Attività settimanale

  • Introduzione

    Geometria 1 - 2015/16


    Laurea Triennale in Matematica, primo anno, 96 ore, 12 crediti.
    Il corso e' annuale e si tiene meta' al I semestre, meta' al II semestre.
    Orario I semestre. Teoria: mar 11.30-12.30 aula A, ven 10.30-12.30 aula A. Esercitazioni: mar 10.30-11.30 in: aula A la squadra 1 (cognomi A-M), aula C la squadra 2 (cognomi N-Z).


    Docenti:
    Teoria: Prof. Cinzia Casagrande

    Esercitazioni, corso A: Prof. Cristiana Bertolin
    Esercitazioni, corso B: Prof. Andrea Mori

    Testi consigliati:
    Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 1994.
    Abbena, Fino, Gianella, Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012.
    Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer 1986.
    Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer).
    In linea generale ogni volume di Algebra Lineare e di Geometria Analitica può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

    Ricevimento studenti, I semestre
    C. Casagrande: lunedi' 14.30-15.30
    C. Bertolin:martedi 14:30 -16:30
    A. Mori:lunedi 14-16

    Tutorato:
    Per dare modo agli studenti di verificare i progressi del loro apprendimento, verranno pubblicati periodicamente su questa pagina dei fogli di problemi da risolvere a casa. Le soluzioni verranno raccolte dal tutore Simone Dovetta, che provvedera' a correggerle (ma non a valutarle). Il tutore procedera' a tenere una discussione/correzione in classe dei problemi proposti. Lo svolgimento di questi esercizi e' parte integrante del corso.

    Orario tutorato I semestre: aula S, ogni due settimane, a partire da martedi' 13/10. I fogli di esercizi vengono consegnati in classe il martedi' precedente al tutorato.
    Martedi' 13.30-14.30: cognomi A-L
    Martedi' 14.30-15.30: cognomi M-Z
    Calendario:
    mar 13/10 discussione foglio 1
    mar 27/10 discussione foglio 2
    mar 10/11 discussione foglio 3
    mar 24/11 discussione foglio 4
    mer 9/12 discussione foglio 5
    mar 22/12 discussione foglio 6
    mar 12/1 discussione foglio 7 

    Prove scritte anni precedenti (alcune con soluzioni): vedi la cartella TEMI D'ESAME. Le prove scritte sono da svolgersi in 3 ore, le prove di esonero sono da svolgersi in 2 ore.

    Esame
    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    La prova scritta consiste di esercizi da risolvere e dura solitamente 3 ore. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

    La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento, e spesso comprende una discussione della prova scritta. 

    Lo studente può scegliere di sostituire la prova scritta con due prove scritte parziali, solitamente della durata di 2 ore. La prima prova scritta parziale verte sulla parte del programma svolta nel primo semestre, e si terra' nell'appello di febbraio, in contemporanea con l'esame scritto. La seconda prova scritta parziale verte sulla parte del programma svolta nel secondo semestre, e si terra' negli appelli di giugno e luglio (in contemporanea con gli scritti) e si puo' sostenere una volta sola (o a giugno o a luglio).
    Per accedere alla prova orale tramite le prove parziali, bisogna aver ottenuto un punteggio di almeno 16/30 in entrambe le prove, e aver raggiunto la media di almeno 18/30. La prova orale deve essere sostenuta a giugno o a luglio. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    Le prove parziali sono aperte anche a studenti degli anni precedenti, ma in un appello in cui si sostiene una prova parziale, non si puo' sostenere anche l'esame scritto.

    Integrazioni (per studenti iscritti al corso di laurea, a cui sia stata ufficialmente riconosciuta una parte dell'esame): se uno studente deve sostenere un'integrazione di Geometria 1, deve contattare il docente per concordare il programma dell'integrazione e le modalita' di esame (che si svolgera' durante uno degli appelli d'esame). Nel caso l'esame preveda la prova scritta, lo studente deve avvisare il docente almeno due settimane prima della data della prova, in modo tale che il docente possa preparare una prova scritta apposita.


    Si invitano gli studenti a non iscriversi ad uno scritto nel caso sappiano gia' che non si presenteranno, e a cancellare l'iscrizione nel caso cambino idea riguardo allo scritto. Questo per evitare sprechi: la prenotazione delle aule e la preparazione dei testi viene fatta in base al numero totale degli iscritti.


  • 28 settembre - 4 ottobre

    29/9/2015, 10.30-12.30: Introduzione al corso, informazioni varie. Matrici a elementi reali, vettori riga e vettori colonna, matrici quadrate, matrici nulle. Somma di matrici, definizione e proprieta'. Prodotto di un numero reale per una matrice, proprieta'. Prodotto righe per colonne: definizione ed esempi. Il prodotto di matrici non e' commutativo, esempio. Proprieta' del prodotto di matrici: associativa, distributiva rispetto alla somma, comportamento rispetto al prodotto per un numero.

