%%%% 	Geometria 3 - a.a. 2014/15
%	Forme differenziali
%   da do Carmo, Spivak, ...
%	Usiamo una classe article
%

%% Per primo viene \documentclass

\documentclass[a4paper,10pt,oneside]{article}	% 
							
%% poi dichiariamo i packages che si usano

%\usepackage{graphicx}				% per importare figure in EPS: qui non si usa
\usepackage[all]{xy}				% per i diagrammi commutativi
\usepackage[latin1]{inputenc}		% per usare le lettere accentate (lo voglio davvero? forse no)
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}	% e' come AmSTeX, ma non serve se si usa una classe AmS
%\usepackage{amsfonts}
\usepackage[mathscr]{eucal}			% per avere il nuovo calligrafico AMS.
\usepackage[italian]{babel}			% per sillabare in italiano. Inoltre mette tutti i nomi
									%  italiani nei documenti AmS!!

\def\datename{{\it Data\/}:}		% questa e' una dimenticanza per i documenti AmS in Babel		

%\graphicspath{{eps/}}			% dichiaro la directory dei files PostScript con
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%% Preambolo = tutti i comandi che si riferiscono all'intero documento

% un paio di fonti...
\font\smc=cmcsc10			% smallcaps
\font\titlefont=cmr17


%%% qui facciamo una cosa delicata -- PER ORA NO
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%
%\makeatletter			% per avere @ nei nomi delle control sequences
%\def\ps@Headings{\ps@headings
%	\def\@evenfoot{\hfil\slshape \small QUADERNI DIDATTICI DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA \hfil}%
%	\def\@oddfoot{\hfil\slshape UNIVERSIT\`A DI TORINO \hfil}%
%}
%\makeatother			% @ torna a non essere legale nei nomi delle CS
%
%
%



% numerare le pagine?
\pagestyle{headings}			% voglio i numeri di pagina e i running titles sulle pagine
					% e' il default per la classe amsbook
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					%			empty = NoPageNumbers + NoRunningTitles
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					%				     Running Titles

%% environment per i teoremi, lemmi, esempi, ... piu' che altro per impostare la numerazione
%						 vedi Using the amsthm package, pag. 2
%  questa numerazione e' la stessa per teoremi, lemmi, definizioni, ...

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
\newtheorem{proprieta}{Propriet\`a}
\newtheorem*{HilbertBasis}{Teorema della base di Hilbert}
\newtheorem*{LZ}{Lemma di Zorn}
\newtheorem*{WO}{Principio del Buon Ordinamento}
\newtheorem*{HMP}{Principio di Massimalit\`a di Hausdorff}
\newtheorem*{BP}{Paradosso di Banach--Tarski}
\newtheorem*{theorem*}{Teorema}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definizione}
\newtheorem{example}[theorem]{Esempio}
\newtheorem*{example*}{Esempio}
\newtheorem{xca}[theorem]{Esercizio}
\newtheorem*{exercise*}{Esercizio}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Osservazione}

%%%%%%%%%% Nuovo stile per teoremi
%		Dalla documentazione delle classi AMS: amsclass.dvi pag.59
%
\newtheoremstyle{assiomi}% name   			#1
  {3pt}%      Space above					#2
  {3pt}%      Space below					#3
  {\itshape}% Body font						#4
  {}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)	#5
  {\sffamily}% Thm head font					#6
  {.}%        Punctuation after thm head	#7
  { }%     Space after thm head: " " = normal interword space; \newline = linebreak  #8 
  {{\thmname{#1}\thmnumber{ #2}.\thmnote{ #3}}}%  Thm head spec (can be left empty, meaning `normal')	#9


\theoremstyle{assiomi}
\newtheorem{axiom}{\textsf{ZF}}
  
\newcounter{temp}		% counter per usi temporanei
\newcounter{cat}		% per cambi di catcode  (conflitto xypic e babel italiano)

%%   MACRO PERSONALI   RISCRITTE PER LATEX  %%%%%%
%
%  Qui sono raccolte tutte le macro generali
%  Per la maggior parte, sono solo nomi per 
%  simboli molto usati e qualche operatorname.
%  
%
%%%   ***********   %%%

%%  simboli  %%
%
\newcommand{\rn}{$\mathbb{R}^n$}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}				% \N   = numeri naturali
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}				% \Z   = numeri relativi
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}				% \Q   = numeri razionali
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}				% \R   = numeri reali
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}				% \C   = numeri complessi
\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}			% \H   = quaternioni
										% renew perche' \H e' gia' definito, vuol dire l'accento ungherese, tipo Erd\H os, che non serve
\newcommand{\Cinf}{\mathscr{C}^\infty}	% \Cinf = C - infinito
\newcommand{\Cat}{\mathscr{C}}			% \Cat = C corsivo - una categoria
\newcommand{\Dat}{\mathscr{D}}			% \Dat = un'altra categoria
\renewcommand{\O}{\mathscr{O}}			% \O   = O corsivo (fascio, altro)
										% renew perche' \O e' gia' definito, vuol dire la O tagliata svedese, che non serve
\newcommand{\Par}{\mathscr{P}}			% \Par   = P corsivo = insieme delle parti
\newcommand{\MOD}{\textsf{Mod}}
\newcommand{\ZF}{\textsf{ZF}}
\newcommand{\AC}{\textsf{AC}}
\newcommand{\del}{\partial}				% \del = derivata parziale, piu' breve da scrivere
\newcommand{\tens}{\otimes}				% \tens = prodotto tensoriale
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
\newcommand{\overomega}{\overline{\omega}}

\def\be#1{\mathbf{e}_{#1}}				% \tens = prodotto tensoriale
\def\bv#1{\mathbf{v}_{#1}}				% \tens = prodotto tensoriale
\def\bu#1{\mathbf{u}_{#1}}				% \tens = prodotto tensoriale

%%%%%% Nomi di Categorie
\newcommand{\Sets}{\textsf{Sets}}	
\newcommand{\Top}{\textsf{Top}}	
\newcommand{\Simp}{\textsf{Simp}}
\newcommand{\Pair}{\textsf{Pair}}	
\newcommand{\Grp}{\textsf{Grp}}	
\newcommand{\Ab}{\textsf{Ab}}	
\newcommand{\Vect}{\textsf{Vect}}	
%
%
%
%%  operatori  %%
%
\DeclareMathOperator{\im}{Im}		% \im   = immagine (di una funzione)
\DeclareMathOperator{\id}{id}		% \id = funzione identita'
\DeclareMathOperator{\Id}{I}		% \Id = matrice identita'
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}		% \sen = seno
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}		% \Hom = gruppo Hom
\DeclareMathOperator{\End}{End}		% \End = anello End
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}		% \GL  = gruppo lineare
\DeclareMathOperator{\rk}{rank}		% \rk = rango
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}		% \Ann = annullatore (di un modulo)
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}		% \Ob = oggetti di una categoria
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}		% \Mor = tutti i morfismi
\DeclareMathOperator{\op}{op}		% \op = opposto (anello opposto)
\DeclareMathOperator{\car}{char}	% \car = caratteristica (di un campo)
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}		% \tr = traccia
\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind}		% \Ind = rappresentazione indotta
\DeclareMathOperator{\Res}{Res}		% \Res = restrizione
%
%%  abbreviazioni
%
\renewcommand{\phi}{\varphi}		% \phi = per avere una phi decente
\def\cleq{\emph{equazione delle classi}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}			% \eps = per scrivere meno
%
%%  spaziature   %%
%
\newcommand{\oneline}{\vskip12pt}
\newcommand{\halfline}{\vskip6pt}
%
%%%%%%%

%%%   fine definizioni varie   %%%
%
%
%%%%%  FINE MACRO  %%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}


%%  qui inizia il topmatter
%
\title{{\smc Universit\`a degli studi di Torino \\ Corso di Studi in Matematica  \\ Geometria 3} \\ Forme differenziali}
\author{Alberto Albano}
\date{}



\maketitle		% bisogna metterlo, se no non c'e' il topmatter (titolo, ecc.)
%
%% qui finisce il topmatter


%%%  qui inizia il testo (si includono i files dei capitoli + appendici)
\bigskip
In queste note diamo una panoramica sulle forme differenziali definite su un aperto di~$\R^n$. Nel primo paragrafo vengono sviluppate le nozioni di algebra esterna necessarie per formulare la definizione di potenza esterna di uno spazio vettoriale duale, come lo spazio delle applicazioni multilineari alternanti. Nel secondo paragrafo descriviamo brevemente le forme differenziali definite su un aperto~$U$ di~$\R^n$ e le principali funzioni definite sugli spazi di forme differenziali: il pullback e la derivazione esterna. Nel terzo paragrafo diamo una dimostrazione del Lemma di Poincar\'e per aperti contraibili e studiamo il caso delle $1$-forme su aperti semplicemente connessi. Infine, nell'ultimo paragrafo, presentiamo una dimostrazione del teorema di Stokes per le $k$-forme definite su aperti di $\R^n$. Concludiamo con i classici teoremi di Gauss-Green, della divergenza e del rotore per le forme e i campi vettoriali in $\R^2$ e $\R^3$.



