Attività settimanale

  • Introduzione

    Geometria Algebrica

    Laurea Magistrale in Matematica, secondo semestre, 48 ore, 6 crediti.

    Docente: Cinzia Casagrande

    Orario: martedì 12:30-14:30 aula 2, venerdì 10:30-12:30 aula S
    In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.

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    Testi consigliati:

    Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, vol. 1
    Reid, Undergraduate Algebraic Geometry
    Harris, Algebraic Geometry - A First Course
    Hartshorne, Algebraic Geometry (cap. 1)

    Referenze di algebra:
    Lang, Algebra
    Atiyah and Macdonald, Introduction to Commutative Algebra 

  • 29 febbraio - 6 marzo

    1/3/2016, 12:30-14:30. Introduzione al corso. Chiusi algebrici affini, topologia di Zariski sullo spazio affine. Esempi. Chiusi affini nella retta e nel piano affine. Ideale associato a un chiuso algebrico, proprieta' ed esempi. Spazio topologico irriducibile.

    4/3/2016, 10:30-12:30. Un chiuso affine e' irriducibile se e solo se l'ideale associato e' primo. Esistenza e unicita' della scomposizione in irriducibili per un chiuso affine. Spazi topologici noetheriani, definizione e proprieta'. Irriducibilita' e connessione nella topologia di Zariski. Un chiuso affine irriducibile nello spazio affine complesso e' connesso rispetto alla topologia euclidea (solo enunciato). Esempio nel caso reale. Radicale di un ideale e ideali radicali; l'ideale di un chiuso affine e' radicale. Ideali massimali dell'anello dei polinomi. Teorema degli zeri di Hilbert: enunciati equivalenti.

    • 7 marzo - 13 marzo

      8/3/2016, 12:30-14:30. Corollari del Nullstellensatz. D'ora in poi supporremo il campo k algebricamente chiuso.
      k-algebre, omomorfismi di k-algebre, k-algebre finitamente generate. Se X e' un chiuso affine, k[An]/I(X) e' una k-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti, ed e' un dominio sse X e' irriducibile. Estensioni di campi finitamente generate. Elementi algebricamente dipendenti o indipendenti. Basi di trascendenza, teorema (senza dimostrazione): se k in K e' un'estensione finitamente generata, ogni base di trascendenza di K su k e' finita e ha la stessa cardinalita'. Grado di trascendenza. Dimensione di un chiuso affine irriducibile come grado di trascendenza su k del campo dei quozienti di k[An]/I(X).
      Funzioni regolari su un chiuso affine X, anello k[X] delle funzioni regolari su X, isomorfismo tra k[An]/I(X) e k[X]. Esempi. Applicazioni regolari tra chiusi affini.

      11/3/2016, 10:30-12:30. La composizione di morfismi e' un morfismo; un morfismo e' continuo. Morfismi dominanti, isomorfismi. Pull-back di funzioni regolari associato a un morfismo. Ogni omomorfismo di k-algebre da k[Y] a k[X] e' il pull-back associato a uno e un solo morfismo X->Y. Due chiusi affini sono isomorfismi se e solo se le loro k-algebre delle funzioni regolari sono isomorfe. Esempi. L'irriducibilita', la scomposizione in irriducibili, e la dimensione sono invarianti per isomorfismo. Ogni k-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti e' isomorfa a k[X] per un chiuso affine X. Corrispondenza biunivoca tra classi di isomorfismo di chiusi affini e k-algebre f.g. e senza nilpotenti. Un morfismo f e' dominante se e solo se f* e' iniettivo. Morfismo di Frobenius. Automorfismi dello spazio affine, congettura jacobiana.

