Indice degli argomenti

  • Introduzione

    Topologia Algebrica 

    a.a. 2015/16



    DOCENTI: 

    Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    Prof. Federica GALLUZZI

    email: federica.galluzzi@unito.it

    tel.: 011 670 2903


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione) e si svolge nel PRIMO semestre.


    ORARIO:

    • LUN 12.30-14.30 (Aula 3), GIO 14.30-16.30 (Aula 3)


    RICEVIMENTO DOCENTI: 

    • su appuntamento (telefonare o mandare email)


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di due parti.

    1. Omotopia (Galluzzi):  

    Rivestimenti. Gruppo fondamentale. Relazioni tra rivestimenti e gruppo fondamentale.

    2. Omologia (Albano): I gruppi di omologia singolare - invarianza omotopica - omologia relativa - successioni esatte - la successione di Mayer-Vietoris - assiomi di Eilenberg-Steenrod che caratterizzano le teorie omologiche - CW-complessi e omologia cellulare - coomologia singolare


    TESTI CONSIGLIATI:

    Il programma del corso è standard e vi sono molti testi introduttivi di topologia algebrica. Il testo che verrà seguito è:

    Yves Félix, Daniel Tanré,  Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010

    Può risultare anche utile consultare:

    C. KOSNIOWSKI, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988.
    W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.
    A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001 (scaricabile gratuitamente)
    M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.
    J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.

    LINK A SITI UTILI

    I link seguenti sono a pagine di corsi simili a questo. Spesso contengono materiale scaricabile gratuitamente.


    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova orale.

    • Verrà predisposta una lista di esercizi da svolgere a casa prima dell'esame. Lo svolgimento di questi esercizi potrà essere chiesto all'esame.


    DATE ESAMI:


         1^ appello: lunedì
    25 gennaio 2016, ore 14, Aula 2 (se necessario, anche mercoledì 27 alle 14.00 in Aula 2)

         2^ appello: mercoledì 10 febbraio 2016, ore 9:30, Aula 1

         3^ appello: martedì 23 febbraio 2016, ore 9:30, Aula 3


    SCELTA argomento seminario: si prega di rispondere al questionario qui sotto, entro lunedì 14 dicembre. L'assegnazione definitiva sarà discussa in classe giovedì 17 dicembre (ultimo giorno di lezione). La scelta è libera, il questionario serve a voi per mettervi d'accordo.

  • Lunedì 28 settembre - Galluzzi 1

    Presentazione del corso. Motivazioni allo studio della topologia algebrica.

    Omotopia tra funzioni continue. Spazi omotopicamente equivalenti.

    Esempi. Retratti e retratti di deformazione.
    (Félix-Tanré Chapitre 1)
    • Giovedì 1 ottobre - Galluzzi 2

      Cammini (paths). Cammini omotopi. Prodotto tra cammini. Cappi (loops). Definizione di gruppo fondamentale. Dipendenza dal punto base.

      (Félix-Tanré Chapitre 1)

    • Lunedì 5 ottobre - Galluzzi 3

      Funtorialità del gruppo fondamentale. Teorema di invarianza omotopica (Théorème 1.17.) (dimostrazione alternativa: Teorema 15.12 e 15.13 Kosniowski).

      Se \(X\) e \(Y\) sono due spazi topologici si ha un isomorfismo
       \( \pi_1(X, x) \times \pi_1(X, x) \cong \pi_1(X\times Y,(x,y)) \)

      Se \(A \subset X\) è un retratto di \(X\) e \(a \in A\) allora l'omomorfismo indotto dall'inclusione  \(i_* : \pi_1 (A , a) \rightarrow \pi_1 (X,a)\) è iniettivo.

      Se \(A \subset X\) è un retratto di deformazione di \(X\) e \(a \in A\) allora gli omomorfismi indotti dall'inclusione e dalla retrazione sono equivalenze omotopiche e \(\pi_1(A , a) \cong \pi_1(X,a)\).

      Gruppo fondamentale di \(S^1\).

