Attività settimanale

  • Introduzione

    GEOMETRIA 2 



    DOCENTI:

    Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    Prof. Cinzia CASAGRANDE

    email: cinzia.casagrande@unito.it



    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono TRE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda degli indirizzi e del corso di laurea.

    • Matematica, indirizzo TEORICO (MFN1628): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO (MFN1250): il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre.


    ORARIO:

    • LUN 14:30 - 16:30
    • MAR 16:30 - 18:30
    • MER 14:30 - 16:30
    • GIO 16:30 - 18:30 

    Tutte le lezioni si svolgono in Aula A (nel cortile)


    RICEVIMENTO DOCENTI:

    • Albano: su appuntamento (telefonare o mandare email)
    • Casagrande: venerdi' h 11, oppure su appuntamento


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Assiomi di separazione. Connessione. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Azioni propriamente discontinue e quozienti. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Rivestimenti.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Orientabilità. Il teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione.

    4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Endomorfismi semisemplici e nilpotenti. Decomposizione di Jordan astratta.

    5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, dualità punti-iperpiani, grassmanniane. Classificazione proiettiva delle quadriche, con particolare attenzione alle coniche piane e alle quadriche nello spazio. Curve algebriche piane: equazioni omogenee, discussione di componenti irriducibili, punti lisci e singolari, flessi. Cubiche piane: forma di Weierstrass, legge di gruppo.


    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. Ricordiamo che 1 CFU = 8 ore di lezione. I programmi d'esame sono:

    • Matematica, indirizzo TEORICO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO: 1 + 2 + 3+ 4
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1. e 2.

    W. S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology , Springer per le parti 2. e 3.

    G. Occhetta, Geometria III scaricabile liberamente per le parti 2. e 3.

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente per la parte  3.

    Vi sono delle note del docente, disponibili nei materiali didattici su Campusnet e qui sotto, per la parte 4.

    N. Hitchin, Projective Geometry, Chapter 1 e 2, scaricabile liberamente per la parte  5.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili dalla pagina di Campusnet di Geometria 2 Teorico (MFN 1628), per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).

    Vi sono delle note del docente ad integrazione dei due testi precedenti che riguardano la geometria del piano proiettivo. Esse trattano inoltre della  operazione di gruppo sulle curve cubiche, sulla pagina di Campusnet. Le note verranno probabilmente sottoposte a ulteriore revisione. Per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).


    FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):

    Topologia e topologia algebrica:
    file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (questo va bene anche per studiare la parte di topologia generale e omologia)

    E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri

    Geometria proiettiva:
    le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri


    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.



    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    • La prova scritta dell'anno accademico 2017/2018 è composta da esercizi da risolvere e dura:
    • 2 ore  (esercizi 1-3) per gli studenti di MatFin,
    • 2 ore e 30 minuti (esercizi 1-4) per gli studenti dell'indirizzo Modellistico,
    • 3 ore (esercizi 1-5) per gli studenti dell'indirizzo Teorico.
    Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    • Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame  in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    • La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 


    PROVE SCRITTE PRECEDENTI:

    Troverete qui sotto i testi delle prove scritte. A volte saranno presenti anche le soluzioni.

    NOTA BENE: le prove dell'anno 2015/2016 erano uguali per l'indirizzo Modellistico e Teorico e avevano una durata di 3 ore (esercizi 1-6) mentre per MatFin avevano una durata di 2 ore (esercizi 1-4).


  • 25 settembre - 1 ottobre

    LEZIONE 1 -- mercoledì 27 settembre 2017

    Introduzione al corso.

    Discussione sul significato della nozione di continuità per funzioni da \( \mathbf{R}\) in \( \mathbf{R}\): punti aderenti ad un sottoinsieme, chiusura di un sottoinsieme, le funzioni continue rispettano l'aderenza cioè vale

    \( f \text{ continua } \iff f(\bar A) \subseteq \bar{f(A)} \)

    Definizione di chiuso: un sottoinsieme è chiuso se è uguale alla sua chiusura.
    Definizione di aperto: un sottoinsieme è aperto se è il complementare di un chiuso.

    Definizione di spazio topologico mediante gli assiomi per gli aperti o equivalentemente per i chiusi.

    Esempi: topologia euclidea in \( \mathbf{R}\), in \( \mathbf{R}^n\)


    Definizione di spazio metrico e di topologia indotta da una distanza (o metrica).

    Esempi di distanze

    • Distanza euclidea su \( \mathbf{R}^n\)
    • Distanze sullo spazio \(C([0, 1])\): distanza \(d_\infty, d_1, d_2\)


    Durante la lezione abbiamo fatto più volte riferimento agli assiomi della teoria degli insiemi. Parleremo ancora durante il corso di questi argomenti di volta in volta che saranno importanti per le questioni trattate. Per una breve introduzione al sistema assiomatico di Zermelo-Frenkel, potete leggere il file qui sotto. Per una trattazione di vari argomenti di teoria degli insiemi (che però non parla degli assiomi) potete leggere il capitolo 2 del libro di Manetti. Per una trattazione completa, seguite i corsi di Logica e Logica Matematica 2 (al terzo anno) e Istituzioni di Logica (nella Laurea Magistrale).

    NO LEZIONE -- giovedì 28 settembre 2017

  • 2 ottobre - 8 ottobre

    LEZIONE 2 -- lunedì 2 ottobre 2017

    Esempi di topologie:

    • Topologia banale, topologia discreta
    • Topologia dei complementari finiti
    • Topologia degli aperti simmetrici su \(\mathbf{R}^2\)

    Relazione di finezza fra topologie: la topologia banale è la meno fine di tutte, la topologia discreta è la più fine.

    Base di una topologia. Esempio: gli intervalli aperti sono una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\).

    Teorema 3.7. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.

    Esempio: la retta di Sorgenfry.

    Definizione di chiusura, interno, frontiera di un insieme.

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20). Intorni e chiusura (Lemma 3.21).


    LEZIONE 3 -- martedì 3 ottobre 2017

    Sistema fondamentale di intorni (definizione 3.22)

    Esempi di sistemi fondamentali di un punto \(x\): intorni contenuti in un intorno fissato, aperti di una base che contengono \(x\), palle di raggio convergente a zero in uno spazio metrico.

    Osservazione: una palla aperta in uno spazio metrico è un aperto nella topologia indotta dalla metrica

    Discussione sulle varie definizioni di spazio topologico: tramite aperti, tramite intorni, tramite l'operatore di chiusura. Equivalenza delle definizioni (commento sugli Esercizi 3.14, 3.15).


    Continuità: definizione di funzione continua tramite aperti e alcune semplici formulazioni equivalenti (tramite chiusi, base di aperti)

    Lemma 3.25. Le funzioni continue non "strappano" lo spazio: \(f \) è continua se e solo se per ogni \(A\) vale \( f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)} \)


    Definizione di continuità in un punto tramite intorni e equivalenza delle definizioni (Teorema 3.28)


    LEZIONE 4 -- mercoledì 4 ottobre 2017

    Teorema 3.26. Composizione di funzioni continue è continua.

    Definizione di omeomorfismo (3.29) , funzione aperta, funzione chiusa (3.30).

    Alcune osservazioni sulle relazioni fra i concetti di omeomorfismo, aperta, chiusa.

    Esempio: la proiezione \(p : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}\) data da \(p(x, y) = x\)

    • non è chiusa: la proiezione dell'iperbole \(xy = 1\), che è un chiuso, è l'asse \(x\) tranne lo \(0\) che non è un chiuso
    • è aperta: l'immagine di un disco aperto è un intervallo aperto, poi usare il fatto che i dischi aperti sono una base per la topologia di \(\mathbf{R}^2\)

    SOTTOSPAZI: definizione di topologia di sottospazio come topologia meno fine che rende continua l'inclusione. Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi nella topologia di sottospazio.