    2/10/2015, 10.30-12.30: Matrice unitaria; moltiplicando una matrice A a sinistra o a destra per la matrice unitaria si ottiene ancora A. Esempi sul prodotto di matrici quadrate: due matrici non nulle il cui prodotto e' zero, AB=AC non implica B=C. Matrici invertibili, esempi di matrici 2x2 invertibili e non. Quando esiste, l'inverso e' unico; matrice inversa. Inversa di un prodotto di matrici invertibili. Determinante di una matrice 2x2; una matrice A reale 2x2 e' invertibile se e solo se det(A) e' non nullo; forma esplicita dell'inversa. Trasposta di una matrice. Trasposta di una somma e di un prodotto di matrici. La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Matrici simmetriche, antisimmetriche, diagonali, triangolari superiori e inferiori; esempi. Traccia di una matrice quadrata; traccia della somma; tr(AB)=tr(BA).

    • 5 ottobre - 11 ottobre

      6/10/2015, 10.30-12.30: Equazioni lineari e sistemi lineari. Coefficienti, incognite, termini noti. Matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, matrice completa. Sistemi quadrati. Sistemi omogenei. Sistemi compatibili e non. Un sistema omogeneo e' sempre compatibile. Notazione matriciale per i sistemi lineari. Matrici ridotte a scala per righe, esempi. Sistemi ridotti. Discussione e risoluzione di un sistema ridotto, esempi. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari su un sistema; le operazioni elementari producono un sistema equivalente. Operazioni elementari sulle righe di una matrice; matrici equivalenti per righe. Come applicare le operazioni elementari per arrivare ad un sistema ridotto: esempio.

      Avviso: martedi' 13/10 ci saranno due ore di esercitazioni.

      9/10/2015, 10.30-12.30: Metodo di riduzione di Gauss per ottenere, da una matrice, una matrice equivalente per righe e ridotta a scala. Esempio: risoluzione di un sistema lineare con parametro usando la riduzione di Gauss. Un sistema omogeneo avente meno equazioni che incognite ha sempre una soluzione non banale. Un sistema lineare quadrato, con matrice dei coefficienti invertibile, ha sempre una e una sola soluzione. Come trovare l'inversa di una matrice quadrata invertibile: metodo di Gauss-Jordan. Esempio in un caso 4x4.
      Significato geometrico delle operazioni vettoriali in R2 e in R3. Vettori geometrici nella retta, nel piano e nello spazio; equipollenza.  

    • 12 ottobre - 18 ottobre

      13/10/2015, 10.30-12.30: Esercizi sui sistemi lineari e sul calcolo della matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan.

      16/10/2015, 10.30-12.30: L'equipollenza e' una relazione di equivalenza sull'insieme dei vettori geometrici applicati. Vettori geometrici liberi. Dato un vettore libero v e un punto A, esiste ed e' unico un vettore in v applicato in A. Corrispondenza biunivoca punti/vettori liberi indotta dalla scelta di un punto O. Somma di vettori liberi, prodotto di un vettore libero per un numero reale. Proprieta' di queste operazioni.
      Definizione di spazio vettoriale reale. Esempi: Rn; Rm,n; l'insieme V dei vettori liberi; lo spazio vettoriale nullo; l'insieme delle funzioni da un intervallo in R, rispetto alle operazioni puntuali; l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. 


    • 19 ottobre - 25 ottobre

      20/10/2015, 10.30-11.30: Proprieta' formali negli spazio vettoriali: unicita' del vettore nullo e dell'opposto, -v=(-1)v, av=0 sse a=0 o v=0. Sottospazi vettoriali. Esempi: sottoinsiemi di R2 che sono sottospazi e non. Un sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo e contiene l'opposto di ogni suo elemento; un sottospazio vettoriale di V e' uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni di V. Sottospazi banali. R ha solo i sottospazi banali.

      20/10/2015, 11.30-12.30: Esercizi sugli spazi e sottospazi vettoriali.

      23/10/2015, 10.30-12.30: Dato un sistema lineare in n incognite, l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale di Rn se e solo se il sistema e' omogeneo. Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V e' un sottospazio vettoriale se e solo se au+bv appartiene a W per ogni u,v in W e per ogni a,b in R. Combinazioni lineari, sottospazio vettoriale L(v1,...,vm) generato dai vettori  v1,...,vm. Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di sistemi di generatori per Rn, Rm,n, e lo spazio vettoriale R[t]d dei polinomi di grado al piu' d. Lo spazio vettoriale dei polinomi R[t] non e' finitamente generato. Interpretazione di un sistema lineare in termini di combinazioni lineari: il sistema e' compatibile se e solo se il vettore dei termini noti e' nello span lineare delle colonne della matrice dei coefficienti. Operazioni sui sottospazi vettoriali: l'intersezione di due sottospazi e' un sottospazio, l'unione di due sottospazi in generale non e' un sottospazio. Somma di due sottospazi. Esempi.

      Avviso: a partire da martedi' prossimo, il martedi' l'orario sara': 10.30-11.30 esercitazioni e 11.30-12.30 teoria.

      • 26 ottobre - 1 novembre

        27/10/2015, 10.30-11.30: Esercizi sugli spazi e sottospazi vettoriali.

        27/10/2015, 11.30-12.30: Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Un vettore e' linearmente indipendente se e solo se e' non nullo; due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se sono non nulli e non proporzionali. I vettori v1,...,vm sono linearmente dipendenti se e solo se esiste i tale che L(v1,...,vm)=L(v1,..,vi-1,vi+1,..,vm). Base di uno spazio vettoriale. Esempi: basi canoniche di Rn, Rm,n, Rd[t]. I vettori v1,...,vn sono una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di v1,...,vn.

