Attività settimanale
Introduzione
Geometria Algebrica
Laurea Magistrale in Matematica, secondo semestre, 48 ore, 6 crediti.
Docente: Cinzia Casagrande
Orario: martedi' 12:30-14:30 e venerdi' 14:30-16:30 in aula 2, piu' qualche recupero il giovedi'
Calendario delle lezioni:
ven 1/3, mar 12/3, gio 14/3 h 16:30-18:30, ven 15/3, mar 19/3, mar 26/3, gio 28/3 h 16:30-18:30, ven 29/3, ven 5/4, mar 9/4, gio 11/4 h 16:30-18:30, mar 16/4, gio 2/5 h 8:30-10:30, mar 7/5, mar 14/5, gio 16/5 h 16:30-18:30, ven 17/5, mar 21/5, gio 23/5 h 16:30-18:30, ven 24/5 h 10:30-12:30 aula S, mar 28/5, gio 30/5 h 16:30-18:30, ven 31/5 h 10:30-12:30 aula S, mar 4/6Non ci sara' lezione: mar 5/3, ven 8/3, ven 22/3, mar 2/4, ven 12/4, ven 26/4, mar 30/4, ven 3/5, ven 10/5
Ricevimento studenti: su appuntamento (da concordare a voce o per email).
Programma e testi consigliati:Il corso si propone di coprire il capitolo I (sezioni 1-5) del libro Algebraic Geometry di Hartshorne, piu' alcuni argomenti dal libro Basic Algebraic Geometry di Shafarevich, vol. 1.
Altri testi di riferimento (sugli stessi argomenti) sono:
Reid, Undergraduate Algebraic GeometryHarris, Algebraic GeometryReferenze di algebra, ove necessarie:
Lang, Algebra
Atiyah e Macdonald, Introduction to Commutative AlgebraReid, Undergraduate Commutative Algebra (evidenzia le relazioni con la geometria algebrica)25 febbraio - 3 marzo
1/3, 10:30-12:30 Spazi topologici noetheriani, esempi. Uno spazio topologico noetheriano e' compatto (dim. per es.), un sottospazio di uno spazio noetheriano e' noetheriano (dim. per es.). Spazi topologici irriducibili; caratterizzazioni equivalenti: X e' irriducibile sse ogni coppia di aperti non vuota si interseca, sse ogni aperto non vuoto e' denso (dim. per es.). Se Y e' denso in X, allora Y e' irriducibile sse X e' irriducibile (dim. per es.). Decomposizione in irriducibili per uno spazio topologico noetheriano, componenti irriducibili. Le componenti irriducibili sono i chiusi irriducibili massimali (dim. per es.).
Dimensione topologica, definizione ed esempi. Esempio di uno spazio topologico noetheriano con dimensione infinita. Proprieta' della dimensione.Identificazione insiemistica di AnxAm con An+m. La diagonale e' chiusa in A2n. Polinomi biomogenei, topologia di Zariski su PnxPm.
Insiemi algebrici quasi-proiettivi; aperti e chiusi di un insieme q.p. sono insiemi q.p.( dim. per es.). I chiusi affini sono insiemi q.p. Varieta' q.p. Gli insiemi q.p. sono spazi topologici noetheriani. Dimensione di un insieme q.p.
Caratterizzazioni algebriche della dimensione: dimensione di Krull di un anello. Se X e' un chiuso affine, dim(X)=dim k[X].Esercizi: 1) Sia X uno spazio topologico. Mostra che X e' noetheriano e Hausdorff sse X e' finito con la topologia discreta. 2) Mostra che la topologia di Zariski in An+m e' strettamente piu' fine della topologia prodotto, e lo stesso per gli spazi proiettivi. 3) Mostra che la diagonale e' chiusa in PnxPn.
Gli esercizi 2 e 3 verranno svolti la prossima lezione.