%Una trattazione completa (prodotti tensoriali, potenze simmetriche e alternanti, \dots) si trova nei \emph{Complementi} alla fine. 
%

\tableofcontents	% se si vuole l'indice. si puo' mettere dove si vuole


\section[Algebra esterna]{Algebra esterna}
\label{s:alg_est}
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo $K$ di caratteristica~$0$. Per semplicit\`a, negli esempi considereremo sempre $K = \R$ ma tutto quello che diremo (salvo menzione esplicita) vale per ogni campo di caratteristica~$0$, in particolare \`e interessante il caso $K = \C$.

\begin{definition} Il \emph{duale} di $V$, indicato con $V^*$ \`e
\[
V^* = \{ f:V \to K \mid f \text{ lineare }\}, 
\]
l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$. 
\end{definition}
Gli elementi di~$V^*$ sono anche chiamati \emph{funzionali lineari} o \emph{forme lineari}. \`E immediato dimostrare che $V^*$ \`e uno spazio vettoriale su~$K$ con le operazioni di somma e prodotto per scalari definite da:
\begin{align*}
(f + g)(v) &= f(v) + g(v), &\qquad \forall f, g \in V^*, \  \forall v \in V \\
(\alpha\cdot f)(v) &= \alpha\cdot f(v), &\qquad \forall f \in V^*, \  \forall \alpha \in K, \  \forall v \in V
\end{align*}

In analogia alla definizione di forma lineare, possiamo parlare di \emph{forma multilineare} o, quando vogliamo essere specifici, di \emph{forma $k$-lineare}:
\begin{definition}
Una funzione $f: \underbrace{V \times \dots \times V}_\text{$k$ volte} \to K$ si dice \emph{forma $k$-lineare} se \`e lineare in ogni variabile, cio\`e se per ogni $i = 1, 2, \dots, k$ si ha
\[
f(v_1, \dots, \alpha v_i + \beta w_i, \dots, v_k) = \alpha f(v_1, \dots, v_i, \dots, v_k) + \beta f(v_1, \dots, w_i, \dots, v_k)
\]
per ogni $\alpha, \beta \in K$, $v_1$, \dots, $v_k$, $w_i \in V$.
\end{definition}

Quando consideriamo funzioni di pi\`u variabili, possiamo richiedere propriet\`a di simmetria o, come nel caso che ci interessa, di antisimmetria.

\begin{definition}
Una forma  $k$-lineare $f$ si dice \emph{alternante} se per ogni $1\le i < k$ e per ogni $v_1, \dots, v_k \in V$ si ha
\[
f(v_1, \dots, v_{i-1}, v_i, v_{i+1}, \dots, v_k) = - f(v_1, \dots, v_{i-1}, v_{i+1}, v_i, \dots, v_k)
\]
\end{definition}
Poich\'e le trasposizioni $(1\ 2)$, $(2\ 3)$, \dots, $(k-1\ k)$ generano il gruppo simmetrico~$S_k$, $f$ \`e alternante se e solo se per ogni permutazione $\sigma \in S_k$ si ha
\[
f(v_1,   \dots, v_k) = (-1)^\sigma f(v_{\sigma(1)},  \dots, v_{\sigma(k)})
\]
dove il simbolo $(-1)^\sigma$ \`e il \emph{segno} di~$\sigma$ e cio\`e 
\[
(-1)^\sigma =
\begin{cases}
1  & \text{se } \sigma \text{ \`e pari}\\
-1 & \text{se } \sigma \text{ \`e dispari}
\end{cases}
\]

\begin{remark} In un campo di caratteristica~$2$, si ha che $1 = -1$ e quindi una forma \`e alternante se e solo se \`e simmetrica, che non \`e quello che ci interessa. Questo spiega perch\'e dobbiamo fare ipotesi sulla caratteristica del campo. Vedremo in seguito che non basta chiedere $\car K \ne 2$, ma \`e meglio supporre $\car K = 0$.
\end{remark}

\`E chiaro che la somma di due forme $k$-lineari alternanti \`e ancora $k$-lineare alternante, e anche ogni multiplo scalare di una forma $k$-lineare alternante lo \`e. Dunque le forme $k$-lineari alternanti formano uno spazio vettoriale e poniamo la seguente
\begin{definition} Lo spazio vettoriale
\[
\bigwedge^k V^* = \{ f: V \times \dots \times V \to K \mid f \text{ $k$-lineare e alternante}\}
\]
si dice la \emph{$k$-esima potenza esterna} di~$V^*$.
\end{definition}

\smallskip
\begin{remark} 
Ci si potrebbe chiedere: esiste la potenza esterna di $V$ (e non solo del duale)? La risposta \`e s\`\i, ma la definizione di potenza esterna di uno spazio vettoriale in generale \`e pi\`u complicata della definizione che abbiamo appena dato per uno spazio vettoriale \emph{duale}.

Il motivo \`e che non abbiamo nessuna informazione sugli elementi di uno spazio vettoriale arbitrario~$V$, mentre gli elementi di uno spazio vettoriale duale sono \emph{funzioni} e possiamo usare la loro speciale natura per definire i concetti che ci interessano. Vedremo nell'ultimo capitolo la definizione generale di potenza esterna e come si collega a quella appena data.
\end{remark}
\smallskip

\begin{example} Sia $V = \R^3$ con la base canonica $\be 1 = (1, 0, 0)$, $\be2 = (0,1,0)$, $\be3 = (0, 0, 1)$. Se indichiamo con $x_i : V \to \R$ la coordinata $i$-esima, si ha che $\{x_1, x_2, x_3\}$ \`e una base di $V^*$.

Possiamo scrivere delle $2$-forme alternanti nel modo seguente: per $\bv1 = a_1\be1 + a_2\be2 + a_3\be3$ e $\bv2 = b_1\be1 + b_2\be2 + b_3\be3$, definiamo $\phi_{ij} = x_i\wedge x_j$ come
\[
\begin{aligned}
\phi_{12}(\bv1, \bv2) = (x_1 \wedge x_2)(\bv1, \bv2) &= \det\left(\begin{matrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\end{matrix}\right)\\
\phi_{13}(\bv1, \bv2) = (x_1 \wedge x_3)(\bv1, \bv2) &= \det\left(\begin{matrix} a_1 & b_1\\ a_3 & b_3\end{matrix}\right)\\
\phi_{23}(\bv1, \bv2) = (x_2 \wedge x_3)(\bv1, \bv2) &= \det\left(\begin{matrix} a_2 & b_2\\ a_3 & b_3\end{matrix}\right)
\end{aligned}
\]
Le funzioni $\phi_{ij}$ sono $2$-lineari e alternanti per le note propriet\`a dei determinanti. Notiamo che $a_i = x_i(\bv1)$ e $b_i = x_i(\bv2)$ e quindi potremmo scrivere
\[
\phi_{ij}(\bv1, \bv2) = (x_i \wedge x_j)(\bv1, \bv2) = \det\left(\begin{matrix} x_i(\bv1) & x_i(\bv2)\\x_j(\bv1) & x_j(\bv2)\end{matrix}\right)
\]
Pi\`u in generale, se $h_1$, $h_2\in V^*$ sono due forme lineari, possiamo definire una forma bilineare alternante:
\[
(h_1 \wedge h_2)(\bv1, \bv2) = \det\left(h_i(\bv j)\right), \qquad 1\le i,j \le 2
\]
e se abbiamo una terza forma lineare~$h_3$ possiamo definire una forma trilineare alternante:
\[
(h_1 \wedge h_2 \wedge h_3)(\bv1, \bv2, \bv3) = \det\left(h_i(\bv j)\right), \qquad 1\le i,j \le 3
\]
\end{example}

\begin{xca} Sia $V = \R^3$ e siano $h_1$, $h_2$, $h_3$ e $h_4$ forme lineari su~$V$. Dimostrare che $h_1 \wedge h_2 \wedge h_3 \wedge h_4 = 0$, cio\`e
\[
(h_1 \wedge h_2 \wedge h_3 \wedge h_4)(\bv1, \bv2, \bv3, \bv4) = 0 \qquad \text{per ogni } \bv1, \bv2, \bv3, \bv4 \in V
\]
\end{xca}

\medskip
Generalizziamo l'esempio precedente: sia $V$ di dimensione $n$ e sia $\{\be1, \dots, \be n\}$ una base. Sia $\{e_1^*, \dots, e_n^*\}$ la base duale di~$V^*$, cio\`e $e_i^* : V \to K$ \`e definito da
\[
e_i^*(\be j) = \delta_{ij}
\]
Possiamo definire delle forme $k$-lineari alternanti nel seguente modo: 
\[
\left(e_{\alpha_1}^* \wedge \dots \wedge e_{\alpha_k}^*\right)\left(\bv1, \dots, \bv k\right) = \det\left(e_{\alpha_i}^*(\bv j)\right), \qquad 1\le i, j \le k
\]
e, in generale, per $h_1$, \dots, $h_k \in V^*$ 
\[
\left(h_1 \wedge \dots \wedge h_k\right)\left(\bv1, \dots, \bv k\right) = \det\left(h_i(\bv j)\right), \qquad 1\le i, j \le k
\]

\medskip
\begin{xca} Dimostrare che, per forme lineari $h_i \in V^*$:
\begin{enumerate}
\item $h_1 \wedge h_2 = -h_2 \wedge h_1$;
\item $h \wedge h = 0$;
\item $h_1 \wedge \dots \wedge h_k = (-1)^\sigma h_{\sigma(1)} \wedge \dots \wedge h_{\sigma(k)}$.
\end{enumerate}
\end{xca}

Consideriamo di nuovo le forme $k$-lineari alternanti della forma $\left(e_{\alpha_1}^* \wedge \dots \wedge e_{\alpha_k}^*\right)$. Per l'esercizio precedente, a meno del segno possiamo sempre riordinare i termini in modo che $\alpha_1 < \alpha_2 < \dots < \alpha_k$.