        30/10/2015, 10.30-12.30: Definizione di campo, esempi. Vettori numerici e matrici a elementi in un campo: Kn, Km,n. Polinomi K[t] a coefficienti in un campo. Spazi vettoriali su un campo K. Esempio: C come spazio vettoriale reale/complesso; un sottoinsieme di C che e' sottospazio vettoriale reale ma non complesso. Esempio di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che e' sottogruppo additivo ma non sottospazio.
        Coordinate di un vettore rispetto ad una base fissata, esempi. Ogni spazio vettoriale finitamente generato e non nullo ammette una base: estrazione di una base da un insieme di generatori per scarti successivi. Lemma di Steinitz, o dello scambio: enunciato e inizio della dimostrazione. 

      • 2 novembre - 8 novembre

        3/11/2015, 10.30-11.30: Esercizi sugli argomenti seguenti: generatori, (in)-dipendenza lineare, basi.

        3/11/2015, 11.30-12.30: Fine della dimostrazione del Lemma di Steinitz. In uno spazio vettoriale finitamente generato, tutte le basi hanno la stessa cardinalita'. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi: Kn, Km,n, Kd[t], C come spazio vettoriale complesso/reale. Se V e' finitamente generato e non nullo, allora V e' finito/numerabile se e solo se il campo K e' finito/numerabile. R, come spazio vettoriale sul campo Q, non e' finitamente generato. Se V ha dimensione n, allora ogni sistema di generatori ha cardinalita' almeno n, e se ha cardinalita' n, allora e' una base; ogni insieme di vettori linearmente indipendenti ha cardinalita' al piu' n, e se ha cardinalita' n, allora e' una base.

        6/11/2015, 10.30-12.30: Uno spazio vettoriale V e' finitamente generato se e solo se gli insiemi di vettori linearmente indipendenti in V hanno cardinalita' limitata. Lo spazio vettoriale reale delle funzioni da un intervallo in R non e' finitamente generato. Dimensione di un sottospazio. Esempi: sottospazi vettoriali di R, R2, R3. Prodotto di spazi vettoriali. Il prodotto VxW e' finitamente generato se e solo se V e W sono finitamente generati, e in tal caso dim(VxW)=dim(V)+dim(W). 
        D'ora in poi nel corso verranno considerati solo spazi vettoriali finitamente generati.
        Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti puo' essere completato a una base. Formula di Grassmann: enunciato ed esempi. 

        Avviso: martedi' 10/11 e martedi' 17/11 ci saranno due ore di teoria, mentre venerdi' 13/11 ci saranno due ore di esercitazioni a corsi riuniti in aula A.

        • 9 novembre - 15 novembre

          10/11/2015, 10.30-12.30: Dimostrazione della formula di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi, caratterizzazioni equivalenti ed esempi. Sottospazi supplementari. Esempio: la scomposizione dello spazio vettoriale delle matrici reali 2x2 come somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche. Somma diretta di piu' sottospazi. Se i sottospazi W1,...,Wr sono in somma diretta e B1,...,Br sono delle rispettive basi, l'unione delle basi e' una base per la somma diretta.
          Dipendenza e indipendenza lineare di vettori geometrici: in V3 due vettori applicati in O sono dipendenti se e solo se giacciono in una stessa retta, tre vettori applicati in O sono dipendenti se e solo se sono complanari, quattro vettori applicati in O sono sempre dipendenti.

          13/11/2015, 10.30-12.30:  Risoluzione di esercizi sugli argomenti seguenti: Sistemi lineari a coefficienti complessi; Calcolo di intersezioni di sottospazi, basi, dimensione; Applicazione della formula di Grassman.

        • 16 novembre - 22 novembre

          17/11/2015, 10.30-12.30: Dimensione degli spazi vettoriali dei vettori geometrici nella retta, nel piano e nello spazio. Sistemi di riferimento affini nella retta, nel piano e nello spazio. Angolo convesso tra due vettori applicati, angolo orientato dal vettore v al vettore w nel piano. Basi ortogonali di V2 e di V3, basi ortogonali positive e negative. Lunghezza o noma di un vettore geometrico, versori, basi ortonormali di V1, di V2 e di V3. Sistemi di riferimento cartesiani nella retta, nel piano e nello spazio. Esempio: distanza tra due punti.
          Span lineare delle righe e delle colonne di una matrice A. Teorema del rango: data A in Km,n, lo span lineare delle righe R(A) e lo span lineare delle colonne C(A) hanno la stessa dimensione; inizio della dimostrazione.

          20/11/2015, 10.30-12.30: Teorema del rango, fine della dimostrazione. Rango di una matrice: definizione, esempi, prime proprieta'. Il rango di una matrice e' uguale al rango della matrice trasposta. Rango e sistemi lineari: null-space di una matrice, teorema di nullita' piu' rango (sara' dimostrato piu' avanti). Relazione tra l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile e l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Teorema di Rouche'-Capelli. Rango e eliminazione di Gauss: le operazioni elementari sulle righe non cambiano lo span lineare delle righe e il rango. Se una matrice e' ridotta per righe, le sue righe non nulle sono linearmente indipendenti, e il rango e' il numero di righe non nulle. Come usare l'eliminazione di Gauss per trovare la dimensione e una base di un sottospazio generato da m vettori in Kn, esempio. Come usare lo stesso metodo in uno spazio vettoriale arbitrario, lavorando in coordinate rispetto ad una base fissata.

