Attività settimanale

  • Introduzione

    GEOMETRIA 2




    DOCENTI:

    Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    Prof. Alberto COLLINO

    email: alberto.collino@unito.it

    tel.: 011 670 2899


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono TRE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda degli indirizzi e del corso di laurea.

    • Matematica, indirizzo TEORICO (MFN1628): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO (MFN1250): il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre.


    ORARIO:

    • LUN 14:30 - 16:30
    • MAR 16:30 - 18:30
    • MER 12:30 - 14:30
    • GIO 16:30 - 18:30 

    Tutte le lezioni si svolgono in Aula A (nel cortile)


    RICEVIMENTO DOCENTI:

    • su appuntamento (telefonare o mandare email)


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Assiomi di separazione. Connessione. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Azioni propriamente discontinue e quozienti. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Rivestimenti.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Orientabilità. Il teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione.

    4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Endomorfismi semisemplici e nilpotenti. Decomposizione di Jordan astratta.

    5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, dualità punti-iperpiani, grassmanniane. Classificazione proiettiva delle quadriche, con particolare attenzione alle coniche piane e alle quadriche nello spazio. Curve algebriche piane: equazioni omogenee, discussione di componenti irriducibili, punti lisci e singolari, flessi. Cubiche piane: forma di Weierstrass, legge di gruppo.


    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. Ricordiamo che 1 CFU = 8 ore di lezione. I programmi d'esame sono:

    • Matematica, indirizzo TEORICO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO: 1 + 2 + 3+ 4
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1. e 2.

    W. S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology , Springer per le parti 2. e 3.

    G. Occhetta, Geometria III scaricabile liberamente per le parti 2. e 3.

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente per la parte  3.

    Vi sono delle note del docente, disponibili nei materiali didattici su Campusnet e qui sotto, per la parte 4.

    N. Hitchin, Projective Geometry, Chapter 1 e 2, scaricabile liberamente per la parte  5.

    A. Dancer, Projective Geometry, scaricabile liberamente per la parte 5.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili dalla pagina di Campusnet di Geometria 2 Teorico (MFN 1628), per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).

    Vi sono delle note del docente ad integrazione dei due testi precedenti che riguardano la geometria del piano proiettivo. Esse trattano inoltre della  operazione di gruppo sulle curve cubiche, sulla pagina di Campusnet. le note verranno probabilmente sottoposte a ulteriore revisione. Per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).




    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.



    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    • La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 3 ore (2 ore gli studenti di MatFin). Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    • Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame  in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    • La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 


    PROVE SCRITTE PRECEDENTI:

    Troverete qui sotto i testi delle prove scritte. A volte saranno presenti anche le soluzioni.


  • 28 settembre - 4 ottobre

    TOPOLOGIA GENERALE

    LEZIONE 1 -- 28 settembre 2015 

    Introduzione al corso.

    Discussione sulla definizione di continuità per funzioni da \( {\bf R}\) in \( {\bf R}\) in termini di intorni e la definizione di aperto in \( {\bf R}\).

    Teorema. \(f :  {\bf R} \to  {\bf R}\) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto è un aperto.

    Proprietà degli aperti in \( {\bf R}\).

    Definizione di spazio topologico: assiomi degli aperti.

    Chiusi e definizione di topologia medianti i chiusi.

    Esempi: topologia euclidea in \( {\bf R}\), in \( {\bf R}^2\), topologia dei complementari finiti.

    Distanze su \( {\bf R}^2\): distanza euclidea, distanza del sup, distanza in norma 1.



    LEZIONE 2 -- 29 settembre 2015 

    Definizione di spazio metrico. Esempi: metriche \(d_2\) e \(d_\infty\) su \({\bf R}^n\) e su \(C([0,1])\).

    Topologia indotta da una metrica. Le topologie indotte da \(d_2\) e \(d_\infty\) su \({\bf R}^n\) coincidono.

    Basi di aperti per una topologia. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.

    Definizione di chiusura, interno, frontiera di un insieme.

    Definizione di insieme denso.



    LEZIONE 3 -- 30 settembre 2015 

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20 e Lemma 3.21)

    Sistema fondamentale di intorni (Definizione 3.22), assiomi degli intorni (Esercizio 3.14).

    Definizione di funzione continua (in termini di aperti), aperta, chiusa, omeomorfismo. Esempi di funzioni continue non chiuse,

    esempi di funzioni continue biunivoche che non sono omeomorfismi.

    Definizione di funzione continua in un punto tramite gli intorni.

    Teorema. Una funzione fra spazi topologici è continua se e solo se è continua in ogni punto. (Teorema 3.28)


    Esempi di topologie: topologia banale, topologia discreta. La topologia discreta è indotta da una metrica.

    Relazione di finezza fra topologie.

    Esercizio: la topologia di Sorgenfrey (Esempio 3.9)



    LEZIONE 4 -- 1 ottobre 2015
    Topologia indotta su un sottospazio. La topologia di sottospazio è la meno fine fra quelle che rendono continua l'inclusione.

    Prodotto di due spazi topologici. La topologia prodotto è la meno fine fra quelle che rendono continue le due proiezioni. I prodotti di aperti sono una base della topologia prodotto (nel caso dei prodotti finiti).



  • 5 ottobre - 11 ottobre

    LEZIONE 5 -- 5 ottobre 2015 

    Proprietà universale della topologia di sottospazio (3.54): se \(Y\subseteq X\) è dotato della topologia di sottospazio e \(i : Y \to X\) è l'inclusione, allora

    \( \forall Z, \forall f : Z \to Y, \quad f \text{ è continua} \iff i\circ f \text{ è continua} \)


    Proprietà universale della topologia prodotto (3.61, punto 3): se \(X \times Y\) è dotato della topologia prodotto e \(p : X \times Y \to X\) e \(q : X \times Y \to Y\) sono le proiezioni, allora

    \( \forall Z, \forall f : Z \to X\times  Y, \quad f \text{ è continua} \iff p\circ f \text{ e } q\circ f \text{ sono continue} \)


    Definizione di spazio di Hausdorff (o spazio T2).
    Esempi: ogni spazio metrico è di Hausdorff, ogni spazio infinito con la topologia cofinita non è di Hausdorff.