    Per \(A \subseteq Y \subseteq X\) confronto fra la chiusura di \(A\) in \(Y\) e la chiusura di \(A\) in \(X\) (Lemma 3.55).

    Definizione di immersione ed alcuni esempi: la funzione \(f : [0, 1) \to \mathbf{R}^2\) data da \(f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\) non è un'immersione.


    ESERCITAZIONE 1 -- giovedì 5 ottobre 2017

    Esercizi sulla topologia euclidea in \(\mathbf{R}^n\): aperti, chiusi, interno, chiusura, frontiera.
    Esercizi su definizione e esempi di topologia: topologie più o meno fini, topologia discreta/banale/cofinita, topologie su un insieme con due elementi.

  • 9 ottobre - 15 ottobre

    LEZIONE 5 -- lunedì 9 ottobre 2017

    PRODOTTI: definizione della topologia prodotto sul prodotto cartesiano \( P \times Q\) di due spazi topologici.
    Teorema 3.61.
    1. base della topologia prodotto
    2. le proiezioni sono aperte e inducono omeomorfismi \( p : P \times \{y\} \to P \) (e analogamente per \(Q\) )
    3. proprietà universale della topologia prodotto: \(f : X \to P\times Q \text{ continua} \iff p\circ f, q\circ f \text{ continue}\), cioè \(f \) è continua se e solo se la sue componenti sono continue.

    Osservazioni sulla definizione di prodotto di insiemi quando l'insieme degli indici è infinito. Enunciato dell'Assioma della Scelta.

    SPAZI DI HAUSDORFF (o spazi \(T_2\))

    Definizione (3.65)

    Esempio: ogni spazio metrico è di Hausdorff

    Definizione di spazi \(T_1\) mediante condizioni sugli intorni e mediante la chiusura dei punti. Dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni.

    Lemma 3.67. In uno spazio di Hausdorff tutti i punti sono chiusi (cioè \(T_2 \implies T_1 \) )

    Esempio: Se \(X\) è un insieme infinito con la topologia dei complementari finiti, allora \(X\) è \(T_1\) ma non \(T_2\) (cioè \(T_1\) non implica \(T_2\)).



    LEZIONE 6 -- martedì 10 ottobre 2017

    Ulteriori proprietà degli spazi di Hausdorff: sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff (3.68)

    Teorema 3.69. \(X\) è di Hausdorff \( \iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).

    Conseguenze: siano \(f, g : X \to Y\) continue con \(Y \) di Hausdorff. Allora:

    1. (3.70) il luogo su cui \(f\) e \(g\) coincidono è un chiuso in \( X\).
    2. se \(f : X \to X\) è continua e \(X\) di Hausdorff, l'insieme dei punti fissi di \(f\) è un chiuso in \(X\)
    3. se \(f\) e \(g\) coincidono su un sottoinsieme denso allora coincidono ovunque
    4. il grafico \(\Gamma\) di \(f\) è chiuso in \(X \times Y\)

    NB: 4.: esercizio


    Definizione di proprietà topologica: una proprietà \(P\) è topologica se per ogni coppia di spazi topologici \(X\) e \(Y\) si ha:

    \(X\) omeomorfo a \(Y\) \(\implies\) \([X\) soddisfa \(P\) \(\iff\) \(Y\) soddisfa \(P]\)

    Essere di Hausdorff è una proprietà topologica (dimostrazione usando l'esercizio 3.56, svolto in classe)

    Conseguenza: due spazi topologici \(X\) e \(Y\) sono di Hausdorff se e solo se il prodotto \(X \times Y\) è di Hausdorff


    Discussione della proprietà \(T_1\):

    • un sottospazio di uno spazio \(T_1\) è \(T_1\)
    • il prodotto di spazi \(T_1\) è \(T_1\): per la dimostrazione si usa la proprietà

      per \(A \subseteq X\) e \(B \subseteq Y\) si ha: \(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}\)

      che è un esercizio da svolgere nel prossimo foglio di tutorato.
    • essere \(T_1\) è una proprietà topologica
    • due spazi topologici \(X\) e \(Y\) sono \(T_1\) se e solo se il prodotto \(X \times Y\) è \(T_1\)

    CONNESSIONE

    Definizione di spazio connesso e condizioni equivalenti.

    Teorema 4.6. L'intervallo \( [0, 1] \) è connesso.

    Teorema 4.7. L'immagine di un connesso è connessa.



    LEZIONE 7 -- mercoledì 11 ottobre 2017

    Connessione per archi: definizione.

    Teorema 4.8. Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Lemma 4.10. Se \(A, B\) sono connessi per archi e \(A \cap B \ne \emptyset\) allora \( A \cup B\) è connesso per archi.

    Importante: definizione di prodotto di cammini: \( \alpha \ast \beta \).

    Conseguenze:

    1. ogni sottoinsieme convesso di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi
    2. la sfera \(S^n\) è connessa per archi, per \(n \ge 1\) (NB: \(S^0\) è composta da due punti ed è sconnesso).

    Teorema 4.13. Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) sono equivalenti:

    1. \(I\) è un intervallo (cioè è convesso)
    2. \(I\) è connesso per archi
    3. \(I\) è connesso

    Applicazioni del concetto di connessione:

    1. Per \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) continua, l'immagine di un intervallo è un intervallo (questo implca immediatamente il teorema dei valori intermedi e il teorema di esistenza degli zeri in Analisi 1)
    2. Per \(f : S^n \to \mathbf{R}\) continua, con \(n \ge 1\) esiste \(x \in S^n\) per cui \(f(x) = f(-x)\) e in particolare \(f\) non può essere iniettiva
    3. Se \(I \subseteq \mathbf{R}\) e \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) con \(n \ge 2\) sono due aperti, allora non sono omeomorfi . Questo è un caso particolare del

      Teorema di Invarianza della Dimensione: Siano \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(V \subseteq \mathbf{R}^m\) due sottoinsiemi aperti. Se \(U\) è omeomorfo a \(V\), allora \(n = m\) (gli aperti "vedono" la dimensione).
      Nota Bene: la dimostrazione di questo teorema è piuttosto complicata e non sarà affrontata nel corso. Si potrà vedere la dimostrazione nel corso di Topologia Algebrica della Laurea Magistrale.

    Lemma 4.23 L'unione di connessi con intersezione non vuota è connesso.

    Teorema 4.19 \(X\) e \(Y\) sono connessi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso.

    Nota: la dimostrazione vista a lezione usa il Lemma 4.23 ed è diversa da quella sul libro di Manetti.


    Lemma 4.22 Se \(Y\) è connesso e \(Y \subseteq W \subseteq \bar Y \) allora \(W\) è connesso.

    Conseguenza importante: la chiusura di un connesso è connessa.



    ESERCITAZIONE 2 -- giovedì 12 ottobre 2017

    Es. 2 dallo scritto d'esame di feb 2017 (su topologia euclidea).
    Esercizi su basi, interno, chiusura, connessione, connessione per archi, Hausdorff, \(T_1\), topologia prodotto, per topologie non standard su \(\mathbf{R}\) e su \(\mathbf{R}^2\).
    Proprietà della topologia banale rispetto a connessione, connessione per archi, Hausdorff, \(T_1\).

  • 16 ottobre - 22 ottobre

    LEZIONE 8 -- lunedì 16 ottobre 2017

    Definizione di componente connessa e principali proprietà: componente connessa di un punto (Lemma 4.25), le componenti connesse sono chiuse e danno una partizione dello spazio (Teorema 4.27)

    Le componenti connesse non sono necessariamente aperte: le componenti connesse di \(\mathbf{Q}\) sono i punti.


