%%%% 	Geometria 2 - Laurea in Matematica
%		Anno acc. 2015/16
%		Esercizi tipo per esame - Topologia
%   
%	Usiamo una classe article
%

%% Per primo viene \documentclass

\documentclass[a4paper,10pt]{article}	% 
							
%% poi dichiariamo i packages che si usano

\usepackage{graphicx}				% per importare figure in EPS: qui non si usa
\usepackage[all]{xy}				% per i diagrammi commutativi
\usepackage[latin1]{inputenc}		% per usare le lettere accentate (lo voglio davvero? forse no)
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}	% e' come AmSTeX, ma non serve se si usa una classe AmS
\usepackage[mathscr]{eucal}			% per avere il nuovo calligrafico AMS.
\usepackage[italian]{babel}			% per sillabare in italiano. Inoltre mette tutti i nomi
									%  italiani nei documenti AmS!!

\def\datename{{\it Data\/}:}		% questa e' una dimenticanza per i documenti AmS in Babel		

%\graphicspath{{eps/}}			% dichiaro la directory dei files PostScript con
								% le figure: qui non ce ne sono

%% Preambolo = tutti i comandi che si riferiscono all'intero documento

% un paio di fonti...
\font\smc=cmcsc10			% smallcaps
\font\titlefont=cmr17


%%% qui facciamo una cosa delicata -- PER ORA NO
%
%
%\makeatletter			% per avere @ nei nomi delle control sequences
%\def\ps@Headings{\ps@headings
%	\def\@evenfoot{\hfil\slshape \small QUADERNI DIDATTICI DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA \hfil}%
%	\def\@oddfoot{\hfil\slshape UNIVERSIT\`A DI TORINO \hfil}%
%}
%\makeatother			% @ torna a non essere legale nei nomi delle CS
%
%
%



% numerare le pagine?
\pagestyle{empty}			% voglio i numeri di pagina e i running titles sulle pagine
					% e' il default per la classe amsbook
					% altre possibilita':  	plain = NoRunningTitles 
					%			empty = NoPageNumbers + NoRunningTitles
					%			myheadings = per specificare i
					%				     Running Titles

%% environment per i teoremi, lemmi, esempi, ... piu' che altro per impostare la numerazione
%						 vedi Using the amsthm package, pag. 2
%  questa numerazione e' la stessa per teoremi, lemmi, definizioni, ...

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
\newtheorem{proprieta}{Propriet\`a}
\newtheorem*{theorem*}{Teorema}
\newtheorem*{lemma*}{Lemma}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definizione}
\newtheorem{example}[theorem]{Esempio}
\newtheorem*{example*}{Esempio}
\newtheorem{xca}{Esercizio}
\newtheorem*{exercise*}{Esercizio}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Osservazione}

%%%%%%%%%% Nuovo stile per teoremi
%		Dalla documentazione delle classi AMS: amsclass.dvi pag.59
%
\newtheoremstyle{assiomi}% name   			#1
  {3pt}%      Space above					#2
  {3pt}%      Space below					#3
  {\itshape}% Body font						#4
  {}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)	#5
  {\sffamily}% Thm head font					#6
  {.}%        Punctuation after thm head	#7
  { }%     Space after thm head: " " = normal interword space; \newline = linebreak  #8 
  {{\thmname{#1}\thmnumber{ #2}.\thmnote{ #3}}}%  Thm head spec (can be left empty, meaning `normal')	#9


\theoremstyle{assiomi}
\newtheorem{axiom}{\textsf{ZF}}
  
\newcounter{temp}		% counter per usi temporanei
\newcounter{cat}		% per cambi di catcode  (conflitto xypic e babel italiano)

%%   MACRO PERSONALI   RISCRITTE PER LATEX  %%%%%%
%
%  Qui sono raccolte tutte le macro generali
%  Per la maggior parte, sono solo nomi per 
%  simboli molto usati e qualche operatorname.
%  
%
%%%   ***********   %%%

%%  simboli  %%
%
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}				% \N   = numeri naturali
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}				% \Z   = numeri relativi
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}				% \Q   = numeri razionali
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}				% \R   = numeri reali
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}				% \C   = numeri complessi
\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}			% \H   = quaternioni
										% renew perche' \H e' gia' definito, vuol dire l'accento ungherese, tipo Erd\H os, che non serve
\newcommand{\Cinf}{\mathscr{C}^\infty}	% \Cinf = C - infinito
\newcommand{\Cat}{\mathscr{C}}			% \Cat = C corsivo - una categoria
\newcommand{\Dat}{\mathscr{D}}			% \Dat = un'altra categoria

\renewcommand{\O}{\mathscr{O}}			% \O   = O corsivo (fascio, altro)
										% renew perche' \O e' gia' definito, vuol dire la O tagliata svedese, che non serve
\newcommand{\Par}{\mathscr{P}}			% \Par   = P corsivo = insieme delle parti
\newcommand{\MOD}{\textsf{Mod}}
\newcommand{\ZF}{\textsf{ZF}}
\newcommand{\AC}{\textsf{AC}}
\newcommand{\del}{\partial}				% \del = derivata parziale, piu' breve da scrivere
\newcommand{\tens}{\otimes}				% \tens = prodotto tensoriale