    Teorema (3.69). \(X\) è di Hausdorff \(\iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).
    Conseguenze: siano \(f, g : X \to Y\) continue, con \(Y\) di Hausdorff. Allora
    • il luogo dove coincidono è un chiuso (3.70)
    • se coincidono su un insieme denso, allora coincidono dappertutto (esercizio 3.57)


    Definizione di spazio connesso. Condizioni equivalenti alla connessione (Definizione 4.1, Lemma 4.2)

    Teorema (4.6). L'intervallo \([0, 1]\) è connesso nella topologia euclidea.


    LEZIONE 6 -- 6 ottobre 2015 

    Teorema (4.7). L'immagine (mediante una funzione continua) di un connesso è connessa.

    Definizione di arco continuo (cammino) e di connessione per archi.


    Lemma (4.9). Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Lemma (4.10). Se \(A\) e \(B\) sono connessi per archi e \(A\cap B \ne \emptyset\) allora \(A \cup B\) è connesso per archi

    Definizione di moltiplicazione di cammini: \( f = g*h\) come il cammino che si ottiene percorrendo prima \(g\) e poi \(h\).


    Osservazione: Per sottoinsiemi di \(\mathbf{R}^n\) con la topologia euclidea,

    Convesso \(\implies\) connesso per archi \(\implies\) connesso


    Corollario (4.13). Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}^n\)

    Convesso (cioè intervallo) \(\iff\) connesso per archi \(\iff\) connesso


    Esercizio 3.6 Esistono infiniti numeri primi: svolgimento completo dell'esercizio.




    LEZIONE 7 -- 7 ottobre 2015
    La sfera \(S^n\) è connessa (per archi) se \(n \ge 1\).

    Lemma (4.16). Se \(n \ge 1\), non ci sono funzioni continue e iniettive da \(S^n\) a \(\mathbf{R}\).

    Corollario (4.17). Per \(n\ge 2\) gli aperti di \(\mathbf{R}^n\) e \(\mathbf{R}\) non possono essere omeomorfi.

    Teorema (invarianza della dimensione). Siano \(A \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(B \subseteq \mathbf{R}^m\) due aperti. Se \(A\) è omeomorfo a \(B\), allora \(n = m\). (SOLO ENUNCIATO)

    Controesempi per \(A\) aperto ma \(B\) non aperto.


    Teorema (4.22). Sia \(Y \subseteq W \subseteq \overline{Y}\). Se \(Y\) è connesso, allora \(W\) è connesso. In particolare, se \(Y\) è connesso, allora la sua chiusura \(\overline{Y}\) è connessa.

    Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi: la chiusura del grafico della funzione \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\)



    LEZIONE 8 -- 8 ottobre 2015
    Definizione di componente connessa di uno spazio topologico.

    Lemma (4.23). Unione di connessi con un punto in comune è connessa.

    Teorema (4.27). Uno spazio topologico è unione (disgiunta) delle sue componenti connesse. Le componenti connesse sono chiuse.


    Esercizi

    3.47

    Il prodotto di due spazi connessi è connesso.




  • 12 ottobre - 18 ottobre

    LEZIONE 9 -- 12 ottobre 2015
    Definizione di ricoprimento (4.30)

    Definizione di spazio compatto (4.35)

    Teorema (4.38). L'immagine continua di uno spazio compatto è compatta.

    Teorema (4.39). L'intervallo chiuso \([0,1]\) è compatto (nella topologia euclidea).

    Proposizione (4.41). Un chiuso in un compatto è compatto.

    Proposizione (4.48). Un compatto in un Hausdorff è chiuso. (dimostrazione senza il teorema di Wallace).

    Teorema (4.49). Il prodotto di due compatti è compatto. (dimostrazione senza il teorema di Wallace. Vedi sotto per la pagina del libro di Jänich con la dimostrazione fatta a lezione)

    Conseguenze:

    1. un sottoinsieme \(X\) di \(\mathbf{R}\) è compatto \(\iff\) \(X\) è chiuso e limitato
    2. se \(X\) è compatto e \(f : X \to \mathbf{R}\) è continua, allora \(f\) ha massimo e minimo
    3. un sottoinsieme \(X\) di \(\mathbf{R}^n\) è compatto \(\iff\) \(X\) è chiuso e limitato



    LEZIONE 10 -- 13 ottobre 2015

    ESERCIZI

    1. proiezione stereografica: \(p : S^n - \{N\} \to \mathbf{R}^n\) è un omeomorfismo
    2. compattificazione con un punto di uno spazio topologico \(X\)
    3. Hausdorff \(\implies\) unicità del limite (di successioni)
    4. Proposizione (3.61, punto 2). Siano \(X, Y\) spazi topologici, \(X\times Y\) il prodotto e \(\bar x\) un punto di \(X\). Allora \(\{\bar x\} \times Y\) (con la topologia di sottospazio indotta dal prodotto) è omeomorfo a \(Y\). Dimostrazione con le proprietà universali di sottospazio e prodotto. Sul libro c'è una dimostrazione usando la base della topologia prodotto.
    5. Esercizio 4.16 sulla connessione




    LEZIONE 11 -- 14 ottobre 2015 

    Lemma (4.18). Sia \(f: X \to Y\) continua e suriettiva. Se

    • \(Y\) è connesso
    • tutte le fibre \(f^{-1}(y)\) sono connesse
    • \(f\) è aperta (oppure chiusa)

    allora: \(X\) è connesso


    Gruppi topologici: definizione.

    Esempi: \((\mathbf{R}^n, +)\), \((\mathbf{C}^n, +)\)

    Gruppi di matrici reali: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\)

    Gruppi di matrici complessi: \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\)

    Osservazione: il gruppo \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) non è connesso.

    Proposizione (4.58). Il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso.


    LEZIONE 12 -- 15 ottobre 2015
    Richiami su relazioni di equivalenza e insiemi quoziente.

    Proprietà universale del quoziente (per gli insiemi). Sia \(\sim\) una relazione di equivalenza su \(X\) e \(\pi : X \to X/\!\sim\) la proiezione canonica. Per ogni funzione \(f : X \to Y\)

    \( \exists \, h : X/\!\sim \to Y \text { tale che } f = h\circ \pi \iff f \text{ è costante sulle fibre di } \pi\)

    Azione di un gruppo su un insieme: definizione, relazione di equivalenza indotta, classi di equivalenza (orbite). (Ci sarà un file qui sotto con alcune note sulle azioni di gruppi.)