11 marzo - 17 marzo
12/3, 12:30-14:30 Esercizi 2 e 3 della scorsa lezione. Richiami su estensioni di campi, estensioni finitamente generate, dipendenza e indipendenza algebrica. Basi di trascendenza, grado di trascendenza di un'estensione finitamente generata (senza dim.). Ogni estensione finitamente generata si fattorizza come un'estensione puramente trascendente seguita da un'estensione algebrica.
Se A e' una k-algebra f.g. e un dominio, e K e' il suo campo dei quozienti, allora dim(A) e' uguale al grado di trascendenza di K su k (no dim.) Applicazioni: se X e' un chiuso affine irriducibile, dim(X) e' uguale al grado di trascendenza di k(X) su k. Dimensione dello spazio affine e dello spazio proiettivo. Ogni insieme q.p. ha dimensione finita.
Ancora sulla dimensione: altezza di un ideale primo P in un anello A, ht(P)+dim(A/P) e' al piu' dim(A). Se A e' una k-algebra f.g. e un dominio, per ogni primo P si ha ht(P)+dim(A/P)=dim(A) (no dim.) Applicazione: se X e' un chiuso affine irriducibile, e Z un chiuso irriducibile di X, esiste una catena massimale di chiusi irriducibili contenente Z. Se X e' un chiuso affine e U e' un aperto denso di X, allora dim(U)=dim(X). Se X e' un chiuso proiettivo irriducibile e U una carta affine di Pn che interseca X, allora la dimensione dell'intersezione e' uguale a dim(X) (no dim.)Esercizi: 1) Sia X un insieme q.p. Mostra che dim(X)=0 sse X e' finito. 2) Sia X una curva q.p. irriducibile. Mostra che X ha la topologia cofinita. 3) Mostra che l'intersezione di insiemi q.p. in Pn e' un insieme q.p., mentre l'unione non necessariamente.
14/3, 16:30-18:30 e 15/3, 14:30-16:30 Se X e' un insieme q.p. e U e' un aperto denso di X, allora dim(U)=dim(X).
Se X e' un chiuso in An o in Pn, allora X e' un'ipersuperficie sse X ha dimensione pura n-1. Teorema dell'ideale principale di Krull (solo enunciato). Se X e' un chiuso affine irriducibile di dimensione n, e H un'ipersuperficie irriducibile che non contiene X e interseca X, allora l'intersezione di X e H ha dimensione pura n-1. Se X e' un chiuso non vuoto in An definito da r polinomi, ogni componente irriducibile di X ha dimensione almeno n-r.Funzioni regolari su insiemi localmente chiusi nello spazio affine come funzioni date localmente da rapporti di polinomi. Funzioni regolari su insiemi q.p. come funzioni date localmente da rapporti di polinomi omogenei dello stesso grado. Una funzione regolare e' continua. Due funzioni regolari che coincidono su un aperto denso sono uguali. L'insieme delle funzioni regolari su X e' una k-algebra, in cui gli elementi invertibili sono le funzioni mai nulle.
Morfismi tra insiemi q.p. come mappe continue che preservano le funzioni regolari su ogni aperto. La composizione di morfismi e' un morfismo; isomorfismi.
Anello dei germi delle funzioni regolari di una varieta' q.p. in un punto. Campo delle funzioni razionali su una varieta' q.p.
Localizzazione di un dominio rispetto ad un ideale primo. L'anello e' uguale all'intersezione di tutte le sue localizzazioni in ideali massimali. Corrispondenza biunivoca tra gli ideali primi della localizzazione di A in P e gli ideali primi di A contenuti in P (no dim.); la dimensione di AP e' uguale all'altezza di P.
Se X e' un chiuso affine, allora ogni funzione regolare su X e' data dalla restrizione di un polinomio. Se X e' un chiuso affine irriducibile, l'anello locale di X in p e' la localizzazione di k[X] nell'ideale massimale di p, e il campo delle funzioni razionali su X e' il campo dei quozienti di k[X].
Descrizione esplicita dei morfismi:
1) se Y e' localmente chiuso nello spazio affine, un'applicazione f:X->Y e' un morfismo sse le componenti di f sono funzioni regolari su X;
2) un'applicazione tra insiemi q.p. X in Pn e Y in Pm e' un morfismo sse e' data localmente da m+1 polinomi omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di Pn (dim. per esercizio).
