Attività settimanale

  • Geometria Superiore - 2014/15

    Corso da 9 o 6 CFU (72/48 ore), II semestre, Laurea Magistrale in Matematica

    Docenti: Cristiana Bertolin
               Cinzia Casagrande

    Orario: mar (aula S), mer (aula Lagrange) e ven (aula S) 14-16

    Ricevimento studenti:
    Casagrande: giovedi' 15.30-16.30, oppure su appuntamento

    Programma di massima:
    1) Lemma di Poincare', coomologia di de Rham delle varieta' differenziabili. Fasci e coomologia di fasci (Cech); fasci soft; teorema di De Rham astratto.
    2) Funzioni olomorfe di piu' variabili e varieta' complesse. Coomologia di Dolbeault. Superfici di Riemann. Teorema di Riemann-Roch e applicazioni (tempo permettendo).
    3) Algebra omologica: complessi e gruppi di coomologia, risoluzioni iniettive e proiettive, funtori derivati, esempi espliciti: estensioni parametrizzate dagli Exti e torsori parametrizzati dagli Hi, categorie derivate.

    Esame: l'esame e' orale. All'orale potra' essere richiesto lo svolgimento di un esercizio da un elenco che verra' assegnato alla fine del corso (vedere files qui sotto). Il programma per l'esame da 6 CFU e' formato dai punti 1) e 2) del programma.

    Testi di riferimento per la parte 1) e 2):

    Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces
    Abate-Tovena, Geometria Differenziale
    Lee, Introduction to Smooth Manifolds
    Griffiths-Harris, Principles of Algebraic Geometry
    Huybrechts, Complex Geometry
    Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

    Testi di riferimento per la parte 3):

    Weibel, An introduction to homological algebra
    Kashiwara and Schapira, Categories and sheaves

    Un sito utile per gli studenti di matematica:

    http://math.stackexchange.com/

  • 2 marzo - 8 marzo

    Mar 3/3, 14-16 (C): Prefasci e fasci di gruppi abeliani. Esempi: funzioni continue, funzioni e forme differenziabili su varieta' differenziabili, funzioni olomorfe sul piano complesso, fasci costanti, fasci grattacielo. Morfismi di (pre)fasci. Esempi: differenziale di forme; esponenziale di funzioni olomorfe; valutazione in un punto. Spiga di un (pre)fascio in un punto, germe di una sezione in un punto. Fascio associato a un prefascio.

    Mer 4/3, 14-16 (C): Il fascio associato al prefascio delle funzioni costanti e' il fascio delle funzioni localmente costanti (fascio costante). Omomorfismo sulle spighe indotto da un morfismo di (pre)fasci. Fascio nucleo, esempi: il fascio delle p-forme chiuse su una varieta' differenziabile come nucleo del differenziale. Morfismi di fasci iniettivi. Un morfismo di fasci e' iniettivo se e solo se lo e' sulle spighe. Un morfismo di fasci e' isomorfismo se e solo se lo e' sulle spighe. Discussione sull'immagine di un morfismo di fasci: in generale associando ad U l'immagine di fU si ottiene un prefascio e non un fascio. Esempi: 1) il differenziale: una forma puo' essere esatta localmente ma non globalmente; 2) l'esponenziale complesso: una funzione olomorfa mai nulla puo' ammettere logaritmo localmente ma non globalmente. Enunciato del Lemma di Poincare'. Definizione di fascio immagine tramite il fascio associato al prefascio; morfismi suriettivi di fasci. Un morfismo di fasci e' suriettivo se e solo se lo e' sulle spighe.