    Esempi di azioni:
    • \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per moltiplicazione (ci sono due orbite)
    • \(\mathbf{Z}\) che opera su \(\mathbf{R}\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}/\mathbf{Z} = S^1\)
    • \(\mathbf{R}^*\) che opera su \(\mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\}\) per moltiplicazione (omotetia): il quoziente è lo spazio proiettivo reale \(\mathbf{RP}^n\)
    • \(G = \{1, -1\}\) che opera sulla sfera \(S^n\) per moltiplicazione   

    Determinazione dello spazio proiettivo reale per \(n = 0, 1, 2\) (punto, retta proiettiva, piano proiettivo)

    \( \mathbf{RP}^n = \mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\} / \mathbf{R}^* = S^n/\{1, -1\} \)

    \( \mathbf{RP}^n = \mathbf{R}^n \cup \mathbf{RP}^{n - 1} \)

  • 19 ottobre - 25 ottobre

    LEZIONE 13 -- 19 ottobre 2015 

    Topologia quoziente: è la topologia più fine che rende continua la proiezione sul quoziente. Vale la seguente caratterizzazione: sia \(\pi : X \to X/\!\sim\) la proiezione. Allora

    \(A \text{ è aperto in } X/\!\sim \iff \pi^{-1}(A) \text{ è aperto in } X\)


    Proprietà universale del quoziente (per gli spazi topologici). Sia \(\sim\) una relazione di equivalenza sullo spazio topologico  \(X\) e \(\pi : X \to X/\!\sim\) la proiezione canonica e sia \( X/\!\sim\) dotato della topologia quoziente. Per ogni funzione \(f : X \to Y\), dove \(Y\) è uno spazio topologico

    \( \exists \, h : X/\!\sim \to Y \textbf{ continua } \text{tale che } f = h\circ \pi \iff f \textbf{ è continua }\text{ (ed è costante sulle fibre di } \pi)\)


    Esempi: aperti nella topologia della retta proiettiva reale e nel piano proiettivo reale.

    Osservazione:
    1. quoziente di uno spazio connesso è connesso
    2. quoziente di uno spazio compatto è compatto
    3. quoziente di uno spazio di Hausdorff non è sempre di Hausdorff (esempio: la retta con due origini)


    Condizioni affinché un quoziente di Hausdorff sia Hausdorff:

    Teorema (5.14) (solo \(2 \implies 1\))

    Sia \(\pi : X \to X/\!\sim\) un quoziente, con \(X\) compatto e di Hausdorff. Se \(\pi\) è chiusa, allora \(X/\!\sim\) è di Hausdorff.

    La dimostrazione fatta a lezione è diversa da quella sul libro. Vedi sotto per la pagina del libro di Kosniowski, Teorema 8.11 con la dimostrazione fatta a lezione. Leggere anche i Corollari 8.12 (= Manetti, Corollario 5.19) e 8.13



    LEZIONE 14 -- 20 ottobre 2015 

    Quozienti per omeomorfismi (paragrafo 5.3)

    Proposizione (5.15). Sia \(G \subseteq \text{Omeo}(X)\) che agisce su \(X\) in modo naturale. Allora la proiezione \(\pi : X \to X/\!\sim\) è un'applicazione aperta. Se \(G\) è finito, allora \(\pi\) è anche chiusa.


    Corollario (5.19). Se \(G\) è un gruppo finito di omeomorfismi che opera su uno spazio compatto e di Hausdorff, allora il quoziente è di Hausdorff.

    Esempi di azioni per omeomorfismi:

    1. \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per moltiplicazione (ci sono due orbite): il quoziente NON è di Hausdorff
    2. \(G = \{1, -1\}\) che opera sulla sfera \(S^n\) per moltiplicazione: il quoziente è di Hausdorff e cioè gli spazi proiettivi reali sono spazi di Hausdorff.


    Proposizione (5.17). (solo enunciato)  Sia \(X\) uno spazio di Hausdorff e \(G \subseteq \text{Omeo}(X)\) che agisce su \(X\) in modo naturale. Se esiste un sottoinsieme \(A\subseteq X\) aperto che incontra tutte la classi di equivalenza, e tale che l'insieme

    \( \{g \in G \mid g(A) \cap A \ne \emptyset\}\)

    è finito, allora il quoziente \(X/G\) è di Hausdorff.

    Altri esempi di azioni per omeomorfismi. Tutti questi quozienti sono spazi di Hausdorff, utilizzando opportunamente la Proposizione 5.17:

    1. \(\mathbf{R}^*\) che opera su \(\mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\}\) per moltiplicazione (omotetia): il quoziente è lo spazio proiettivo reale \(\mathbf{RP}^n\)
    2. \(\mathbf{Z}\) che opera su \(\mathbf{R}\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}/\mathbf{Z} = S^1\)
    3. \(\mathbf{Z}^n\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}^n/\mathbf{Z}^n =\)  toro \(n\)-dimensionale = \(S^1 \times \dots \times S^1\)


    LEZIONE 15 -- 21 ottobre 2015

    Breve ripasso sulla nozione di cardinalità di un insieme. Il prodotto di insiemi numerabili è numerabile (primo procedimento diagonale di Cantor).

    Primo e secondo assioma di numerabilità. Esempi:

    1. ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma (Lemma 6.11)
    2. la retta reale \(\mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.2)
    3. il prodotto di due spazi che soddisfano il secondo assioma soddisfa il secondo assioma e quindi \(\mathbf{R}^n\) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.4)
    4. secondo assioma \(\implies\) primo assioma

    Definizione di spazio separabile.

    Lemma (6.6). Secondo assioma \(\implies\) separabile.

    Discussione sugli assiomi della teoria degli insiemi. Sistema assiomatico ZF (Zermelo-Fraenkel).

    L'Assioma della Scelta (leggere il paragrafo 2.4). Uso dell'assioma della scelta nella dimostrazione del lemma 6.6.

    Lemma (6.7). Spazio metrico + separabile \(\implies\) secondo assioma

    Osservazione: primo assioma + separabile NON implica secondo assioma (Esempio 6.12, senza dimostrazione)


    Successioni: definizione di successione convergente, punto di accumulazione, sottosuccessione.

    Relazioni fra topologia e successioni:

    Proposizione (6.18). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il primo assioma e sia \(A\subseteq X\). Sono equivalenti:

    1. esiste una successione a valori in \(A\) che converge ad \(x\)
    2. il punto \(x\) è di accumulazione per una successione a valori in \(A\)
    3. il punto \(x\) appartiene alla chiusura di \(A\)



    LEZIONE 16 -- 22 ottobre 2015

    Relazioni fra la compattezza topologica e la compattezza per successioni.