Esempi: i morfismi tra varieta' affini sono le mappe polinomiali. A1 meno l'origine e' isomorfo a V(xy-1) in A2. Essere un chiuso affine non e' invariante per isomorfismo. La mappa di Veronese P1->P2.18 marzo - 24 marzo
19/3, 12:30-14:30 Pull-back associato a un morfismo a livello di funzioni regolari, germi di funzioni regolari e funzioni razionali (se il morfismo e' dominante); funtorialita'.
Insiemi algebrici affini e varieta' affini. Un chiuso di un insieme affine e' affine. In un insieme algebrico affine X vale la corrispondenza chiusi/ideali radicali di O(X); inoltre l'anello locale di X in p e' la localizzazione di O(X) in mp, e k(X) e' il campo dei quozienti di O(X). Se Y e' affine, si ha una corrispondenza biunivoca tra i morfismi da X a Y e gli omomorfismi di k-algebre da O(Y) a O(X). Applicazioni: un morfismo tra insiemi affini e' isomorfismo sse il suo pull-back e' isomorfismo; due insiemi affini sono isomorfi sse gli anelli delle funzioni regolari sono isomorfi su k.Curve razionali normali. Casi particolari: la conica, la cubica gobba.
La superficie di Veronese S in P5. Interpretazione di S come l'insieme delle rette doppie nello spazio proiettivo delle coniche piane.
La mappa di Veronese di grado 2.
Quadriche proiettive. Coni proiettivi.Esercizi: da Hartshorne I.2.11, I.2.16, I.3.1(a),(b),(c), I.3.8, I.3.10. (1) Data una proettivita' f di P2, mostrare che esiste una proiettivita' F di P5 tale che la composizione di v e f sia uguale alla composizione di F e v, dove v e' la mappa di Veronese. (2) Data una retta l di P2, mostrare che esiste un piano T di P5 tale che v(l) sia l'intersezione di S e T, e che v(l) e' una conica in T.
25 marzo - 31 marzo
26/3, 12:30-14:30 Mappa di Veronese di grado d. Mappa di Segre e varieta' di Segre. La mappa di Segre e' un omeomorfismo tra le due topologie di Zariski; identificazione del prodotto di spazi proiettivi con la varieta' di Segre. Immersione di P1xP1 in P3 come quadrica di rango massimo; le due famiglie di rette sulla quadrica.
Esercizi: da Hartshorne I.2.13 e I.3.5.
28/3, 16:30 - 18:30 Discussione degli esercizi assegnati finora.
Prodotto di insiemi q.p. Il prodotto di chiusi proiettivi e' un chiuso proiettivo; il prodotto di insiemi algebrici affini e' affine. La definizione di prodotto coincide con la nozione affine nel caso di insiemi q.p. contenuti nello spazio affine. Le proiezioni sono morfismi. La diagonale e' chiusa in XxX. Il blow-up di An nell'origine.Esercizi: (1) Mostra che i chiusi in AnxPm sono i luoghi di zeri di polinomi nelle coordinate su An e nelle coordinate omogenee su Pm, omogenei nelle coordinate omogenee. (2) Dati due morfismi f:X->Y e g:Z->W, mostrare che la mappa indotta (f,g):XxZ->YxW e' un morfismo. (3) Mostrare che un'applicazione Z->XxY e' un morfismo sse le componenti sono morfismi. (4) Mostrare che il grafico di un morfismo X->Y e' un chiuso in XxY, isomorfo a X. (5) Sia C una conica irriducibile nel piano proiettivo, e Z l'immagine di C nella superficie di Veronese S. Mostrare che Z e' l'intersezione di S con un iperpiano H, e che Z e' una curva razionale normale in H.
29/3, 14:30 - 16:30 Il blow-up di An nell'origine e' irriducibile.