    COMPATTEZZA

    Definizione di ricoprimento (aperto) e di sottoricoprimento. Definizione di spazio compatto (Definizione 4.35)

    Vari esempi di spazi non compatti: l'intervallo aperto \( (0, 1) \), la retta \(\mathbf{R}\), lo spazio \( \mathbf{R}^n \).

    \(X\) con la topologia dei complementari finiti è sempre compatto.

    Teorema 4.38. L'immagine di un compatto è compatta.

    Conseguenza importante: la compattezza è una proprietà topologica.

    Teorema 4.39. L'intervallo chiuso e limitato \( [0, 1] \) è compatto.



    LEZIONE 9 -- martedì 17 ottobre 2017

    Principali proprietà dei compatti:

    • Proposizione 4.41 Un chiuso in un compatto è compatto.
    • Proposizione 4.48 Un compatto in un Hausdorff è chiuso.
    • Corollario 4.42 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}\) è compatto e e solo se è chiuso e limitato.
    • Teorema 4.49 (2) Il prodotto di compatti è compatto.
    • Corollario 4.50 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}^n\) è compatto e e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.52 Sia \(f: X \to Y\) continua, con \(X\) compatto e \(Y\) Haursdorff. Allora \(f\) è chiusa.

    NOTA BENE: le dimostrazioni fatte a lezione della proposizione 4.48 e del teorema 4.49 sono diverse da quelle sul libro di Manetti (non usano il teorema di Wallace). Le dimostrazioni fatte a lezione si possono trovare sul libro di Kosniowski.



    LEZIONE 10 -- mercoledì 18 ottobre 2017

    Corollario 4.49. (1) Se \(X\) è compatto, la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa.

    In effetti, vale anche il vicecersa e cioè

    Teorema (Kuratowski) Sia \(X\) uno spazio topologico. Allora \(X\) è compatto se e solo se per ogni spazio topologico \(Y\) la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa.

    (non abbiamo visto la dimostrazione di questo teorema, ma solo dell'implicazione di 4.49 (1)).


    Esercizio. Per \(X\) uno spazio topologico, definiamo la compattificazione di Alexandroff \(\hat X\). Dimostrare che
    • \(\hat X\) è uno spazio topologico
    • \(\hat X\) è compatto
    • \(X\) è denso in \(\hat X\)
    • se \(X\) è di Hausdorff e localmente compatto, allora \(\hat X\) è di Hausdorff

    Se non avete copiato bene la definizione della topologia, la trovate nel foglio di esercizi di preparazione all'esame (all'inizio della pagina del corso) nell'Esercizio 12. Inoltre tutte le dimostrazioni sono fatte sul libro di Manetti (cercate da soli le pagine giuste).


    Lemma 4.18 sulla connessione

    GRUPPI TOPOLOGICI: definizione ed esempi semplici

    Alcune proprietà:

    • il gruppo ortogonale \(O(n, \mathbf{R})\) è compatto
    • il gruppo lineare \(GL(n, \mathbf{R})\) non è connesso
    • Proposizione 4.58 il gruppo \(GL^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso


    ESERCITAZIONE 3 -- giovedì 19 ottobre 2017

    Topologia discreta: le componenti connesse sono i punti; è sempre Hausdorff; è compatta se e solo se l'insieme è finito.

    Un insieme infinito con la topologia cofinita è connesso. \(\mathbf{R}\) con la topologia cofinita è connesso per archi.

    Un omeomorfismo tra due spazi topologici induce omeomorfismi tra i sottospazi corrispondenti.

    Classi di omeomorfismo delle coniche in \(\mathbf{R}^2\), con la topologia euclidea.

    Es. 2 dallo scritto di giugno 2017.

    Proiezione stereografica dalla sfera \(n\)-dimensionale meno il polo nord, in \(\mathbf{R}^n\): descrizione geometrica.

  • 23 ottobre - 29 ottobre

    LEZIONE 11 -- lunedì 23 ottobre 2017

    Topologia quoziente su \(Y\) indotta da una funzione \(f : X \to Y\), dove \(X\) è uno spazio topologico.

    Definizione di identificazione (5.1)

    Lemma 5.4. \(f : X \to Y\) continua, suriettiva e chiusa (oppure aperta). Allora \(f\) è una identificazione chiusa (aperta).

    Esempio: \(\mathbf{R}/\mathbf{Q}\): la contrazione di \(\mathbf{Q}\) ad un punto è una identificazione che non è né aperta né chiusa.

    Esempio: identificando gli estremi di \([0, 2\pi]\) si ottiene la circonferenza \(S^1\).

    Lemma 5.6. Proprietà universale delle identificazioni.

    Altri esempi di quozienti: \( D^n \cong S^{n-1} \times [0,1] / S^{n-1} \times \{0\} \)

    I quozienti non sono sempre di Hausdorff: esempio la retta con due origini

    Esempio di compatti la cui intersezione non è compatta.



    LEZIONE 12 -- martedì 24 ottobre 2017

    Teorema 5.14. \(X\) compatto e di Hausdorff, \(f : X \to Y \) identificazione (cioè \(Y\) ha la topologia quoziente). Sono equivalenti:

    1. \(Y\) è di Hausdorff
    2. \(f\) è una identificazione chiusa
    3. \( K = \{ (x_1, x_2) \in X \times X \mid f(x_1) = f(x_2) \} \) è chiuso in \( X \times X \)

    Azione di un gruppo su un insieme: definizione, relazione di equivalenza indotta, classi di equivalenza (orbite), spazio quoziente \(X / G\) = spazio delle orbite.

    Esempi di azioni:

    • \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per moltiplicazione (ci sono due orbite)
    • \(\mathbf{Z}\) che opera su \(\mathbf{R}\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\)
    • \(\mathbf{R}^*\) che opera su \(\mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\}\) per moltiplicazione (omotetia): il quoziente è lo spazio proiettivo reale \(\mathbf{RP}^n\)
    • \(G = \{1, -1\}\) che opera sulla sfera \(S^n\) per moltiplicazione

    Topologia su \(\mathbf{R}^n / \text{GL}(n, \mathbf{R})\) = spazio con due punti, uno aperto e l'altro chiuso

    Topologia su \(\mathbf{R}/\mathbf{Z} = S^1\)

    Determinazione del quoziente \(S^n/\{1, -1\}\):

    1. \(n = 1\): il quoziente è ancora una circonferenza
    2. \(n = 2\): il quoziente è il piano proiettivo reale ed è omeomorfo a\(D^2 \cup \) nastro di Moebius, incollati lungo il bordo


    LEZIONE 13 -- mercoledì 25 ottobre 2017

    Il prodotto di insiemi numerabili è numerabile (primo procedimento diagonale di Cantor).

    Primo e secondo assioma di numerabilità. Esempi:

    1. ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma (Lemma 6.11)
    2. la retta reale \(\mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.2)
    3. il prodotto di due spazi che soddisfano il secondo assioma soddisfa il secondo assioma e quindi \(\mathbf{R}^n\) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.4)
    4. secondo assioma \(\implies\) primo assioma

    Definizione di spazio separabile.

    Lemma (6.6). Secondo assioma \(\implies\) separabile.

    Lemma (6.7). Spazio metrico + separabile \(\implies\) secondo assioma

    Osservazione: primo assioma + separabile NON implica secondo assioma (Esempio 6.12, senza dimostrazione)


    Successioni: definizione di successione convergente, punto di accumulazione, sottosuccessione.

