Lezione del 1 marzo 2010 (parte1)

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La definizione di Spazio Vettoriale costruito sul campo dei numeri reali R o sul campo dei numeri complessi C. Esempi: Rn lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri reali costruito su R, caso particolare: R, lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri complessi costruito su C: Cn, caso particolare: C, il campo dei numeri razionali Q visto come spazio vettoriale su Q, R visto come spazio vettoriale su Q, C visto come spazio vettoriale su R. {o}, lo spazio vettoriale dei polinomi nella variabile x a coefficienti reali R[x], C[x], lo spazio vettoriale delle funzioni reali di variabile reale F(R). Quanti vettori contiene uno spazio vettoriale costruito su R o su C? Il primo teorema sugli spazi vettoriali: il vettore nullo è unico, l'opposto è unico, valgono la legge di semplificazione rispetto alla somma, la legge di annullamento del prodotto di uno scalare per un vettore, (-1) x = - x (dimostrazione per esercizio). La definizione di sottospazio vettoriale W di V. Esempi: {o}, V, Rn[x]= sottospazio vettoriale di R[x] dei polinomi di grado minore o uguale a 3. Lo spazio vettoriale delle matrici Rm,n, Cm,n.Matrici quadrate, la diagonale principale. Matrici diagonali, matrice unità. Le matrici riga, le matrici colonna. La matrice nulla. Definizione di matrici uguali. La somma di matrici. (Rm,n, +), (Cm,n, +) sono esempi di gruppi abeliani. Il prodotto di una matrice per uno scalare. Rm,n, Cm,n sono esempi di spazi vettoriali.