Aperti principali in un insieme algebrico affine. Gli aperti principali di un insieme affine sono affini, e formano una base per la topologia. Nozione di aperto affine. Gli aperti affini formano una base della topologia di un insieme q.p.
Se X e' un chiuso proiettivo, per ogni Y la proiezione da XxY a Y e' un'applicazione chiusa. Se X e' un chiuso proiettivo e f:X->Y e' un morfismo, f e' un'applicazione chiusa. Essere un chiuso proiettivo e' una proprieta' invariante per isomorfismo.Esercizi: da Hartshorne I.3.6 e I.3.14. (1) Se q' un punto di Pm, mostra che l'immagine di Pnx{q} tramite la mappa di Segre e' un sottospazio lineare di dimensione n. (2) Mostra che l'intersezione di due aperti affini e' un aperto affine.
1 aprile - 7 aprile
5/4, 14:30-16:30 Esercizi sull'immagine di una retta e una conica nella superficie di Veronese.
Se X e' un insieme proiettivo connesso, le funzioni regolari su X sono costanti. Se X e' un insieme proiettivo connesso e Y un insieme affine, ogni morfismo da X a Y e' costante.
Se due morfismi coincidono su un aperto denso, sono uguali.
Applicazioni razionali tra varieta' q.p. Dominio di un'applicazione razionale. Applicazioni razionali dominanti. Composizione di applicazioni razionali: discussione su quando e' definita. Applicazioni birazionali e equivalenza birazionale. Esempi. La mappa di Cremona. Se f:X-->Y e' razionale dominante, f definisce il pull-back f*:k(Y)->k(X) tra i campi delle funzioni razionali. Enunciato del teorema: la corrispondenza tra mappe razionali dominanti X-->Y e omomorfismi di k-algebre k(Y)->k(X) e' biunivoca.Esercizi: (1) Sia X un insieme algebrico affine e proiettivo. Mostrare che X e' finito. (2) Mostrare che le seguenti varieta' non sono ne' affini ne' proiettive: il piano affine meno l'origine, il blow-up di An nell'origine per n>1, AnxPm con n,m>0. (3) Mostrare che la definizione di applicazione razionale dominante non dipende dal rappresentante. (4) Mostrare che la composizione di mappe razionali dominanti e' dominante. (5) Mostrare che l'equivalenza birazionale e' una relazione di equivalenza sull'insieme delle varieta' q.p.
Da Hartshorne: I.3.7, I.3.11, I.3.12.8 aprile - 14 aprile
9/4, 14:30-16:30 Dimostrazione del teorema: la corrispondenza tra mappe razionali dominanti X-->Y e omomorfismi di k-algebre k(Y)->k(X) e' biunivoca. Un'applicazione razionale dominante e' birazionale sse e' isomorfismo su un aperto, sse induce un isomorfismo (su k) tra i campi delle funzioni razionali. Due varieta' q.p. sono birazionali sse contengono aperti non vuoti isomorfi, sse i loro campi delle funzioni razionali sono isomorfi su k. Esempi di morfismi birazionali: il blow-up di An nell'origine, la normalizzazione della cubica piana nodale e della cubica piana cuspidale. Se X e' una varieta' q.p., k(X) e' un'estensione finitamente generata di k, e il grado di trascendenza e' uguale alla dimensione di X. La dimensione e' un invariante birazionale. Ogni estensione f.g. di k e' il campo delle funzioni razionali di una varieta' q.p. Teorema dell'elemento primitivo (solo enunciato). Ogni varieta' q.p. e' birazionale a un'ipersuperficie.
Esercizio I.3.7: una varieta' proiettiva di dimensione positiva ha intersezione non vuota con ogni ipersuperficie. Applicazione: dati F1,...,Fr polinomi omogenei in n+1 indeterminate, con r<n+1, V(F1,...,Fr) in Pn e' non vuoto, e ogni sua componente irriducibile ha dimensione almeno n-r.
Esercizi: da Hartshorne I.3.21, I.4.3, I.4.4, I.4.5.