    Proposizione (4.46). Una catena numerabile discendente di chiusi, compatti non vuoti ha intersezione non vuota.

    Lemma (6.19). In uno spazio compatto ogni successione ha un punto di accumulazione.

    Definizione di spazio compatto per successioni.

    Lemma (6.20). Per uno spazio \(X\) che soddisfa il primo assioma sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto per successioni
    2. ogni successione in \(X\) ha un punto di accumulazione

    Proposizione (6.9). Se \(X\) soddisfa il secondo assioma, ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento numerabile.


    Proposizione (6.22). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma. Sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto
    2. ogni successione a valori in \(X\) ha punti di accumulazione
    3. \(X\) è compatto per successioni

    NOTA: \(1. \implies 2.\) è il lemma 6.19 e quindi vale per ogni spazio topologico, \(2. \implies 3.\) è il Lemma 6.20 e quindi vale per tutti gli spazi che soddisfano il primo assioma. Solo \(3. \implies 1.\) richiede il secondo assioma




  • 26 ottobre - 1 novembre

    LEZIONE 17 -- 26 ottobre 2015
    Successioni di Cauchy in uno spazio metrico

    Lemma (6.25). Una successione di Cauchy è convergente se e solo se ha punti di accumulazione.

    Definizione di spazio metrico completo.

    Esempi: gli spazi metrici compatti sono completi.

    Teorema (6.27). \(\mathbf{R}^n\) è uno spazio metrico completo.


    Completamento di uno spazio metrico (paragrafo 6.6)

    Definizione di completamento, costruzione dell'insieme \(\hat X\), definizione della funzione \(\hat d\).



    LEZIONE 18 -- 27 ottobre 2015
    Teorema (6.47). Per ogni spazio metrico \((X, d)\), lo spazio \((\hat X, \hat d)\) è un completamento.

    Teorema (6.48). Il completamento di uno spazio metrico è unico a meno di isometrie (solo enunciato)

    Esempio: Il completamento di \(\mathbf{Q}\) rispetto alla distanza euclidea è \(\mathbf{R}\)


    Esempio: la norma \(p\)-adica su \(\mathbf{Q}\). Ci sarà un foglio di esercizi facoltativo su questo argomento.

    Questo argomento non è richiesto per l'esame, ma potrebbe essere oggetto di domande per la lode.


    Fine del programma di TOPOLOGIA GENERALE



    OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    LEZIONE 19 -- 28 ottobre 2015

    Definizione di omotopia fra funzioni.

    Esempi di funzioni omotope.

    Lemma (10.11). L'omotopia è una relazione di equivalenza.

    Lemma (10.13). L'omotopia rispetta la composizione di funzioni.

    Definizione di spazi omotopicamente equivalenti o con lo stesso tipo di omotopia.

    Esempi:

    1. \(\mathbf{R}^n \sim \{*\}\)
    2. \(\mathbf{R}^n - \{0\} \sim S^n\)
    3. \(\mathbf{R}^3 - retta \sim S^1\)

    Definizione di spazio contraibile.

    Componenti connesse per archi. L'insieme \(\pi_0(X)\).



    LEZIONE 20 -- 29 ottobre 2015
    Una funzione continua \(f: X \to Y\) induce una funzione di insiemi \(\pi_0(f) : \pi_0(X) \to \pi_0(Y)\).

    Proprietà:
    1. \(\pi_0(id_X) = id_{\pi_0(X)}\)
    2. \(\pi_0(g \circ f) = \pi_0(g) \circ \pi_0(f) \)

    Invarianza omotopica: se \(f, g : X \to Y\) sono omotope, allora \(\pi_0(f) = \pi_0(g)\).

    Conseguenza: l'insieme \(\pi_0(X)\) dipende solo dal tipo di omotopia di \(X\).


    Spazio dei cammini \(\Omega(X, a, b)\) e operazioni di "giunzione di cammini" \(\alpha * \beta\) e "inversione" \(i(\alpha)\).

    Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia rispetta la giunzione e l'inversione.

    Proposizioni (11.4 - 11.6).  A meno di omotopia:

    1. La giunzione è associativa, cioè \( \alpha * (\beta * \gamma) \sim (\alpha * \beta) * \gamma \)
    2. Il cammino costante è un elemento neutro per la giunzione.
    3. \(i(\alpha)\) è l'inverso di \(\alpha\) rispetto alla giunzione.


    Definizione di gruppo fondamentale \(\pi_1(X, a) = \Omega(X, a, a) /\sim\), dove \(\sim\) è l'omotopia a estremi fissi.


  • 2 novembre - 8 novembre

    LEZIONE 21 -- 2 novembre 2015 

    Lemma (11.13).   Un cammino \(\gamma\) che unisce i punti \(a\) e \(b\) induce un isomorfismo

    \( \gamma_\sharp : \pi_1(X, a) \to \pi_1(X, b) \)

    In particolare, se \(X\) è connesso per archi, la classe di isomorfismo del suo gruppo fondamentale non dipende dal punto base.


    Una funzione continua \(f : X \to Y \) induce un omomorfismo \( f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) tale che

    1. \((id_X)_* = id_{\pi_1(X)}\)
    2. \((g \circ f)_* = g_* \circ f_* \)

    Proposizione (11.19). Sia \(F: X \times I \to Y \) un'omotopia fra \(f\) e \(g\) e sia \(\gamma(s) = F(a, s)\) il cammino indotto da \(F\) che unisce \(f(a)\) a \(g(a)\). Allora

    \( g_* = \gamma_\sharp \circ f_* \)


    Teorema (11.22). Se \(f : X \to Y\) è una equivalenza omotopica, allora \(f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) è un isomorfismo, e quindi la classe di isomorfismo del gruppo fondamentale dipende solo dal tipo di omotopia di uno spazio.

    Applicazione: non esistono funzioni continue \( f : D^2 \to S^1\) che sono l'identità ristrette al bordo (occorre usare il fatto che \(\pi_1(S^1)\) è non banale, fatto che verrà visto in seguito).




    LEZIONE 22 -- 3 novembre 2015 

    Teorema (del numero di Lebesgue) (11.23). Sia \(f : Y \to X\) una funzione continua, \((Y, d)\) spazio metrico compatto, \(\mathcal{A}\) un ricoprimento aperto di \(X\). Allora esiste un numero reale \(\delta > 0\) tale che ogni palla di raggio minore di \(\delta\) in \(Y\) ha immagine contenuta in un aperto del ricoprimento.


