_v\mathbf{a} = (\mathbf{n_u} \wedge \mathbf{n_v}) \wedge \mathbf{a}\)
                La formula \(\mathbf{n_u} \wedge \mathbf{n_v} = \lambda \mathbf{n}\) con \(\lambda = K \sqrt{EG - F^2}\)


                LEZIONE 23 -- 17 dicembre 2014 

                Curvatura geodesica \(\kappa_g\) di una curva \(\gamma\) su una superficie \(S \subseteq \mathbf{R}^3\).

                Il teorema di Gauss-Bonnet (versione locale). Se \(\gamma\) è una curva liscia, chiusa, semplice su \(S\) che racchiude una regione \(R\), allora \(\int_\gamma \kappa_g\, ds = 2\pi - \int_R K\, dA\)

                Somma degli angoli di un triangolo su una superficie: \(\sum \alpha_i = \pi + \int_\gamma \kappa_g\, ds + \int_R K\, dA\)

                Il teorema di Gauss-Bonnet (versione globale). Per una superficie  connessa, compatta, orientabile e senza bordo \(M \subseteq \mathbf{R}^3\) si ha \( \int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)\) dove \(\chi(M)\) è la caratteristica di Eulero di \(M\).


                • 12 gennaio - 18 gennaio

                  LEZIONE 24 -- 13 gennaio 2015

                  Esercitazione in preparazione della prova scritta.