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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}

%aggiunto da me
\theoremstyle{plain} 
\newtheorem{thm}{Teorema}[chapter] 
\newtheorem{cor}[thm]{Corollario} 
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} 
\newtheorem{prop}[thm]{Proposizione} 
\newtheorem*{theorem*}{Teorema}


\theoremstyle{definition} 
\newtheorem{defn}[thm]{Definizione}
\newtheorem{ex}[thm]{Esempio}
\newtheorem{propr}{Proprietà}

\theoremstyle{remark} 
\newtheorem{oss}[thm]{Osservazione} 


%per gli spazi:
\usepackage{setspace}
\singlespacing


%\renewcommand{\rmdefault}{phv} % Arial
%\renewcommand{\sfdefault}{phv} % Arial
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definizione}{Definizione}

%\theoremstyle{plain}
%\newtheorem{teorema}{Teorema}

%\linespread{1.525}\selectfont

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline {\huge{\textsc{Università degli Studi di Torino}}}
\vskip 27 pt

\centerline {\Large{\textsc{Dipartimento di Matematica Giuseppe Peano}}}

\vskip 20 pt

\centerline {\Large{\textsc{Scuola di Scienze della Natura}}}

\vskip 20 pt

\centerline {\Large{\textsc{Corso di Laurea in Matematica}}}


\vskip 60 pt





%\begin{tabular}{ccc}
\centerline {\includegraphics[width=7cm]{logo.jpg}}
%\end{tabular}
\vskip 1.2cm
\centerline {\normalsize {Tesi di Laurea Triennale}} 

\vskip 0.7cm

\centerline {\Large {\bf Titolo della tesi}}

\vskip 1.7cm

\noindent Relatore: Prof. X
\hfill  {Candidato: Maria Rossi }



\vskip 2.7cm


\centerline{2015/2016}

\tableofcontents

% 
%
% CAPITOLO 1
\chapter*{Introduzione}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduzione}  % se non si vuole numerare l'introduzione, ma farla comparire nell'indice
%
%
%  CAPITOLO 2
%
\chapter{Spazi metrici e normati}
\label{ch:spmetrici}
Poiché dovremo lavorare con lo spazio normato $(\Q_p, |\cdot |_p)$, che si dimostrerà essere uno spazio completo, occorre innanzitutto rivedere brevemente le definizioni e le proprietà di cui godono gli spazi di questo tipo e riprendere poi confidenza con successioni convergenti e di Cauchy. Andiamo dunque a presentare gli "ingredienti" fondamentali per la costruzione e lo studio di $\Q_p$. 
\section{Concetti base}
Sia $X$ un insieme non vuoto, una \textit{distanza} su $X$ è una funzione $d:(X \times X)\rightarrow \R^{+}$ tale che per ogni coppia $(x,y)\in X\times X$ si abbia:
\begin{enumerate}
\item $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
\item $d(x,y)=d(y,x)$
\item $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) $ per ogni $z \in X$
\end{enumerate}
La coppia $(X,d)$, con $d$ distanza su $X$, è detta spazio metrico.


\begin{defn}
\label{de:norm_eq}
Due norme $\| \cdot \|_1$ e $\| \cdot \|_2$ su un campo $\K $ sono \textit{equivalenti} se definiscono la stessa topologia su $\K$.
\end{defn}
.
 
\section{Successioni di Cauchy}

%
%
%
%
%
\chapter{ Norme $p$-adiche}
\`{E} giunto il momento di introdurre alcune nozioni necessarie per la costruzione dello spazio $\Q_p$. In questo capitolo verranno definiti dei particolari spazi normati su cui vale una proprietà più forte della classica disuguaglianza triangolare: gli spazi ultrametrici. Sarà analizzato in particolare il campo $\Q$ rispetto alla norma $p$-adica come abbiamo visto nel Capitolo~$\ref{ch:spmetrici}$.