    Ven 6/3, 14-16 (C): Categorie e funtori, esempi (referenza di base per categorie e funtori: Lee. Una referenza piu' completa: Lang, Algebra).
    Complessi di cocatene, gruppi di coomologia di un complesso di cocatene. Morfismi di complessi. Omomorfismi in coomologia indotti da un morfismo di complessi. Complesso di De Rham associato ad una varieta' differenziabile, coomologia di De Rham come coomologia del complesso di De Rham. Omotopia liscia tra funzioni lisce tra varieta' differenziabili. Equivalenza omotopica liscia tra varieta' differenziabili. Teorema: la coomologia di de Rham e' invariante per equivalenza omotopica liscia. Inizio della dimostrazione: riduzione del teorema all'enunciato: Se X e' una varieta' differenziabile, le mappe i0,i1:X->XxI date da i0(x)=(x,0) e i1(x)=(x,1) inducono gli stessi omomorfismi tra i gruppi di coomologia di De Rham.

    Referenza per la parte sulla coomologia di Rham e il Lemma di Poincare': Lee, e anche: Abate-Tovena.

    • 9 marzo - 15 marzo

      Mar 10/3, 14-16 (C): La coomologia di De Rham e' invariante per equivalenza omotopica liscia: fine della dimostrazione. Applicazione a un aperto stellato di Rn: lemma di Poincare'. Successioni esatte. In una successione esatta finita di spazi vettoriali, la somma a segni alterni delle dimensioni e' zero. Successione esatta di Mayer-Vietoris per la coomologia di De Rham: enunciato. Applicazione: calcolo della coomologia di De Rham delle sfere.

      Mer 11/3, 14-16 (C): Successioni esatte corte di complessi di cocatene. Snake Lemma (costruzione dell'omomorfismo di connessione, ma senza dimostrazione dell'esattezza). Applicazione: costruzione della successione esatta di Mayer-Vietoris per la coomologia di De Rham. Integrale di n-forme su una varieta' differenziabile compatta e orientabile di dimensione n. Una n-forma di orientazione ha sempre integrale non nullo. Data V n-forma a supporto compatto su Rn, esiste una (n-1)-forma W a supporto compatto tale che V=dW se e solo se V ha integrale nullo su Rn (dimostrazione per induzione su n).   

      Ven 13/3, 14-16 (C): Se M e' una varieta' differenziabile compatta e orientabile di dimensione n, una n-forma su M e' esatta se e solo se ha integrale nullo, e HndR(M)=R. Altre proprieta' della coomologia di De Rham di una varieta' differenziabile M di dimensione n (senza dimostrazione): se M non e' compatta, o se M non e' orientabile, HndR(M)=0; se M e' compatta, tutti i gruppi di coomologia di De Rham hanno dimensione finita come spazi vettoriali reali; numeri di Betti. Prodotto cup in coomologia di De Rham. Dualita' di Poincare' per una varieta' differenziabile compatta e orientabile (senza dimostrazione). Calcolo dei gruppi di coomologia di De Rham di Rn meno un punto, e degli spazi proiettivi reali.
      Introduzione alla coomologia di fasci.  

      • 16 marzo - 22 marzo

        Referenze per la coomologia di Cech: Miranda, Abate-Tovena.

        Mar 17/3, 14-16 (C): Cocatene di Cech di un fascio relative a un ricoprimento aperto; operatori di cobordo. Coomologia di Cech di un fascio relativa a un ricoprimento aperto fissato. Isomorfismo tra H0(U,F) e il gruppo delle sezioni globali F(X). Esempio: coomologia della circonferenza a coefficienti nel fascio delle funzioni reali localmente costanti. Funtorialita': un morfismo di fasci induce un morfismo tra i complessi di Cech relativi allo stesso ricoprimento e quindi degli omomorfismi in coomologia. Dati due ricoprimenti aperti U e V, con V raffinamento di U, morfismo tra i complessi di Cech C*(U,F)->C*(V,F) indotto dalla scelta di una funzione di raffinamento. Teorema: l'omomorfismo in coomologia HUV:Hk(U,F)->Hk(V,F) non dipende dalla funzione di raffinamento (solo enunciato). Insiemi diretti, sistemi diretti di gruppi abeliani, limiti diretti di gruppi abeliani. Esempio: la spiga di un fascio di un punto. Proprieta' universale del limite diretto. 