11/4, 16:30-18:30 Grassmanniana delle rette nello spazio proiettivo: coordinate di Plucker, mappa di Plucker; la mappa di Plucker è iniettiva e l'immagine è un chiuso. Esempi: le rette in P2, le rette in P3. Esempio: le rette in P3 per un punto fissato formano un piano contenuto nella grassmanniana.
Blow-up del piano affine nell'origine: carte affini.
Esercizi: (1) Data una proiettività f di P3, detta F la mappa da G(1,3) in sè indotta da F, mostrare che F si estende a una proiettività di P5. (2) Determinare in G(1,3) l'insieme delle rette di P3 contenute nel piano V(x3), e mostrare che è un chiuso. (3) Determinare in G(1,3) l'insieme delle rette di P3 incidenti alla retta V(x2,x3), e mostrare che è un chiuso.
15 aprile - 21 aprile
16/4, 12:30-14:30 Trasformata propria della cubica nodale nel blow-up del piano affine nell'origine. Risoluzione della proiezione An-->Pn-1 tramite il blow-up.
Rette tangenti a un chiuso affine X in un punto p. Spazio tangente immerso a X in p. Dimensione dello spazio tangente in termini del rango della matrice jacobiana data dai generatori dell'ideale di X. Esempio: l'unione degli assi in A3.
Richiami su anelli locali A; struttura di spazio vettoriale su m/m2 (sul campo residuo k=A/m). Dei generatori di m come ideale generano m/m2 come spazio vettoriale. Se m e' f.g., degli elementi di m che generano m/m2 come spazio vettoriale generano m come ideale (solo enunciato). In un anello locale noetheriano, la dimensione di m/m2 e' uguale al numero minimo di generatori di m. Un anello locale noetheriano A ha sempre dimensione finita, e dim(A) e' al piu' la dimensione di m/m2 come spazio vettoriale (solo enunciato).
Spazi cotangente e tangente di Zariski di una varieta' q.p. in un punto. Applicazioni lineari indotte da un morfismo.
Identificazione delle due nozioni di tangente nel caso di X chiuso affine irriducibile: differenziale di un elemento dell'anello locale come forma lineare sullo spazio tangente immerso. Il differenziale induce un isomorfismo di spazi vettoriali dallo spazio cotangente di Zariski al duale dello spazio tangente immerso (enunciato). Descrizione esplicita dell'isomorfismo duale dallo spazio tangente immerso allo spazio tangente di Zariski.Per lo spazio tangente, il testo di riferimento e' lo Shafarevich.
Esercizi: da Hartshorne I.4.7 e I.4.10.
(1) Siano X e Y insiemi q.p. (a) Dato T chiuso in XxY, mostrare che l'insieme {x | {x}xY e' contenuto in T} e' chiuso in X. (b) Mostrare che XxY e' irriducibile sse X e Y sono irriducibili. (c) Mostrare che la decomposizione in irriducibili di XxY e' indotta dalle decomposizioni in irriducibili di X e Y.
(2) Siano X,Y chiusi affini irriducibili, F:X->Y un morfismo, p punto di X, q=F(p). Consideriamo il differenziale dpF tra gli spazi tangenti di Zariski. Mostrare che modulo l'identificazione con gli spazi tangenti immersi, dpF e' dato dall'applicazione lineare data dalla matrice jacobiana in p della mappa polinomiale che induce F.29 aprile - 5 maggio
2/5, 8:30-10:30 Il differenziale induce un isomorfismo di spazi vettoriali dallo spazio cotangente di Zariski al duale dello spazio tangente immerso (dimostrazione). Lo spazio tangente in un punto e' una proprieta' locale. La dimensione dello spazio tangente da' un'ostruzione all'immergibilita' di una varieta'; esempio: l'unione dei 3 assi in A3 non e' isomorfa ad una curva piana.