          • 23 novembre - 29 novembre

            24/11/2015, 10.30-11.30: Esercizi sugli argomenti seguenti: generatori, basi, somme ed intersezioni di spazi vettoriali 

            24/11/2015, 11.30-12.30: Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se e' invertibile. Traslazioni in Rn, sottospazi affini di Rn come traslati di sottospazi vettoriali; dimensione e direzione di un sottospazio affine; esempi. 

            27/11/2015, 10.30-12.30: L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile e' un sottospazio affine.
            Determinante di una matrice quadrata: definizione tramite le permutazioni. Il determinante di una matrice e' uguale a quello della sua trasposta. Se A ha una riga o una colonna nulla, allora det(A)=0. Se A ha due colonne o due righe uguali, allora det(A)=0. Linearita' del determinante nelle righe e nelle colonne. Scambiando due righe o due colonne di una matrice, il determinante cambia di segno. Il determinante di una matrice triangolare superiore e' il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Calcolo del determinante di una matrice tramite la riduzione di Gauss.

          • 30 novembre - 6 dicembre

            1/12/2015, 10.30-11.30: Esercizi di riepilogo su sottospazi, somme, somme dirette e intersezioni, dimensione e basi.

            1/12/2015, 11.30-12.30: Esempio di calcolo del determinante con la riduzione di Gauss. Una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Teorema di Binet. Gruppo lineare generale, gruppo lineare speciale. Il determinante e' un omomorfismo di gruppi dal gruppo lineare generale al gruppo moltiplicativo del campo. Se una matrice e' invertibile, il determinante dell'inversa e' l'inverso del determinante. Una matrice e' invertibile se e solo se ha inversa destra (o sinistra). Sottomatrici, minori, complementi algebrici. 

            4/12/2015, 10.30-12.30: Sviluppo di Laplace per righe e per colonne, esempio. Il rango di una matrice e' pari al massimo ordine di un suo minore non nullo, esempio. Espressione esplicita della matrice inversa in termini dei complementi algebrici (senza dimostrazione), esempio. Metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari quadrati.
            Applicazione lineare: definizione e primi esempi.

            • 7 dicembre - 13 dicembre

              11/12/2015, 15-17: Esempi di applicazioni lineari. Traccia. Proiezione indotta da una scomposizione in somma diretta. Applicazione lineare LA da Kn in Km associata ad una matrice A in Km,n, data da LA(x)=Ax. Ogni applicazione lineare f da Kn in Km e' di questa forma, cioe' le componenti di f devono essere polinomi omogenei di grado 1 nelle coordinate di Kn. La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Isomorfismi. Un'applicazione lineare e' isomorfismo se e solo se e' biunivoca. Se V ha dimensione n, scegliendo una base si ha un isomorfismo tra V e Kn. L'immagine di un sottospazio e' un sottospazio; immagine di un'applicazione lineare. La controimmagine di un sottospazio e' un sottospazio; nucleo di un'applicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se ha nucleo banale. L'insieme delle controimmagini di un elemento in Im f e' un laterale del nucleo. L'immagine di L(v1,...,vm) e' L(f(v1),...,f(vm)). La dimensione del dominio e' maggiore o uguale della dimensione di Im(f). Se f:V->W e' suriettiva, la dimensione di V e' maggiore o uguale della dimensione di W. Interpretazione di nucleo e immagine di LA, legame con i sistemi lineari.


              AVVISI
              Mercoledi' 9/12 si terra' un tutorato di recupero in aula S, nell'orario 14.30-16.30, a squadre alterne rispetto al tutorato di Algebra 1, ovvero: squadra 2 14.30-15.30, squadra 1 15.30-16.30.

              Martedi' 22/12 si terranno due ore di esercitazioni, 10.30-12.30, e si terra' regolarmente il tutorato nel solito orario.
              Non ci sara' lezione di Geometria 1 venerdi' 8/1 ne' martedi' 12/1.
              Martedi' 12/1 si terra' l'ultimo tutorato del primo semestre.
              Venerdi' 15/1 si terranno due ore di esercitazioni, 10.30-12.30, la squadra 1 in aula A, e la squadra 2
              in aula 4.

            • 14 dicembre - 20 dicembre

              15/12/2015, 10.30-11.30: Esercizi sulle applicazioni lineari.

              15/12/2015, 11.30-12.30: Un'applicazione lineare iniettiva porta vettori indipendenti in vettori indipendenti. Se f:V->W e' iniettiva, la dimensione di V e' minore o uguale a quella di W. Un isomorfismo porta basi in basi. Due spazi vettoriali V e W sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Rango di un'applicazione lineare. Teorema di nullita' piu' rango per applicazioni lineari. Se V e W hanno la stessa dimensione, f:V->W e' un isomorfismo sse f e' iniettiva/suriettiva. Caso dell'applicazione lineare LA: dimostrazione del teorema di nullita' piu' rango per matrici.

              18/12/2015, 10.30-12.30: Applicazioni del teorema di nullita' piu' rango nel caso dell'immagine o della controimmagine di un sottospazio tramite un'applicazione lineare. Come calcolare l'immagine e la controimmagine di un sottospazio; esempio. Esistenza e unicita' dell'applicazione lineare f:V->W una volta assegnati i valori di f su una base di V; esempio. Fissate delle basi B di V e C di W, espressione in coordinate di un'applicazione lineare f: matrice MB,C(f) associata a f rispetto alle basi B e C. Esempio. Il rango di f e' uguale al rango della matrice associata. Come tradurre in coordinate problemi inerenti a f.  