%%%%%% Nomi di Categorie
\newcommand{\Sets}{\textsf{Sets}}	
\newcommand{\Top}{\textsf{Top}}	
\newcommand{\Simp}{\textsf{Simp}}
\newcommand{\Pair}{\textsf{Pair}}	
\newcommand{\Grp}{\textsf{Grp}}	
\newcommand{\Ab}{\textsf{Ab}}	
\newcommand{\Vect}{\textsf{Vect}}	
%
%
%
%%  operatori  %%
%
\DeclareMathOperator{\im}{Im}		% \im   = immagine (di una funzione)
\DeclareMathOperator{\id}{id}		% \id = funzione identita'
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}		% \sen = seno
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}		% \Hom = gruppo Hom
\DeclareMathOperator{\End}{End}		% \End = anello End
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}		% \GL  = gruppo lineare
\DeclareMathOperator{\rk}{rank}		% \rk = rango
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}		% \Ann = annullatore (di un modulo)
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}		% \Ob = oggetti di una categoria
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}		% \Mor = tutti i morfismi
\DeclareMathOperator{\op}{op}		% \op = opposto (anello opposto)
\DeclareMathOperator{\car}{char}	% \car = caratteristica (di un campo)
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}		% \tr = traccia
\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind}		% \Ind = rappresentazione indotta
\DeclareMathOperator{\Res}{Res}		% \Res = restrizione
\DeclareMathOperator{\cl}{cl}		% \cl  = chiusura
%
%%  abbreviazioni
%
\renewcommand{\phi}{\varphi}		% \phi = per avere una phi decente
\newcommand{\eps}{\epsilon}			% \eps = per scrivere meno
%
%%  spaziature   %%
%
\newcommand{\oneline}{\vskip12pt}
\newcommand{\halfline}{\vskip6pt}
%
%%%%%%%
\long\def\ans#1{\ifnum\solutions=0 {#1} \else \fi}   %per scrivere le risposte
                        %uso: \ans{risposta}

\def\solutions{0}               %0=risposte, altro=no risposte

%%%   fine definizioni varie   %%%
%
%
%%%%%  FINE MACRO  %%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{document}


\begin{center}
\large Topologia Algebrica -- a.a. 2015-2016
\end{center}

\begin{center}
Esercizi  per l'esame - Omologia
\end{center}

\bigskip
Gli esercizi seguenti fanno parte del programma d'esame. All'orale potr\`a essere richiesta la soluzione di uno o pi\`u di essi.



%%%%%%%% ESERCIZIO 1
\bigskip
\begin{xca}  (Il lemma $3 \times 3$) Nel diagramma seguente le colonne sono esatte, le prime due righe sono esatte e tutti i quadrati commutano. Dimostrare che anche la terza riga \`e esatta.
\[
\xymatrix{
       & 0  \ar[d]  & 0  \ar[d]  & 0  \ar[d]  \\
0 \ar[r]  & A_3 \ar[r]^{\alpha_2} \ar[d]^{f_2} & A_2 \ar[r]^{\alpha_1} \ar[d]^{g_2}& A_1 \ar[r] \ar[d]^{h_2}& 0  \\
0 \ar[r]  & B_3 \ar[r]^{\beta_2} \ar[d]^{f_1} & B_2 \ar[r]^{\beta_1} \ar[d]^{g_1}& B_1 \ar[r] \ar[d]^{h_1}& 0  \\
0 \ar[r]  & C_3 \ar[r]^{\gamma_2} \ar[d] & C_2 \ar[r]^{\gamma_1} \ar[d]& C_1 \ar[r] \ar[d] & 0  \\
       & 0  & 0  & 0
}
\]


\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2301$, pag.~118

}

\end{xca}

%%%%%%%% ESERCIZIO 2
\bigskip
\begin{xca} Consideriamo il complesso di gruppi abeliani~$(C_*, d)$ dove
$C_n = \Z \oplus \Z \oplus \Z$ per ogni~$n \ge 0$ e il differenziale~$d_n : C_n \to C_{n-1}$ \`e definito da
\[
d_n(r, s, t) = 
\begin{cases}
(s - t, 0, 0) & \text{se } n \text{ \`e pari}\\
(0, s+t, s+t) & \text{se } n \text{ \`e dispari}
\end{cases}
\]
Calcolare l'omologia $H_n(C_*)$ del complesso per ogni~$n \ge 0$.

\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2304$, pag.~120

Per $n$ pari si ha 
\begin{align*}
Z_n(C_*) &= \ker d_n = \{(r,s,t) \mid s = t\} = \{(r,s,s) \mid r, s, \in \Z\} \cong \Z \oplus \Z\\
B_n(C_*) &= \im d_{n+1} = \{(0, t, t) \mid t \in \Z\} \cong \Z \oplus \Z
\end{align*}
e quindi $[(r, s, s)] = [(r, 0, 0)] \in H_n(C_*) = Z_n/B_n$. Dunque $H_n(C_*) \cong \Z$.