    Relazioni fra topologia e successioni:

    Proposizione (6.18). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il primo assioma e sia \(A\subseteq X\). Sono equivalenti:

    1. esiste una successione a valori in \(A\) che converge ad \(x\)
    2. il punto \(x\) è di accumulazione per una successione a valori in \(A\)
    3. il punto \(x\) appartiene alla chiusura di \(A\)

    Relazioni fra compattezza topologia e la compattezza persuccessioni:

    Proposizione (4.46). Una catena numerabile discendente di chiusi, compatti non vuoti ha intersezione non vuota.

    Lemma (6.19). In uno spazio compatto ogni successione ha un punto di accumulazione.

    Definizione di spazio compatto per successioni.

    Lemma (6.21). Per uno spazio \(X\) che soddisfa il primo assioma sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto per successioni
    2. ogni successione in \(X\) ha un punto di accumulazione

    Proposizione (6.22). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma. Sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto
    2. ogni successione a valori in \(X\) ha punti di accumulazione
    3. \(X\) è compatto per successioni

    NOTA: \(1. \implies 2.\) è il lemma 6.19 e quindi vale per ogni spazio topologico, \(2. \implies 3.\) è il Lemma 6.21 e quindi vale per tutti gli spazi che soddisfano il primo assioma. Solo \(3. \implies 1.\) richiede il secondo assioma. Vedremo lunedì la dimostrazione di \(3. \implies 1.\)



    ESERCITAZIONE 4 -- giovedì 26 ottobre 2017

    Proiezione stereografica in coordinate.
    Funzioni localmente costanti; una funzione localmente costante è costante sulle componenti connesse del dominio.
    Es. 5.9 dal Manetti: al variare di A tra i sottoinsiemi di due punti distinti in [0,1], determinare le classi di omeomorfismo del quoziente [0,1]/A.
    Azione di \(\mathbf{Z}^2\) su \(\mathbf{R}^2\) per traslazione, il quoziente e' il toro \(S^1 \times S^1\). Il toro come quoziente del quadrato \(I \times I\). Omeomorfismo tra \(S^1 \times S^1\) e il toro di rotazione in \(\mathbf{R}^3\).


    AVVISO: giovedi' prossimo 2 novembre la lezione di Geometria 2 si terra' nell'orario 12:30-14:30, al posto della lezione di Analisi Numerica.

  • 30 ottobre - 5 novembre

    LEZIONE 14 -- lunedì 30 ottobre 2017

    Proposizione (6.9). Se \(X\) soddisfa il secondo assioma, ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento numerabile.

    Dimostrazione dell'implicazione \(3. \implies 1.\) della Proposizione 6.22.


    Spazi metrici e completamenti.

    Successioni di Cauchy. Una successione di Cauchy converge se e solo se ha punti di accumulazione.

    Definizione di spazio metrico completo. Esempi: ogni spazio metrico compatto è completo. Gli spazi \(\mathbf{R}^n\) sono completi con la distanza euclidea.

    Osservazioni:

    • \(X\) metrico completo, \(C \subseteq X\). Allora \(C\) è chiuso se e solo se è completo con la metrica indotta.
    • la completezza NON è una proprietà topologica: \(\mathbf{R}\) è omeomorfo all'intervallo aperto \((0,1)\), ma uno è completo e l'altro no.

    Completamento di uno spazio metrico (paragrafo 6.6)

    Definizione di completamento, costruzione dell'insieme \(\hat X\), definizione della funzione \(\hat d\).



    LEZIONE 15 -- martedì 31 ottobre 2017

    Proposizione 6.46 Se \(A\subseteq X\) è denso, allora la mappa fra i completamenti \(\hat A \to \hat X\) è biunivoca.

    Dimostrazione del teorema di esistenza del completamento (6.47):

    • \(\Phi(X)\) denso in \(\hat X\)
    • \((\hat X, \hat d)\) è completo


    Esempio: la norma \(p\)-adica su \(\mathbf{Q}\). La norma \(p\)-adica è non archimedea. Proprietà geometriche delle norme non archimedee (triangoli isosceli, sfere aperte e chiuse). Esempio di successioni convergenti in norma \(p\)-adica.


    NO LEZIONE -- mercoledì 1 novembre 2017



    ESERCITAZIONE 5 -- giovedì 2 novembre 2017

    Omeomorfismo esplicito in coordinate tra \(S^1 \times S^1\) e un toro di rotazione in \(\mathbf{R}^3\).
    Dati due spazi topologici \(X\) e \(Y\), ciascuno con una relazione d'equivalenza, e un omeomorfismo \(f : X \to Y\) tale che \(p\) è equivalente a \(q\) sse \(f(p)\) è equivalente a \(f(q)\), \(f\) induce un omeomorfismo tra i quozienti.
    Esercizio n. 6.3 dal Manetti su separabilità e secondo assioma di numerabilità.
    Convergenza di successioni nelle topologie discreta, banale e cofinita su un insieme qualsiasi.
    Es. 2 dallo scritto di febbraio 2017, punti (a) e (b).

    Avvisi:
    * i fogli del tutorato corretti si possono ritirare al centro stampa
    * il tutorato della settimana prossima si terrà mercoledì 8, h 10:30-12:30, in aula S (invece che martedì 7)

  • 6 novembre - 12 novembre

    OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    LEZIONE 16 -- lunedì 6 novembre 2017

    Definizione di omotopia fra funzioni.

    Esempi di funzioni omotope.

    Lemma 10.11. L'omotopia fra funzioni è una relazione di equivalenza.

    Lemma 10.13. L'omotopia rispetta la composizione di funzioni.

    Definizione di spazi omotopicamente equivalenti o con lo stesso tipo di omotopia.

    Esempio: tutti i convessi sono omotopicamente equivalenti.

    Definizione di spazio contraibile. Esempi: \(\mathbf{R}^n\), ogni convesso in \(\mathbf{R}^n\), ogni stellato in \(\mathbf{R}^n\).

    Proprietà: uno spazio contraibile è connesso per archi.

    Definizione di retratto, di retratto di deformazione e di retratto forte di deformazione (10.18 e 10.20).

    NOTA BENE: la definizione di retratto (10.18) è standard. Manetti chiama "retratto di deformazione" (10.20) quello che abbiamo chiamato "retratto forte di deformazione". La definizione data in classe è quella di Wikipedia ed è quella che si trova nel libro di Spanier, Algebraic Topology, pag. 27 e seguenti.

    Esempi:

    • Un punto è un retratto di tutto lo spazio \(X\)
    • \(Y = \{0, 1\}\) non è un retratto dell'intervallo \([0, 1]\)
    • Se \(Y\) è un retratto di deformazione di \(X\), allora \(X\) e \(Y\) sono omotopicamente equivalenti
    • \(S^n\) è un retratto forte di deformazione di \(\mathbf{R}^n - \{0\}\).
    • Il bicchiere vuoto è un retratto forte di deformazione del bicchiere pieno (Esercizio 10.15 del Manetti).

    LEZIONE 17 -- martedì 7 novembre 2017

    Spazio dei cammini \(\Omega(X, a, b)\) e operazioni di "giunzione di cammini" \(\alpha * \beta\) e "inversione" \(i(\alpha)\).

    Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia rispetta la giunzione e l'inversione.

    Proposizioni (11.4 - 11.6). A meno di omotopia:

    1. La giunzione è associativa, cioè \( \alpha * (\beta * \gamma) \sim (\alpha * \beta) * \gamma \)
    2. Il cammino costante è un elemento neutro per la giunzione.
    3. \(i(\alpha)\) è l'inverso di \(\alpha\) rispetto alla giunzione.

    Definizione di gruppo fondamentale \(\pi_1(X, a) = \Omega(X, a, a) /\sim\), dove \(\sim\) è l'omotopia a estremi fissi.