    Teorema (van Kampen, generatori) (11.25). Sia \(X = A \cup B\) con \(A, B, A \cap B\) aperti connessi per archi, sia \(x_0 \in A \cap B\) e siano \(f : A \to X\) e \(g : B \to X\) le inclusioni. Allora \(\pi_1(X, x_0)\) è generato dalle immagini di \(f_*\) e \(g_*\).

    Conseguenze:

    1. Corollario (11.26). Se \(A\) e \(B\) sono semplicemente connessi, allora \(X\) è semplicemente connesso
    2. Corollario (11.27). La sfera \(S^n\) è semplicemente connessa per ogni \(n \ge 2\)
    3. Corollario (11.28). \(\mathbf{R}^n\) meno un numero finito di punti è semplicemente connesso, per ogni \(n \ge 3\)


    LEZIONE 23 -- 4 novembre 2015

    Il gruppo fondamentale della circonferenza. Abbiamo seguito l'impostazione di Kosniowski, vedi sotto per le pagine del libro con le dimostrazioni fatte a lezione.

    Lemma (Kosniowski, 16.1). Proprietà della mappa \(e : \mathbf{R} \to S^1\) data da \( t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\).

    Teorema (Kosniowski, 16.4). Esistenza e unicità del sollevamento di cammini con punto iniziale assegnato.

    Definizione del grado di un cammino: \(\deg \alpha = \tilde\alpha(1)\).

    Lemma
    (Kosniowski, 16.5). Esistenza e unicità del sollevamento di omotopie con punto iniziale assegnato.

    Corollario (Kosniowski, 16.6. Teorema di monodromia). Se \(\alpha\) e \(\beta\) sono cammini in \(S^1\) omotopi allora \(\deg \alpha = \deg \beta\).

    Teorema (Kosniowski, 16.7). \(\pi_1(S^1, 1) \cong \mathbf{Z}\)



    LEZIONE 24 -- 5 novembre 2015
    Proposizione (11.17). Il gruppo fondamentale del prodotto di due spazi è isomorfo al prodotto diretto dei due gruppi fondamentali.

    Definizione di retratto (10.18). Se \(A\) è un retratto di \(X\), allora l'inclusione induce una mappa iniettiva fra i gruppi fondamentali (pag. 206, osservazione dopo le proprietà funtoriali dell'omomorfismo indotto)

    Corollario (12.38). La circonferenza \(S^1\) non è un retratto del disco \(D^2\).

    Corollario (Teorema del punto fisso di Brouwer) (12.39). Ogni funzione continua \(f : D^2 \to D^2\) possiede almeno un punto fisso.


    Teorema fondamentale dell'algebra (Gauss, 1799). Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha (almeno) una radice complessa.


    La dimostrazione vista a lezione segue il testo di Munkres, vedi sotto per il file con le due pagine del libro. Per maggiori informazioni sulla storia del Teorema fondamentale dell'algebra, si può vedere

    http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html

    In generale, tutto il sito

    http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

    è una ottima fonte di notizie sulla storia della matematica.





    Fine del programma di OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MATFIN

  • 9 novembre - 15 novembre

    CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE


    LEZIONE 25 -- 9 novembre 2015

    Definizione di varietà topologica di dimensione \(n\): uno spazio topologico di Hausdorff, a base numerabile e localmente euclideo, cioè ogni punto ha in intorno omeomorfo ad una palla aperta di \(\mathbf{R}^n\).

    Esempi: in dimensione 1 ci sono solo la retta \(\mathbf{R}\) e la circonferenza \(S^1\).

    In dimensione 2: sfera, toro \(T\), piano proiettivo reale \(P\), bottiglia di Klein \(K\).

    Costruzione di superfici mediante identificazione dei lati di un poligono. Lo spazio ottenuto è sempre di Hausdorff.

    Definizione di somma connessa.

    Enunciato del Teorema di classificazione: Ogni superficie topologica connessa e compatta è omeomorfa ad una delle seguenti:

    • \(S^2\) = sfera
    • \( T_g \) = somma connessa di \( g \) tori, \( g \ge 1 \)
    • \( P_n \) = somma connessa di \( n \) piani proiettivi, \( n \ge 1 \)
    e le superfici indicate nella lista sono tutte non omeomorfe fra loro.



    LEZIONE 26 -- 10 novembre 2015
    La somma connessa nella rappresentazione poligonale. Primi esempi di "taglia e incolla":

    Lemma. La bottiglia di Klein \(K\) è omeomorfa alla somma connessa di due piani proiettivi, \(K = P \sharp P\).
    Teorema. La somma connessa di un toro e di un piano proiettivo è omeomorfa alla somma connessa di tre piani proiettivi,

    \( T \sharp P =  P \sharp P \sharp P \)


    Primo passo nella dimostrazione del teorema di classificazione:
    Teorema di Radó: Ogni superficie topologica connessa e compatta è triangolabile.
    Corollario: ogni superficie si ottiene da un poligono con un numero pari di lati, identificando i lati a due a due.

    Discussione sull'esistenza di una decomposizione in simplessi (= triangoli di dimensione superiore) per le varietà di dimensione \( n \):

    1. in dimensione 1 la decomposizione esiste: ovvio, una circonferenza è omeomorfa ad un poligono
    2. in dimensione 2 la decomposizione esiste: vale il teorema di Radó (1925), la cui dimostrazone è piuttosto difficile
    3. in dimensione 3 la decomposizione esiste: vale il teorema di Moise (1950), la cui dimostrazione è molto difficile
    4. in dimensione \(\ge 4\) la decomposizione non esiste sempre e se esiste non sempre è unica: lavori di Kirby-Siebenmann, Freedman, Donaldson, Manolescu, vedi triangolazioni e Hauptvermutung  (Hauptvermutung = congettura principale)




    LEZIONE 27 -- 11 novembre 2015

    Secondo passo della dimostrazione del teorema di classificazione:

    L'algoritmo del "taglia e incolla": ogni superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono è omeomorfa ad una superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono in forma standard.

    Descrizione completa dei 4 passi dell'algoritmo.

    Discussione sul numero dei lati del poligono iniziale e finale:

    • il passo 1 altera il numero dei lati
    • i passi 3 e 4 (eseguiti dopo il passo 2) non alterano il numero dei lati (ESERCIZIO!!)