Per $n$ dispari si ha 
\begin{align*}
Z_n(C_*) &= \ker d_n = \{(r,s,t) \mid s + t = 0\} = \{(r,s,-s) \mid r, s, \in \Z\} \cong \Z \oplus \Z\\
B_n(C_*) &= \im d_{n+1} = \{(t, 0, 0) \mid t \in \Z\} \cong \Z \oplus \Z
\end{align*}
e quindi $[(r, s, -s)] = [(0, s, -s)] \in H_n(C_*) = Z_n/B_n$. Dunque $H_n(C_*) \cong \Z$.
}

\end{xca}
%%%%%%%% ESERCIZIO 3
\bigskip
\begin{xca} Costruire un complesso cellulare~$X$ che abbia i seguenti gruppi di omologia (a coefficienti in~$\Z$):
\begin{align*}
H_0(X, \Z) &= \Z \\
H_1(X, \Z) &= \Z \oplus \Z_2\\
H_2(X, \Z) &= \Z_3 \\
H_3(X, \Z) &= \Z \\
H_n(X, \Z) &= 0,\quad \text{per ogni } n \ge 4 
\end{align*}

\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2305$, pag.~121

}

\end{xca}

%%%%%%%% ESERCIZIO 4
\bigskip
\begin{xca} Sia $X = U \cup V$, dove~$U$ e~$V$ sono aperti, connessi per archi e tali che $U\cap V$ sia connesso per archi. Supponiamo che
\begin{enumerate}
\item $H_1(U) = 0$
\item l'omomorfismo $H_1(U\cap V) \to H_1(V)$  indotto dall'inclusione $j: U \cap V \hookrightarrow V$ \`e suriettivo
\end{enumerate}

Dimostrare che $H_1(X) = 0$.

Dimostrare che il risultato analogo \`e falso se si sostituisce $H_2$ ad ogni $H_1$.


\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2315$, pag.~130

}

\end{xca}


%%%%%%%% ESERCIZIO 6
\bigskip
\begin{xca} Se $X$ \`e uno spazio topologico, il \emph{cono su~$X$} \`e lo spazio topologico quoziente
\[
CX = (X \times [0, 1]) / (X \times \{1\})
\]
e la \emph{sospensione di~$X$} \`e lo spazio quoziente
\[
\Sigma X = CX / (X \times \{0\})
\]
Una funzione continua $f : X \to Y$ induce una funzione continua
\[
\Sigma f : \Sigma X \to \Sigma Y
\]
definita da $\Sigma f([x, t]) = [f(x), t]$, dove $[x,t] \in \Sigma X$ \`e la classe di equivalenza di~$(x,t) \in X \times [0, 1]$ e similmente per $[f(x), t] \in \Sigma Y$. 
\begin{enumerate}
\item Dimostrare che $\Sigma f$ \`e ben definita e continua.
\item Dimostrare che la sospensione $\Sigma S^n$ della sfera \`e omeomorfa alla sfera~$S^{n+1}$.
\item Dimostrare che per una funzione continua $f : S^n \to S^n$ di grado~$k$, la sospensione $\Sigma f : S^{n+1} \to S^{n+1}$ ha ancora grado~$k$.
\item Per ogni $k\in \Z$ e ogni intero $n > 0$ costruire una funzione  $f : S^n \to S^n$ continua di grado~$k$.
\item Se $X$ \`e uno spazio topologico arbitrario, calcolare l'omologia di~$\Sigma X$ in termini dell'omologia di~$X$.
\end{enumerate}


\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
1-4 su Felix-Tanr\'e

5 su Ji-Xiu Chen, $2303$, pag.~120
}

\end{xca}


%%%%%%%% ESERCIZIO 6
\bigskip
\begin{xca} Costruire esempi di variet\`a compatte~$M$ di dimensione~$4$ con caratteristica di Eulero-Poincar\'e $\chi(M) = 0, 1, 2, 3, 4$.

\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2302$, pag.~119
}

\end{xca}



%%%%%%%% ESERCIZIO 7
\bigskip
\begin{xca} Sia $X$ un complesso cellulare con una $(k+1)$-cella e tale che $H_k(X, \Z)$ sia un gruppo finito non triviale. Dimostrare che $H_{k+1}(X, \Z) = 0$.


\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2318$, pag.~133
}

\end{xca}

%%%%%%%% ESERCIZIO 8
\bigskip
\begin{xca} Ricordiamo che
\[
H_3(S^3, \Z) \cong H_3(\R\P^3, \Z) \cong \Z
\]
Dimostrare che non esiste nessuna funzione continua $f : S^3 \to \R\P^3$ che induce un isomorfismo fra gli $H_3$.

\ans{
\oneline
{\bf Soluzione.}
\oneline 
Ji-Xiu Chen, $2323$, pag.~138
}

\end{xca}





\end{document}  