              • 21 dicembre - 27 dicembre

                22/12/2015, 10.30-12.30: Esercizi su ker, immagine, iniettività, suriettività di applicazioni lineari.

              • 11 gennaio - 17 gennaio

                Martedi' 12/1 si terra' l'ultimo tutorato del primo semestre.

                15/1/2016, 10.30-12.30: Esercizi di preparazione all'esonero.

                • SECONDO SEMESTRE

                  Orario II semestre: lun 12:30-14:30, gio 10:30-12:30.
                  Le esercitazioni (2 ore) saranno nei giorni: gio 10/3, gio 31/3, gio 14/4, lun 2/5, lun 16/5, mar 31/5 o mer 1/6 (orario da definire), lun 6/6, nei seguenti gruppi:
                  squadra A in Aula A: cognomi A-K
                  squadra B in Aula Magna: cognomi L-Z.
                  Le lezioni restanti sono di teoria, in aula A.

                  Ricevimento studenti, II semestre:
                  C. Casagrande: lun 9:30 (nello studio del docente), oppure su appuntamento
                  C. Bertolin:
                  A. Mori:

                  Orario tutorato II semestre:
                  martedì in aula S, ogni due settimane, da martedi' 15/3; orario:
                  10:30-11:30: squadra A, cognomi A-K
                  11:30-12:30: squadra B, cognomi L-Z
                  Calendario:
                  mar 15/3 discussione foglio 8
                  mer 30/3, 8:30-10:30 aula 4 discussione foglio 9
                  mar 12/4 aula 4 discussione foglio 10
                  mar 26/4 discussione foglio 11
                  mar 10/5 discussione foglio 12
                  mar 24/5 discussione foglio 13
                  mar 7/6 discussione foglio 14

                  Recupero: tenuto da Simon Garruto
                  Durante il II semestre si terranno degli incontri di recupero sugli argomenti del primo semestre, per permettere a chi non ha sostenuto con successo la prova intermedia di presentarsi meglio preparato agli appelli estivi. Durante questi incontri verranno rivisti i concetti fondamentali e verranno svolti esercizi. Gli incontri sono aperti a tutti, ma sono fortemente consigliati solo a chi ha avuto difficoltà nel primo semestre.
                  Orario recupero: venerdi' 10:30-12:30 in aula Magna (tranne venerdi' 8/4, in cui si terra' in aula B6), a partire da venerdi' 4/3.

                  ESONERO: venerdi' 26/2 h 10 in aula Magna gli studenti potranno vedere il proprio compito corretto.
                  Il testo del compito, con soluzioni, e' su moodle.
                  Per chi avesse ulteriori domande sugli esercizi dell'esonero, il compito verra' ripreso nel primo incontro del corso di recupero, ven 4/3.

                  • 29 febbraio - 6 marzo

                    29/2/2016, 12:30-14:30: Spazio vettoriale quoziente: definizione, proiezione al quoziente, dimensione. Ogni applicazione lineare suriettiva si fattorizza come un quoziente seguito da un isomorfismo.
                    Operazioni tra applicazioni lineari. Lo spazio vettoriale L(V;W) delle applicazioni lineari da V a W. Richiami sulla matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a delle basi B e C di dominio e codominio. L'applicazione MB,C:L(V;W) -> Km,n, che associa ad ogni applicazione lineare la sua matrice, e' isomorfismo di spazi vettoriali. La dimensione di L(V;W) e' il prodotto delle dimensioni di V e W. Esercizio su un sottospazio di L(R2;R3). La matrice associata ad una composizione e' il prodotto delle matrici associate.

                    3/3/2016, 10:30-12:30: Un'applicazione lineare f:V->W e' un isomorfismo se e solo se la matrice associata A=MB,C(f) e' invertibile, e in tal caso MC,B(f-1)=A-1.
                    Moltiplicando una matrice a sinistra o a destra per una matrice invertibile, il rango non cambia.
                    Cambiamento di base, matrice del cambiamento di base, equazioni del cambiamento di coordinate. Una matrice di cambiamento di base e' invertibile, e la matrice del cambiamento di base inverso e' la matrice inversa. Interpretazione della matrice del cambiamento di base come matrice associata all'applicazione identica rispetto a basi diverse. Esempio.
                    Applicazioni lineari e cambiamenti di base: relazione tra le matrici associate alla stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse di dominio e codominio.
                    Endomorfismi di uno spazio vettoriale: struttura di spazio vettoriale e anello su End(V). Matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base. Isomorfismo (di spazi vettoriali e di anelli) tra End(V) e Kn,n definito associando ad ogni endomorfismo la sua matrice rispetto ad una base fissata. Isomorfismo di gruppi indotto tra Aut(V) e GL(n;K).
                    Orientazione di spazi vettoriali reali: basi equiorientate. Orientazione canonica di Rn, basi positive e negative, significato geometrico per n=1,2,3.
                    Prodotto scalare in Rn: definizione e prime proprieta'.