        Mer 18/3, 13-15 (C): Coomologia di Cech di un fascio come limite diretto dei gruppi di coomologia relativi a un ricoprimento. Funtorialita': omorfismi in coomologia indotti da un morfismo di fasci. Il gruppo H0(X,F) e' isomorfo al gruppo delle sezioni globali di F. Successioni esatte corte di fasci, discussione delle proprieta' della successione delle sezioni globali. Esempi. Se X e' una varieta' differenziabile, il fascio immagine del differenziale e' il fascio delle forme chiuse (conseguenza del Lemma di Poincare'). Se X e' paracompatto e di Hausdorff, ogni successione esatta corta di fasci induce una successione esatta lunga in coomologia (solo enunciato). Per ogni ricoprimento aperto U, l'omomorfismo H1(U,F)->H1(X,F) e' iniettivo.

        Ven 20/3, 14-16 (C): Discussione di esercizi: calcolo della coomologia di Cech reale della sfera relativa a due ricoprimenti aperti diversi (uno raffinamento dell'altro), e degli omomorfismi di complessi indotti dalla scelta di una funzione di raffinamento. Calcolo della coomologia di De Rham di una superficie differenziabile compatta e orientabile di genere g, con Mayer-Vietoris.
        Costruzione del primo omomorfismo di connessione della successione esatta lunga in coomologia associata a una successione esatta corta di fasci, dimostrazione della buona definizione.

        • 23 marzo - 29 marzo

          Mar 24/3, 14-16 (C): I fasci delle p-forme differenziali su una varieta' differenziabile sono aciclici. Teorema astratto di De Rham. Teorema di De Rham: la coomologia di De Rham di una varieta' differenziabile e' isomorfa alla coomologia reale (di Cech). Isomorfismo esplicito nel caso del primo gruppo di coomologia. Relazione con l'omologia singolare (cenni), esempio: il toro con due buchi. Criterio perché un ricoprimento aperto calcoli la coomologia di Cech di un fascio F: se la coomologia degli aperti e di tutte le loro intersezioni, a coefficienti nel fascio F, e' nulla (senza dimostrazione). Caso del primo gruppo di coomologia: se per ogni aperto Ui del ricoprimento si ha H1(Ui,F)=0, allora il ricoprimento calcola H1(X,F). 

          Referenza per chi non ha visto analisi complessa di una variabile: Gilardi, Analisi 3.
          Referenze per la parte sulle varieta' complesse e superfici di Riemann:
          Miranda (specifico per le superfici di Riemann)
          Huybrechts, Griffiths-Harris (piu' generali)
          Un testo sulle superfici di Riemann che tratta gli aspetti piu' analitici: Donaldson, Riemann surfaces

          Mer 24/3, 13-15 (C): Richiami sulle funzioni olomorfe di una variabile. Comportamento locale di una funzione olomorfa. Singolarita' isolate, funzioni meromorfe, ordine di una funzione meromorfa in un punto. L'insieme delle funzioni meromorfe su un aperto connesso e' un campo. Cenni su funzioni olomorfe di piu' variabili.
          Varieta' complesse: carte locali complesse, atlante complesso, struttura complessa. Superfici di Riemann. Una varieta' complessa e' sempre orientabile. Genere topologico di una superficie di Riemann compatta. Esempio: il disco aperto non e' biolomorfo al piano complesso. Biolomorfismo tra il disco aperto e il semipiano superiore.

          Ven 27/3, 14-16 (C): Esempi di varieta' complesse: lo spazio proiettivo complesso. La sfera di Riemann. Grafici di funzioni olomorfe. Curve algebriche piane complesse (non singolari), affini e proiettive. Tori complessi. Esempi di varieta' differenziabili orientabili di dimensione pari che non ammettono struttura complessa: le sfere S4 e S2n per n almeno 4 (senza dimostrazione). Funzioni olomorfe su varieta' complesse, applicazioni olomorfe tra varieta' complesse, biolomorfismi. La retta proiettiva complessa e' biolomorfa alla sfera di Riemann. Rette e coniche nel piano proiettivo complesso.