\begin{xca} Sia $\alpha_1 < \alpha_2 < \dots < \alpha_k$ e $\beta_1 < \beta_2 <\dots < \beta_k$. Dimostrare che
\[
\left(e_{\alpha_1}^* \wedge \dots \wedge e_{\alpha_k}^*\right)\left(\be{\beta_1}, \dots, \be{\beta_k} \right) = \delta_{\alpha_1 \beta_1} \cdot \delta_{\alpha_2 \beta_2} \cdot \dots \cdot \delta_{\alpha_k \beta_k}
\]
cio\`e \`e diverso da $0$ se e solo se $\alpha_1 = \beta_1$, \dots, $\alpha_k = \beta_k$.
\end{xca}

Possiamo adesso dimostrare il primo risultato sulle potenze esterne:

\begin{proposition}
\label{pr:base_wedge} 
L'insieme
\[
\{e_{\alpha_1}^* \wedge \dots \wedge e_{\alpha_k}^*\}, \qquad \alpha_1 < \alpha_2 < \dots < \alpha_k, \quad \alpha_i \in \{1, 2, \dots, n\}
\]
\`e una base di $\bigwedge^k V^*$ e quindi $\dim \bigwedge^k V^* = \dbinom{n}{k}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Gli elementi indicati sono linearmente indipendenti. Sia infatti
\[
\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1 \dots i_k} \left( e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^* \right) = 0.
\]
Valutando sui vettori $(\be {j_1}, \dots, \be{j_k})$ con $j_1 < \dots < j_k$, per l'esercizio precedente si ottiene
\[
\left(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1 \dots i_k} \left( e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^* \right)\right) (\be {j_1}, \dots, \be{j_k}) = a_{j_1\dots j_k} = 0
\]
e quindi tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli.

Sia ora $\phi$ una forma $k$-lineare alternante e poniamo, per ogni $j_1 < \dots < j_k$
\[
b_{j_1 \dots j_k} = \phi(\be {j_1}, \dots, \be{j_k})
\]
Si dimostra allora (esercizio!) che
\[
\phi = \sum_{i_1 < \dots < i_k} b_{i_1 \dots i_k} \left( e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^* \right)
\]
e quindi gli elementi indicati generano tutto $\bigwedge^k V^*$.
\end{proof}

Otteniamo quindi che, per $\dim V = n$, si ha $\bigwedge^k V^* = 0$ per $k > n$. Poniamo, per convenzione, $\bigwedge^0 V^* = K$ e scriviamo
\[
\bigwedge^* V^* = \bigoplus_{k=0}^n \bigwedge^k V^* = K \oplus V^* \oplus \bigwedge^2V^* \oplus \dots \oplus \bigwedge^n V^*
\]
$\bigwedge^*V^*$ \`e uno spazio vettoriale, in quanto somma diretta di spazi vettoriali. Abbiamo inoltre visto che c'\`e una ``moltiplicazione'' che permette di ottenere elementi di $\bigwedge^kV^*$ a partire da elementi di $V^* = \bigwedge^1V^*$. Questa moltiplicazione si pu\`o estendere a tutto $\bigwedge^*V^*$ nel modo seguente: se $\omega \in \bigwedge^kV^*$ e $\eta \in \bigwedge^sV^*$ possiamo scrivere
\[
\omega = \sum_I a_I e_I^*, \qquad \eta = \sum_J b_J e_J^*
\]
dove usiamo la notazione con multi-indici: per $I = (i_1, \dots, i_k)$ un multi-indice di lunghezza $|I| = k$, poniamo $e_I^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^*$. Definiamo allora
\[
\omega \wedge \eta = \sum_{I, J} a_I b_J (e_I^* \wedge e_J^*)
\]
Questa operazione, estesa per linearit\`a a tutte le forme,  si chiama \emph{moltiplicazione esterna}. Notiamo in particolare che il significato di $(e_I^* \wedge e_J^*)$  \`e, per definizione, 
\[
e_I^* \wedge e_J^* = e_{i_1}^* \wedge \dots \wedge e_{i_k}^* \wedge e_{j_1}^* \wedge \dots \wedge e_{j_s}^*
\]
La proposizione seguente riassume le principali propriet\`a della moltiplicazione esterna.


\begin{proposition} 
\label{pr:mult_est}
Siano $\omega \in \bigwedge^kV^*$, $\eta \in \bigwedge^sV^*$, $\theta \in \bigwedge^rV^*$.
\begin{enumerate}
\item $(\omega \wedge \eta) \wedge \theta = \omega \wedge (\eta \wedge \theta)$;
\item $(\omega \wedge \eta) = (-1)^{ks}(\eta \wedge \omega)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} Esercizio.
\end{proof}

Ricordiamo alcune definizioni.

\begin{definition} Sia $A$ un anello. Il \emph{centro}~$C(A)$ di $A$ \`e l'insieme degli elementi che commutano con tutti gli elementi di~$A$:
\[
C(A) = \{ c \in A \mid ca = ac \ \forall\, a\in A\}
\]
\end{definition}
Il centro di un anello \`e un sottoanello. $A$ \`e un anello commutativo se e solo se $A = C(A)$.


\begin{example} Se $A = M_n(K)$, l'anello delle matrici quadrate~$n\times n$ a elementi in~$K$, il centro $C(A)$ \`e il sottoanello delle matrici \emph{scalari}, cio\`e delle matrici della forma $\lambda \Id_n$, multiple della matrice identit\`a.
\end{example}



\begin{definition} Un \emph{anello graduato} $A$ \`e un anello tale che
\[
A = \bigoplus_{k\ge 0} A_k
\]
dove gli $A_k$ sono gruppi abeliani e la moltiplicazione \`e tale che
\[
A_h \cdot A_k \subseteq A_{h + k}
\]
Gli elementi di $A_k$ si dicono \emph{elementi omogenei di grado~$k$}.
\end{definition}

\begin{example} $A = K[x_1, \dots, x_n]$, l'anello dei polinomi in $n$~indeterminate. $A_k = $ polinomi omogenei di grado~$k$. In particolare, $A_0 = K$.
\end{example}

\begin{definition}
Una \emph{$K$-algebra} $A$ su un campo $K$ \`e un anello~$A$ che contiene (una copia isomorfa di)~$K$ nel suo centro. $A$ risulta in modo naturale uno spazio vettoriale su~$K$. La moltiplicazione per scalari \`e semplicemente la moltiplicazione di un elemento di~$K \subset A$ per un elemento di~$A$.
\end{definition}

\begin{example} \ 
	\begin{enumerate}
	\item $M_n(K)$ \`e una $K$-algebra, infatti il centro di~$M_n(K)$ \`e il  sottoanello delle matrici scalari che \`e isomorfo a~$K$. $M_n(K)$ \`e detta l'\emph{algebra delle matrici}.
	\item $K[x_1, \dots, x_n]$ \`e una $K$-algebra, detta l'\emph{algebra (o anello) dei polinomi}.
	\item $\bigwedge^*V^*$ \`e una $K$-algebra, detta l'\emph{algebra esterna di $V^*$}.
	\end{enumerate}
\end{example}

L'algebra $M_n(K)$ non \`e commutativa, mentre $K[x_1, \dots, x_n]$ lo \`e. Anche l'algebra esterna non \`e commutativa, per\`o c'\`e una regolarit\`a nel risultato di invertire i fattori di un prodotto, dovuta ai gradi dei fattori.

\begin{definition} Sia $A = \oplus_{k\ge 0} A_k$ un'algebra graduata. $A$ si dice \emph{(anti)com\-mu\-ta\-ti\-va graduata} se 
\[
a \cdot b = (-1)^{ks} b \cdot a, \qquad \forall\, a \in A_k, \forall\, b \in A_s
\]
\end{definition}

Quindi l'algebra esterna \`e un'algebra (anti)commutativa graduata. La ragione del nome \`e che $A$ \`e in parte commutativa e in parte anticommutativa. Dire \emph{commutativa graduata} comprende questi due comportamenti.









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\markright{2\quad FORME DIFFERENZIALI SU $\R^n$}
\section{Forme differenziali su un aperto $U$ di \protect\rn}
%\markright{2\quad FORME DIFFERENZIALI SU $\R^n$}
\label{s:formdiff}

