Weekly outline

  • General

    Istituzioni di Geometria 

          a.a. 2019/20



    DOCENTI: Prof. Luigi Vezzoni & Prof. Cinzia Casagrande


    INFORMAZIONI GENERALI :

    • Il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione), e si svolge al primo semestre. Pagina campusnet

    • La versione dell'esame da 6 Crediti (48 ore ore di lezione) comprende, come programma, meta' della parte di geometria differenziale, e la parte di geometria algebrica (si veda il calendario delle lezioni qui sotto).

    ORARIO:

    • Lunedì 10:30-12:30, mercoledì 14:30-16:30, giovedì 10:30-12:30, aula Lagrange


      RICEVIMENTO DOCENTI: 

      • su appuntamento tramite email


        ARGOMENTO:

        Il corso si propone di dare un'introduzione alla teoria delle varietà differenziabili e delle varietà algebriche complesse.


        TESTI CONSIGLIATI:

        Per la parte di Geometria Differenziale

        • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.
        • J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
        • Appunti di Geometria Differenziale
        • F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.
        • T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

        Per la parte di Geometria Algebrica

        Testo di riferimento principale: J. Harris, Algebraic Geometry - A First Course, Springer, 1992.
        In linea di massima, sono state svolte dal testo di Harris: Lecture 1 fino a 1.21, Lecture 2 fino a 2.26, Lecture 3 fino a 3.15, Lecture 4 fino a 4.9, Lecture 5 i paragrafi "Generating ideals" e "Irreducible varieties and irreducible decomposition" fino a 5.7.

        Altri testi per consultazione:

        M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
        K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.

        Per i riferimenti di geometria proiettiva elementare: consultare la pagina moodle di Geometria 2 a.a. 18/19.

        Sessione di esami autunnale (settembre).

        Gli esami a settembre si volgeranno in presenza tramite una prova scritta ed una successiva prova orale. 

        Sarà comunque garantita la possibilità di svolgere l’esame a distanza, su richiesta, agli studenti e alle studentesse che: 

        1)  hanno residenza o domicilio fuori Regione; oppure 

        2)  siano temporaneamente assenti dal territorio regionale per esigenze documentabili; oppure

        3)  presentino delle fragilità di salute o ricadano in una delle condizioni per cui si è impossibilitati a uscire di casa per quarantena obbligatoria o cautelativa (temperatura superiore a 37.5°, presenza di tosse o altri sintomi da covid, essere stati a contatto con persone positive al covid negli ultimi 14 giorni).

        Gli esami in presenza e a distanza si svolgeranno in contemporanea, come da calendario esami.



        CALENDARIO DELLE LEZIONI (eventuali variazioni verranno comunicate tempestivamente a lezione e su questo sito):

        Casagrande (programma di Geometria Algebrica - 24 ore): normalmente di giovedi'

        Vezzoni (programma di Geometria Differenziale - 48 ore): normalmente di lunedi' e mercoledi'; la parte di programma per l'esame da 6 CFU si svolgera' nelle prime 24 ore

        Giovedi' 3/10: geometria differenziale invece che geometria algebrica
        Lunedi' 28/10 non ci sara' lezione
        Mercoledi' 30/10: geometria algebrica invece che geometria differenziale
        Mercoledi' 27/11: geometria algebrica invece che geometria differenziale
        Giovedi' 28/11: geometria differenziale invece che geometria algebrica

      • 23 September - 29 September

        23.09.2019 (LV 1)

        Introduzione al corso. Richiami di topologia: spazi di Hausdorff e a base numerabile. Varietà topologiche: definizione ed esempi. 
        Costruzione dell'atlante topologico nelle sfere e negli spazi proiettivi.  


        25.9.2019 (LV 2) 
        Atlanti e strutture differenziabili. Esempi di atlanti differenziabili su sfere e piani proiettivi. Ogni atlante differenziabile è contenuto in un'unica struttura differenziabile. Esempio di due strutture differenziabili non compatibili in R. Enunciato del teorema della funzione implicita in Rn e applicazioni.   
          