                  • 7 marzo - 13 marzo

                    7/3/2016, 12:30-14:30: Norma di un vettore in Rn, proprieta' della norma, versori. Se u e v sono due vettori non nulli in R2 o in R3, il loro prodotto scalare e' uguale al prodotto delle norme per il coseno dell'angolo tra u e v. Proiezione ortogonale su una retta vettoriale in termini di prodotto scalare. Esempio. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare in Rn. Definizione di angolo tra due vettori non nulli di Rn. Complementi ortogonali, definizione e proprieta'. Proiezione ortogonale in Rn su un sottospazio vettoriale. Rotazioni attorno all'origine in R2, matrice associata. Matrici ortogonali, gruppo ortogonale.  

                    10/3/2016, 10:30-12:30:

                    Esercizi su cambiamenti di base e matrice associata ad un'applicazione lineare.

                    • 14 marzo - 20 marzo

                      14/3/2016, 12:30-14:30 Se u e v sono vettori non nulli in R2, det[u|v] e' uguale al prodotto delle norme di u e v per il seno dell'angolo orientato da u a v. Il valore assoluto di det[u|v] e' l'area del parallelogramma di lati u e v. Significato geometrico del determinante come volume del parallelepipedo in R3 (senza dimostrazione). Prodotto vettoriale in R3: definizione geometrica e in coordinate. Proprieta' del prodotto vettoriale ed esempi. Proiezione ortogonale su un piano vettoriale in R3. Prodotto misto di 3 vettori.
                      Richiami su sottospazi affini di Rn. Ogni sottospazio affine m-dimensionale di Rn e' l'insieme delle soluzioni di un opportuno sistema lineare di n-m equazioni in n incognite. Descrizione parametrica e per equazioni di un sottospazio affine.

                      17/3/2016, 10:30-12:30 Rappresentazione parametrica della retta in Rn, direzione di una retta. Esempi in R2 e in R3. Descrizione di un iperpiano in Rn tramite un'equazione lineare. Il vettore dato dai coefficienti delle variabili e' la direzione ortogonale all'iperpiano. Retta in R2, descrizione con equazione; come passare dall'equazione alla forma parametrica e viceversa. Sottospazi affini paralleli. Esempi. Sottospazi affini ortogonali. Esempi. Equazioni di una retta in R3; come passare dalla forma parametrica alle equazioni, e viceversa. Esempi. Descrizione parametrica di un piano in R3; equazione del piano passante per un punto con direzioni date. Esempi. Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio affine. Distanza di un punto da un sottospazio affine; la proiezione ortogonale realizza la distanza.

                    • 21 marzo - 27 marzo

                      21/3/2016, 12:30-14:30 Esercizio sul calcolo della proiezione ortogonale di un punto su un piano in R3. Retta per due punti. Posizione reciproca di due rette nel piano. Distanza di un punto da una retta nel piano. Piano per tre punti non allineati nello spazio. Posizioni reciproche di due piani, di tre piani, di una retta e di un piano. Rette complanari e rette sghembe. Due rette sono complanari se e solo se sono parallele o incidenti in un punto; posizione reciproca di due rette nello spazio. Due rette r1 e r2 sono complanari se e solo se det[P2-P1|v1|v2]=0, dove Pi e' un punto di ri e vi e' la direzione di ri. Distanze nello spazio: punto/piano, punto/retta, piano/piano, retta/piano, retta/retta. Formula per la distanza tra due rette sghembe (senza dimostrazione). Date due rette sghembe, esiste ed e' unica una retta ortogonale e incidente a entrambe; i punti di intersezione realizzano la distanza tra le due rette sghembe.

                      • 28 marzo - 3 aprile

                        31/3/2016, 10:30-12:30: Esercizi di geometria analitica.


                      • 4 aprile - 10 aprile

                        4/4/2016, 12:30-14:30 Matrici simili. Essere simili e' una relazione di equivalenza sull'insieme delle matrici quadrate nxn. Matrici simili hanno lo stesso rango, lo stesso determinante e la stessa traccia, ma il viceversa e' falso. Matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili. Determinante e traccia di un endomorfismo.
                        Introduzione al problema della diagonalizzazione di un endomorfismo. Autovettori, autovalori, spettro, autospazi. L'autovalore associato a un autovettore e' unico. La matrice associata a f rispetto a una base B e' diagonale sse i vettori della base sono autovettori per f. Endomorfismi diagonalizzabili, matrici diagonalizzabili. Esempi. Caratterizzazione degli autovalori di f come gli scalari c tali che det(f-cIdV)=0, e dell'autospazio come ker(f-cIdV). L'autospazio e' un sottospazio vettoriale. Polinomio caratteristico di una matrice A: gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico. Coefficienti di grado n, n-1 e termine noto del polinomio caratteristico.

                        7/4/2016, 10:30-12:30 Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Esempi. Richiami su radici di polinomi, molteplicita' di una radice, polinomi totalmente riducibili, campi algebricamente chiusi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se un endomorfismo di V ha n=dim(V) autovalori distinti, allora e' diagonalizzabile. Esempi. Gli autospazi sono in somma diretta. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicita' geometrica e' sempre minore uguale di quella algebrica. Esempi. Criterio di diagonalizzabilita': enunciato.

                        • 11 aprile - 17 aprile

                          Avviso: il tutorato di martedì 12 aprile si terrà in aula 4 invece che in aula S.