Anelli locali regolari. Teorema: se X e' una varieta' q.p., la dimensione dello spazio tangente in un punto e' sempre almeno la dimensione di X (solo enunciato). Definizione di punto non-singolare di una varieta' q.p. come punto in cui l'anello locale e' regolare. Definizione di punto non-singolare nel caso riducibile come punto che appartiene ad un'unica componente, ed e' non-singolare per quella componente. Caso di un chiuso affine irriducibile: non-singolarita' in termini del rango jacobiano. Caso di un chiuso affine riducibile: dimensione locale in un punto; relazione tra dimensione locale in un punto, dimensione dello spazio tangente, e non-singolarita' (senza dimostrazione). Esempio: il caso di un'ipersuperficie affine. La non-singolarita' di un punto e' una proprieta' locale.
La dimensione dello spazio tangente di un chiuso affine e' semicontinua superiormente. Teorema: l'insieme dei punti non-singolari di un insieme q.p. e' un aperto denso; dimostrazione nel caso irriducibile.Esercizi: (1) Dato Y chiuso di una varieta' q.p., e p un punto di Y, mostrare che lo spazio tangente di Zariski di Y in p e' un sottospazio vettoriale dello spazio tangente di Zariski di X in p. (2) Dato X chiuso affine e p un punto di X, sia Y l'unione delle componenti irriducibili di X contenenti p. Mostrare che TpY=TpX. Esercizi da Hartshorne: I.5.1, I.5.2, I.5.11, I.5.12.
6 maggio - 12 maggio
7/5, 12:30-14:30 Teorema: l'insieme dei punti non-singolari di un insieme q.p. e' un aperto denso; dimostrazione nel caso riducibile.
Se X e' una varieta' q.p. complessa di dimensione n, l'aperto dei punti nonsingolari ha una struttura naturale di varieta' complessa di dimensione n.
Spazio tangente proiettivo a un chiuso proiettivo X in un punto, come chiusura proiettiva dello spazio tangente affine. Equazioni dello spazio tangente proiettivo in termini dei generatori dell'ideale di X (dimostrazione solo per un'ipersuperficie). Punti singolari di ipersuperfici proiettive.
Il proiettivizzato PN dello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d. Il luogo delle classi dei polinomi riducibili e' un chiuso proiettivo. Le ipersuperfici irriducibili di grado d in Pn sono parametrizzate da un aperto di PN, non vuoto se n>1. Terminologia "ipersuperficie generale".Esercizi: (1) Dare un esempio di ipersuperficie proiettiva nonsingolare di grado d in Pn, per ogni d>0 e n>0.
(2) (char k diversa da 2) Sia Q una quadrica in Pn e f la forma bilineare simmetrica su kn+1 associata a Q. Mostrare che Sing(Q)=P(ker f).
(3) Sia Z in P5 l'ipersuperficie delle coniche riducibili. Mostrare che Sing(Z)=S superficie di veronese delle rette doppie. Data inoltre [C] punto non singolare di Z, mostrare che lo spazio tangente proiettivo a Z in [C] e' l'iperpiano delle coniche passanti per p, dove p e' il punto singolare di C.
(4) Sia X un'ipersuperficie in Pn di grado d>1. Supponiamo che char k sia zero o non divida d. Supponiamo che X contenga un sottospazio lineare L di dimensione almeno n/2. Mostrare che X e' singolare.
(5) Mostrare che il luogo dei polinomi non ridotti in PN e' un chiuso.Prossima lezione: discussione degli esercizi assegnati.
13 maggio - 19 maggio
14/5, 12:30-14:30 Discussione di alcuni esercizi assegnati nelle lezioni precedenti.
L'insieme delle ipersuperfici nonsingolari di grado d in Pn forma un aperto di PN.
Dato un punto p su una varieta' q.p. di dimensione n, esistono un suo intorno aperto U e delle funzioni regolari f1,...,fn su U tali che V(f1,...,fn)={p} in U.
Data una varieta' q.p. di dimensione n e delle funzioni regolari f1,...,fr, se V(f1,...,fr) e' non vuoto, ogni sua componente irriducibile ha dimensione almeno n-r (senza dimostrazione; mostrato per lo spazio affine all'inizio del corso).