        26.9.2019, 10:30-12:30 (CC 1)

        Introduzione alla parte di geometria algebrica.
        Campi algebricamente chiusi. Spazio affine. Anello dei polinomi e funzioni polinomiali sullo spazio affine. Varieta' affini come luoghi di zeri di polinomi.
        Spazio proiettivo, richiami. L'annullarsi di un polinomio omogeneo in un punto e' una condizione ben definita. Varieta' proiettive come luoghi di zeri di polinomi omogenei. Proiettivita' e varieta' proiettivamente equivalenti.
        Carte affini sullo spazio proiettivo. Omogeneizzazione e deomogeneizzazione di polinomi. L'intersezione di una varieta' proiettiva con una carta affine e' una varieta' affine. Ogni varieta' affine si puo' vedere come l'intersezione di una varieta' proiettiva con una carta affine.
        Primo esempio di varieta' proiettive: i sottospazi lineari; richiami. La famiglia degli iperpiani dello spazio proiettivo forma lo spazio proiettivo duale. Dato A sottospazio lineare di dimensione m in Pn, studio della famiglia S dei sottospazi lineari di Pn contenenti A e di dimensione m+1. Corrispondenza biunivoca tra S e Pn-m-1, descrizione algebrica e geometrica. Esempio: le rette per un punto nel piano proiettivo (caso n=2, m=0).

        Esercizio: vedere i casi n=3, m=0 e n=3, m=1.

        • 30 September - 6 October

          Giovedi' 3/10: geometria differenziale invece che geometria algebrica

          30.9.2019 (LV 3) 
          O(n) e SO(n) sono varietà differenziabili. Dimostrazione del teorema della funzione implicita per funzioni da Rn in Rm. Introduzione alle funzioni lisce su varietà differenziabili. 

          2.10.2019 (LV 4) 
          Funzioni lisce su varietà: definizioni ed esempi. La composizione di una funzioni lisce è sempre una funzione liscia. Le funzioni lisce sono continue. Una funzione liscia induce sempre una funzione liscia se composta con le carte. Diffeomorfismi e gruppo dei diffeomorfismi. R con la struttura differenziabile standard e la struttura indotta da x^3 sono diffeomorfe. Rivestimenti lisci. Su rivestimenti topologici su varietà esiste sempre una struttura differenziabile canonica. 

          3.10.2019 (LV 5) 
          Germi di funzioni lisce. Derivazioni e spazio tangente. Lo spazio tangente è uno spazio vettoriale della dimensione della varietà.Ogni carta locale induce una base dello spazio tangente data dalle derivazioni lungo le direzioni coordinate. Formula del cambiamento di base. Spazio tangente come spazio delle derivate delle curve lisce. Differenziale di una funzione liscia. Il differenziale soddisfa le proprietà funtoriali, il differenziale di un diffeomorfismo è un isomorfismo in ogni punto e due varietà diffeomorfe hanno necessariamente la stessa dimensione.       

          • 7 October - 13 October

            7.10.2019 (LV 6)      
            Il differenziale di una carta locale. Il differenziale in coordinate locali. Formula dell'espressione del differenziale in coordinate locali rispetto al cambiamento di coordinate. Immersioni embedding e sottovarietà: definizioni ed esempi. Lo spazio tangente di una sottovarietà in Rn. Alcuni esercizi. 

            9.10.2019 (LV 7)      
            In sottoinsieme di una varietà è una sottovarietà se e solo se attorno ad ogni suo punto esiste una carta adattata. Il teorema del rango in Rn (con dimostrazione ). Il teorema del rango per varietà e insiemi di livello per funzioni lisce su varietà.

            10.10.2019, 10:30-12:30 (CC 2)

            I sottoinsiemi finiti dello spazio proiettivo sono varieta' proiettive. Punti nella retta proiettiva e forme binarie. Un insieme finito T di cardinalita' d puo' essere definito da polinomi di grado d; se i punti sono allineati, T non puo' essere definito da polinomi di grado <d. Se T e' un insieme di al piu' 2n punti in posizione generale, T puo' essere definito da equazioni quadratiche.