      • 14 marzo - 20 marzo

        15/3/2016, 12:30-14:30. Corrispondenza tra chiusi di X e ideali di k[X]. Dato un morfismo f:X->Y, il pull-back f* e' suriettivo se e solo se f(X) e' chiuso in Y e f induce un isomorfismo tra X e f(X). Prodotti di chiusi affini. L'ideale di XxY e' l'ideale generato da I(X) e I(Y). Struttura di k-algebra sul prodotto tensoriale di k-algebre. Isomorfismo tra k[XxY] e il prodotto tensoriale di k[X] e k[Y]. Il prodotto XxY e' irriducibile se e solo se X e Y sono irriducibili. La diagonale e' chiusa in XxX.

        18/3/2016, 10:30-12:30. Discussione di esercizi assegnati nelle lezioni precedenti.
        Localizzazione dell'anello di polinomi rispetto ad un elemento, chiuso affine associato, aperti principali. Gli aperti principali formano una base della topologia di Zariski.
        Ideali omogenei dell'anello di polinomi. Un ideale e' omogeneo sse ammette un sistema di generatori omogenei. Chiusi proiettivi, topologia di Zariski sullo spazio proiettivo. Cono affine di un chiuso proiettivo.  

        • 21 marzo - 27 marzo

          22/3/2016, 12:30-14:30. Ideale di un chiuso proiettivo, Nullstellensatz proiettivo. Carte affini dello spazio proiettivo. La topologia indotta sulle carte affini coincide con la topologia di Zariski affine. Chiusura proiettiva di un chiuso affine. Varieta' quasiproiettive. Ipersuperfici proiettive, grado. Come associare ad un'ipersuperficie proiettiva di grado d un punto nel proiettivizzato dello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d. Caso degli iperpiani: spazio proiettivo duale. Gli iperpiani contenenti un punto fissato corrispondono ad un iperpiano nello spazio proiettivo duale. Caso delle quadriche: rango e forma normale di una quadrica; chiusi corrispondenti alle quadriche di rango al piu' r; coniche piane.
          Funzioni regolari su varieta' quasiproiettive.

          Avviso: venerdi' 1/4 non ci sara' lezione.

          • 4 aprile - 10 aprile

            5/4/2016, 12:30-14:30. Se X e' un chiuso affine visto come varieta' quasiproiettiva, la nuova nozione di funzione regolare coincide con la nozione affine. Le funzioni regolari su Pn sono costanti. Le funzioni regolari su una varieta' quasiproiettiva X formano una k-algebra k[X]. Se f e' una funzione regolare mai nulla, anche 1/f e' regolare. Il luogo dove una funzione regolare si annulla e' un chiuso. Una funzione regolare e' continua. Funzioni regolari su aperti principali di un chiuso affine. Funzioni razionali su varieta' quasiproiettive come classi di equivalenza di coppie (U,f), dove U e' un aperto denso di X e f e' in k[U]. Regolarita' in un punto e dominio di una funzione razionale. Algebra k(X) delle funzioni razionali su X. Esempi. Se X e' irriducibile, allora k(X) e' un campo. Se X e' irriducibile e U e' un aperto non vuoto di X, i campi k(X) e k(U) sono isomorfi.

            8/4/2016, 10:30-12:30. Se X e' un chiuso affine irriducibile, k(X) e' il campo dei quozienti di k[X]. Applicazioni regolari tra varieta' quasiproiettive. Se Y e' contenuta in una carta affine, un'applicazione f:X->Y e' regolare se e solo se le componenti di f sono funzioni regolari su X. Un'applicazione regolare e' continua. La composizione di morfismi e' un morfismo; isomorfismi. Esempi: isomorfismo tra P1 e una conica irriducibile. Proiettivita' e equivalenza proiettiva. Se f:X->Y e' un morfismo, f induce un omomorfismo di k-algebre f*:k[Y]->k[X]. Isomorfismo tra un aperto principale di un chiuso affine in An e un chiuso affine in An+1. Varieta' affini, proprieta' ed esempi. Pn non e' affine se n>0. A2 meno un punto non e' affine. 