      (Félix-Tanré Chapitre 1)

      • Giovedì 8 ottobre - Galluzzi 4

        Spazi semplicemente connessi. Esempi di retratti e retratti di deformazione.

        Lemma di sollevamento dei cammini (su \(S^1\)).

        Definizione di grado (indice- winding number) di una curva su \(S^1\).

        (Félix-Tanré Chapitre 1 - Lemme 1.23, Definition 1.24)

        • Lunedì 12 ottobre - Galluzzi 5

          Lemma di sollevamento delle omotopie su \(S^1\) (senza dimostrazione).

          Il gruppo fondamentale di \(S^1\) è isomorfo a \(\mathbb{Z}\): dimostrazione.

          Applicazioni. Cenni alla definizione analitica di grado di un cappio su \( S^1\).

        • Giovedì 15 ottobre

          Lezione annullata

          • Lunedì 19 ottobre - Galluzzi 6 (13.00-14.30)

            Azione di un gruppo su un insieme. Definizione di \(G\)-spazio. Esempi. Orbite. Stabilizzatori.

            Se \(X\) è un \(G\)-spazio la mappa quoziente \(p : X \to X/G \) è aperta. (Félix-Tanré Chapitre 2 - 2.3)

            Rivestimenti. Esempi. (Félix-Tanré Chapitre 4 )
            • Giovedì 22 ottobre - Galluzzi 7

              Grado di un rivestimento. Prime proprietà dei rivestimenti. Esempi. Automorfismi di rivestimento.

              Sollevamento di cammini (cenni di dimostrazione). Sollevamento di omotopie (senza dimostrazione).

            • Lunedì 26 ottobre - Galluzzi 8 (13.00-14.30)

              Teorema di monodromia (Corollaire 4.7.) Un omomorfismo di rivestimenti è un rivestimento (senza dimostrazione). Struttura delle fibre di un rivestimento (Corollaire 4.8.). Criterio di sollevamento di una funzione continua per i rivestimenti (Théorème 4.10.) \(G\)-rivestimenti.

              Per la dimostrazione del Théorème 4.10 l'ipotesi che \(Y\) sia connesso per archi è necessaria per definire il sollevamento  \( \tilde f \). L'ipotesi che \(Y\) sia localmente connesso per archi è invece necessaria per dimostrare che \(\tilde f \) è continua. A p. 187 di Kosniowski trovate un esempio di uno spazio \(Y\) connesso per archi ma non localmente connesso per archi e di una funzione continua \(f\) che non ammette sollevamento continuo pur verificando la condizione \( f_*  \pi_1 (Y,y) \subset p_* \pi_1(E,\tilde x) \).

              • Giovedì 29 ottobre - Galluzzi 9 (14.30-16.00)

                Esempi di \(G\)-rivestimenti. Un rivestimento a 2 fogli è un \(G\)-rivestimento. Esempio di rivestimento che non è un \(G\)-rivestimento. Azione del gruppo degli automorfismi di rivestimento. 
                Dato un rivestimento \(p: E \to X\) l'insieme dei sottogruppi \(p_*(\pi_1(E, \tilde x))\) al variare di \(\tilde x \in p^{-1} (x)\) è una classe di coniugio in \(\pi_1(X, x)\) (Théorème 4.17).

                Condizioni per l'esistenza di isomorfismi di rivestimento (Théorème 4.18, Corollaire 4.19).

                Definizione di rivestimento universale. Un rivestimento universale su \(X\)  riveste qualsiasi altro rivestimento su \(X\). Il Corollaire 4.19 implica che due rivestimenti universali sulla stessa base sono isomorfi.


              • Lunedì 2 novembre - Galluzzi 10 (13.00-14.30)

                Azione a destra (transitiva) del gruppo fondamentale dello spazio base sulla fibra di un rivestimento. Conseguenze (Proposition 4.20).