    Lemma (11.13). Un cammino \(\gamma\) che unisce i punti \(a\) e \(b\) induce un isomorfismo

    \( \gamma_\sharp : \pi_1(X, a) \to \pi_1(X, b) \)

    In particolare, se \(X\) è connesso per archi, la classe di isomorfismo del suo gruppo fondamentale non dipende dal punto base.


    Funtorialità di \(\pi_1(X, x_0)\):

    Una funzione continua \(f : X \to Y \) induce un omomorfismo \( f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) tale che

    1. \((id_X)_* = id_{\pi_1(X)}\)
    2. \((g \circ f)_* = g_* \circ f_* \)


    LEZIONE 18 -- mercoledì 8 novembre 2017

    Conseguenza della funtorialità:
    1. se \(f : X \to Y\) è un omeomorfismo, allora \(f_*\) è un isomorfismo.
    2. se \(A \subseteq X\) è un retratto allora l'omomorfismo \(i_*\) indotto dall'inclusione è iniettivo

    Proposizione (11.19). Sia \(F: X \times I \to Y \) un'omotopia fra \(f\) e \(g\) e sia \(\gamma(s) = F(a, s)\) il cammino indotto da \(F\) che unisce \(f(a)\) a \(g(a)\). Allora

    \( g_* = \gamma_\sharp \circ f_* \)

    Invarianza omotopica di \(\pi_1(X, x_0)\):

    Teorema (11.22). Se \(f : X \to Y\) è una equivalenza omotopica, allora \(f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) è un isomorfismo, e quindi la classe di isomorfismo del gruppo fondamentale dipende solo dal tipo di omotopia di uno spazio.


    Il gruppo fondamentale della sfera \(S^n\), \(n \ge 2\).


    Osservazione: se \(\alpha : I \to S^n\) non è suriettivo, allora \(\alpha\) è omotopo ad un cammino costante.
    Esistenza di funzioni continue suriettive \(\alpha : I \to S^n\): la curva di Peano.
    (vedere qui sotto per l'articolo originale di Peano e un foglio di esercizi facoltativo)

    Lemma (del numero di Lebesgue). Sia \((Y, d)\) spazio metrico compatto e \(\mathcal{A}\) un ricoprimento aperto di \(Y\). Allora esiste un numero reale \(\delta > 0\) tale che ogni sottoinsieme \(B\subseteq Y\) di diametro minore di \(\delta\) è contenuto in un aperto del ricoprimento.

    N.B.: Questa è la versione che abbiamo visto in classe. Potete trovare la dimostrazione sul libro di Munkres, Topology, Lemma 27.5, pag. 175 (vedi file qui sotto), oppure su Wikipedia, Lebesgue's number lemma. La dimostrazione è la stessa, sul Munkres c'è qualche dettaglio in più sulla definizione di distanza da un sottoinsieme e sulla continuità di questa funzione.

    Da questo teorema si deduce immediatamente la versione che c'è sul Manetti (Teorema 11.23) e la conseguenza che si usa, Corollario 11.24.


    Teorema (11.25) (van Kampen, generatori) (11.25). Sia \(X = A \cup B\) con \(A, B, A \cap B\) aperti connessi per archi, sia \(x_0 \in A \cap B\) e siano \(f : A \to X\) e \(g : B \to X\) le inclusioni. Allora \(\pi_1(X, x_0)\) è generato dalle immagini di \(f_*\) e \(g_*\).

    ESERCITAZIONE 6 -- giovedì 9 novembre 2017

    Esercizi su omotopia, equivalenza omotopica, retratti di deformazione. L'equivalenza omotopica preserva la connessione per archi.

    Il cilindro \(S^1 \times I\) ha lo stesso tipo di omotopia della circonferenza. L'equivalenza omotopica si preserva per prodotti; il prodotto per uno spazio contraibile non cambia il tipo di omotopia.

    Il piano meno 2 punti ha lo stesso tipo di omotopia del bouquet di 2 circonferenze, costruzione esplicita della retrazione.

    Divisione delle lettere dell'alfabeto in classi di omeomorfismo / equivalenza omotopica (senza dimostrazione).

    \(\mathbf{R}^3\) meno una retta ha lo stesso tipo di omotopia di una circonferenza; \(\mathbf{R}^3\) meno due rette distinte ha lo stesso tipo di omotopia del bouquet di 2 circonferenze se le rette sono disgiunte, del bouquet di 3 circonferenze se le rette sono incidenti.

    Esercizio assegnato per casa: un retratto di uno spazio topologico di Hausdorff è chiuso.

  • 13 novembre - 19 novembre

    LEZIONE 19 -- lunedì 13 novembre 2017

    Il gruppo fondamentale della circonferenza. Abbiamo seguito l'impostazione di Kosniowski, vedi sotto per le pagine del libro con le dimostrazioni fatte a lezione.

    Lemma (Kosniowski, 16.1). Proprietà della mappa \(e : \mathbf{R} \to S^1\) data da \( t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\).

    Teorema (Kosniowski, 16.4). Esistenza e unicità del sollevamento di cammini con punto iniziale assegnato.

    Definizione del grado di un cammino: \(\deg \alpha = \tilde\alpha(1)\).

    Lemma (Kosniowski, 16.5). Esistenza e unicità del sollevamento di omotopie con punto iniziale assegnato.

    Corollario (Kosniowski, 16.6. Teorema di monodromia). Se \(\alpha\) e \(\beta\) sono cammini in \(S^1\) omotopi allora \(\deg \alpha = \deg \beta\).

    Teorema (Kosniowski, 16.7). \(\pi_1(S^1, 1) \cong \mathbf{Z}\)


    Se \(A\) è un retratto di \(X\), allora l'inclusione induce una mappa iniettiva fra i gruppi fondamentali (Manetti, pag. 206, osservazione dopo le proprietà funtoriali dell'omomorfismo indotto).

    Corollario (Manetti 12.38). La circonferenza \(S^1\) non è un retratto del disco \(D^2\).


    LEZIONE 20 -- martedì 14 novembre 2017

    Applicazioni del calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza.


    Teorema del punto fisso di Brouwer (12.39). Ogni funzione continua \(f : D^2 \to D^2\) possiede almeno un punto fisso.


    Teorema fondamentale dell'algebra (Gauss, 1799). Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha (almeno) una radice complessa.
    La dimostrazione vista a lezione segue il testo di Munkres, vedi sotto per il file con le due pagine del libro. Per maggiori informazioni sulla storia del Teorema fondamentale dell'algebra, si può vedere http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html


    Teorema di Borsuk (12.34). Non esiste nessuna funzione continua \(f : S^2 \to S^1\) tale che \(f(-x) = -f(x)\) per ogni \(x \in S^2\).

    Conseguenze:

    • Corollario 12.35. Per ogni funzione \(g : S^2 \to \mathbf{R}^2\) esiste \(x\in S^2\) tale che \(g(x) = g(-x)\) (in ogni momento, sulla Terra, ci sono due punti antipodali con la stessa temperatura e la stessa pressione atmosferica).
    • Corollario 12.36. Sia \(A \subseteq \mathbf{R}^n\) un aperto, con \(n \ge 3\). Allora ogni funzione \(f : A \to \mathbf{R}^2\) non è iniettiva. In particolare, se \(B \subseteq \mathbf{R}^2\) è un aperto, \(A\) e \(B\) non sono omeomorfi.

    Nella dimostrazione del teorema di Borsuk si usa il Corollario 12.33. La dimostrazione di questo corollario non è richiesta per l'esame.

    Fine del programma di OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MATFIN




    CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE

    Per questa parte seguiremo le note di Hitchin Geometry of surfaces Chapter 1. All'inizio del corso sono date indicazioni di altro materiale che può essere utile consultare.