            • 11 aprile - 17 aprile

              12/4/2016, 12:30-14:30. Se X e' una varieta' quasiproiettiva, gli aperti affini di X formano una base per la topologia di X. Varieta' proiettive.
              Cubica gobba, curve razionali normali.
              Applicazioni razionali tra varieta' quasi-proiettive, regolarita' in un punto, dominio. Applicazioni razionali dominanti. Date due applicazioni razionali f:X-->Y e g:Y-->Z, la composizione X-->Z e' sempre definita se g e' regolare o se f e' dominante. Se f:X-->Y e' un'applicazione razionale dominante tra varieta' irriducibili, f induce un'inclusione k-lineare f*:k(Y)->k(X) tra i campi delle funzioni razionali di X e di Y.

              15/4/2016, 10:30-12:30. La superficie di Veronese. Se X e' una varieta' quasiproiettiva irriducibile, k(X) e' finitamente generato su k. Dimensione di una varieta' quasiproiettiva. Prime proprieta'. Una varieta' X ha dimensione zero se e solo se X e' unione finita di punti. Se Y e' un chiuso proprio di X irriducibile, si ha dim(Y)<dim(X). Un'ipersuperficie di An o di Pn ha dimensione n-1. Esercizio su applicazioni razionali. 

              • 18 aprile - 24 aprile

                19/4/2016, 12:30-14:30. Varieta' di Veronese, caso generale. Interpretazione in termini di matrici simmetriche nel caso di grado 2. Corrispondenza tra ipersuperfici proiettive di grado d e sezioni iperpiane della varieta' di Veronese di grado d. Applicazione: il complementare di un'ipersuperficie in Pn e' una varieta' affine.
                Un'applicazione razionale P1-->Pn e' sempre regolare.
                La composizione di applicazioni razionali dominanti e' un'applicazione razionale dominante. Applicazioni birazionali e equivalenza birazionale, osservazioni ed esempi. Un'applicazione razionale e' birazionale se e solo se e' un isomorfismo tra due aperti. Applicazione di Cremona nel piano proiettivo. Esempio di curve affini birazionali ma non isomorfe.

                22/4/2016, 10:30-12:30. Se X e Y sono varieta' irriducibili e g:k(Y)->k(X) e' un omomorfismo di campi k-lineare, esiste ed e' unica un'applicazione razionale dominante f:X-->Y tale che g=f*. Due varieta' irriducibili sono birazionali se e solo se i loro campi delle funzioni razionali sono isomorfi (su k).
                Mappa di Segre e varieta' di Segre. La mappa di Segre e' un isomorfismo sulle carte affini. Struttura di varieta' proiettiva sul prodotto di spazi proiettivi. I chiusi di PnxPm sono dati dall'annullarsi di polinomi biomogenei. La topologia di Zariski di PnxPm e' piu' fine della topologia prodotto. Esempio: il caso di P1xP1.  

                • 25 aprile - 1 maggio

                  26/4/2016, 12:30-14:30. Ancora sui prodotti di varieta' quasiproiettive e l'applicazione di Segre. Le proiezioni sono morfismi. Dati due morfismi f:X->Y e g:Z->W, l'applicazione prodotto (f,g):XxZ->YxW e' regolare. Il prodotto di varieta' affini/proiettive e' affine/proiettivo. La diagonale e' chiusa in XxX, considerazioni e conseguenze. Grafico di un morfismo. L'intersezione di aperti affini e' un aperto affine. Decomposizione in irriducibili di un prodotto. Dimensione di un prodotto.
                  Se X e' una varieta' proiettiva, per ogni varieta' Y la proiezione XxY->Y e' chiusa (enunciato). Corollario: l'immagine di una varieta' proiettiva tramite un morfismo e' chiusa. Applicazioni: una varieta' proiettiva e' un chiuso proiettivo; ogni funzione regolare su una varieta' proiettiva connessa e' costante; ogni morfismo da una varieta' proiettiva a una varieta' affine e' costante.

                  Avviso: venerdi' 29 aprile non ci sara' lezione.

                  • 2 maggio - 8 maggio

                    3/5/2016, 12:30-14:30. Se X e' una varieta' proiettiva, per ogni varieta' Y la proiezione XxY->Y e' chiusa (dimostrazione). Esempio: il teorema non vale sul campo dei numeri reali. 
                    Proiezioni e coni nello spazio proiettivo. 