                Legame tra azione del gruppo degli automorfismi di rivestimento sullo spazio che riveste e azione del gruppo fondamentale dello spazio base sulla fibra (Théorème 4.21). Conseguenza: un rivestimento universale ha solo rivestimenti banali (Corollaire 4.22). Rivestimenti di Galois. Condizioni equivalenti (Théorème 4.27). Se \(p: E \to X\)  è un rivestimento di Galois con \(E\) connesso per archi e localmente connesso per archi allora è un \(G\)-rivestimento. Un \(G\)-rivestimento è di Galois se lo spazio su cui agisce \(G\) è connesso per archi e localmente connesso per archi. In tal caso il gruppo \(G\) è isomorfo al gruppo degli automorfismi di rivestimento. (Théorème 4.29). Se \(p: E \to X\)  è un rivestimento di Galois, l'azione del gruppo fondamentale di \(X\) sulla fibra induce un isomorfismo di gruppi \(\pi_1 (X,x) / p_* \pi_1 (E, \tilde x) \cong  Aut(E, p, X) \) (Proposition 4.30).

                • Giovedì 5 novembre - Galluzzi 11

                  Calcolo del gruppo fondamentale della striscia di Mobius.

                  Esistenza del rivestimento universale (Théorème 4.34.: solo descrizione del rivestimento universale come insieme).

                  Costruzione di rivestimenti associati a classi di coniugio del gruppo fondamentale (Théorème 4.35 e Corollaire 4.36).

                  Applicazioni: rivestimenti della circonferenza. Rivestimenti a 2-fogli di \( S^1 \vee  S^1 \).

                  • Lunedì 9 Novembre - Albano 1

                    Panoramica sulle proprietà dei gruppi di omotopia superiore: sono sempre abeliani, ma sono difficili da calcolare.

                    Definizione di \(CW\)-complesso. Esempi: decomposizione cellulare del toro.

                    Enunciato del teorema di Whitehead.

                    Necessità di definire altri invarianti algebrici per distinguere gli spazi topologici: omologia.

                    Preliminari algebrici:

                    1. definizione di successione esatta di \(R\)-moduli ed esempi di successioni spezzate e non
                    2. definizione di complesso di catene \((C_*, d)\)
                    3. definizione di cicli, bordi, gruppi di omologia di un complesso
                    4. definizione di morfismo di complessi e mappa indotta in omologia, proprietà funtoriali
                    • Giovedì 12 novembre - Albano 2

                      Definizione di omotopia di catene (homotopie de chaînes, chain homotopy).

                      Proposition 5.6. Se \(f\) e \(g\) sono omotope, allora inducono lo stesso omomorfismo in omologia.


                      Successioni esatte corte di complessi (def. 5.7) e successione esatta lunga in omologia.

                      Definizione dell'omomorfismo di connessione (connectant, connecting homomorphism)

                      Théorème 5.8. Una successione esatta corta di complessi induce una successione esatta lunga in omologia.

                      Enunciati del lemma del serpente (Snake Lemma, Corollaire 5.9, vedi il link sotto per una dimostrazone) e del lemma dei cinque (Five Lemma, Lemme des cinq, Corollaire 5.10)


                      Per comprendere meglio il materiale fatto sui complessi e l'omologia, svolgere (almeno) gli esercizi 5.1, 5.2, 5.4, 5.5.

                      Per maggiori approfondimenti, svolgere gli esercizi 5.6, 5.7, 5.8. (le soluzioni degli esercizi sono sul libro, svolgere gli esercizi senza leggerle!)

                    • Lunedì 16 Novembre - Albano 3

                      Definizione di inviluppo convesso, simplesso in \(\mathbf{R}^n\), simplesso standard, complesso simpliciale finito in \(\mathbf{R}^n\) (da 5.12 a 5.20)

                      Complesso di catene simpliciali: simplessi orientati, mappa bordo, omologia simpliciale.

                      Esempio di calcolo di omologia simpliciale: l'omologia della circonferenza.


                      Gruppi abeliani liberi.

                      Teorema. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano libero di rango finito è libero.