    LEZIONE 21 -- mercoledì 15 novembre 2017

    Definizione di varietà topologica di dimensione \(n\): uno spazio topologico di Hausdorff, a base numerabile e localmente euclideo, cioè ogni punto ha un intorno omeomorfo ad una palla aperta di \(\mathbf{R}^n\).

    Esempi: in dimensione 1 ci sono solo la retta \(\mathbf{R}\) e la circonferenza \(S^1\) (connessi).

    In dimensione 2 (connessi e compatti): sfera \(S^2\), toro \(T\), piano proiettivo reale \(P\), bottiglia di Klein \(K\).

    Superfici ottenute mediante identificazione dei lati di un poligono piano a due a due. Lo spazio topologico risultante è sempre di Hausdorff. Parola corrispondente ad una superficie: sequenza dei lati del poligono con l'orientazione.

    Somma connessa di superfici \(X \sharp Y\). La parola corrispondente alla somma connessa è la concatenzione delle parole corrispondenti alle due superfici.

    Esempi (con dimostrazione mediante "taglia e incolla"):

    • \(X \sharp S^2 = X\): la sfera è l'elemento neutro per l'operazione di somma connessa
    • \(P \sharp P = K\), la somma connessa di due piani proiettivi è una bottiglia di Klein
    • \(T \sharp T = \) toro con due buchi.

    Enunciato del Teorema di classificazione: Ogni superficie topologica connessa e compatta è omeomorfa ad una delle seguenti:

    • \(S^2\) = sfera
    • \( T_g \) = somma connessa di \( g \) tori, \( g \ge 1 \)
    • \( P_n \) = somma connessa di \( n \) piani proiettivi, \( n \ge 1 \)
    e le superfici indicate nella lista sono tutte non omeomorfe fra loro.

    ESERCITAZIONE 7 -- giovedì 16 novembre 2017

    Un retratto di uno spazio di Hausdorff è chiuso.
    Omomorfismo tra i gruppi fondamentali indotto dalla mappa \(S^1 \to S^1\) data da \(f(z) = z^n\)
    Es. 3 dallo scritto di febbraio 2017. Es. 3 dallo scritto di giugno 2017. Es. 3 dallo scritto di luglio 2017.
    Breve descrizione del gruppo fondamentale del toro e dei suoi generatori.
    Esercizio assegnato per casa: sia \(f\) un cammino chiuso in \(X\). Se\(f \) è omotopo (come funzione) ad un cammino costante, e l'omotopia è tramite cammini chiusi, allora \(f\) è omotopo (come cammino) al cammino costante.

  • 20 novembre - 26 novembre

    LEZIONE 22 -- lunedì 20 novembre 2017

    Primo passo nella dimostrazione del teorema di classificazione:
    Teorema di Radó: Ogni superficie topologica connessa e compatta è triangolabile.
    Corollario: ogni superficie si ottiene da un poligono con un numero pari di lati, identificando i lati a due a due.

    Discussione sull'esistenza di una decomposizione in simplessi (= triangoli di dimensione superiore) per le varietà topologiche di dimensione \( n\):

    1. in dimensione 1 la decomposizione esiste: ovvio, una circonferenza è omeomorfa ad un poligono
    2. in dimensione 2 la decomposizione esiste: vale il teorema di Radó (1925), la cui dimostrazone è piuttosto difficile
    3. in dimensione 3 la decomposizione esiste: vale il teorema di Moise (1950), la cui dimostrazione è molto difficile
    4. in dimensione \(\ge 4\) la decomposizione non esiste sempre e se esiste non sempre è unica: lavori di Kirby-Siebenmann, Freedman, Donaldson, Manolescu, vedi triangolazioni e Hauptvermutung  (Hauptvermutung = congettura principale)

    Secondo passo della dimostrazione del teorema di classificazione:

    L'algoritmo del "taglia e incolla": ogni superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono è omeomorfa ad una superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono in forma standard.

    Descrizione completa dei 4 passi dell'algoritmo. Vedi le note di Hitchin per la dimostrazione fatta in classe.



    LEZIONE 23 -- martedì 21 novembre 2017

    Lemma.\(T \sharp P = K \sharp P = P \sharp P \sharp P\): l'operazione di somma connessa non soddisfa la proprietà di cancellazione. Con questo lemma possiamo trasformare la somma connessa di tori e piani proiettivi in somma connessa di soli piani proiettivi, ottenendo la forma richiesta dall'enunciato del teorema di classificazione.


    Terzo (e ultimo) passo della dimostrazione del teorema di classificazione:
    Invarianti topologici: orientabilità e caratteristica di Eulero

    Il nastro di Möbius non è orientabile.

    Definizione: una superficie è orientabile se non contiene nastri di Möbius.

    Il piano proiettivo reale non è orientabile (contiene un nastro di Möbius).

    Teorema: una superficie non orientabile (che contiene un nastro di Möbius) non può essere immersa in \(\mathbf{R}^3\).

    Schema della dimostrazione seguendo le note di Hitchin. Questa dimostrazione non è richiesta per l'esame.

    Esercizio: scrivere l'equazione in \(\mathbf{R}^3\) di una superficie omeomorfa ad una somma di \(g\) tori. Questo esercizio verrà discusso la prossima settimana. Questo dimostra che la sfera e i tori con \(g\) buchi sono orientabili.

    Corollario: una somma connessa di piani proiettivi non è omeomorfa a una somma connessa di tori.


    La caratteristica di Eulero: discussione sulle suddivisioni di una superficie, sulla caratteristica di Eulero di un poliedro, sulla formula di Eulero e sulla sua validità.

    Riferimenti: per maggiori approfondimenti (sulla storia e sul significato della formula di Eulero) vedere

    history of topology su MacTutor

    I. Lakatos, Dimostrazioni e confutazioni. La logica della scoperta matematica, Feltrinelli, 1979 (ci sono due copie in biblioteca)

    Teorema. Sia \(S\) una superficie topologica. Allora

    1. tutte le suddivisioni della superficie \(S\) hanno la stessa caratteristica di Eulero, che si può quindi scrivere come \(\chi(S)\)
    2. se \(T\) è una superficie omeomorfa a \(S\), allora \(\chi(T) = \chi(S)\)

    (senza dimostrazione).

    Suddivisione di una superficie a partire dal poligono: 1 vertice, \(2g\) (tori) oppure \(n\) (piani proiettivi ) lati, 1 faccia

    Corollario (conclusione della dimostrazione del teorema di classificazione).

    • \( \chi(S^2) = 2 \)
    • \( \chi(T_g) = 2 - 2g \)
    • \( \chi(P_n) = 2 - n \)
    e quindi le superfici nell'enunciato del teorema di classificazione sono tutte non omeomorfe fra loro a due a due.

    Fine del programma di CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE



    LA FORMA CANONICA DI JORDAN

    Per questa parte seguiremo le note disponibili nei materiali all'inizio del corso. L'argomento è anche trattato in moltissimi libri di Algebra Lineare.

    LEZIONE 24 -- mercoledì 22 novembre 2017

    Diagonalizzazione simultanea:

    Teorema. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate diagonalizzabili. Esiste una base formata da autovettori comuni (cioè \(A\) e \(B\) sono diagonalizzabili simultaneamente) se e solo se \(AB = BA\).


    Funzioni di matrici: polinomi valutati con argomenti matrici. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo \(K[t]\) è a ideali principali. L'ideale \(I_A\) associato ad una matrice.

    Definizione. Il polinomio minimo di \(A\), \(m_A(t)\) è l'unico generatore monico di \(I_A\).