                    6/5/2016, 10:30-12:30. Discussione di vari esercizi assegnati durante il corso.
                    Una quadrica e' sempre un cono su una quadrica di rango massimo; descrizione del vertice come proiettivizzato del nucleo della forma bilineare simmetrica associata alla quadrica. Superfici quadriche in P3. Varieta' razionali. Una quadrica irriducibile e' razionale. Discussione informale sulla razionalita' di ipersuperfici cubiche.

                    • 9 maggio - 15 maggio

                      10/5/2016, 12:30-14:30. Morfismi genericamente finiti. Se f: X-->Y e' un'applicazione razionale dominante tra varieta' irriducibili, allora f e' genericamente finito se e solo se dim(X)=dim(Y) (dimostrazione parziale). La proiezione di un chiuso proiettivo X da un punto p non appartente a X ha fibre finite sull'immagine. Applicazione: se X e' un chiuso di dimensione n in PN, l'intersezione di X con n iperpiani e' sempre non vuota. Se X e' un chiuso di dimensione n in PN, l'intersezione di X con r ipersuperfici ha dimensione almeno n-r. Se inoltre X ha dimensione pura n, ogni componente irriducibile dell'intersezione di X con r ipersuperfici ha dimensione almeno n-r (senza dimostrazione).

                      Avviso: venerdi' 13/5 la lezione si terra' in aula 3 invece che in aula S.

                      13/5/2016, 10:30-12:30. Applicazioni del teorema sulla dimensione dell'intersezione di un chiuso proiettivo con ipersuperfici. Il piano proiettivo non e' isomorfo a P1xP1. Caso quasi-proiettivo: se X e' una varieta' irriducibile di dimensione n, e f1,...,fr sono funzioni regolari tali che Y=V(f1,...,fr) sia non vuoto, ogni componente irriducibile di Y ha dimensione almeno n-r. Dimensione delle fibre di un morfismo: se f:X->Y e' un morfismo suriettivo tra varieta' irriducibili, ogni componente irriducibile di ogni fibra ha dimensione almeno dim(X)-dim(Y). Dimensione della fibra generica e semicontinuita' superiore della dimensione delle fibre (senza dimostrazione). Se f:X->Y e' un morfismo suriettivo tra varieta' proiettive, con Y irriducibile, e ogni fibra di f e' irriducibile di dimensione dim(X)-dim(Y), allora X e' irriducibile.
                      Grassmanniane: definizione di G(r,n) come insieme; richiami sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale.

                      • 16 maggio - 22 maggio

                        17/5/2016, 12:30-14:30. Proprieta' dell'algebra esterna di uno spazio vettoriale, relazione tra la scrittura di un elemento decomponibile come combinazione lineare della base standard e i minori della matrice associata. Applicazione di Plucker dalla Grassmanniana dei sottospazi vettoriali r-dimensionali di V al proiettivizzato del prodotto esterno r-esimo di V. Iniettivita' dell'applicazione di Plucker. L'immagine dell'applicazione di Plucker sono le classi degli elementi decomponibili, ed e' un chiuso proiettivo. Applicazione di Plucker in coordinate. Primi esempi.  

                        20/5/2016, 10:30-12:30. Grassmanniana delle rette di P3, quadrica di Klein. L'insieme delle rette per un punto fissato forma un piano nella grassmanniana, e anche l'insieme delle rette contenute in un piano fissato. Le proiettivita' agiscono sulla grassmanniana come restrizioni di proiettivita' nell'immersione di Plucker. Diagramma di incidenza e famiglia universale sulla grassmanniana. Dimostrazione che G(r,Pn) e' irriducibile di dimensione (r+1)(n-r) tramite lo studio del diagramma di incidenza. Aperti affini della grassmanniana; le grassmanniane sono varieta' razionali.
                        Nel proiettivizzato dello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d, le classi dei polinomi non ridotti formano un chiuso proprio. 