                      Per dettagli sulla dimostrazione di questo teorema (che non è nel programma d'esame) si può vedere:

                      - Hungerford, Algebra, Theorem II.1.6 (e theorem II.2.1, II.2.2 per le applicazioni ai gruppi abeliani finitamente generati)

                      - Lang, Algebra, Theorem III.7.1


                      • Giovedì 19 novembre - Albano 4

                        Omologia singolare.

                        Definizione di simplesso singolare e faccia di un simplesso.

                        Il complesso delle catene singolari: definizione della mappa bordo \(d\).

                        Proposition 5.26. \(d^2 = 0\).

                        Esempi di calcolo di omologia singolare: l'omologia singolare di un punto, \(H_0(X)\) per uno spazio \(X\) connesso per archi (Proposition 5.28), la decomposizione dell'omologia singolare rispetto alle componenti connesse per archi (Proposition 5.29).


                        Lemme 5.31. Una funzione continua \(f: X \to Y\) induce un omomorfismo \(S(f): S_*(X) \to S_*(Y)\) fra i complessi di catene singolari e quindi delle mappe in omologia

                        \(H_n(f): H_n(X) \to H_n(Y), \qquad \forall n \ge 0\)

                        Théorème 5.32. Se \(f, g :X \to Y\) sono omotope, allora inducono la stessa mappa in omologia, cioè \(H_n(f) = H_n(g)\) per ogni \(n\ge 0\).

                        Conseguenza importante. L'omologia singolare è invariante per omotopia, cioè se gli spazi \(X\) e \(Y\) sono omotopicamente equivalenti, allora \(H_n(X) \cong H_n(Y)\) per ogni \(n\ge 0\). Di più, se \(f: X \to Y\) è una equivalenza omotopica, allora tutti gli omomorfismi indotti \(H_n(f)\) sono isomorfismi.

                        • Lunedì 23 Novembre - Albano 5

                          Omologia ridotta (Definition 5.30). Il complesso \(\tilde S_*(X)\) e la sua omologia \(\tilde H_*(X)\).


                          Omologia relativa ad un sottospazio \(A \subseteq X\). Cicli relativi (= catene con il bordo in \(A\)) e bordi relativi (= bordi a meno di catene supportate in \(A\)).

                          La successione esatta di complessi

                          \(0 \to S_*(A) \to S_*(X) \to S_*(X, A) \to 0\)

                          e la successione esatta lunga in omologia. L'omomorfismo di connessione \(\delta : H_q(X, A) \to H_{q-1}(A)\) è indotto dalla mappa bordo di una catena in \(X\).

                          Mappe fra coppie di spazi \(f : (X, A) \to (Y, B)\) e omotopie fra funzioni fra coppie.

                          Proposition 6.2. Se \(f, g : (X,A) \to (Y, B)\) sono omotope come funzioni fra coppie di spazi, allora inducono la stessa mappa in omologia relativa, cioè \(H_n(f) = H_n(g)\) per ogni \(n\ge 0\).

                          Relazioni fra omologia ridotta e omologia relativa. Omologia relativa ad un punto \(x_0 \in X\). L'omomorfismo di complessi di catene

                          \( q_X : \tilde S_*(X) \to S_*(X) \to S_*(X, \{x_0\})\)

                          Proposition 6.5. \(q_X\) induce un isomorfismo in omologia e quindi

                          \(\tilde H_*(X) \cong H_*(X, \{x_0\})\)

                          • Giovedì 26 novembre - Albano 6

                            Théorème 6.6. (Teorema delle catene \(\mathcal{U}\)-piccole). L'inclusione di complessi \(i : S^{\mathcal{U}}_* \to S_*(X)\) è un quasi-isomorfismo, cioè induce un isomorfismo fra i gruppi di omologia dei complessi.

                            Discussione dell'enunciato e (vaga) idea della dimostrazione. I dettagli della dimostrazione si trovano sul libro di Hatcher (Proposition 2.21) e NON sono in programma per l'esame.