    LEZIONE 28 -- 12 novembre 2015
    Terzo (e ultimo) passo della dimostrazione del teorema di classificazione:
    Invarianti topologici: orientabilità e caratteristica di Eulero

    Il nastro di Möbius non è orientabile.

    Definizione: una superficie è orientabile se non contiene nastri di Möbius.

    Il piano proiettivo reale non è orientabile (contiene un nastro di Möbius).

    Orientabilità di uno spazio vettoriale reale: una orientazione su uno spazio vettoriale corrisponde alla scelta di una base. Due basi danno la stessa orientazione se la matrice del cambiamento di base ha determinate positivo.

    Teorema: una superficie non orientabile (che contiene un nastro di Möbius) non può essere immersa in \(\mathbf{R}^3\).

    Schema della dimostrazione seguendo le note di Hitchin. Questa dimostrazione non è richiesta per l'esame, ma potrebbe essere oggetto di domande per la lode.

    Corollario: una somma connessa di piani proiettivi  non è omeomorfa a una somma connessa di tori.

  • 16 novembre - 22 novembre

    LEZIONE 29 -- 16 novembre 2015
    Esercizi: svolgimento di alcuni esercizi sul "taglia e incolla".

    La caratteristica di Eulero: discussione sulle suddivisioni di una superficie, sulla caratteristica di Eulero di un poliedro, sulla formula di Eulero e sulla sua validità.

    Teorema. Sia \(S\) una superficie topologica. Allora

    1. tutte le suddivisioni della superficie \(S\) hanno la stessa caratteristica di Eulero, che si può quindi scrivere come \(\chi(S)\)
    2. se \(T\) è una superficie omeomorfa a \(S\), allora \(\chi(T) = \chi(S)\)

    (senza dimostrazione).


    Proprietà della caratteristica di Eulero:

    1. \(\chi(X \cup Y) = \chi(X) + \chi(Y) - \chi(X \cap Y) \)
    2. se \(X\) e \(Y\) sono superfici topologiche, allora \(\chi(X \sharp Y) = \chi(X) + \chi(Y) - 2\)


    Corollario (conclusione della dimostrazione del teorema di classificazione).

    • \( \chi(S^2) = 2 \)
    • \( \chi(T_g) = 2 - 2g \)
    • \( \chi(P_n)  = 2 - n \)
    e quindi le superfici nell'enunciato del teorema di classificazione sono tutte non omeomorfe fra loro a due a due.


    LEZIONE 30 -- 17 novembre 2015
    L'algoritmo del "taglia e incolla" semplificato: enunciato preciso della forma semplificata dell'algoritmo e dimostrazione nel caso del passo 3. Vedi sotto per le note con la dimostrazione completa.


    Come scrivere l'equazione in \(\mathbf{R}^3\) di una superficie omeomorfa ad una somma di \(g\) tori: il caso della sfera, del toro e del toro con due buchi. Il caso generale.


    Fine del programma di CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE


    LA FORMA CANONICA DI JORDAN


    LEZIONE 31 -- 18 novembre 2015

    Diagonalizzazione simultanea:

    Teorema. Siano  \(A\) e \(B\) due matrici quadrate diagonalizzabili. Esiste una base formata da autovettori comuni (cioè \(A\) e \(B\) sono diagonalizzabili simultaneamente) se e solo se \(AB = BA\).


    Funzioni di matrici: polinomi valutati con argomenti matrici. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo\(K[t]\) è a ideali principali. L'ideale \(I_A\) associato ad una matrice.

    Definizione. Il polinomio minimo di \(A\), \(m_A(t)\) è l'unico generatore monico di \(I_A\).

    Osservazione. \(I_A\) è sempre un ideale non nullo: se \(A\) è una matrice quadrata di ordine \(n\), esistono sempre polinomi non nulli di grado \(n^2\) in \(I_A\) e quindi \(\deg m_A(t) \le n^2\).


    Teorema di Cayley-Hamilton. Il polinomio caratteristico \(c_A(t) = \det(tI - A)\) appartiene ad \(I_A\), cioè \(c_A(A) = 0\).

    Corollario: \(m_A(t)\) è un divisore di \(c_A(t)\), e in particolare \(\deg m_A(t) \le n\).


    LEZIONE 32 -- 19 novembre 2015
    Teorema. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno le stesse radici, cioè

    \(m_A(\alpha) = 0 \iff \alpha\) è un autovalore.


    Relazione fra diagonalizzabilità, polinomio caratteristico e polinomio minimo: esempi di matrici che esibiscono comportamenti differenti.

    Teorema. Una matrice quadrata complessa \(A\) è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità \(1\).


    Definizione di blocco di Jordan \(J_k(a)\). Diagonale principale e sovradiagonale. Autovalori e autovettori associati ad un blocco di Jordan.

    Definizione. Una matrice è in forma di Jordan se ha tutti blocchi di Jordan lungo la diagonale principale e zero altrove.

    Teorema. (esistenza e unicità della forma di Jordan). Ogni matrice quadrata complessa è simile ad una matrice in forma di Jordan. Inoltre, la forma di Jordan è unica a meno di permutazione dei blocchi.


  • 23 novembre - 29 novembre

    LEZIONE 33 -- 23 novembre 2015
    Dimostrazione del teorema sulla forma di Jordan. Prima parte: la determinazione di una base di \(\ker B^p\).

    Esercizi per costruire la base di \(\ker B^p\).



    LEZIONE 34 -- 24 novembre 2015
    Dimostrazione del teorema sulla forma di Jordan. Seconda parte: i vettori individuati sono effettivamente una base di \(\ker B^p\).

    La funzione esponenziale in campo complesso. Definizione tramite serie di potenze e dimostrazione delle proprietà fondamentali.



    LEZIONE 35 -- 25 novembre 2015
    Esponenziale di una matrice. Stime sulla norma del prodotto di matrice. Convergenza della serie che definisce l'esponziale di una matrice.

    Esponenziale di matrici simili e di matrici a blocchi.

    Formula per l'esponenziale di un blocco di Jordan.

    Esempi e esercizi sul calcolo dell'esponenziale di una matrice.