                        • 23 maggio - 29 maggio

                          24/5/2016, 12:30-14:30. Le ipersuperfici irriducibili di grado d sono parametrizzate da un aperto in PN. Studio delle superfici di P3 che contengono rette, tramite il diagramma di incidenza in GxPN, dove G e' la grassmanniana delle rette di P3, e PN e' il proiettivizzato di k[x0,x1,x2,x3]d. La superficie generica di grado d>3 non contiene rette. Descrizione dei casi d=1 e d=2. Esempio di una superficie cubica che contiene un numero finito di rette. Ogni superficie cubica di P3 contiene rette, e la generica ne contiene un numero finito.
                          Introduzione allo spazio tangente; spazio tangente di un'ipersuperficie affine. 

                          27/5/2016, 10:30-12:30. Spazio tangente immerso di un chiuso affine: definizione ed esempi. Anello locale di una varieta' quasi-proiettiva in un punto. Se X e' irriducibile, l'anello locale e' un sottoanello del campo delle funzioni razionali. Un morfismo tra varieta' quasi-proiettive induce un omomorfismo tra gli anelli locali; un isomorfismo tra varieta' induce un isomorfismo tra gli anelli locali (dei punti corrispondenti). Per ogni intorno aperto U di p, l'anello locale di X in p e' isomorfo all'anello locale di U in p. Localizzazione di un anello rispetto ad un ideale primo. Se X e' una varieta' affine, l'anello locale di X in p e' isomorfo alla localizzazione dell'anello delle funzioni regolari su X rispetto all'ideale massimale del punto p (dimostrazione parziale). Se X e' affine, l'applicazione naturale k[X]->OX,p e' iniettiva se e solo se tutte le componenti irriducibili di X contengono p.
                          Se X e' un chiuso affine e p e' un punto di X, il differenziale in p induce un'applicazione lineare da k[X] nello spazio vettoriale duale di TpX.

                          • 30 maggio - 5 giugno

                            31/5/2016, 12:30-14:30. Definizione del differenziale dall'anello locale nello spazio cotangente, per un chiuso affine. Il differenziale induce un isomorfismo di spazi vettoriali tra m/m2 e lo spazio cotangente. Definizione di spazio cotangente e tangente per una varieta' quasiproiettiva. Differenziale di un morfismo; caso dell'inclusione di un aperto o di un chiuso. Esempi. Semicontinuita' superiore della dimensione dello spazio tangente. Ogni varieta' quasiproiettiva irriducibile e' birazionale a un'ipersurficie (senza dimostrazione). Se X e' una varieta' irriducibile, allora dim TpX e' maggiore uguale di dim(X) per ogni punto p in X, e vale uguale su un aperto non vuoto: inizio della dimostrazione.

                            • 6 giugno - 12 giugno

                              7/6/2016, 12:30-14:30.  Se X e' una varieta' irriducibile, allora dim TpX e' maggiore uguale di dim(X) per ogni punto p in X, e vale uguale su un aperto non vuoto: fine della dimostrazione. Dimensione in un punto. Punti singolari e non singolari. Un punto non singolare appartiene ad un'unica componente irriducibile (senza dimostrazione). Il luogo singolare di X e' l'unione dei luoghi singolari delle componenti e delle intersezioni tra loro delle componenti. Il luogo non singolare e' un aperto denso. Se X e' un chiuso affine irriducibile in AN, di dimensione n, nell'intorno di un punto non singolare X e' il luogo di zeri di N-n polinomi.
                              Caso complesso: struttura di varieta' complessa su una varieta' quasi-proiettiva complessa non singolare. Discussione informale della relazione tra varieta' complesse compatte e varieta' proiettive complesse non singolari: cenni su teorema di immersione di Riemann, teorema di Chow, principio GAGA.

                              10/6/2016, 10:30-12:30
                              Seminario di Olimjon Eshkobilov: Cubiche piane e legge di gruppo.
                              Discussione di esercizi assegnati durante il corso.