Sull'insieme $\R^n = \{(x_1, \dots, x_n) \mid x_i \in \R\}$ delle $n$-uple di numeri reali, sono definite varie strutture, compatibili fra loro. Quelle che ci interessano sono:
\begin{enumerate}
\item $\R^n$ \textbf{\`e uno spazio vettoriale}. In questo aspetto i suoi elementi si dicono \emph{vettori} e le operazioni di somma di vettori e di prodotto di un numero reale (detto scalare) per un vettore sono definite componente per componente. \`E uno spazio vettoriale di dimensione~$n$ con una base particolare, che viene detta \emph{base canonica}, data da $\{\be1, \dots, \be n\}$ dove $\be i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$. In particolare, sono definite le applicazioni lineari da~$\R^n$ in se stesso, o in altri spazi vettoriali~$\R^m$.
\item $\R^n$ \textbf{\`e uno spazio vettoriale euclideo}. Il \emph{prodotto scalare} \`e quello standard, dato dalla formula
\[
\bu{} \cdot \bv{} = x_1y_1 + \dots x_ny_n
\]
per $\bu{} = (x_1, \dots, x_n)$ e  $\bv{} = (y_1, \dots, y_n)$. La \emph{norma} di un vettore~$\bu{}$ e l'\emph{angolo} fra due vettori $\bu{}$ e $\bv{}$ sono dati da
\[
\| \bu{} \| = \sqrt{\bu{} \cdot \bu{}}, \qquad \cos(\widehat{\bu{}\bv{}}) = \dfrac{\bu{}\cdot\bv{}}{\| \bu{} \| \, \| \bv{}\|}
\]
\item $\R^n$ \textbf{\`e uno spazio affine}. In questo contesto, i suoi elementi si dicono \emph{punti}. Una coppia di punti $P = (x_1, \dots, x_n)$ e $Q = (y_1, \dots, y_n)$ individua un vettore, che indicheremo con $\vect{PQ}$, oppure con $Q - P$, di componenti $(y_1 - x_1, \dots, y_n - x_n)$. In particolare, dato il punto $P = (x_1, \dots, x_n)$, il \emph{vettore posizione} di~$P$ \`e $\vect{OP} = x_1 \be1 + \dots + x_n\be n$, dove $O$ indica l'origine del riferimento cartesiano. Se $\vect{PQ} = Q - P = \bv{}$, si scrive anche $Q = P + \bv{}$, intendendo che $Q$ \`e il risultato della traslazione di~$P$ di vettore~$\bv{}$. Ha quindi senso \emph{sottrarre} due punti con risultato un vettore e \emph{sommare} un punto e un vettore con risultato un punto.
\item $\R^n$ \textbf{\`e uno spazio metrico}. Considerando $\R^n$ come spazio affine, la \emph{distanza euclidea} fra due punti~$P$ e~$Q$ \`e data da
\[
d(P,Q) = \|\vect{PQ}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2}
\]
La metrica induce una struttura di \emph{spazio topologico}, in cui una base di intorni di un punto~$P$ \`e data dalle palle aperte~$B_r(P)$ di centro~$P$ e raggio~$r$, con $r > 0$:
\[
B_r(P) = \{Q \in R^n \mid d(P,Q) < r \}
\]
Questa topologia viene detta \emph{topologia euclidea} o \emph{topologia standard}.
\end{enumerate}
Sia $U\subseteq \R^n$ un aperto. Per $f : U \to \R^m$ una funzione, le definizioni di \emph{continua} e \emph{differenziabile} sono quelle usuali dell'Analisi Matematica. Nel seguito useremo il termine \emph{funzione differenziabile} per indicare una funzione di classe~$\Cinf$, cio\`e dotata di derivate parziali continue di ogni ordine. In particolare denotiamo
\[
\Cinf(U) = \{ f : U \to \R \mid f \text{ di classe } \Cinf  \}
\]
$\Cinf(U)$ \`e un anello con le solite operazioni di somma e prodotto di funzioni, ed \`e anche uno spazio vettoriale reale e dunque \`e una $\R$-algebra.

\bigskip
\subsection{L'algebra delle forme differenziali}
Sia $P\in\R^n$ un punto. In $P$ possiamo definire lo \emph{spazio tangente} $T_P\R^n$ e il suo duale, lo spazio cotangente $T^*_P\R^n$. Gli elementi dello spazio tangente sono le \emph{derivazioni in~$P$} e cio\`e le funzioni lineari $D : \Cinf(\R^n) \to \R$ che soddisfano la regola di Leibniz in~$P$:
\[
D(f\cdot g) = DF\cdot g(P) + f(P)\cdot DG
\]

Se $(x_1, \dots, x_n)$ sono le coordinate globali di $\R^n$ determinate dalla base canonica, una base di $T_P\R^n$ \`e data dalle derivate parziali calcolate in~$P$, cio\`e
\begin{align*}
\dfrac{\del}{\del x_i}\ _{|P} : \Cinf(\R^n) &\to \R\\
                                        f   &\mapsto \dfrac{\del f}{\del x_i}(P) 
\end{align*}
e la base duale \`e data dai differenziali delle funzioni coordinate~$dx_{i, P}$
cio\`e
\[
dx_{i,P} \left( \dfrac{\del}{\del x_i}\ _{|P}  \right) = \delta_{ij}
\]


Un campo vettoriale (tangente)~$X$ definito su un aperto~$U$ \`e una famiglia di vettori $X_P \in T_P\R^n$ che varia differenziabilmente in funzione di~$P$ e pu\`o essere scritto 
\[
X = \sum_{i=1}^n f_i(x) \dfrac{\del}{\del x_i}
\]
dove le funzioni $f_i(x)$ sono di classe~$\Cinf$ su~$U$ e le derivazioni sono calcolate nel punto~$x \in \R^n$.

Analogamente, una \emph{$1$-forma differenziale} \`e una famiglia di elementi dello spazio cotangente e quindi si pu\`o scrivere
\[
\omega = \sum_{i=1}^n g_i(x) \, dx_i
\]
Pi\`u in generale possiamo definire le \emph{$k$-forme differenziali} come famiglie di elementi delle potenze esterne $k$-esime dello spazio cotangente:
\[
\omega = \sum_{i_1 < \dots < i_k} g_{i_1 \dots i_k}(x)\,  dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k} 
\]
dove i coefficienti $g_{i_1 \dots i_k}(x)$ sono funzioni di classe~$\Cinf$ su~$U$. L'insieme delle $k$-forme differenziali su $U$ si denota con $\Omega^k(U)$ ed \`e uno spazio vettoriale reale (di dimensione infinita). In particolare $\Omega^k(\R^n)$ indica le forme differenziali definite su tutto~$\R^n$.

\begin{definition} Sia $A$ un anello (commutativo con unit\`a). Un \emph{$A$-modulo} $M$ (o \emph{modulo sull'anello~$A$}) \`e un gruppo abeliano con una operazione di moltiplicazione per elementi di~$A$ che soddisfa le usuali propriet\`a di associativit\`a e distributivit\`a.
\end{definition}

Un modulo \`e la generalizzazione del concetto di spazio vettoriale quando gli scalari appartengono ad un anello. Naturalmente uno spazio vettoriale \`e un esempio di modulo.

Poich\'e ha senso moltiplicare una funzione $f(x) \in \Cinf(U)$ per una $k$-forma differenziale, ottenendo ancora una $k$-forma, $\Omega^k(U)$ \`e un modulo sull'anello~$\Cinf(U)$.

\begin{remark}[per chi conosce i prodotti tensoriali] Si ha 
\[
\Omega^k(U) = \Cinf(U) \otimes_\R \bigwedge^k T^*_P\R^n
\]
dove $P\in \R^n$ \`e un punto fissato. Questo isomorfismo vale perch\'e il fibrato cotangente di~$\R^n$ \`e triviale e quindi per ogni coppia di punti $P$, $Q\in \R^n$ c'\`e un isomorfismo canonico fra $T^*_P\R^n$ e $T^*_Q\R^n$ dato da
\[
dx_{i,P} \mapsto dx_{i,Q}
\]
\end{remark}

\begin{remark} Per definizione una $k$-forma differenziale \`e una combinazione lineare a coefficienti funzioni differenziabili di $k$-forme ottenute mediante il prodotto wedge dei differenziali delle funzioni coordinate. Allora la Proposizione~$\ref{pr:base_wedge}$ implica che $\Omega^k(U)$ \`e un modulo libero di rango $\dbinom{n}{k}$ sull'anello~$\Cinf(U)$.

\end{remark}

Possiamo definire un prodotto di forme differenziali, estendendo la definizione data in precedenza: se $\omega \in \Omega^k(U)$ e $\eta \in \Omega^k(U)$ scriviamo
\[
\omega = \sum_I a_I(x)\, dx_I, \qquad \eta = \sum_J b_J(x)\,dx_J
\]
dove usiamo la notazione con multi-indici come prima e poniamo
\[
\omega \wedge \eta = \sum_{I, J} a_I(x) b_J(x) \, dx_I \wedge dx_J
\]
La Proposizione~$\ref{pr:mult_est}$ vale con lo stesso enunciato e la stessa dimostrazione:
\begin{proposition} 
\label{pr:mult_est_forme}
Siano $\omega \in \Omega^k(U)$, $\eta \in \Omega^s(U)$, $\theta \in \Omega^r(U)$.
\begin{enumerate}
\item $(\omega \wedge \eta) \wedge \theta = \omega \wedge (\eta \wedge \theta)$;
\item $(\omega \wedge \eta) = (-1)^{ks}(\eta \wedge \omega)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} Esercizio.
\end{proof}

Definiamo quindi, in analogia a quanto fatto prima
\[
\Omega^*(U) = \bigoplus_{k=0}^n \Omega^k(U)
\]
dove, per convenzione, $\Omega^0(U) = \Cinf(U)$. La moltiplicazione esterna di forme rende $\Omega^*(U)$ un anello (anti)commutativo graduato. $\Omega^*(U)$ \`e una $\R$-algebra di dimensione infinita come spazio vettoriale e non finitamente generata come algebra.

$\Omega^*(U)$ ha anche una struttura di $\Cinf(U)$-algebra (lasciamo al lettore studioso il compito di formulare la definizione di $A$-algebra, dove $A$ \`e un anello): \`e un  $\Cinf(U)$-modulo di rango~$2^n$ (una base \`e data dagli elementi $dx_I$) e come $\Cinf(U)$-algebra \`e finitamente generata: un insieme di generatori \`e dato da $\{dx_1, \dots, dx_n\}$.


\subsection{Il pullback di forme differenziali}
Sulle forme differenziali sono definite due importanti funzioni: il \emph{pullback} e la \emph{derivazione esterna}. Vediamo prima il pullback. Ricordiamo che $U$ indica sempre un sottoinsieme aperto di~$\R^n$.