            Ipersuperfici proiettive, polinomi ridotti, ogni ipersuperficie ammette un'equazione ridotta. L'equazione ridotta e' unica a meno di scalari (solo enunciato); commenti sul caso non algebricamente chiuso. Grado di un'ipersuperficie.

            La cubica gobba.

            Esercizi: (1) dimostrare che i fattori irriducibili di un polinomio omogeneo sono omogenei. (2) Dimostrare che se C e' la cubica gobba, la mappa f: P1->C e' iniettiva. Da Harris: 1.3, 1.5, 1.11.



            • 14 October - 20 October

              14.10.2019 (LV 8)
              Costruzione della superficie di Steiner. 

              16.10.2019 (LV 9)
              Il piano proiettivo non ha bun embedding in R3, mentre lo ha in R4. S^1 non si immerge in R. Ogni immersione è localmente un embedding. Esercizi su sottovarietà. Enunciati dei teoremi di Whitney. Funzioni proprie su varietà. Ogni immersione iniettiva propria è un embedding.   

              10.10.2019, 10:30-12:30 (CC 3)

              Curve razionali normali, descrizione determinantale. Caso delle coniche piane. Teorema: dati d+3 punti in Pd in posizione generale, esiste ed e' unica una curva razionale normale che li contiene (dimostrazione dell'esistenza).

              Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo, topologia di Zariski sulle varieta'. L'unione di due chiusi e' un chiuso. Aperti principali; gli aperti principali formano una base della topologia di Zariski. La topologia di Zariski dello spazio affine coincide con la topologia indotta dalla topologia di Zariski proiettiva sulle carte affini. Varieta' quasi-proiettive come sottoinsiemi localmente chiusi dello spazio proiettivo. Nel caso complesso, la topologia euclidea e' piu' fine della topologia di Zariski.

              Funzioni regolari su un aperto U di una varieta' affine (definizione locale come quozienti di polinomi). Nozione di k-algebra. L'insieme O(U) delle funzioni regolari su U ha una struttura naturale di k-algebra.

              Esercizi: (1) dimostrare che se C e' una curva razionale normale, la mappa f: P1->C e' iniettiva. (2) Dimostrare che la topologia di Zariski e' una topologia. (3) Dimostrare che la topologia di Zariski sulla retta affine o proiettiva e' la topologia cofinita. (4) Dimostrare che un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X e' aperto in un chiuso sse Y e' aperto nella sua chiusura sse Y e' intersezione di un chiuso e di un aperto. (5) Dimostrare che aperti e chiusi di una varieta' q.p. sono varieta' q.p. Da Harris: 1.12, 1.13.

              Giovedi' prossimo: discussione degli esercizi assegnati finora.

              • 21 October - 27 October

                21.10.2019 (LV 10)
                Definizione di fibrato tangente. Costruzione della struttura differenziabile sul fibrato tangente. Alcuni esercizi. Definizione di campo vettoriale su varietà. Esempi di campi vettoriali. Varietà pettinabili e parallelizzabili. Caratterizione dei campi vettoriali come derivazioni.  


                23.10.2019 (LV 11)
                Caratterizzazione dei campi vettoriali come derivazioni. Push-forward di campi vettoriali tramite diffeomorfismi. Campi F-riferiti. Una caratterizazione dei campi vettoriali F-riferiti. Un esempio. Bracket di campi vettoriali. Il bracket in coordinate locali. Principali proprietà del bracket.   


                24.10.2019, 10:30-12:30 (CC 4)

                Discussione degli esercizi assegnati nelle lezioni precedenti.