          • 30 marzo - 5 aprile

            Mar 31/3, 14-16 (C): Sottovarieta' complesse dello spazio proiettivo come chiusi che sono localmente grafico di funzioni olomorfe. Teorema di Chow (solo enunciato): ogni sottovarieta' complessa dello spazio proiettivo e' una varieta' algebrica. Proprieta' delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann: teorema del massimo modulo, teorema della mappa aperta. Una funzione olomorfa su una superficie di Riemann compatta e' costante. Un'applicazione olomorfa tra superfici di Riemann compatte e' o costante o suriettiva. Singolarita' isolate e funzioni meromorfe su una superficie di Riemann. Ordine di una funzione meromorfa in un punto. Gli zeri e i poli di una funzione meromorfa non identicamente nulla su un aperto connesso sono un sottoinsieme discreto. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali.  

            Mer 1/4, 14-16 (C): Corrispondenza biunivoca tra funzioni meromorfe su una superficie di Riemann X e applicazioni olomorfe da X nella sfera di Riemann, non costanti in infinito. Divisori su una superficie di Riemann. Divisori principali, sottogruppo dei divisori principali. Grado di un divisore su una superficie di Riemann compatta. Un divisore principale su una superficie di Riemann compatta ha grado zero (senza dimostrazione). Esempi sulla sfera di Riemann. Divisori effettivi, ordine parziale sui divisori. Fascio O(D) delle funzioni meromorfe D tali che div(f)+D sia effettivo. Se X e' compatta e D ha grado negativo, H0(O(D))=0. Se D e' un divisore di grado d non-negativo sulla sfera di Riemann, H0(O(D)) e' isomorfo allo spazio vettoriale dei polinomi in C[z] di grado al piu' d.  

            • 6 aprile - 12 aprile

              Mer 8/4, 14-16 (C): Successione esatta di fasci 0->O(D-p)->O(D)->Cp->0 su una superficie di Riemann compatta X. Il primo gruppo di coomologia del fascio grattacielo è nullo. Successione esatta lunga in coomologia associata, studio delle proprietà. Applicazione: per ogni divisore D su X, H0(X,O(D)) ha dimensione finita, minore o uguale di deg(P)+1, dove P è la parte positiva di D. Teorema di Riemann-Roch in forma debole: se H1(X,O) ha dimensione finita, allora H1(X,O(D)) ha dimensione finita per ogni divisore D, e si ha:

              h0(O(D))-h1(O(D))=1-h1(O)+deg(D).

              Applicazioni: esistenza di funzioni meromorfe non costanti su X e di funzioni olomorfe non costanti su X meno un punto, sotto l'ipotesi che H1(X,O) abbia dimensione finita.
              Richiami sulle derivate di funzioni complesse rispetto a z e z coniugato.

              Ven 10/4, 14-16 (C): Spazio tangente complessificato come derivazioni C-lineari sui germi delle funzioni complesse C-infinito (su una superficie di Riemann). Base data dalle derivate rispetto a z e a z coniugato. Sottospazi T1,0 e T0,1 delle derivazioni che si annullano, rispettivamente, sui germi delle funzioni antiolomorfe/olomorfe; spazio tangente olomorfo e antiolomorfo. Interpretazione in termini di fibrati vettoriali. Forme differenziali complesse C-infinito su una superficie di Riemann, differenziale, coomologia di De Rham complessa. I gruppi di coomologia di De Rham complessa sono isomorfi al prodotto tensoriale della coomologia di De Rham reale con C; gruppi di coomologia di De Rham complessa di una superficie di Riemann compatta. Espressione delle forme e del differenziale in coordinate locali usando dz e la sua coniugata; pull-back di 1-forme tramite cambiamento di coordinate olomorfo; spazio cotangente olomorfo e antiolomorfo; 1-forme di tipo (1,0) e di tipo (0,1). Operatori ∂ e  \overline{\partial} su funzioni e 1-forme, proprieta' e espressione in coordinate. Una funzione f e' olomorfa se e solo se  \overline{\partial}(f)=0 . Definizione di 1-forma olomorfa.