                            Corollaire 6.7. Versione relativa del teorema precedente.


                            Conseguenze del teorema 6.6:

                            Corollaire 6.8. (Teorema di Mayer-Vietoris)

                            Applicazioni

                            1. omologia (ridotta) di un bouquet di due spazi
                            2. omologia delle sfere

                            Corollaire 6.9 (Teorema di escissione, versione 1)

                            Corollaire 6.10 (Teorema di escissione, versione 2)


                            Il file qui sotto, Eilenberg-Steenrod, è l'articolo originale in cui l'omologia viene presentata in forma assiomatica e viene dimostrata l'unicità dell'omologia per i complessi simpliciali. La lettura è semplice, interessante e obbligatoria.

                          • Lunedì 30 Novembre - Albano 7

                            Generatori espliciti dell'omologia \(H_1(S^1)\) della circonferenza e in generale di \(H_n(S^n)\) della sfera.

                            Definizione di grado di una funzione continua fra sfere della stessa dimensione.

                            Proposition 6.20.
                            Una riflessione ortogonale rispetto ad un iperpiano in \(\mathbf{R}^{n+1}\) induce una funzione di grado \(-1\) sulla sfera \(S^n\).


                            Conseguenze geometriche:

                            Proposition 6.21. La mappa antipodale di una sfera di dimensione \(n\) ha grado \((-1)^{n+1}\).

                            Proposition 6.22. Una funzione \(f : S^n \to S^n\) senza punti fissi è omotopa alla mappa antipodale.

                            Proposition 6.23. Per ogni funzione senza punti fissi fra sfere della stessa dimensione pari,  esiste un punto tale che \(f(x_0) = - x_0\).

                            Corollaire 6.24. Una sfera di dimensione pari non ammette un campo di vettori tangenti mai nullo.

                            Théorème 6.25. Una sfera ammette un campo di vettori tangenti mai nullo se e solo se è di dimensione dispari

                            Omologia relativa al complementare di un punto.

                            Proposition 6.26. L'omologia relativa di una varietà rispetto al complementare di un suo punto è isomorfa all'omologia ridotta di una sfera della stessa dimensione.

                            Théorème 6.27. (Teorema dell'invarianza della dimensione).

                            • Giovedì 3 dicembre - Albano 8

                              Proprietà omotopiche degli spazi cellulari (CW complessi finiti).

                              Théorème 2.8. (Estensione delle omotopie) 

                              Corollaire 2.9. Se \(Y\) si ottiene da uno spazio contraibile \(X\) incollando una cella (oppure un numero finito di celle), allora la mappa quoziente \(q : Y \to Y/X\) è un'equivalenza omotopica.

                              In generale, se \(X\) si ottiene da \(A\) aggiungendo un numero finito di celle, c'è una relazione fra l'omologia di \(X\) relativa ad \(A\) e l'omologia dello spazio quoziente:

                              Proposition 6.11. Sia \(X = A \cup_f e^n \dots\) e sia \(p: X \to X/A\) la mappa quoziente.
                              Allora \(p\) induce un isomorfismo in omologia \( H_*(p) : H_*(X, A) \to H*(X/A, \{A\}) \cong \tilde H_*(X/A) \)

                              Quando si attacca una cella, l'omologia cambia in modo controllato:

                              Proposition 6.28. Sia \(Y = X \cup_f e^n \), dove \(f : S^{n-1} \to X\) è la funzione di incollamento. Allora

                              1. \( \tilde H_q(X) \cong \tilde H_q(Y)\), per \(q \ne n, n-1\)
                              2.     c'è una successione esatta
                                \( 0 \to \tilde H_n(X) \to \tilde H_n(Y) \to \tilde H_{n-1}(S^{n-1}) \to \tilde H_{n-1}(X) \to \tilde H_{n-1}(Y)  \to 0\)

                              Esempi: calcolo dei gruppi di omologia delle superfici topologiche compatte (a coefficienti interi) usando la Prop. 6.28.