    Osservazione. \(I_A\) è sempre un ideale non nullo: se \(A\) è una matrice quadrata di ordine \(n\), esistono sempre polinomi non nulli di grado \(n^2\) in \(I_A\) e quindi \(\deg m_A(t) \le n^2\).


    Teorema di Cayley-Hamilton. Il polinomio caratteristico \(c_A(t) = \det(tI - A)\) appartiene ad \(I_A\), cioè \(c_A(A) = 0\).

    Corollario: \(m_A(t)\) è un divisore di \(c_A(t)\), e in particolare \(\deg m_A(t) \le n\).

    Teorema. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno le stesse radici, cioè \(m_A(\alpha) = 0 \iff \alpha\) è un autovalore.



    ESERCITAZIONE 8 -- giovedì 23 novembre 2017

    Esercizi su classificazione delle superfici e taglia & incolla: es. 5 dallo scritto di gennaio 2016, es. 5 dallo scritto di giugno 2016.
    Costruzione dello spazio proiettivo reale come quoziente della sfera n-dimensionale; lo spazio proiettivo reale e' una varietà topologica connessa e compatta di dimensione n.
    Una varietà topologica è connessa sse è cpa.
    La circonferenza come retratto del toro.


  • 27 novembre - 3 dicembre

    LEZIONE 25 -- lunedì 27 novembre 2017

    Relazione fra diagonalizzabilità, polinomio caratteristico e polinomio minimo: esempi di matrici che esibiscono comportamenti differenti.

    Teorema. Una matrice quadrata complessa \(A\) è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità \(1\).


    Definizione di blocco di Jordan \(J_k(a)\). Diagonale principale e sovradiagonale. Autovalori e autovettori associati ad un blocco di Jordan.

    Definizione. Una matrice è in forma di Jordan se ha tutti blocchi di Jordan lungo la diagonale principale e zero altrove.

    Teorema. (esistenza e unicità della forma di Jordan). Ogni matrice quadrata complessa è simile ad una matrice in forma di Jordan. Inoltre, la forma di Jordan è unica a meno di permutazione dei blocchi.

    Dimostrazione del teorema sulla forma di Jordan:

    Prima parte: decomposizione \(V = \ker B^p \oplus \text{Im} B^p\)

    Seconda parte: come determinare una base di \(\ker B^p\).



    LEZIONE 26 -- martedì 28 novembre 2017

    Esempio di costruzione della base di \(\ker B^p\).

    Terza parte della dimostrazione: i vettori individuati sono effettivamente una base di \(\ker B^p\).


    La funzione esponenziale in campo complesso. Definizione tramite serie di potenze e dimostrazione delle proprietà fondamentali.

    Esponenziale di una matrice. Stime sulla norma del prodotto di matrice. Convergenza della serie che definisce l'esponziale di una matrice.



    LEZIONE 27 -- mercoledì 29 novembre 2017

    Esponenziale di matrici simili e di matrici a blocchi. Decomposizione \(J = D + N\) con \(D\) diagonale, \(N\) nilpotente e \(DN = ND\). Formula per l'esponenziale di un blocco di Jordan mediante la decomposizione \(J = \lambda I + N\).

    Motivazioni per la forma di Jordan: applicazione alla risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti.

    ATTENZIONE: nei materiali all'inizio del corso è presente la nuova versione delle dispense sulla forma di Jordan con il capitolo sull'esponenziale di matrici aggiornato con le dimostrazioni viste in classe (più semplici di quelle presenti nella vecchia versione) e alcuni brevi commenti sui sistemi di equazioni differenziali.

    La formula \(\text{det} (e^A) = e^{\text{tr} A}\).

    Brevi cenni sulla forma di Jordan reale.



    ESERCITAZIONE 9 -- giovedì 30 novembre 2017

    Esercizi su diagonalizzazione simultanea, forma canonica di Jordan, esponenziale di matrici.
    Esercizio n. 5 dallo scritto di settembre 2017.
    Esercizio n. 6 dallo scritto di gennaio 2016.
    Determinazione esplicita della base che mette una matrice in forma di Jordan, per una matrice 3x3 con un blocco di ordine 2, e per una matrice 4x4 con un blocco di ordine 3.
    Calcolo dell'esponenziale di una matrice 3x3 usando la riduzione in forma di Jordan. Esponenziale di una matrice nilpotente.
    Esercizio n. 6 dallo scritto di luglio 2016.



    Fine del programma di LA FORMA CANONICA DI JORDAN


    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MODELLISTICO

  • 4 dicembre - 10 dicembre

    GEOMETRIA PROIETTIVA

    LEZIONE 28 -- lunedì 4 dicembre 2017

    Definizione di spazio proiettivo \(\mathbf{P}(V)\). Definizione di dimensione di uno spazio proiettivo.

    Sistemi di coordinate omogenee determinati da una base dello spazio vettoriale.

    Descrizione \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K}) =   \mathbf{K}^n \cup \mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\)

    Definizione di sottospazio proiettivo. Dimensione di un sottospazio proiettivo.

    Sottospazi del piano proiettivo: punti, rette.

    Equazioni omogenee di un sottospazio.

    Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Definizione di punti indipendenti nello spazio proiettivo.

    Definizione di punti in posizione generale. Esempi:

    • su una retta, tre punti sono in posizione generale se sono distinti;
    • in un piano, quattro punti sono in posizione generale se sono a tre a tre non allineati;
    • nello spazio, cinque punti sono in posizione generale se sono a quattro a quattro non complanari.


    LEZIONE 29 -- martedì 5 dicembre 2017

    Un sottospazio di dimensione \(k\) è generato da \(k+1\) punti indipendenti. Equazioni parametriche di un sottospazio.

    La formula di Grassmann proiettiva. Conseguenze: nel piano proiettivo: per due punti passa una retta, due rette si incontrano in un punto.

    Sistemi di coordinate omogenee determinate da \((n+2)\) punti \(P_0, \dots, P_n, U\) in posizione generale.

    Aperti affini dentro uno spazio proiettivo. Descrizione \(\mathbf{P}^n(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^n \cup \mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{R})\)

    Chiusura proiettiva di un sottospazio affine. Passaggio dalle equazioni affini alle equazioni omogenee.

    Due rette parallele nel piano affine si incontrano in un punto sulla retta all'infinito, corrispondente alla direzione individuata dalle rette.



    LEZIONE 30 -- mercoledì 6 dicembre 2017

    Trasformazioni proiettive e proiettività. Due funzioni lineari inducono la stessa proiettività e e solo se sono multiple scalari l'una dell'altra.

    Il gruppo delle proiettività \(\text{PGL}(V) = \text{GL}(V)/K^*\).

    Equazioni matriciali di una proiettività.



    ESERCITAZIONE 10 -- giovedì 7 dicembre 2017

    Esercizi su sottospazi proiettivi, chiusura proiettiva di sottospazi affini e punti impropri, proiettività. Esercizi n. 1, 9, 14, 20, 22, 24, 31 dalle note, n. 2.1, 2.2 dal Fortuna-Frigerio-Pardini.

    • 11 dicembre - 17 dicembre

      LEZIONE 31 -- lunedì 11 dicembre 2017

      Insiemi proiettivamente equivalenti. Il caso di un numero finito di punti in \(\mathbf{P}^1\): per \(k = 1, 2, 3\) tutti gli insiemi di \(k\) punti distinti sono proiettivamente equivalenti. Considerazioni sulla dimensione di \(\text{PGL}(2)\) e sui quozienti

      \( X_k = \bigg( \mathbf{P}^1 \times \dots \times \mathbf{P}^1 - \text{diagonali} \bigg) / \text{PGL}(2)\)

      Il birapporto \(\beta(P_0, P_1, P_2, P_3)\) di una quaterna ordinata di punti su una retta proiettiva: definizione proiettiva e formula in coordinate omogenee mediante rapporti di determinanti.