    LEZIONE 36 -- 26 novembre 2015

    Esercizi

    1. determinazione della forma di Jordan (e della base relativa) di una matrice
    2. basi di autovettori conmuni per matrici diagonalizzabili che commutano


    Fine del programma di LA FORMA CANONICA DI JORDAN


    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MODELLISTICO

  • 30 novembre - 6 dicembre

    GEOMETRIA PROIETTIVA


    LEZIONE 37 -- 30 novembre 2015

    Preliminari elementari  di geometria affine nel piano.
    Discussione della necessità di completare il piano affine con i punti all'infinito.
    Preliminari informali di geometria proiettiva del piano, si spiega come il piano proiettivo si ottenga dal piano affine aggiungendo i punti impropri.
    Si enunciano gli assiomi del piano proiettivo.
    Spazio proiettivo \( P(V) \).
    Sottospazi lineari.


    LEZIONE 38 -- 1 dicembre 2015

    Dimostrazione che vi è sempre una retta per due punti di  \( \mathbf{P}(V) \).
    Dimostrazione che vi è sempre un punto comune a due rette distinte di
    un piano  \( \mathbf{P}(V) \).
    Le coordinate omogenee.
    Formula per la equazione della retta passante per due punti distinti in \( \mathbf{P}^2 \).
    Formula per le coordinate del punto comune a due rette distinte.
    Osservazione che le rette nel piano proiettivo sono associate al piano proiettivo determinato dallo spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado 1.
    Enunciato di Desargues e di Pappo.


    LEZIONE 39 -- 2 dicembre 2015

    Definizione di proiettività.
    Definizione di \( (n+2) \) vettori in posizione generale in spazio vettoriale \(V\) di dimensione \( (n+1) \).
    Proprietà equivalenti per \( (n+2) \) vettori ad essere in posizione generale.
    Definizione di posizione generale per  \( (n+2) \) punti  in spazio proiettivo  \( \mathbf{P}(V) \) di dimensione \(n\).
    Enunciato del teorema di posizione generale.
    Dimostrazione della parte della esistenza del teorema di posizione generale.
    Dimostrazione del fatto che due trasformazioni lineari \(T\) ed \(S\) da \(V\) in \(W\) che inducono proiettività da \( \mathbf{P}(V) \) in \( \mathbf{P}(W) \) che operano allo stesso modo su  \( (n+2) \) vettori punti  in posizione generale sono proporzionali, e quindi le trasformazioni proiettive sono la stessa.
    In particolare notiamo che se due trasformazioni lineari inducono la stessa proiettività allora esse sono proporzionali.
    Esempio esplicito, tre punti sono in posizione generale su una retta se  e solo se sono tutti distinti.
    Quattro punti sono in posizione generale nel piano se  e solo se sono tre a tre non allineati.


    LEZIONE 40 -- 3 dicembre 2015

    Revisione della definizione di \( n+2 \) punti in posizione generale in \( \mathbf{P}^n\), nel caso della retta e del piano sopratutto.

    Dimostrazione del teorema di Desargues.

    Dimostrazione del teorema di Pappo.

    Brevi considerazioni sul principio di Dualità.

    Si comincia a descrivere nei dettagli la immersione del piano affine nel proiettivo.




  • 7 dicembre - 13 dicembre

    NO LEZIONE -- 7 dicembre 2015


    NO LEZIONE -- 8 dicembre 2015


    LEZIONE 41 -- 9 dicembre 2015

    Sommario: Il birapporto, definizione, enunciato  e dimostrazione delle sue proprietà.

    Dettagli:Si dà la definizione di birapporto, cross ratio, di 4 punti sulla retta proiettiva. Si enunciano e si provano alcune proprietà, tra cui la invarianza del birapporto per trasformazioni proiettive. Si osserva che dati 3 punti \( P_i \) in posizione generale ed un valore \( t \), esiste ed è unico il punto \( Q \) per cui il birapporto \( \beta(P_0, P_1, P_2 , Q) = t\). Si prova che date due quaterne distinte di punti sulla retta proiettiva con lo stesso birapporto allora esiste una proiettività che manda la prima quaterna nella seconda.
    Si  ripetono le varie proprietà del birapporto, di come esso vari variando  l'ordine dei punti dati. Si insegna come costruire graficamente il quarto armonico di tre punti \(A, B, P, \) su una retta proiettiva. Si dimostra che la costruzione è corretta.


    LEZIONE 42 -- 10 dicembre 2015

    Sommario:Relazioni tra la geometria del piano affine e quella del piano proiettivo. Punti impropri etc.

    Dettagli: Si inizia descrivendo con cura il piano di Fano, il piano proiettivo sul campo \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \).
    Si spiega la relazione tra il piano affine ed il piano proiettivo.
    Più in generale si illustra la relazione tra il lo spazio affine e lo spazio proiettivo di ugual dimensione.  Si osserva la ragione per cui il punto ulteriore sulla retta proiettiva si chiama il punto all'infinito. Si illustra  e si prova con i calcoli necessari  la relazione tra le rette dell'affine e le rette del proiettivo, nel caso del piano. Quindi rette parallele nell'affine hanno lo stesso punto all'infinito.  Data la definizione di curva algebrica nel piano affine e nel piano proiettivo. Si dice senza prova come passare dalla curva proiettiva alla curva affine. Si commenta come i punti all'infinito di una curva corrispondano con la intersezione con la retta all'infinito. Si calcolano tali punti nel caso di coniche affini di semplice equazione.


    • 14 dicembre - 20 dicembre

      LEZIONE 43 -- 14 dicembre 2015

      Sommario:Polinomi omogenei di grado 2  e iperquadriche proiettive.

      Dettagli: La lezione inizia ricordando come il completamente dei quadrati porti alla formula per la risoluzione delle equazione di secondo grado. Successivamente si enuncia il teorema di trasformazione in forma standard del polinomio omogeneo di secondo grado a coefficienti in un campo di caratteristica diversa da 2. Si dà la definizione di iperquadrica. Si osserva come il teorema della forma standard permette di capire semplicemente le iperquadriche dentro la retta proiettiva.  Si prova il teorema suddetto, usando il metodo del completamento dei quadrati. Si spiega cosa l'enunciato dica nel caso del corpo dei reali e di quello dei numeri complessi.  Continuiamo seguendo le note di Dancer ad Oxford, definendo forma bilineare \( B \)  simmetrica e forma quadratica \( Q \) tra loro associate, e spiegando come trovare \( B \) data \( Q \). Ulteriormente si dice come fissata la base il dato di \( B \) equivale al dato di una matrice simmetrica invertibile. Si pone il problema di come vari la matrice, cambiando la base.