\medskip
Sia $f : U \to V \subseteq\R^m$ una funzione differenziabile (ricordiamo che significa di classe~$\Cinf$). $f$ induce una funzione $f^* : \Cinf(V) \to \Cinf(U)$ definita da 
\[
f^*(g) = g\circ f
\]
Notiamo che il verso di $f^*$ \`e opposto a quello di~$f$. $f^*$ \`e un omomorfismo di anelli (esercizio!) e poich\'e $\Cinf(V) = \Omega^0(V)$ possiamo interpretare questa funzione come $f^* : \Omega^0(V) \to \Omega^0(U)$. Vogliamo estendere questo omomorfismo all'algebra delle forme. 

Sia $\omega$ una $k$-forma su~$\R^m$. Per definizione, $f^*\omega$ \`e la $k$-forma su~$\R^n$ data da
\[
f^*\omega_{|P}(\bv1, \dots, \bv k) = \omega_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k))
\]
dove $\bv1$, \dots, $\bv k \in T_P\R^n$ e $df : T_P\R^n \to T_{f(P)}\R^m$ \`e il differenziale della funzione~$f$ nel punto~$P$.

Studiamo ora le propriet\`a formali della funzione~$f^*$, che consentono di semplificare i calcoli. 

\begin{proposition}
\label{pr:pullback1}
Sia $f : U \to V \subseteq\R^m$ una funzione differenziabile, $\omega$, $\eta$ delle $k$-forme differenziali, $g\in\Omega^0(V)$ una $0$-forma (cio\`e una funzione differenziabile).
\begin{enumerate}
\item $f^*(\omega + \eta) = f^*(\omega) + f^*(\eta)$
\item $f^*(g\omega) = f^*(g) f^*(\omega)$
\item se $\omega_1, \dots, \omega_k$ sono $1$-forme, allora 
\[
f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k) = f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)
\] 
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} Le dimostrazioni sono semplicemente dei calcoli, applicando la definizione:
\begin{enumerate}
\item \begin{align*}
      f^*(\omega + \eta)_{|P}(\bv1, \dots, \bv k) &= (\omega + \eta)_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k))\\
         &= \omega_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k)) + \eta_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k))\\
         &= f^*(\omega)_{|P}(\bv1, \dots, \bv k) + f^*(\eta)_{|P}(\bv1, \dots, \bv k)\\
         &= (f^*\omega + f^*\eta)_{|P}(\bv1, \dots, \bv k)
      \end{align*}
      
\item \begin{align*}
      f^*(g\omega)_{|P}(\bv1, \dots, \bv k) &= (g\omega)_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k))\\
         &= (g(f(P))\cdot\omega_{|f(P)}(df_P(\bv1), \dots, df_P(\bv k))\\
         &= f^*(g) f^*\omega_{|P}(\bv1, \dots, \bv k)
      \end{align*}
      
\item omettendo per semplicit\`a l'indicazione del punto~$P$ si ha:
\begin{align*}
f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k)(\bv1, \dots, \bv k) &= (\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k)(df(\bv1), \dots, df(\bv k))\\
               &= \det(\omega_i(df(\bv j)))\\
               &= \det(f^*\omega_i(\bv j))\\
               &= f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)(\bv1, \dots, \bv k)
\end{align*}
\end{enumerate} 
\end{proof}

Da queste propriet\`a si pu\`o ottenere una descrizione molto semplice del pullback: \`e la \emph{formula di sostituzione}, ben nota dalla regola di integrazione. Per vedere ci\`o, fissiamo le coordinate $(x_1, \dots, x_n)$ in~$\R^n$ e $(y_1, \dots, y_m)$ in~$\R^m$. La funzione $f : U \to V$ si scrive in componenti
\[
y_1 = f_1(x_1, \dots, x_n), \quad, \dots, \quad y_m = f_m(x_1, \dots, x_n)
\]
Sia ora $\omega = \sum a_I dy_I$ una $k$-forma su~$V$. Usando la proposizione appena dimostrata possiamo scrivere:
\[
f^*\omega = \sum f^*(a_I) \left(f^*dy_{i_1}\right) \wedge \dots \wedge \left(f^*dy_{i_k}\right)
\]
e poich\'e
\[
f^*(dy_i)(\bv{}) = dy_i(df(\bv{})) = d(y_i\circ f)(\bv{}) = df_i(\bv{})
\]
otteniamo
\[
f^*\omega = \sum a_I(f_1(x_1, \dots, x_n),\dots,f_m(x_1, \dots, x_n))\, df_{i_1} \wedge \dots \wedge df_{i_k}
\]
e cio\`e per calcolare $f^*\omega$ si effettua in~$\omega$ la ``sostituzione'' $y_i = f_i$ e $dy_i = df_i$, proprio come nella regola di integrazione per sostituzione. Questo perch\'e, come suggerisce la notazione di Leibniz per gli integrali, l'integrando \`e una forma differenziale!

Il punto $1.$ della Proposizione~$\ref{pr:pullback1}$ dice che $f^*:\Omega^*(V) \to \Omega^*(U)$ \`e un omo\-mor\-fi\-smo di gruppi abeliani. Vediamo adesso che \`e anche un omo\-mor\-fi\-smo di anelli:

\begin{proposition}
\label{pr:pullback2}
Sia $f : U \to V \subseteq\R^m$ una funzione differenziabile, $\omega$, $\eta$ due forme differenziali (qualunque) su $V$. Allora
\[
f^*(\omega \wedge \eta) = (f^*\omega) \wedge (f^*\eta)
\]
\end{proposition}

\begin{proof}
Come prima poniamo $y_1 = f_1(x_1, \dots, x_n)$, \dots, $y_m = f_m(x_1, \dots, x_n)$ e siano $\omega = \sum a_I\,dy_I$, $\eta = \sum b_J\, dy_J$. Si ha
\begin{align*}
f^*(\omega \wedge \eta) &= f^*\left( \sum_{I,J} a_I b_J\, dy_I \wedge dy_J \right)\\
                        &= \sum_{I,J} a_I(f_1, \dots, f_m)\, b_J(f_1, \dots, f_m) \, df_I \wedge df_J\\
                        &= \sum_I a_I(f_1, \dots, f_m)\, df_I \wedge \sum_J b_J(f_1, \dots, f_m)\, df_J\\
                        &= f^*\omega \wedge f^*\eta
\end{align*}
\end{proof}

Il pullback ha ancora una importante propriet\`a: \`e \emph{funtoriale}, cio\`e rispetta la composizione di applicazioni:

\begin{proposition}
\label{pr:pullback3}
Se $f : U \to V$ e $g : V\to W$ sono due funzioni differenziabili, allora $(g\circ f)^* = f^* \circ g^*$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Sia $\omega \in \Omega^*(W)$. Allora
\begin{align*}
(g \circ f)^* \omega &= \sum_I a_I((g\circ f)_1, \dots, (g\circ f)_p)\, d(g\circ f)_I\\
                     &= \sum_I a_I(g_1(f_1, \dots, f_m), \dots, g_p(f_1, \dots, f_m)) \, dg_I(df_1, \dots, df_m)\\
                     &= f^*(g^*\omega) = (f^*\circ g^*)(\omega)
\end{align*}
\end{proof}

\medskip
\subsection{La derivazione esterna}
Passiamo ora alla derivazione esterna, che generalizza alle $k$-forme il differenziale di una funzione (cio\`e di una~$0$-forma). Se $g : U\subseteq \R^n \to \R$ \`e una funzione, il differenziale \`e definito da
\[
dg = \sum_{i=1}^n \dfrac{\del g}{\del x_i} \, dx_i
\]
ed \`e una $1$-forma, cio\`e $d : \Omega^0(U) \to \Omega^1(U)$. Per le propriet\`a della derivazione, $d$ \`e un'applicazione lineare fra spazi vettoriali e inoltre $d$ ha un comportamento speciale rispetto al prodotto: soddisfa la regola di Leibniz, cio\`e
\[
d(fg) = g\,df + f\, dg
\]
Definiamo adesso un operatore che trasforma $k$-forme in $(k+1)$-forme con propriet\`a analoghe.

\begin{definition}
Sia $\omega = \sum_I a_I\, dx_I$ una $k$-forma su~$U \subseteq \R^n$. La \emph{derivata esterna $d\omega$} di~$\omega$ \`e 
\[
d\omega = \sum_I da_I \wedge dx_I
\]
\end{definition}

Raccogliamo nella proposizione seguenti le principali propriet\`a della derivazione esterna. Dopo la dimostrazione faremo alcuni commenti ed esempi.

\begin{proposition}
\label{pr:extder}
Siano $\omega$, $\eta$ due forme differenziali su~$U\subseteq \R^n$.
\begin{enumerate}
\item $d(\omega + \eta) = d\omega + d\eta$ e  $d(c\omega) = c\, d\omega$, per $c\in \R$
\item $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta$, per $\omega$ una $k$-forma
\item $d^2\omega = d(d\omega) = 0$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof} \ 
\begin{enumerate}
\item Chiaro dalla definizione.