                Se X e' una varieta' affine, ogni funzione regolare su X e' la restrizione di un polinomio (solo enunciato). Se U(G) e' un aperto principale di una varieta' affine, ogni funzione regolare su U e' della forma F/Gm (solo enunciato). Ideale di una varieta' affine e relazione con l'anello delle coordinate. Una varieta' affine puo' sempre essere definita da un ideale o da un numero finito di polinomi. k-algebre finitamente generate. L'anello delle coordinate di una varieta' affine e' una k-algebra f.g.

                Funzioni regolari su varieta' q.p.: definizione in termini delle restrizioni alle carte affini. Una funzione e' regolare sse localmente si puo' scrivere come quoziente di polinomi omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee, a denominatore non nullo. 

                Applicazioni regolari a valori in varieta' localmente chiuse nello spazio affine, definizione in termini delle componenti. Esempio: ogni aperto principale di una varieta' affine e' isomorfo a una varieta' affine. Essere un chiuso in uno spazio affine non e' una proprieta' invariante per isomorfismi.

                Applicazioni regolari tra varieta' q.p. come applicazioni continue che sono regolari quando ristrette alle controimmagini delle carte affini. 

                Esercizi: (1) dimostrare che se X e' una varieta' affine si ha X=V(I(X)). Da Harris: 2.2.


                • 28 October - 3 November

                  Lunedi' 28/10 non ci sara' lezione
                  Mercoledi' 30/10: geometria algebrica invece che geometria differenziale

                  30.10.2019, 14:30-16:30 (CC 5)

                  Un'applicazione da X in Pm e' un morfismo sse e' data localmente da m+1 polinomi omogenei dello stesso grado, mai tutti nulli. Esempio: proiezione di una conica da un suo punto. La mappa di Veronese. La superficie di Veronese: descrizione in termini di matrici simmetriche di rango 1, e come luogo delle rette doppie nello spazio delle coniche. La restrizione della mappa di Veronese a un sottospazio lineare e' ancora una mappa di Veronese. Immagini di varieta' proiettive tramite la mappa di Veronese.

                  Esercizi: (1) Sia S il luogo delle matrici simmetriche di rango 1 in P5, e f:S->P2 la mappa che manda [M] nella classe di una colonna non nulla di M. Mostrare che f e' l'inversa della mappa di Veronese v:P2->S. Da Harris: ex. 2.9.


                  31.10.2019, 10:30-12:30 (CC 6)

                  Mappa di Segre e varieta' di Segre. Le immagini di pxPm e Pnxq sono sottospazi lineari. La superficie di Segre e P1xP1. Topologia di Zariski su PnxPm, descrizione dei chiusi con i polinomi biomogenei. Esempio: equazione della cubica gobba in P1xP1. La topologia di Zariski di PnxPm contiene la topologia prodotto. Prodotto di varieta' q.p. Il prodotto di An per Am e' canonicamente isomorfo ad An+m. Il prodotto di varieta' proiettive / affini e' una varieta' proiettiva / affine. Le proiezioni sono morfismi. Proprieta' universale del prodotto. La diagonale nel prodotto e' chiusa. Prodotto fibrato tra insiemi.

                  Esercizi: (1) Verificare l'inversa della mappa di Segre. (2) Mostra che la topologia di Zariski di PnxPm non e' la topologia prodotto. Da Harris: ex. 2.12(i), 2.13, 2.14, 2.17, 2.20, 2.24.

                  • 4 November - 10 November

                    4.11.2019 (LV 12)
                    Definizione di curva integrale di una campo vettoriale. L'equazione di una curva integrali in coordinate locali è un ODE. Richiami sulla teoria di ODE in Rn, in particolare esistenza e unicità della soluzioni e dipendenza liscia dai dati iniziali. Esistenza e unicità di una curva integrale massimale. Campi vettoriali completi. In una varietà compatta ogni campo è completo. Flussi di campi vettoriali completi e non completi. Un esempio esplicito. Derivata di Lie di un campo vettoriale. 

                    6.11.2019 (LV 13) 
                    Distribuzioni. Distribuzioni involutive e fogliazioni. Dimostrazione completa del teorema di Frobenius.  