Dato un morfismo suriettivo f:X->Y tra varieta' q.p., con dim(X)=n e dim(Y)=m, allora n e' maggiore o uguale a m, ogni componente irriducibile di ogni fibra ha dimensione almeno n-m, e la fibra generale di f ha dimensione pura n-m: prima parte della dimostrazione.Esercizio: dare un esempio di ipersuperficie di grado d in Pn avente esattamente un punto singolare, per ogni n>1 e d>1.
16/5, 16:30-18:30 Dimensione delle fibre di un morfismo: seconda parte della dimostrazione. Semicontinuita' superiore della dimensione delle fibre di un morfismo (solo enunciato). Dato un morfismo suriettivo da un insieme algebrico proiettivo X a una varieta' proiettiva irriducibile Y, se tutte le fibre sono irriducibili di dimensione r, allora X e' irriducibile di dimensione dim(Y)+r. Esempi.
Applicazione allo studio delle ipersuperfici singolari. L'insieme delle ipersuperfici singolari di grado fissato in Pn forma un'ipersuperficie irriducibile in PN; discriminante; esempio: caso d=2. La dimensione del luogo singolare di un'ipersuperficie e' semicontinua superiormente.17/5, 14:30-16:30 La grassmanniana e' irriducibile e non singolare. Studio delle rette su superfici di P3 tramite il diagramma di incidenza. Se d>3, la superficie generale di grado d in P3 non contiene rette. Casi d=1 e d=2. Per d=3, esempio di una superficie cubica che contiene un numero finito di rette. Ogni superficie cubica di P3 contiene rette, e la generale ne contiene un numero finito.
Esercizi: (1) Mostrare che la superficie xyz=1 in A3 non contiene rette. (2) Per ogni n trovare d(n) tale che se d>d(n), l'ipersuperficie generale di grado d in Pn non contenga rette (anche senza dimostrare tutti i dettagli). Dal libro di Shafarevich: Cap. 1, sez. 6, esercizi 12 e 13.
20 maggio - 26 maggio
21/5, 12:30-14:30 (si veda Shafarevich, cap. 2, sez. 3) Equazioni locali per un chiuso Y in un punto x di X. Ideale locale di un chiuso in un punto. Se X e' affine, l'ideale locale di Y in x e' generato da I(Y). Se X e' affine e tutte le componenti irriducibili di Y passano per x, I(Y) e' l'intersezione dell'ideale locale con k[X]. Descrizione delle funzioni regolari su un aperto principale di una varieta' affine. Dei germi di funzioni regolari in x sono equazioni locali per Y in x se e solo se generano l'ideale locale di Y in x.
Un anello locale regolare e' un U.F.D. (solo enunciato). L'anello locale di una varieta' in un punto nonsingolare e' un UFD. In un dominio fattoriale, un ideale primo di altezza 1 e' principale. Se Y e' una sottovarieta' irriducibile di codimensione 1, per ogni punto di Y l'ideale locale di Y e' principale. Se X e' nonsingolare e f:X-->Pn e' un'applicazione razionale, allora il chiuso X\dom(f) ha codimensione almeno 2.Esercizio: Mostrare che l'ideale locale di Y in x e' un ideale primo se e solo se Y ha un'unica componente irriducibile contenente x.
23/5, 16:30-18:30 Esempi di applicazioni razionali non definite in coedimensione 1, con dominio singolare o con codominio affine. Se X e' nonsingolare, Y e' proiettiva e f:X-->Y e' un'applicazione razionale, allora il chiuso X\dom(f) ha codimensione almeno 2. Applicazioni alle curve. Due curve proiettive lisce sono isomorfe sse sono birazionali. Controesempio in dimensione 2.
Risoluzione delle singolarita': definizione ed esempi. Enunciato dell'esistenza in caratteristica zero. In ogni classe di equivalenza birazionale di curve esiste ed e' unica una curva proiettiva liscia.