\item Scriviamo $\omega = \sum_I a_I\, dx_I$, $\eta = \sum b_J \, dx_J$. ALlora:
\begin{align*}
d(\omega \wedge \eta) &= \sum_{I,J} d(a_I b_J) \, dx_I \wedge dx_J\\
                      &= \sum_{I,J} b_J\,da_I \wedge dx_I \wedge dx_J + \sum_{I,J} a_i\, db_J \wedge dx_I \wedge dx_J\\
                      &= d\omega \wedge \eta + (-1)^k \sum_{I,J} a_I\,dx_I \wedge db_J \wedge dx_J\\
                      &= d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta
\end{align*}

\item Cominciamo con dimostrare l'enunciato nel caso $\omega$ una $0$-forma, cio\`e una funzione $f : U \to \R$. Allora
\begin{align*}
d(df) &= d\left( \sum_{j=1}^n  \dfrac{\del f}{\del x_j} \, dx_j\right) = \sum_{j=1}^n d\left( \dfrac{\del f}{\del x_j} \right) \wedge dx_j\\
      &= \sum_{j=1}^n\left(  \sum_{i=1}^n \dfrac{\del^2 f}{\del x_i \del x_j}\, dx_i \wedge dx_j\right)
\end{align*}
I termini con $i = j$ si annullano perch\'e $dx_i \wedge dx_i = 0$. Inoltre, la funzione $f$ \`e differenziabile (ricordiamo che vuol dire di classe~$\Cinf$) e quindi le derivate seconde miste sono uguali mentre $dx_i\wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i$ e si ottiene
\[
d(df) = \sum_{i<j} \left( \dfrac{\del^2 f}{\del x_i \del x_j} - \dfrac{\del^2 f}{\del x_j \del x_i} \right) dx_i \wedge dx_j = 0.
\]

Sia ora $\omega = \sum a_I \, dx_I$ una forma qualunque. Per la $1.$ possiamo supporre $\omega = a_I\, dx_I$ e allora, dalla definizione di $d$ e dalla $2.$ si ha
\[
d(d\omega) = d(da_I \wedge dx_I) = d(da_I) \wedge dx_I - da_I \wedge d(dx_I)
\]
Il coefficiente $a_I$ \`e una funzione e quindi, per quello che abbiamo appena dimostrato, $d(da_I) = 0$. Inoltre, $dx_I$ ha coefficiente costante~$1$ e quindi
\[
d(dx_I) = d(1) \wedge dx_I = 0.
\]
Dunque, $d(d\omega) = 0$.
\end{enumerate}
\end{proof}

La derivazione esterna \`e una funzione $d : \Omega^*(U) \to \Omega^*(U)$. Allora la $1.$ dice che $d$ \`e $\R$-lineare (cio\`e $d$ \`e un'applicazione lineare) e la $2.$ dice che soddisfa la regola di Leibniz, con una correzione di segno poich\'e la moltiplicazione in $\Omega^*(U)$ \`e anticommutativa graduata. In sostanza, \emph{$d$ \`e una derivazione.}

La $3.$ ha un'interpretazione algebrica: poich\'e $d$ porta $k$-forme in $(k+1)$-forme, possiamo considerare la seguente successione di spazi vettoriali e applicazioni lineari:
\[
\xymatrix{
0 \ar[r] & \Omega^0(U) \ar[r]^{d} & \Omega^1(U) \ar[r]^{d} & \dots \ar[r]^d& \Omega^k(U) \ar[r]^{d} &\Omega^{k+1}(U) \ar[r]^{d} & \dots   
}
\]
La propriet\`a~$3.$ dice che comporre due applicazioni lineari consecutive d\`a~$0$ e cio\`e che l'\emph{immagine} di un'applicazione \`e contenuta nel \emph{nucleo} di quella successiva. Definiamo allora:
\[
Z^k(U) = \ker d : \Omega^k(U) \to\Omega^{k+1}(U) = k\text{-forme su $U$ \emph{chiuse}}
\]
\[
B^k(U) = \im d : \Omega^{k-1}(U) \to\Omega^{k}(U) = k\text{-forme su $U$ \emph{esatte}}
\]
Entrambi sono sottospazi vettoriali di $\Omega^k(U)$ e la $3.$ dice
\[
B^k(U) \subseteq Z^k(U)  
\]
e cio\`e \emph{tutte le forme esatte sono chiuse}. Possiamo allora formare il quoziente:
\begin{definition}
Lo spazio vettoriale quoziente
\[
H^k_{DR}(U) = Z^k(U) / B^k(U)
\]
viene detto il \emph{$k$-esimo gruppo di coomologia di deRham} dell'aperto~$U\subseteq \R^n$.
\end{definition}

Questi gruppi sono definiti usando la struttura differenziabile di~$\R^n$ e dei suoi aperti e esprimono propriet\`a delle funzioni e forme differenziali. Per esempio, dire che $H^k_{DR}(U) = 0$ significa dire che \emph{tutte le $k$-forme chiuse su~$U$ sono esatte}: se $dw = 0$ allora esiste $\eta$ tale che $\omega = d\eta$ e cio\`e esiste su~$U$ una primitiva di~$\omega$. Questo non \`e sempre vero: se $U = \R^2 \setminus \{0\}$ conosciamo (dai corsi di Analisi) una $1$-forma chiusa ma non esatta
\[
\omega = \dfrac{y}{x^2 + y^2}\, dx - \dfrac{x}{x^2 + y^2}\, dy
\]
e dunque $H^1_{DR}(\R^2 \setminus \{0\}) \ne 0$. Notiamo che la forma~$\omega$ non \`e definita su tutto~$\R^2$ e quindi non definisce un elemento in $H^1_{DR}(\R^2)$.

In realt\`a questi gruppi hanno un significato puramente topologico. Questo \`e il contenuto di un importante teorema, il \emph{teorema di deRham} che verr\`a visto nei corsi della Laurea Magistrale. Come introduzione a questa teoria, nel prossimo paragrafo calcoleremo $H^k_{DR}(\R^n)$ e vedremo sotto quali ipotesi \emph{topologiche} su $U$ si pu\`o affermare che la coomologia di deRham \`e nulla.



\medskip
Concludiamo questo paragrafo con un'importante propriet\`a di compatibilit\`a fra il pullback e la derivazione esterna.

\begin{proposition}
\label{pr:extder_pb} 
Sia $f : U\subseteq \R^n \to V \subseteq\R^m$ una funzione differenziabile e sia $\omega\in\Omega^k(V)$ una $k$-forma differenziale su~$V$. Allora:
\[
d(f^*\omega) = f^*(d\omega)
\]
\end{proposition}

\begin{proof}
Anche in questo caso dimostriamo prima l'enunciato per $\omega$ una $0$-forma. Sia dunque $\omega = g : V \to \R$ una funzione differenziabile data da $(y_1, \dots, y_m) \mapsto g(y_1, \dots, y_m)$ e siano $(x_1, \dots, x_n)$ le coordinate su~$\R^n$. Si ha
\begin{align*}
f^*(dg) &= f^*\left( \sum_i \dfrac{\del g}{\del y_i}\, dy_i \right) = \sum_{i,j} \dfrac{\del g}{\del y_i} \dfrac{\del f_i}{\del x_j} \, dx_j\\
        &= \sum_j \dfrac{\del(g\circ f)}{\del x_j} \, dx_j = d(g\circ f)\\
        &= d(f^*g)
\end{align*}
Sia ora $\omega = \sum_I a_I\, dx_I$. Usando il fatto che $f^*$ \`e un omomorfismo di anelli, e cio\`e commuta le somme e il prodotto esterno, e il caso appena dimostrato si ha
\begin{align*}
f^*(dw) &= f^*\left(\sum_I da_I\wedge dx_I\right) = \sum_I f^*(da_I) \wedge f^*(dx_I)\\
        &= \sum_I d(f^*(a_I)) \wedge f^*(dx_I) = d\left( \sum_I f^*(a_I)\, f^*(dx_I) \right)\\
        &= d(f^*\omega).
        \end{align*}
\end{proof}

Questa Proposizione esprime la commutativit\`a di $d$ e $f^*$, fatto che sar\`a spesso usato nel seguito: dice che la definizione della derivata esterna \`e ``indipendente dalle coordinate'', cio\`e possiamo prima derivare e poi sostituire oppure prima effettuare la sostituzione e poi derivare ottenendo lo stesso risultato.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Il lemma di Poincar\'e}
\label{s:lemmaP}
Sia $U \subseteq \R^n$ un aperto e $\omega$ una forma differenziale su~$U$. La propriet\`a \emph{$\omega$ \`e chiusa} \`e semplice da verificare (basta calcolare la derivata esterna) e come abbiamo visto \`e una condizione necessaria per la propriet\`a \emph{$\omega$ \`e esatta} e cio\`e $\omega$ ammette (su~$U$) una primitiva. Questa propriet\`a \`e importante, per esempio \`e esattamente la definizione di \emph{campo conservativo}, per cui la primitiva \`e il potenziale.

Con il nome di \emph{lemma di Poincar\'e} si indicano enunciati che affermano che, sotto opportune ipotesi topologiche sull'aperto~$U$, tutte le forme chiuse su~$U$ sono esatte. Abbiamo quindi, sotto queste ipotesi, un metodo semplice per determinare l'integrabilit\`a di una forma.