                    7.11.2019, 10:30-12:30 (CC 7)

                    Prodotto fibrato di varietà.

                    Pullback di funzioni regolari indotto da un morfismo, funtorialità. Un isomorfismo tra varietà induce isomorfismo tra gli anelli delle funzioni regolari. Se X è una varietà q.p., Y una varietà affine, e a:O(Y)->O(X) un omomorfismo di k-algebre, esiste ed è unico un morfismo f:X->Y il cui pullback sia a. Un morfismo tra varietà affini è isomorfismo sse il suo pullback è isomorfismo di k-algebre. Due varietà affini X e Y sono isomorfe sse O(X) è isomorfo a O(Y) come k-algebra. Il caso di varietà isomorfe a varietà affini.

                    Radicale di un ideale di un anello. Ideali radicali. I è radicale sse A/I è senza nilpotenti. Se X è una varietà q.p., O(X) è senza nilpotenti. Data una k-algebra A finitamente generata e senza nilpotenti, esiste una varietà affine t.c. O(X) sia isomorfo ad A (dimostrazione usando Nullstellensatz). Corrispondenza biunivoca tra classi di isomorfismo di varietà affini e classi di isomorfismo di k-algebre f.g. senza nilpotenti.

                    Cono su una varietà proiettiva con vertice un punto o un sottospazio lineare. Join tra varietà proiettive.

                    Esercizi: (1) Verificare che dati due morfismi tra varietà, il luogo in cui coincidono è un chiuso. (2) Verificare la relazione tra le fibre nel prodotto fibrato. (3) Mostrare che la composizione di morfismi è un morfismo. (4) Dimostrare che due varietà affini X e Y sono isomorfe sse O(X) è isomorfo a O(Y) come k-algebra. (5) Dimostrare che la proprietà precedente continua a valere se X e Y sono varietà q.p. isomorfe a varietà affini. Da Harris: ex. 2.3, 3.2.

                    Prossima lezione: discussione degli esercizi assegnati finora.

                    • 11 November - 17 November

                      11.11.2019 (LV 14)
                      Definizione di fibrato vettoriale. Atlanti trivializzanti. Esempi. La struttura di fibrato vettoriale è determinata dalla presenza di un atlante trivializzante.  

                      6.11.2019 (LV 15) 
                      Dimostrazione del teorema di struttura dei fibrati vettoriali. Alcuni esempi: i fibrati in rette sullo spazio proiettivo reale, il fibrato pull-back.  

                      14.11.2019, 10:30-12:30 (CC 8)

                      Discussione degli esercizi assegnati finora.

                      Ogni quadrica e' un cono su una quadrica di rango massimo, esempi.
                      Proiezione da un punto.
                      Risultante di due polinomi in una variabile a coefficienti in un campo. Il risultante e' zero sse i due polinomi hanno un fattore comune.
                      Risultante di due polinomi f,g in piu' variabili (a coeff. in k) rispetto a una delle variabili, t. Il risultante si annulla in un punto p sse o f(p,t) e g(p,t) hanno una radice comune, oppure entrambi i coefficienti di grado massimo di f e g rispetto a t si annullano in p.

                      Esercizi: (1) (char k non 2) sia Q=V(F) una quadrica di rango r+1. Mostra che il polinomio F e' riducibile sse r=0 o r=1. Mostra che il vertice del cono dato da Q e' il proiettivizzato del nucleo della forma bilineare simmetrica associata alla forma quadratica F.

                      • 18 November - 24 November

                        18.11.2019 (LV 16)
                        La scrittura locale di un morfismo tra fibrati vettoriali. Sezioni di un fibrato vettoriale. Scrittura locale di una sezione. Un fibrato in rette è banale se e solo se ha una sezione mai nulla. Sezioni dei fibrati Ed sul proiettivo. Ed è banale per d pari, ma non è banale per d dispari.   