      Il birapporto è un invariante proiettivo:

      Proposizione 15 (Console-Fino) Date due quaterne ordinate \((P_0, P_1, P_2, P_3)\) e \((Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)\) esiste una proiettività \(g : \mathbf{P}^1 \to \mathbf{P}^1\) tale che \(g(P_i) = Q_i\) se e solo se \(\beta(P_0, P_1, P_2, P_3) = \beta(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)\).

      Conseguenza: \( \beta : X_4 \to K - \{0, 1\} \) è una biiezione, cioè il birapporto è un invariante completo per gli insiemi ordinati di 4 punti distinti in \(\mathbf{P}^1\).

      Proposizione 16 (Console-Fino) Una biieezione \(g : \mathbf{P}^1 \to \mathbf{P}^1\) è una proiettività se e solo se lascia invariati i birapporti di tutte le quaterne ordinate di punti.



      LEZIONE 32 -- martedì 12 dicembre 2017

      Richiami sulle affinità. Espressione di una affinità in coordinate, nel caso del piano.

      Curve algebriche piane affini: definizione mediante l'equazione. Grado di una curva affine. Differenza fra

      • curva affine = classe di equivalenza di polinomi a meno di multipli scalari
      • sostegno della curva = luogo di zeri del polinomio nel piano affine

      Esempio: i polinomi \(f(x,y) = x\) e \(g(x,y) = x^7\) non danno la stessa curva anche se hanno lo stesso luogo di zeri.

      Curve affini equivalenti. Il grado è un invariante affine: tutte le curve equivalenti hanno lo stesso grado. Tutte le rette affini sono equivalenti


      Curve algebriche piane proiettive: definizione mediante l'equazione con polinomi omogenei. Grado di una curva proiettiva.

      Curve proiettive equivalenti. Il grado è un invariante proiettivo: tutte le curve equivalenti hanno lo stesso grado. Tutte le rette proiettive sono equivalenti.


      Chiusura proiettiva \(\bar C\) di una curva affine \(C\). Omogeneizzazione dell'equazione affine. \(\bar C\) si ottiene da \(C\) aggiungendo un numero finito di punti sulla retta all'infinito, pari al grado della curva \(C\). Osservazione: \(\deg \bar C = \deg C\).

      Parte affine \(D^a\) di una curva proiettiva \(D\). Osservazione: \(\deg D^a \le \deg D\) ed è strettamente minore quando \(D\) contiene la retta all'infinito \(L_0\).

      Relazioni: \( \left(\bar C\right)^a = C\), \( \overline{\left( D^a \right)} \subseteq D\).

      LEZIONE 33 -- mercoledì 13 dicembre 2017

      La classificazione delle coniche:

      • Il caso affine complesso. Le forme canoniche. Cenni sul caso reale.
      • Il caso proiettivo complesso. Classificare le coniche è come classificare le forme quadratiche. Il caso reale: rango e segnatura.
      • Relazioni fra la classificazione affine e quella proiettiva.

      Lo spazio vettoriale \(V_{d}\) dei polinomi omogenei di grado \(d\) in 3 variabili. Calcolo della dimensione \(\dim V_{d} = \binom{d + 2}{2}\)

      Lo spazio di tutte le curve algebriche proiettive piane di grado \(d\) è lo spazio proiettivo \(\mathbf{P}(V_d)\).

      Fascio di curve = sottospazio proiettivi di \(\mathbf{P}(V_d)\) di dimensione \(1\). Equazioni delle curve di un fascio: se \(C_1\) e \(C_2\) sono due curve distinte del fascio, di equazioni rispettivamente \(f_1 = 0\) e \(f_2=0\), la curva generica del fascio ha equazione \(\lambda f_1 + \mu f_2 = 0\).

      Fascio di rette: famiglia delle rette passanti per un punto.



      ESERCITAZIONE 11 -- giovedì 14 dicembre 2017

      Esercizi su proiettività e birapporto: n. 16, 18 dalle note, n. 2.11, 2.26 dal Fortuna-Frigerio-Pardini.

      • 18 dicembre - 24 dicembre

        LEZIONE 34 -- lunedì 18 dicembre 2017

        Fasci di coniche. Imporre il passaggio per un punto a una famiglia di curve piane è una condizione lineare. Circonferenze, punti ciclici fasci di circonferenze. Coniche singolari in un fascio.

        Definizione di punto singolare mediante le derivate parziali, caso affine e proiettivo. Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee.

        Componenti di una curva (fattori irriducibili del polinomio-equazione).

        Molteplicità di intersezione curva-retta. Una retta incontra una curva in \(d\) punti contati con molteplicità.



        LEZIONE 35 -- martedì 19 dicembre 2017

        Molteplicità di un punto su una curva \(C\) come il minimo degli indici di intersezione delle rette del fascio passante per il punto.

        Punti regolari e singolari in termini di molteplicità e relazione con la definizione data precedentemente mediante le derivate parziali.

        Tangenti principali (annullamento della parte omogenea di grado minimo). Una curva di grado \(d\) ha un punto di molteplicità \(d\) se e solo se è un cono formato da \(d\) rette (con molteplicità) passanti per il punto.


        Un po' di topologia:

        • \(\mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) è omeomorfo alla sfera \(S^2\)
        • una conica non singolare complessa è omeomorfa alla sfera (proiezione da un punto oppure parametrizzazione \([t_0^2 : t_0 t_1 : t_1^2]\)


        LEZIONE 36 -- mercoledì 20 dicembre 2017

        Alcuni fatti interessanti sulle cubiche piane.

        L'equazione di una cubica in forma di Weierstrass: \( zy^2 = x (x - z) (x - \lambda z) \)

        Proiezione dal punto all'infinito dell'asse \(y\): mappa 2:1 dalla cubica all'asse \(x\) (retta proiettiva), corrispondente alla funzione \(y = \sqrt{x (x - z) (x - \lambda z)} \)

        Dominio della funzione \(\sqrt{z}\) tagliando due copie del piano complesso lungo il semiasse reale positivo e incollando i due fogli (se non è chiaro quello che succede, farlo prendendo veramente due fogli di carta e tagliando e incollando).

        Incollare due sfere lungo i due tagli fra i punti dove le due radici quadrate coincidono (cioè \(y = 0\) oppure \(y = \infty\) ) per ottenere un toro.

        Considerazioni sul fatto che un toro è il gruppo \(\mathbf{R }^2/\mathbf{Z}^2 \) e quindi la cubica piana ha una legge di gruppo.

        Definizione della legge di gruppo mediante corde e tangenti (senza la dimostrazione dell'associatività).



        ESERCITAZIONE 12 -- giovedì 21 dicembre 2017

        Esercizi su fasci di coniche e curve algebriche piane (chiusura proiettiva, punti singolari, tangenti principali, molteplicità di intersezione con una retta): n. 4.1, 4.11, 3.16 dal Fortuna-Frigerio-Pardini.
        Data una curva riducibile nel piano proiettivo, i suoi punti singolari sono dati dai punti singolari delle componenti e dalle intersezioni tra le componenti.
        Una conica non degenere è non-singolare. Una cubica singolare è irriducibile se e solo se ha un unico punto singolare, di molteplicità 2, avente due tangenti principali distinte (nodo) o un'unica tangente principale avente molteplicità di intersezione 3 con la curva nel punto (cuspide ordinaria).


        Avviso: giovedì 11/1/2018, 16:30-18:30, ci sarà un'esercitazione di riepilogo su tutto il corso, in cui verranno svolti esercizi dai temi d'esame.