              • 13 aprile - 19 aprile

                Mar 14/4, 14-16 (C): L'unica 1-forma olomorfa sulla sfera di Riemann e' la forma nulla. Esempi di 1-forme su un toro complesso: esistenza di una 1-forma olomorfa non nulla dz.
                Complessi di Dolbeault e coomologia di Dolbeault su una superficie di Riemann. Teorema di Dolbeault: enunciato. Formula di Cauchy disomogenea per funzioni complesse C-infinito su un disco aperto nel piano complesso.   \overline{\partial} -Poincare' Lemma su un disco aperto nel piano complesso. Applicazioni: ogni forma di tipo (0,1) su una superficie di Riemann e' localmente    \overline{\partial} -esatta, ogni 2-forma su una superficie di Riemann e' localmente    \overline{\partial} -esatta.


                Mer 15/4, 14-16 (B): Forma normale locale per le mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Definizione di molteplicità di una mappa olomorfa in un punto, e di grado di una mappa olomorfa. Risulati elementari sul grado di una mappa olomorfa, in particolare la somma degli ordini di una funzione meromorfa su una superficie di Riemann compatta è zero.


                Ven 17/4, 14-16 (B): Numero di Eulero di una superficie di Riemann. Formula di Hurwitz. Mappe olomorfe tra tori complessi. Funzioni meromorfe sui tori complessi.

                • 20 aprile - 26 aprile

                  Mar 21/4, 14-16 (C): Dimostrazione del teorema di Dolbeault per superfici di Riemann.  \partial\overline{\partial} -Lemma per superfici di Riemann compatte (solo enunciato). Applicazione: il gruppo di coomologia di Dolbeault  H^{0,1}_{\overline{\partial}}(X) e H1(X,OX) hanno dimensione finita. Sottospazi H1,0(X) e H0,1(X) del primo gruppo di coomologia di de Rham complessa di X. Decomposizione di Hodge per una superficie di Riemann compatta; H1,0(X) e H0,1(X) hanno entrambi dimensione uguale al genere di X. Isomorfismi tra H1,0(X) e lo spazio vettoriale delle 1-forme olomorfe su X, e tra H0,1(X) e il gruppo di coomologia di Dolbeault   H^{0,1}_{\overline{\partial}}(X) . Conseguenze: H1(X,OX) e lo spazio vettoriale delle 1-forme olomorfe su X hanno entrambi dimensione uguale al genere di X.
                  Prima applicazione di Riemann-Roch: una superficie di Riemann compatta di genere zero e' isomorfa alla sfera di Riemann.
                  Calcolo della molteplicita' della proiezione su un asse di una curva algebrica non singolare in C2 (inizio).

                  Mer 22/4, 14-16 (C): Calcolo della molteplicita' della proiezione su un asse di una curva algebrica non singolare in C2. Superfici di Riemann compatte iperellittiche: costruzione tramite l'incollamento di due curve algebriche non singolari in C2. Costruzione di un'applicazione olomorfa di grado 2 a valori nella sfera di Riemann, e calcolo dei punti di ramificazione. Determinazione del genere tramite la formula di Hurwitz. Base esplicita per lo spazio vettoriale delle 1-forme olomorfe.