                        20.11.2019 (LV 17)
                        Frame di un fibrato vettoriale. Un fibrato vettoriale è banale se e solo se ha un frame. Ogni fibrato vettoriale ha sempre frame locali. Somma diretta di fibrati vettoriali. Fibrato duale ad un fibrato vettoriale. Sezioni del fibrato duale. Caratterizzazione delle sezioni del fibrato duale. 1-forme su una varietà. Il differenziale di una funzione è una 1-forma. Pull-back di 1-forme.    


                        21.11.2019, 10:30-12:30 (CC 9)

                        Il risultante di due polinomi omogenei rispetto a una variabile e' omogeneo. Analisi della condizione di annullamento del risultante nel caso omogeneo. 
                        Ideale di una varieta' proiettiva.
                        Data una varieta' proiettiva X in Pn e un punto p non in X, la proiezione di X da p e' una varieta' proiettiva in Pn-1.
                        Proiezione da un sottospazio lineare; fattorizzazione come sequenza di proiezioni da punti. L'immagine di una varieta' proiettiva (disgiunta dal centro della proiezione) tramite la proiezione e' chiusa.
                        Cono su una varieta' proiettiva, caso generale.
                        Ancora sui risultanti, caso dei polinomi su AnxP1. La proiezione AnxP1->An e' chiusa. La proiezione AnxPm->An e' chiusa (solo enunciato).
                        Se X e' una varieta' proiettiva e Y una varieta' q.p., la proiezione XxY->Y e' un'applicazione chiusa (dim. prossima lezione).                         Se X e' una varieta' proiettiva, Y una varieta' q.p., e f:X->Y un morfismo, allora f e' chiuso. Se X e' una varieta' proiettiva connessa, ogni funzione regolare su X e' costante.


                        Esercizi: (1) Sia I un ideale dell'anello dei polinomi. Mostrare che I ammette dei generatori omogenei sse per ogni F in I, tutte le parti omogenee di F sono in I. (2) Sia X una varieta' proiettiva. Mostrare che X=V( polinomi omogenei F in I(X) ). (3) Mostrare che i chiusi di AnxPm sono i luoghi di zeri di polinomi nelle coordinate su An e Pm, omogenei nelle coordinate su Pm. Da Harris: ex. 3.8.

                        • 25 November - 1 December

                          27.11.2019, 14:30-16:30 (CC 10)

                          Dimostrazione che se X e' una varieta' proiettiva e Y una varieta' q.p., la proiezione XxY->Y e' un'applicazione chiusa. Ogni varieta' q.p. ha un ricoprimento aperto fatto di aperti isomorfi a varieta' affini. Se una varieta' proiettiva connessa X e' isomorfa a una varieta' affine, allora X e' un punto. Se X e' una varieta' connessa in Pn e Y un'ipersuperficie in Pn, allora o l'intersezione di X e Y e' non vuota, oppure X e' un punto.

                          Famiglie di varieta' proiettive in Pn parametrizzate da B, come sottovarieta' di BxPn. Se X e' una varieta' proiettiva, l'insieme dei b tali che Vb interseca X e' un chiuso di B. La famiglia universale degli iperpiani di Pn. Costruzione di una sezione razionale.

                          Esercizi: (1) Mostrare che An\{0} (per n>1) e AnxPm (per n>0 e m>0) non sono varieta' proiettive, ne' sono isomorfe a varieta' affini. (2) Mostrare che essere chiuso in uno spazio topologico e' una proprieta' locale. Da Harris: ex. 4.2, 4.3, 4.4, 4.12(b).


                          28.11.2019 (LV 18)
                          Il Pull-back di 1-forma liscia è liscia. Il pull-back commuta con il differenziale. Integrale di 1-forme lungo cammini lisci a tratti. Proprietà dell'integrale. 1-forme conservative. Ogni forma esatta è conservativa. Ogni 1-forma conservativa è esatta. Calcolo del potenziale di una 1-forma conservativa, Forme chiuse. Ogni 1-forma esatta è chiusa. La condizione di chiusura di una forma non dipende dal sistema di coordinate.       