\subsection{Il caso delle $1$-forme}
Cominciamo con un enunciato che vale per le $1$-forme, sotto ipotesi ``geometriche'' sull'aperto~$U$, piuttosto che topologiche.

\begin{definition} Sia $U \subseteq \R^n$ e $P\in U$. $U$ si dice \emph{stellato rispetto a~$P$} se  per ogni~$Q\in U$ il segmento~$PQ$ \`e contenuto in~$U$.
\end{definition}

Per esempio, se $U$ \`e convesso allora $U$ \`e stellato rispetto ad ogni suo punto. Osserviamo che $\R^2 \setminus \{0\}$ non \`e stellato.

\begin{proposition}[Lemma di Poincar\'e per le $1$-forme] 
\label{pr:1forme}
Sia $U \subseteq \R^n$ un aperto stellato e sia $\omega \in \Omega^1(U)$ una $1$-forma. Se $\omega$ \`e chiusa allora $\omega$ \`e esatta, cio\`e esiste $f : U \to \R$ tale che $\omega = df$.
\end{proposition}

\begin{proof} Possiamo supporre, a meno di un cambiamento di coordinate mediante traslazione, che il punto $P$ rispetto a cui $U$ \`e stellato sia l'origine. La forma $\omega$ si scrive
\[
\omega = a_1\, dx_1 + \dots + a_n\, dx_n
\]
e l'ipotesi che sia chiusa significa che per $1 \le i, j \le n$ si ha
\[
\dfrac{\del a_i}{\del x_j} = \dfrac{\del a_j}{\del x_i}.
\]
Definiamo $f : U \to \R$ come
\[
f(x_1, \dots, x_n) = \int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n a_i(tx_1, \dots, tx_n) \cdot x_i \right)\, dt
\]
Dall'ipotesi $U$ stellato rispetto all'origine si ha che i termini sotto il segno di integrale sono definiti e l'integrando \`e continuo rispetto a~$t$ e dunque l'integrale esiste. Dimostriamo adesso che $df = \omega$. Per fare ci\`o, dobbiamo verificare che
\[
\dfrac{\del f}{\del x_i} = a_i
\]
Si ha
\begin{align*}
\dfrac{\del f}{\del x_i}(x_1, \dots, x_n)  &= \dfrac{\del }{\del x_i} \int_0^1 \left(\sum_{j=1}^n a_j(tx_1, \dots, tx_n) \cdot x_j \right)\, dt\\
     &= \int_0^1 \dfrac{\del }{\del x_i} \left(\sum_{j=1}^n a_j(tx_1, \dots, tx_n) \cdot x_j \right)\, dt\\
     &= \int_0^1 \left[ \left( \sum_{j=1}^n \dfrac{\del a_j}{\del x_i} (tx_1, \dots, tx_n) \cdot x_j \right)t + a_i(tx_1, \dots, tx_n)              \right]\, dt\\
     &= \int_0^1 \left[ \left( \sum_{j=1}^n \dfrac{\del a_i}{\del x_j} (tx_1, \dots, tx_n) \cdot x_j \right)t + a_i(tx_1, \dots, tx_n)              \right]\, dt\\
     &= \int_0^1 \dfrac{d}{dt} (a_i (tx_1, \dots, tx_n)\cdot t) = \big[a_i (tx_1, \dots, tx_n) \cdot t\big]_0^1\\
     &= a_i (x_1, \dots, x_n)
\end{align*}
\end{proof}


\subsection{Il caso $U$ contraibile}
La dimostrazione appena vista si pu\`o estendere alle $k$-forme chiuse, definendo in modo opportuno la $(k-1)$-forma primitiva. \`E per\`o pi\`u semplice seguire un'altra strada, dimostrando un fatto pi\`u generale.

\begin{definition} Uno spazio topologico (connesso) $X$ si dice \emph{contraibile} se \`e omotopicamente equivalente ad un punto, cio\`e se esiste una funzione continua $H : X \times [0,1] \to X$ tale che
\[
\begin{cases}
H(x, 0) = x_0 & \forall \, x\in X\\
H(x, 1) = x   & \forall \, x\in X
\end{cases}
\]
$H$ \`e un'omotopia fra una funzione costante e la funzione identit\`a di $X$.
\end{definition}

Notiamo che possiamo estendere $H$ ad una funzione continua $H: X \times \R \to X$ ponendo
\[
\begin{cases}
H(x, t) = x_0 & \forall \, x\in X, \quad \forall\, t < 0\\
H(x, t) = x   & \forall \, x\in X, \quad \forall\, t > 1
\end{cases}
\]

\begin{xca} 
Dimostrare che se $X$ \`e contraibile allora $X$ \`e connesso.
\end{xca}

\begin{example}
\label{exa:stellato}
Se $U \subseteq \R^n$ \`e stellato rispetto all'origine, allora 
\[
H(x_1, \dots, x_n, t) = (tx_1, \dots, tx_n)
\]
\`e un'omotopia fra la funzione costante $f(x_1, \dots, x_n) = 0$ e l'identit\`a di~$U$. In particolare, $\R^n$ \`e contraibile.
\end{example}


Possiamo adesso enunciare il risultato principale di questo paragrafo:
\begin{theorem}[Lemma di Poincar\'e]
\label{th:LemmaPoincare}
Sia $U\subseteq \R^n$ un aperto contraibile e sia $\omega$ una $k$-forma differenziale chiusa definita su~$U$, cio\`e $d\omega = 0$, con $k\ge 1$. Allora $\omega$ \`e esatta, cio\`e esiste una $(k-1)$-forma differenziale~$\alpha$ definita su~$U$ tale che $d\alpha = \omega$.
\end{theorem}


Usando la coomologia di deRham definita alla fine del paragrafo precedente possiamo enunciare il Lemma di Poincar\'e come: se $U$ \`e contraibile (in particolare se $U = \R^n$), allora $H^k_{DR}(U) = 0$ per ogni $k\ge 1$, e in particolare $H^k_{DR}(\R^n) = 0$ per ogni $k\ge 1$.

\smallskip
Il caso $k=0$ \`e diverso (e pi\`u semplice): per $U$ un aperto qualunque, se $f : U \to \R$ \`e una funzione tale che $df = 0$ allora $f$ \`e localmente costante, cio\`e costante sulle conponenti connesse di $U$ (questa \`e una conseguenza immediata del teorema di Lagrange). Viceversa, se $f$ \`e (localmente) costante allora chiaramente $df = 0$. 

Scrivendo $U = \bigcup_{i\in I} U_i$, dove gli $U_i$ sono le componenti connesse di~$U$, si ha dunque
\[
H^0_{DR}(U) = \bigoplus_{i\in I} \R
\]
(un addendo per ogni componente connessa). Poich\'e $U$ contraibile implica $U$ connesso, concludiamo che per $U$ contraibile si ha $H^0_{DR}(U) = \R$.

Osserviamo anche che se $U$ e $V$ sono omeomorfi, allora le loro componenti connesse sono in corrispondenza biunivoca e quindi $H^0_{DR}(U) \cong H^0_{DR}(V)$, come previsto dal fatto che la coomologia di deRham dipende solo dalla \emph{topologia} di $U$ e non dalla sua struttura differenziabile.

\medskip
Prima di iniziare la dimostrazione, c'\`e un importante commento da fare: l'ipotesi su $U$ \`e topologica ma la  dimostrazione utilizza il pullback di forme e per definire~$H^*$ serve che l'omotopia $H : U\times \R \to U$ sia differenziabile. Ci sono due modi per risolvere questo problema: uno \`e  rafforzare l'ipotesi richiedendo che $U$ sia \emph{differenziabilimente contraibile}, e cio\`e che l'omotopia~$H$ sia una mappa differenziabile. In questo modo si ottiene un teorema  pi\`u debole. 

L'altro \`e dimostrare il seguente
\begin{lemma}
\label{l:diff_contr}
 Sia $U \subseteq \R^n$ un aperto. Se $U$ \`e contraibile come spazio topologico, allora \`e differenziabilmente contraibile.
\end{lemma}

Questo Lemma \`e in effetti vero e vale pi\`u in generale per ogni variet\`a differenziabile~$X$, ma non riporteremo qui la dimostrazione. Il lemma verr\`a usato nella parte fianle della dimostrazione.

\begin{proof}[Dimostrazione del Teorema $\ref{th:LemmaPoincare}$]
Siano $(x_1, \dots, x_n)$ le coordinate su $U$ e $t$ la coordinata su~$\R$. Raccogliendo i termini che hanno un differenziale~$dt$, ogni $k$-forma $\overomega\in\Omega^k(U\times \R)$ si pu\`o scrivere in modo unico come
\[
\overomega = \sum a_I\, dx_I + dt \wedge \sum b_J\, dx_J = \omega_1 + dt\wedge \eta
\]
dove $\omega_1$ \`e una $k$-forma e $\eta$ una $(k-1)$-forma. Osserviamo che i coefficienti~$a_I$, $b_J$ sono funzioni delle variabili $(x_1, \dots, x_n, t)$.

Definiamo  una funzione $I : \Omega^k(U \times \R) \to \Omega^{k-1}(U)$ come segue: se
\[
\overomega = \sum a_I\, dx_I + dt \wedge \sum b_J\, dx_J
\]
allora
\[
I\overomega = \sum_J \left( \int_0^1 b_J(x_1, \dots, x_n, t)\, dt\right) \, dx_J
\]
Il nome~$I$ si riferisce al fatto che la mappa \`e ``integrazione rispetto alla variabile~$t$''. Poich\'e la decomposizione \`e unica, \`e chiaro dalle propriet\`a dell'integrale che~$I$ \`e una funzione lineare.

Consideriamo ora la famiglia di funzioni differenziabili $i_t : U \to U\times\R$ date da $i_t(x) = (x, t)$. La funzione $i_t$ \`e semplicemente l'inclusione di~$U$ nel prodotto a livello~$t$. Le funzioni~$i_t$ inducono i pullback~$i_t^* : \Omega^k(U\times\R) \to \Omega^k(U)$ fra forme differenziali. Il punto principale della dimostrazione \`e la formula
\begin{equation}
\label{eq:mainFormula}
i_1^*\overomega - i_0^*\overomega = d(I\overomega) + I(d\overomega)
\end{equation}
valida per ogni $k$-forma $\overomega\in\Omega^k(U\times\R)$.