                          11/4/2016, 12:30-14:30: Criterio di diagonalizzabilita': dimostrazione. Significato della traccia e del determinante come somma e prodotto degli autovalori quando il polinomio caratteristico e' completamente riducibile. Come capire se due matrici sono simili.
                          Spazio vettoriale duale V*, forme lineari. Lo spazio vettoriale duale di V ha la stessa dimensione di V. Base duale, come scrivere una forma lineare come combinazione lineare della base duale, esempio. Applicazione lineare trasposta. Data f:V->W lineare e delle basi B di V e C di W, se A e' la matrice associata ad f rispetto alle basi B e C, la matrice associata all'applicazione trasposta, rispetto alle basi duali, e' At. Corollario: f e ft hanno lo stesso rango; f e' iniettiva sse ft e' suriettiva, e viceversa. 

                          Avviso: le esercitazioni di giovedi' 14/4, 10:30-12:30, per la squadra B (cognomi L-Z), si terranno in aula C invece che in aula Magna.

                          14/4/2016, 10:30-12:30: Esercizi sulla diagonalizzazione.

                        • 18 aprile - 24 aprile

                          18/4/2016, 12:30-14:30: Spazio vettoriale biduale. Elementi del biduale dati dalla valutazione in un vettore fissato. Isomorfismo canonico tra V e il suo biduale.
                          Spazi vettoriali euclidei: definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale, esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, caratterizzazione del caso in cui vale uguaglianza. Norma e disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori non nulli, vettori ortogonali, versori, basi ortogonali e ortonormali. Esempio di un prodotto scalare non standard su R3 e di calcolo di norme e angoli. Le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale si esprimono in termini di prodotto scalare. L'espressione del prodotto scalare nelle coordinate rispetto ad una base ortonormale diventa il prodotto scalare standard di Rn.  

                          21/4/2016, 10:30-12:30: Esistenza di basi ortonormali: procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esempio. Complementi ortogonali in uno spazio vettoriale euclideo, definizione, proprieta' ed esempi. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale.
                          Isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo: caratterizzazioni equivalenti. Relazione con le matrici ortogonali, una matrice reale e' ortogonale se e solo se le colonne (o le righe) formano una base ortonormale di Rn rispetto al prodotto scalare standard. Isometrie lineari di R2 e matrici ortogonali 2x2. 
                          Endomorfismi simmetrici. Un endomorfismo f e' simmetrico se e solo se la matrice associata ad f rispetto ad una base ortonormale e' simmetrica. 

                          • 25 aprile - 1 maggio

                            28/4/2016, 10:30-12:30: Una matrice hermitiana ha tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale: un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo V e' simmetrico se e solo se e' diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale, e in tal caso la decomposizione di V come somma diretta degli autospazi e' una decomposizione ortogonale. Teorema spettrale, versione matriciale: una matrice simmetrica reale e' simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale. Esempio.
                            Prodotto hermitiano standard su Cn. Prodotti hermitiani su uno spazio vettoriale complesso: definizione e prime proprieta'. Norma, ortogonalita', basi ortonormali. Esempi.

                          • 2 maggio - 8 maggio

                            2/5/2016, 12:30-14:30: Esercitazione sul procedimento di Gram-Schmidt, sul complemento ortogonale e sul teorema spettrale.

                            5/5/2016, 10:30-12:30: Procedimento di Gram-Schmidt e proprieta' delle basi ortonormali in spazi vettoriali hermitiani. Matrici unitarie e isometrie di spazi vettoriali hermitiani. Endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali hermitiani, relazione con le matrici hermitiane. Teorema spettrale complesso (senza dimostrazione), applicazione alla diagonalizzazione di matrici hermitiane. Esempi. Una matrice quadrata complessa A e' simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria se e solo se A commuta con la sua trasposta coniugata (senza dimostrazione).
                            Forme bilineari su uno spazio vettoriale su un campo K, definizione ed esempi. Forma bilineare su Kn definita da una matrice A in Kn,n. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base, espressione in coordinate. Cambiamento di base: relazione tra matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Matrici congruenti. Rango di una forma bilineare.


                            • 9 maggio - 15 maggio

                              9/5/2016, 12:30-14:30: Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, caratterizzazione in termini della matrice. Richiami sulla caratteristica di un campo; per lo studio delle forme bilineari simmetriche supporremo che la caratteristica del campo sia diversa da 2. Ortogonalita' rispetto a una forma bilineare simmetrica, ortogonale di un sottospazio, esempi. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Fissata una base, in coordinate il nucleo corrisponde al nucleo della matrice associata alla forma bilineare, e la dimensione del nucleo e' la dimensione di V meno il rango della forma bilineare; esempi. Forme quadratiche. Una forma quadratica in coordinate e' un polinomio omogeneo di secondo grado. Una forma quadratica e' determinata da un'unica forma bilineare simmetrica; matrice associata a una forma quadratica rispetto a una base. Forme quadratiche su Kn; come scrivere la matrice rispetto alla base canonica. Vettori isotropi e cono isotropo. Esempi.