                          • 2 December - 8 December

                            2.12.2019 (LV 19)
                            Ogni forma 1-chiusa in un aperto stellato è esatta. Ogni 1-forma chiusa in una varietà è localmente esatta. Ogni 1-forma su una varietà semplicemente connessa è esatta (solo cenno della dimostrazione). Algebra  multilineare. Spazio degli r-tensori covarianti in uno spazio vettoriale. Prodotto tensoriale. Tensori alternanti e simmetrici. Prodotto wedge e prodotto simmetrico.    

                            4.12.2019 (LV 20)
                            Prodotto tensoriale di spazi vettoriali: definizione e proprietà. Esempi. Il prodotto tensoriale e l'universal mapping problem. Prodotto tensoriale e fibrati vettoriali. Tensori di tipo (r,s) su varietà. Forme differenziali su varietà. Il differenziale esterno.    



                            5.12.2019, 10:30-12:30 (CC 11)

                            Famiglia delle sezioni iperpiane di una varieta' proiettiva. Esempio: caso di una conica piana, descrizione delle fibre, conica duale. Spazio dei parametri e famiglia universale per le coniche piane e per le ipersuperfici di grado d in Pn. Il luogo delle classi dei polinomi riducibili e' un chiuso (ex. 4.10).

                            Enunciato del Nullstellensatz nel caso affine. Applicazioni: corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e chiusi affini. Un ideale proprio ha luogo degli zeri non vuoto. Descrizione degli ideali massimali dell'anello dei polinomi.

                            Spazi topologici riducibili e irriducibili, relazione con la connessione. Una varieta' affine e' irriducibile sse il suo ideale e' primo. Lo spazio affine e' irriducibile. Decomposizione in irriducibili per vaireta' q.p.; dimostrazione nel caso affine.

                            Esercizi: (1) Sia C una conica di rango massimo. Mostrare che l'applicazione da C nel piano proiettivo duale, che ad ogni punto ap ssocia la retta tangente a C in p, e' un morfismo. (2) Mostrare che il luogo delle classi dei polinomi con un fattore multiplo e' un chiuso. (3) Mostrare che se k e' un campo in cui vale il Nullstellensatz, allora k e' algebricamente chiuso.


                            • 9 December - 15 December

                              9.12.2019 (LV 21)
                              Il differenziale esterno è un operatore globale. Prodotto wedge tra forme differenziali. Le proprietà caratterizzanti il prodotto esterno. Pull-back di forme differenziali. Il pull-back commuta con il differenziale esterno. Gruppi di coomologia di De Rham. Il pull-back induce un morfismo tra i gruppi di coomologia di De Rham. Partizioni dell'unità. 


                              11.12.2019 (LV 22)
                              Va                              rietà orientabili. Forme volume. Una varietà è orientabile se e solo se ha una forma volume. Esempi. La forma volume canonica sulla sfera. Lo spazio proiettivo reale RP^n è orientabile se e solo se n è dispari. 

                              12.12.2019, 10:30-12:30 (CC 12): Discussione degli esercizi assegnati nelle ultime lezioni.

                              Cenni sulle proprieta' topologiche delle varieta' quasi-proiettive complesse rispetto alla topologia euclidea.
                              Se X e' una varieta' algebrica affine complessa in Cn, definita da polinomi F1,...,Fm, sia r il massimo rango nei punti di X della matrice jacobiana J data da F1,...,Fm. Allora il rango di J e' uguale a r in un aperto (di Zariski) U di X. Per il teorema del rango, U e' una sottovarieta' differenziabile reale di Cn, di dimensione 2n-2r.

                              • 16 December - 22 December

                                16.12.2019 (LV 23)
                                Una varietà connessa è non orientabile se e solo se ammette un rivestimento a due fogli liscio orientabile e connesso. Definizione di integrale di una forma di grado massimo a supporto compatto su una varietà orientata. Il teorema di Stokes per varietà senza bordo.