      LEZIONE 44 -- 15 dicembre 2015

      Sommario: Relazione di Congruenza per Matrici Simmetriche. Classificazione delle iperquadriche proiettive. Parametrizzazione razionale della conica liscia.


      Dettagli:Si prova come  cambiando la base vari la matrice della forma bilineare simmetrica, e si prova che la variazione è tramite congruenza. Si usa il teorema di diagonalizzazione per descrivere la classificazione delle coniche proiettive e più in generale delle iperquadriche proiettive. Si produce l'isomorfismo conica liscia con retta proiettiva e conseguente formula esplicita per la parametrizzazione razionale della conica. Applicazione della formula suddetta al calcolo delle terne pitagoriche. 


      LEZIONE 45 -- 16 dicembre 2015

      Per la parte sulle curve algebriche piane, i riferimenti dei lemmi, teoremi, ... sono alle pagine del libro di M. Hindry (che trovate più sotto). Le definizioni iniziali (curva algebrica, componenti, retta tangente, ...) si possono trovare nelle note di N. Hitchin sulle curve algebriche

      http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/hitchinnotes.html

      pagine 17-19.


      Definizione di curva algebrica piana proiettiva complessa, come luogo di zeri di un polinomio a coefficienti complessi omogeneo in tre variabili.

      Grado di una curva, componenti irriducibili tramite la fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi in tre variabili.

      Intersezioni retta-curva: molteplicità di intersezione in un punto come molteplicità algebrica della radice associata.

      Lemma B.1.13: una retta e una curva irriducibile di grado \(d\) si incontrano esattamente in \(d\) punti, contati con le opportune molteplicità.


      LEZIONE 46 -- 17 dicembre 2015

      Intersezione conica-curva: la parametrizzazione razionale di una conica permette di definire la molteplicità di intersezione in un punto.

      Lemma B.1.14: una conica e una curva irriducibile di grado \(d\) si incontrano esattamente in \(2d\) punti, contati con le opportune molteplicità.


      I due lemmi precedenti sono casi particolari del Teorema di Bézout, di cui vediamo solo l'enunciato.

      Teorema di Bézout (solo enunciato, versione semplice) Siano \(C_1\) e \(C_2\) due curve algebriche piane proiettive complesse di gradi rispettivamente \(m\) e \(n\). Se \(C_1\) e \(C_2\) si incontrano in più di \(mn\) punti, allora hanno una componente in comune.

      In effetti è possibile definire la molteplicità di intersezione in un punto di due curve di grado qualunque. Con questa definizione (che non abbiamo visto) si dimostra il

      Teorema di Bézout (solo enunciato, versione completa) Siano \(C_1\) e \(C_2\) due curve algebriche piane proiettive complesse di gradi rispettivamente \(m\) e \(n\) senza componenti in comune. Allora \(C_1\) e \(C_2\) si incontrano esattamente in \(mn\) punti, contati con le opportune molteplicità.


      Definizione di retta tangente ad una curva proiettiva. Equazione proiettiva della retta tangente. La retta tangente in coordinate affini. Relazioni fra le due equazioni.

      Il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: se \(f(x,y,z)\) è un polinomio omogeneo di grado \(n\), allora

      \( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} +z \frac{\partial f}{\partial z} = n\cdot f\)


      • 21 dicembre - 27 dicembre

        LEZIONE 47 -- 21 dicembre 2015
        Lo spazio vettoriale \(S_{n,d}\) dei polinomi omogenei di grado \(d\) in \(n+1\) variabili.

        Lo spazio vettoriale \(S_{n,d}(P_1, \dots, P_r)\) dei polinomi che si annullano nei punti \(P_1, \dots, P_r\): l'annullarsi in un punto è una condizione lineare sui coefficienti dei polinomi e lo spazio \(S_{n,d}(P_1, \dots, P_r)\) si ottiene come la soluzione di un sistema omogeno di equazioni lineari ed è quindi un sottospazio vettoriale di \(S_{n,d}\).

        Le ipersuperfici di grado \(d\) in \(\mathbf{P}^n\) (e cioè i luoghi di zeri di un polinomio omogeneo di grado \(d\)) sono in corrispondenza biunivoca con i punti dello spazio proiettivo \(\mathbf{P}(S_{n,d})\).

        Lemma B.1.16. Le dimensioni sono:

        \( \dim S_{n,d} = \binom{n+d}{n}, \qquad \dim S_{n,d}(P_1, \dots, P_r) \ge \dim S_{n,d} - r \)


        Il caso \(n = 2\) e cioè le curve piane. Si ha: \(\dim S_{2, 2} = 6\) e quindi esiste sempre una conica che passa per 5 punti assegnati.


        Lemma B.1.18. Siano \(P_1, \dots, P_5\) punti assegnati nel piano. Se 4 dei 5 punti non sono mai allineati, allora esiste una unica conica per i 5 punti e cioè \( \dim S_{2,2}(P_1, \dots, P_5) = 1\).


        Il caso delle cubiche piane, e cioè \(n = 2, \ d = 3\).

        Lemma 5.1.3. Siano \(P_1, \dots, P_8\) punti distinti in \(\mathbf{P}^2\). Se 4 degli 8 punti non sono mai allineati e 7 degli 8 non sono mai su una conica, allora \( \dim S_{2,3}(P_1, \dots, P_8) = 2\).

        Lemma 5.1.4 (immediato corollario del precedente) Siano \C_1\) e \(C_2\) due cubiche piane, di cui una irriducibile, e \(P_1, \dots, P_9\) i punti di intersezione. Supponiamo che \(P_1, \dots, P_8\) siano distinti. Se una cubica \(C\) passa per \(P_1, \dots, P_8\) allora \(C\) passa anche per \(P_9\).



        LEZIONE 48 -- 22 dicembre 2015

        La legge di gruppo su una cubica non singolare.

        Definizione 5.1.1. Qui è descritto un procedimento geometrico per introdurre una operazione binaria fra i punti di una cubica piana complessa non singolare \(C\).

        Teorema 5.1.2. L'operazione definita in precedenza rende la cubica piana complessa non singolare \(C\) un gruppo abeliano.


        L'unica difficoltà nella dimostrazione del Teorema 5.1.2. è l'associatività . Questa viene provata tramite una costruzione geometrica e il Lemma 5.1.4.



        Fine del programma di GEOMETRIA PROIETTIVA


        FINE CORSO GEOMETRIA 2 TEORICO