                              12/5/2016, 10:30-12:30: Diagonalizzazione di forme quadratiche. Caso generale (campo qualsiasi di caratteristica non 2), teorema di Lagrange: per ogni forma bilineare simmetrica phi, esiste una base phi-ortogonale, ovvero tale che la matrice associata a phi sia diagonale; forma canonica di una forma quadratica. Esempio. Versione matriciale: ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale. Come cambia la matrice diagonale riscalando la base.
                              Caso di un campo algebricamente chiuso: per ogni forma bilineare simmetrica, esiste una base tale che la matrice associata alla forma bilineare sia diagonale, con ogni elemento sulla diagonale uguale a 1 o 0. Esempio sui complessi. Due matrici simmetriche su un campo algebricamente chiuso sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.
                              Caso reale, teorema di Sylvester: se phi e' una forma bilineare simmetrica reale, per ogni base phi-ortogonale, il numero di elementi positivi/negativi che compaiono sulla diagonale principale della matrice dipende solo da phi, e non dalla basa scelta; segnatura di una forma quadratica reale. Esistenza di una base tale che la matrice associata alla forma bilineare sia diagonale, con ogni elemento sulla diagonale uguale a 1, 0 o -1; forma normale di una forma quadratica reale. Segnatura di una matrice simmetrica reale: definizione in termini del segno degli autovalori. Se phi e' una forma bilineare simmetrica reale, e A e' la matrice associata a phi rispetto ad una base, allora le segnature di phi e A coincidono.

                            • 16 maggio - 22 maggio

                              16/5/2016, 12:30-14:30: Esercitazione sul teorema spettrale, forme bilineari e forme quadratiche.

                              19/5/2016, 10:30-12:30: Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Se due matrici simmetriche simmetriche reali sono simili, allora sono congruenti, ma il viceversa non vale. Come trovare una base che diagonalizza una forma quadratica associata usando una base ortogonale di autovettori della matrice associata. Esempio. Segno di una forma quadratica reale: forme definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite; caratterizzazione in termini della segnatura. Caratterizzazione di un prodotto scalare come forma bilineare reale, simmetrica e definita positiva. Regola di Cartesio sui segni delle radici di un polinomio reale (senza dimostrazione). Esempio: classificazione delle forme quadratiche su R2.
                              Affinita' di Rn; gruppo delle affinita'; traslazioni; sottogruppo delle congruenze.


                              Esercitazioni con Maple
                              Nei giorni:
                              giovedi' 26 maggio, ore 10:30 - 12:30 (Algebra Lineare) 
                              giovedi' 9 giugno, ore 10:30 - 12:30 (Geometria Analitica)
                              nell'Aula Informatizzata 5 di palazzo Campana si svolgeranno due sessioni di esercitazioni del corso di Geometria 1. Gli studenti svolgeranno degli esercizi sugli argomenti del corso con l'ausilio del software Maple e sotto la supervisione della Professoressa Federica Galluzzi.


                              Calendario ultime lezioni:
                              giovedì 26/5  Esercitazione 1 con Maple in Aula Info 5
                              lunedì 30/5 ultima lezione di teoria
                              martedì 31/5, h 14:30-16:30 (al posto di Analisi 1), esercitazione a gruppi riuniti in aula A
                              lunedì 6/6 ultima esercitazione, a gruppi riuniti in aula A

                              giovedì 9/6  Esercitazione 2 con Maple in Aula Info 5

                              • 23 maggio - 29 maggio

                                23/5/2016, 12:30-14:30: Congruenze dirette (rototraslazioni) di Rn. Un cambiamento di sistema di riferimento affine nello spazio dà un'affinità in R3. Un cambiamento di sistema di riferimento cartesiano nello spazio dà una rototraslazione.
                                Coniche in R2. Coniche equivalenti per rototraslazione. Matrici associate a una conica. Le matrici associate a coniche equivalenti per rototraslazione sono congruenti. Invarianza del rango, e della segnatura a meno dell'ordine; invarianza del segno del determinante della matrice della parte quadratica. Teorema di classificazione euclidea delle coniche; descrizione delle 9 famiglie. Prima parte della dimostrazione: come usare una rotazione per diagonalizzare la parte quadratica dell'equazione. Esempio.

                                26/5/2016, 10:30-12:30: Esercitazione con Maple su Algebra Lineare, tenuta dalla Prof.ssa Federica Galluzzi - vedere i file allegati. 

                              • 30 maggio - 5 giugno

                                30/5/2016, 12:30-14:30: Seconda parte della dimostrazione del teorema di classificazione delle coniche: metodo del completamento dei quadrati. Esempio su un ellisse. Una conica e' riducibile (det(A)=0) se e solo se il polinomio F e' riducibile in C[x,y]. Cosa succede se consideriamo affinita' di R2 invece di rototraslazioni.
                                Circonferenze nel piano, posizione relativa retta/circonferenza, retta tangente alla circonferenza in un punto. Sfere nello spazio, posizione relativa piano/sfera, piano tangente alla sfera in un punto. Descrizione per equazioni di una circonferenza in R3.
                                Cenni sulle quadriche in R3. Descrizione delle 6 quadriche di rango massimo in forma normale (vedere file qui sotto).

                                31/5/2016, 14:30 - 16:30: Esercitazione su forme quadratiche e coniche.

                              • 6 giugno - 12 giugno

                                6/6/2016, 12:30 - 14:30: Esercitazione di riepilogo.

                                9/6/2016, 10:30 - 12:30: Esercitazione con Maple su Geometria Analitica, tenuta dalla Prof.ssa Federica Galluzzi - vedere i file allegati.