                  Ven 24/4, 14-16 (C): Applicazione olomorfa da una superficie di Riemann compatta X nello spazio proiettivo N-dimensionale definita da N+1 funzioni meromorfe non identicamente nulle. Applicazione fD associata a un divisore D, definita da una base di H0(O(D)). Punti base, come passare da D a un divisore senza punti base. Studio dell'iniettivita' di fD per un divisore D senza punti base: fD(p)=fD(q) se e solo se H0(O(D-p-q))=H0(O(D-p))=H0(O(D-q)). L'applicazione fD e' iniettiva se e solo se h0(O(D-p-q))=h0(O(D))-2 per ogni coppia di punti distinti p,q di X. Definizione di embedding: fD e' un embedding quando Y=fD(X) e' una sottovarieta' complessa di PN; in tal caso fD induce un isomorfismo tra X e Y. Quando D e' senza punti base e fD e' iniettiva, fD e' un embedding nell'intorno di un punto p se H0(O(D-2p)) e' un sottospazio proprio di H0(O(D-p)). Conclusione: se D e' un divisore tale che h0(O(D-p-q))=h0(O(D))-2 per ogni coppia di punti p,q di X, allora fD e' un embedding. Esempio: isomorfismo tra la sfera di Riemann e una conica piana non-singolare indotto da un divisore di grado 2 sulla sfera di Riemann.
                  Teorema: se un divisore D ha grado >2g-2, allora h1(O(D))=0 (senza dimostrazione). Applicazione: se D ha grado >2g, allora fD e' un embedding. Corollario: ogni superficie di Riemann compatta e' proiettiva.

                  • 27 aprile - 3 maggio

                    Mar 28/4, 14-16 (B): Divisori, divisori principali, gruppo di picard, 1-forme meromorfe, divisore canonico. Esempi: la retta proiettiva.

                    Mer 29/4, 14-16 (B): I divisori sui tori complessi. Teorema di Abel.

                    Fine del corso per l'esame da 6 CFU

                    • 4 maggio - 10 maggio

                      Mar 5/5, 14-16 (B):  Categoria additiva e funtore additivo. Categoria abeliana. Funtori esatti. Esempi. L'aggiunto sinistro è esatto a destra e l'aggiunto destro è esatto a sinistra (dimostrato).


                      Mer 6/5, 14-16 (B):  Complesso di (co)-catene, gruppi di (co)-omologia, quasi-isomorfismi, traslato di un complesso, bicomplesso, omotopia, morfismi omotopi a 0, morfismi omnotopi. Se f* è omotopo a 0 allora H*(f)=0. Se f* e g* sono omotopi, allora H*(f)=H*(g). Del-funtore (co)-omologico. Esempi. Modulo proiettivo. Caratterizzazione dei moduli proiettivi. Risoluzione sinistra, risoluzione proiettiva.


                      Ven 8/5, 14-16 (B):  In una categoria con abbastanza proiettivi, ogni oggetto ammette una risoluzione proiettiva.Due risoluzioni proiettive sono omotopicamente equivalenti. Modulo iniettivo. Caratterizzazione dei moduli iniettivi. Risoluzione destra, risoluzione iniettiva. Relazione tra funtori aggiunti, iniettivi e proiettivi.

                      • 11 maggio - 17 maggio

                        Mar 12/5, 14-16 (B):  Funtori derivati sinistri L_nF. F-aciclicità dei proiettivi. Gli L_nF sono additivi e formano un del-funtore
                        omologico. Funtori derivati destri R^nF.


                        Mer 13/5, 14-17 (B):   Esempi di funtori derivati. La categoria delle estensioni di A per B, Ext(A,B). La somma di Baer di due estensioni.


                        Ven 15/5, 14-16 (B):  Pull-back e push-down di estensioni. La somma di Baer di due estensioni. Teorema: le classi d'isomorfismo di estensioni di A per B formano un gruppo abeliano isomorfo a Ext^1(A,B).

                        • 18 maggio - 24 maggio

                          Mar 19/5, 14-16 (B):  I funtori derivati destri R^i Gamma(X,-)=H^i(X,-). La categoria dei G-torsori, Tors(G). Il prodotto contratto di due torsori.


                          Mer 20/5, 14-16 (B):  Teorema: le classi d'isomorfismo di G-torsori formano un gruppo abeliano isomorfo a H^1(G).


                          Gio 21/5, 14-16 (B):  Lemma: H^0 è un funtore coomologico. Sistema moltiplicativo. Localizzazione di una categoria.

                          • 25 maggio - 31 maggio

                            Mar 26/5, 14-17 (B): Localizzazione di una categoria triangolata. Categorie derivate.


                            Mer 27/5, 14-16 (B): Funtori derivati nelle categorie derivate.

                            • 1 giugno - 7 giugno