Per la linearit\`a di~$I$ e la decomposizione $\overomega = \omega_1 + dt\wedge\eta$, basta dimostrare la formula~$(\ref{eq:mainFormula})$ per le forme del tipo 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\overomega = f(x_1, \dots, x_n, t)\, dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k}$\\
\item[b)] $\overomega = f(x_1, \dots, x_n, t) \, dt \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k-1}}$
\end{enumerate}

Nel caso a), si ha che 
\[
d\overomega = \dfrac{\del f}{\del t}\,dt \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k} + \text{ termini senza $dt$}
\]
e quindi
\begin{align*}
I(d\overomega) &= \left( \int_0^1 \dfrac{\del f}{\del t}\,dt \right) dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k}\\
               &= [f(x_1, \dots, x_n, 1) - f(x_1, \dots, x_n, 0)]\, dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k}\\
               &= i_1^*\overomega - i_0^*\overomega
\end{align*}
Poich\'e $I\overomega = 0$ in quanto non ci sono termini con~$dt$, anche $d(I\overomega) = 0$ e la formula \`e dimostrata.

Nel caso b), $i_1^*\overomega = i_0^*\overomega = 0$, in quanto le mappe $i_0^*$ e $i_1^*$ operano mediante la sostituzione $t=0$ e $t=1$ rispettivamente. In entrambi i casi, $t$ \`e costante e quindi $dt$ diventa~$0$. Calcolando, si ha
\[
d\overomega = \sum_{\alpha=1}^n \dfrac{\del f}{\del x_\alpha} \, dx_\alpha \wedge dt \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k-1}}
\]
e quindi
\[
I(d\overomega) = - \sum_{\alpha=1}^n \left(\int_0^1 \dfrac{\del f}{\del x_\alpha}\, dt\right) \, dx_\alpha \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k-1}}
\]
(il segno meno viene dallo scambio di ordine fra $dx_\alpha$ e $dt$ prima di integrare). D'altra parte
\begin{align*}
d(I\overomega) &= d\left\{ \left( \int_0^1 f(x_1, \dots, x_n, t)\, dt \right) \right\}\, dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k-1}}\\
               &= \sum_{\alpha=1}^n \left(\int_0^1 \dfrac{\del f}{\del x_\alpha}\, dt\right) \, dx_\alpha \wedge dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k-1}}
\end{align*}
derivando sotto il segno di integrale e notando che il coefficiente di~$I\overomega$ non dipende da~$t$ e quindi il differenziale non contiene termini con~$dt$. Dunque $d(I\overomega) + I(d\overomega) = 0$ e la formula vale anche in questo caso.

Notiamo che fino ad ora non abbiamo usato l'ipotesi che $U$ sia contraibile  e quindi la formula~$(\ref{eq:mainFormula})$ vale per ogni aperto~$U\subseteq\R^n$.

Sia ora $U$ un aperto contraibile e $H : U \times \R \to U$ un'omotopia fra l'identit\`a di~$U$ e una funzione costante, che esiste per l'ipotesi di contraibilit\`a. Osserviamo che
\[
H \circ i_1 = \id_U = \text{ identit\`a di $U$}, \qquad H \circ i_0 = x_0 = \text{ funzione costante}
\]
Per il Lemma~$\ref{l:diff_contr}$ possiamo supporre che $H$ sia differenziabile e quindi c'\`e una mappa indotta fra forme differenziali
\[
H^* : \Omega^k(U) \to \Omega^k(U\times \R)
\]
Sia $\omega\in\Omega^k(U)$ una $k$-forma  e poniamo
\[
\overomega = H^* \omega \in \Omega^k(U\times \R)
\]
Poich\'e il pullback commuta con la composizione (Proposizione~$\ref{pr:pullback3}$)
\[
i_1^*(\overomega) = i_1^*(H^*\omega) = (H\circ i_1)^*(\omega) = \id_U^*\omega = \omega
\]
\[
i_0^*(\overomega) = i_0^*(H^*\omega) = (H\circ i_0)^*(\omega) = \text{cost}^*\omega = 0
\]
perch\'e il pullback rispetto a una mappa costante annulla tutti i $dx_i$. La formula~$(\ref{eq:mainFormula})$ diventa
\[
\omega = d(I\overomega) + I(d\overomega)
\]
Se ora supponiamo che $\omega$ sia chiusa, abbiamo 
\[
d\overomega = d(H^*\omega) = H^*(d\omega) = H^*(0) = 0
\]
per la commutativit\`a del pullback con la derivazione esterna (Proposizione~$\ref{pr:extder_pb}$) e quindi $I(d\overomega) = I(0) = 0$. Otteniamo perci\`o che per una forma chiusa $\omega$ si ha
\[
\omega = d(I\overomega)
\]
e quindi $\omega$ \`e esatta. Osserviamo che la dimostrazione d\`a anche una formula per una primitiva di~$\omega$, calcolabile esplicitamente se si conosce l'omotopia~$H$ in modo esplicito e si sanno calcolare gli integrali nella formula di~$I$.
\end{proof}

\begin{xca}
Sia $U$ stellato rispetto all'origine. Possiamo allora usare 
\[
H(x_1, \dots, x_n, t) = (tx_1, \dots, tx_n)
\]
come omotopia (vedi Esempio~$\ref{exa:stellato}$), osservando che $H$ \`e differenziabile. Se $\omega$ \`e una $1$-forma su~$U$, determinare $I(\overomega)$ e osservare che \`e la stessa primitiva usata nella dimostrazione della Proposizione~$\ref{pr:1forme}$.

Anche in questo caso semplice, l'espressione esplicita di $I(\overomega)$ per una $k$-forma \`e piuttosto complicata e questo \`e il motivo per cui abbiamo preferito una dimostrazione pi\`u astratta ma con meno calcoli.
\end{xca}



\subsection{Il caso $U$ semplicemente connesso - in preparazione}
%L'ipotesi che $U$ sia contraibile \`e piuttosto forte, ma d\`a risultati altrettanto forti: tutte le forme chiuse sono esatte. \`E interessante allora chiedersi se sotto ipotesi pi\`u deboli si possa comunque affermare qualcosa sull'esattezza di alcune forme.
%
%Un caso molto importante nelle applicazioni \`e quello delle $1$-forme e in quest'ultima parte diamo una condizione sufficiente per l'esattezza delle $1$-forme chiuse.
%
%\begin{definition} Sia $X$ uno spazio topologico e $\alpha : [0,1] \to X$ un cammino. $\alpha$ \`e un \emph{cammino chiuso} se $\alpha(0) = \alpha(1)$.
%\end{definition}
%
%\begin{definition} Uno spazio topologico $X$ connesso per archi si dice \emph{semplicemente connesso} se ogni cammino chiuso $\alpha$ in~$X$ \`e omotopo ad un cammino costante.
%\end{definition}
%
%
%Si pu\`o dare una definizione equivalente di semplicemente connesso utilizzando l'omotopia a estremi fissati. Sia $X$ uno spazio topologico e  $\alpha: [0,1] \to X$ e $\beta: [0,1] \to X$ due cammini continui con gli stessi estremi, cio\`e $\alpha(0) = \beta(0) = x_0$ e $\alpha(1) = \beta(1) = x_1$.
%
%\begin{definition}  I cammini $\alpha$ e $\beta$ si dicono \emph{omotopi a estremi fissati} se esiste una funzione continua $H: [0,1]\times [0,1] \to X$ tale che
%\begin{align*}
%&1.\ \ H(s,0) = \alpha(s),\ H(s,1) = \beta(s) &\forall s\in [0,1]\\
%&2.\ \ H(0,t) = x_0, \ H(1,t) = x_1           &\forall t\in [0,1]
%\end{align*}
%La $1.$ dice che $H$ \`e un'omotopia fra $\alpha$ e $\beta$ e la $2.$ dice che durante l'omotopia gli estremi dei cammini rimangono fissati.
%\end{definition}
%
%Si dimostra semplicemente che l'omotopia ad estremi fissati \`e una relazione di equivalenza e si ha
%\begin{proposition} Uno spazio topologico $X$ \`e semplicemente connesso se e solo se tutti i cammini con gli stessi estremi sono omotopi ad estremi fissati.
%\end{proposition}
%
%\begin{proof} Esercizio.
%\end{proof}
%
%\begin{example} $X = \R^2 \setminus\{0\}$ non \`e semplicemente connesso. Invece $\R^3 \setminus \{0\}$ \`e semplicemente connesso.
%\end{example}
%
%Ricordiamo ancora una definizione LOCALMENTE ESATTA e riformulazione Poincare
%
%La relazione fra omotopia ad estremi fissati e $1-$forme chiuse \`e data dal
%
%\begin{theorem} Sia $\omega$ una $1$-forma chiusa su un aperto~$U$ di $\R^n$ e siano $\alpha$, $\beta$ due cammini in $U$ omotopi ad estremi fissati. Allora
%\[
%\int_\alpha \omega = \int_\beta \omega
%\]
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Poich\'e $\omega$ \`e chiusa, allora \`e localmente esatta, cio\`e per ogni $p\in U$ esiste un intorno $V_p \subseteq U$ e una funzione $f_p : V \to \R$ tale che $\omega = df_p$ su~$V_p$
%
%
%\end{proof}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Il teorema di Stokes - in preparazione}
\label{s:Stokes}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\section{Complementi}
%\label{s:Complementi}
%
%\subsection{Prodotti tensoriali, simmetrici e esterni}
%
%\subsection{Densit\`a delle applicazioni differenziabili}
%



\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%