\section{Prime definizioni}


\begin{equation}
| x |_p= \begin{cases} \dfrac{1}{p^{\ord_p x}} & x\neq 0\\
0 & x = 0 \end{cases}
\end{equation}

\begin{equation*}
x= \frac{a}{b}
\end{equation*}

\begin{prop}
$| \cdot |_p$ è una norma su $\Q$
\end{prop}
\begin{proof}
Proviamo le 3 condizioni: 
\begin{enumerate}
\item Ovvia per definizione;
\item Se uno tra $x$ e $y$ è uguale a 0, poiché anche il prodotto è zero, abbiamo finito. Supposti invece $x \neq0$ e $y \neq 0$ ottengo

\item Se uno tra $x$ o $y$ è uguale a 0 o se $x+y=0$ la dimostrazione è immediata.
\end{enumerate}
\end{proof}




\section{Spazi ultrametrici}
  
\begin{equation*}
 \begin{split}
d(x,y) 		& :=\|x-y\|=\|(x-z)+(z-y)\| \leq \max\{\|x-z\|,\|z-y\|\} \\
			& \leq \max \{ d(x,z) , d(z,y) \}
 \end{split}
\end{equation*}


\section{Teorema di Ostrowski}
%
%
%
% TEOREMA DI OSTROWSKI
%
Abbiamo visto nel capitolo precedente che due norme  su un campo $\K $ sono \textit{equivalenti} se definiscono la stessa topologia su $\K$. La definizione data è però di difficile applicazione e risulta dunque necessaria la seguente caratterizzazione equivalente.

\begin{thm}[\textbf{Ostrowski}]
Ogni norma non banale $\| \cdot \|$ su $\Q$ è equivalente a $| \cdot |_p$ per $p$ primo o per $p=\infty $ .
\end{thm}
\begin{proof}
Suddividiamo la dimostrazione nei casi in cui la norma sia archimedea e non-archimedea. Osserviamo però che, in entrambi i casi, $\| \pm 1\|=1$. 
\end{proof}
%
%
%
%CAPITOLO 4 
%numeri piadici
%equazioni in Q
%congruenze modulo p^n
%equazioni senza soluzioni e congruenze con soluzioni
\chapter{Completamenti e spazio $\Q_p$}
In questo capitolo si vuole iniziare ad esplorare lo spazio completo $\Q_p$ partendo dalla sua costruzione come completamento di $\Q$ ed arrivando poi alle sue principali proprietà. 
\section{Nozioni introduttive}
Prendiamo ad esempio $p=3$ e partiamo dalla soluzione $X=7$:

\begin{equation*}
\begin{split}
 X & \equiv 1 \pmod{3}  \\
 X & \equiv 7= 1 + 2 \times 3 \pmod{3^2} \\
 X & \equiv 7= 1 + 2 \times 3 \pmod{3^3} \\
 & etc
\end{split}
\end{equation*}


\section{Lo spazio $\Q_p$}
Fissiamo un numero primo $p$ e costruiamo rigorosamente il campo dei numeri $p$-adici $\Q_p$ come completamento di $\Q$.

Per il teorema che segue, occorre tenere a mente che data una successione di Cauchy $(X_i)_i \subset \Q_p$, i suoi elementi  $X_i$ sono classi in $\C$. Preso dunque un rappresentante $(x_{ik})_k$, questo è a sua volta una successione di Cauchy (in $\Q$). 
%
%
%
%MAIN THEOREM
%
%

% 
%
%CAPITOLO 5
%
\chapter{Breve confronto tra $\Q_p$ e $\R$}
%in Q5 c'è l'unità immaginaria
Risolviamo la congruenza 
\begin{equation*}
X^2 \equiv -1 \pmod{5^n}
\end{equation*}

Procedendo come sopra, costruiamo le successioni coerenti $(2,27 , ...)$ e $(3,23 ,...)$ che sappiamo essere di Cauchy e convergenti alla radice di $-1$. Abbiamo dunque dimostrato che $\Q_5$ contiene l'unità immaginaria $i= \sqrt{-1}$ ed ha dunque elementi che non appartengono a $\R$



\chapter{Conclusione}

\end{document}