                              • Giovedì 10 dicembre - Albano 9

                                Dimostrazione della Proposition 6.28.

                                Proprietà dei complessi cellulari: sia \(X = \bigcup_{n=0}^N X_n\), dove \(X_n\) è l'\(n\)-scheletro, cioè il sottospazio formato da tutte le celle di dimensione minore o uguale a \(n\). Allora la proposizione 6.28 e la successione esatta della coppia \((X_n, X_{n-1})\) danno
                                1. \(H_q(X_n) = 0\), per \(q > n\)
                                2. \(H_q(X) \cong H_q(X_{n+1})\), per \(q \le n\)
                                3. una successione esatta
                                  \(0 \to H_n(X_n) \to H_n(X_n, X_{n-1}) \to H_{n-1}(X_{n-1}) \to H_{n-1}(X_n) \to 0 \)

                                Costruzione del complesse delle catene cellulari: Cell\(_n(X) = H_n(X_n, X_{n-1})\), con mappe \(d_n\) ottenute dalla successione esatta precedente.

                                Théorème 6.29. L'omologia del complesso delle catene cellulari è isomorfa all'omologia singolare di \(X\).

                                per "vedere" meglio la dimostrazione, usare il diagramma a pag.139 del libro di Hatcher.

                                Esempi: omologia dello spazio proiettivo complesso e dello spazio proiettivo reale (solo cenni per il caso reale, vedremo ancora in seguito i dettagli).

                                Esercizio: dimostrare la Proposition 6.31

                                Definizione di caratteristica di Eulero-Poincaré di un complesso cellulare e di un complesso simpliciale.

                                Théorème 6.33. La caratteristica di Eulero-Poincaré è un invariante topologico (conseguenza immediata del Théorème 6.29) e si calcola usando il numero di celle in ogni dimensione (conseguenza immediata della Proposition 6.31)

                                • Lunedì 14 dicembre - Albano 10

                                  Omologia e rivestimenti. La mappa di transfert. (Proposition 6.34)

                                  Azioni di gruppi finiti su spazi semplicemente connessi. Omologia e invarianti (in caratteristica zero)

                                  Proposition 6.36. Se \(p : E \to B\) è il rivestimento universale e \(\pi_1(B)\) è finito, allora per ogni \(n \ge 0\) il transfert induce un isomorfismo fra \(H_n(B, \mathbf{Q})\) e \(H_n(E, \mathbf{Q})^{\pi_1(B)}\), il sottospazio lasciato invariante dall'azione del gruppo fondamentale di \(B\).

                                  Il caso della caratteristica positiva. La successione esatta per i rivestimenti doppi.

                                  Proposition 6.38. Calcolo dell'omologia a coefficienti in \(\mathbf{Z}_2\) degli spazi proiettivi reali.

                                  Applicazione: il teorema di Borsuk-Ulam

                                  Théorème 6.39 (Borsuk-Ulam) Per \(m > n \ge 1\) non esistono funzioni continue \(f: S^m \to S^n\) tali che \(f(-x) = - f(x)\) per ogni \(x \in S^m\).

                                  Corollari:

                                  Corollaire 6.40. Per \(n \ge 1\) ogni funzione continua dispari \(f: S^n \to \mathbf{R}\) , cioè tale che \(f(-x) = - f(x)\) per ogni \(x \in S^n\) si annulla in almeno un punto.

                                  Corollaire 6.41. Per \(n \ge 1\), per ogni funzione continua  \(f: S^n \to \mathbf{R}^n \) esiste un punto \(x_0\in S^n\) tale che \(f(x_0) = f(-x_0)\).

                                  Théorème 6.42 (Lusternik-Schnirelmann) Se la sfera \(S^n\) è ricoperta da \(n + 1\) chiusi \(A_1, \dots A_{n+1}\), allora almeno uno di questi chiusi contiene una coppia di punti antipodali.


                                  Il teorema di Brouwer (Théorème 6.43): Ogni funzione continua dalla palla chiusa \(E^n\) in sé ha almeno un punto fisso.

                                  • Giovedì 17 dicembre - Albano 11

                                    Panoramica su alcuni importanti risultati in topologia algebrica. Di questi risultati non abbiamo visto la dimostrazione, ma solo gli enunciati e il significato nel contesto degli ulteriori sviluppi della topologia algebrica.

                                    1. Relazioni fra il gruppo fondamentale e l'omologia.

                                    Théorème 7.1 (Hurewicz). Per una spazio \(X\) connesso per archi il gruppo \(H_1(X, \mathbf{Z})\) è l'abelianizzato del gruppo fondamentale \(\pi_1(X)\).


                                    2. Gruppi di omotopia di ordine superiore.

                                    Definizione. I gruppi di omotopia superiore sono abeliani. La mappa di Hurewicz \(H: \pi_n(X) \to H_n(X, \mathbf{Z})\)

                                    Théorème 7.18 (Hurewicz). 

                                    Se esiste \(n > 1\) per cui \(\pi_k(X) = 0\) per ogni \(k < n\), allora \(\tilde H_k(X, \mathbf{Z}) = 0\) per \(k < n\) e la mappa di Hurewicz induce un isomorfismo \(\pi_n(X) \cong H_n(X, \mathbf{Z})\).

                                    Viceversa, se \(X\) è semplicemente connesso e esiste \(n > 1\) per cui \(\tilde H_k(X, \mathbf{Z}) = 0\) per ogni \(k < n\), allora \(\pi_k(X) = 0\) per \(k < n\) e la mappa di Hurewicz induce un isomorfismo \(\pi_n(X) \cong H_n(X, \mathbf{Z})\).


                                    3. La successione esatta lunga di una fibrazione.

                                    Definizione di fibrato localmente triviale e fibrazione. Ogni fibrato localmente triviale (in particolare ogni rivestimento) è una fibrazione.

                                    Théorème 7.14. Se \(p : E \to B\) è una fibrazione con fibra \(F\), c'è una successione esatta lunga

                                    \( \dots \to \pi_n(F, e_0) \to \pi_n(E, e_0) \to \pi_n(B, b_0) \to \pi_{n-1}(F, e_0) \to \dots \)


                                    4. Omotopia e complessi cellulari.

                                    Théorème 7.21 (Whitehead). Se una funzione continua \(f: (X, x_0) \to (Y, y_0)\) fra spazi cellulari (CW-complessi) induce un isomorfismo fra i gruppi di omotopia allora è un'equivalenza omotopica.


                                    5. La formula di Kunneth.

                                    Per due spazi topologici \(X\) e \(Y\) vale la formula:

                                    \( H_n(X \times Y, \mathbf{Q}) = \bigoplus_{p + q = n} H_p(X, \mathbf{Q}) \otimes H_q(Y, \mathbf{Q})\)

                                    Conseguenza: la caratteristica di Eulero-Poincaré è moltiplicativa: \(\chi(X \times Y) = \chi(X) \cdot \chi(Y)\)

                                    • Lunedì 11 gennaio - Albano/Galluzzi - Seminari 1

                                      Esposizione dei seminari dal libro di J.-C. Pont:

                                      1. Pseudo-Precursori: Marcaccio, Stroe
                                      2. Eulero-Legendre: Bard, Massé
                                      3. Cauchy: Ansaldi, Cogo
                                      4. Lhuilier: Barile, Dutto, Mele
                                      5. von Staudt: Albertengo, Narbonne
                                      • Giovedì 14 gennaio - Albano/Galluzzi - Seminari 2

                                        Esposizione dei seminari dal libro di J.-C. Pont:

                                        1. Gauss: Gollo, Lombardini
                                        2. Riemann: Bonin, Del Vecchio, Iannella, Siclari
                                        3. Moebius I: Azzali, Dovetta, Masoero
                                        4. Moebius II: Miraglio, Montobbio, Venturello
                                        5. Fisica Matematica: Orizzonte, Russo, Spessato