Un campo algebricamente chiuso, di caratteristica zero, non numerabile, e' determinato (a meno di isomorfismo) dalla sua cardinalita' (solo enunciato). Il campo complesso e' l'unico campo algebricamente chiuso, di caratteristica zero, con la cardinalita' del continuo. Commenti sui campi numerabili; se k e' numrabile una varieta' puo' essere unione numerabile di chiusi propri.
Proprieta' topologiche delle varieta' q.p. complesse. Una varieta' proiettiva complessa liscia ha una struttura naturale di varieta' complessa compatta. genere di una curva proiettiva liscia complessa. Punto di vista algebrico versus analitico: principio GAGA. Enunciati: una funzione olomorfa (risp. meromorfa) su una varieta' proiettiva complessa liscia e' costante (risp. razionale); un'applicazione olomorfa (risp. un biolomorfismo) tra varieta' proiettive complesse lisce e' un morfismo (risp. un isomorfismo). Le stesse proprieta' non valgono nel caso quasi-proiettivo non proiettivo. Le varieta' proiettive complesse a meno di iso sono un sottoinsieme delle varieta' complesse compatte a meno di biolomorfismo. In ogni dimensione >1 esistono varieta' complesse compatte non proiettive (i.e. non biolomorfe ad una varieta' proiettiva). In dimensione 1 ogni superficie di Riemann compatta e' proiettiva (solo enunciato).
Esercizi: (1) da Shafarevich Cap. 2 sez. 3 es. 5. (2) Scrivere la risoluzione delle singolarita' della cubica piana nodale.
24/5, 10:30-12:30 (si veda Shafarevich Cap. 2 sez. 2.1, Cap. 3 sez. 5) Parametri locali in un punto nonsingolare. 1-forme differenziali regolari. Differenziale di una funzione razionale valutata in funzioni regolari. Le 1-forme sullo spazio affine sono combinazioni lineari delle dxi con coefficienti polinomiali. L'unica 1-forma su P1 e' la forma nulla. Esempio di una 1-forma non nulla su una curva cubica piana liscia. Se x e' un punto nonsingolare, esiste un intorno affine U di x e n=dim(X) funzioni regolari u1,...,un su U tali che lo spazio delle 1-forme regolari su U sia un modulo libero su O(U) con base du1,...,dun. p-forme differenziali regolari.
Esercizi: da Shafarevich Cap. 2, sez. 2, es. 1 e 2, cap. 3, sez. 5 , es. 1,2,3,5.
Le lezioni di venerdi' 24/5 e venerdi' 31/5 si terranno nell'orario 10:30-12:30 invece che 14:30-16:30, in aula S.
27 maggio - 2 giugno
28/5, 12:30-14:30 Se x e' un punto nonsingolare e u1,...,un sono parametri locali in x, esiste un intorno aperto U di x tale che lo spazio delle 1-forme regolari su U sia un modulo libero su O(U) con base du1,...,dun. Inoltre duI sono una base dello spazio delle r-forme regolari su U, come O(U)-modulo, libero di rango (nr) (solo enunciato). Caso delle n-forme (n=dim X), determinante Jacobiano date due n-uple di parametri locali. Su una varieta' liscia, l'insieme dei punti dove una r-forma e' nulla e' un chiuso. Forme differenziali razionali su varieta' lisce. L'insieme delle r-forme razionali e' uno spazio vettoriale su k(X), di dimensione (nr). Esempio: 1-forme razionali su P1. Se X e' una varieta' q.p. complessa liscia, le forme regolari (risp. razionali) sono forme olomorfe (risp. meromorfe).
Se X e' una varieta' q.p. liscia e f una funzione razionale su X, il chiuso dove f non e' regolare ha codimensione pura 1.
Se X e' una varieta' q.p. liscia e h una r-forma razionale, regolare al di fuori di un chiuso di codimensione almeno 2, allora h e' regolare su X.Esercizi: da Shafarevich Cap. 3, sez. 5, es. 4 e 6.
30/5, 16:30-18:30 Comportamento delle forme differenziali per morfismi: pull-back di una forma regolare tramite un morfismo, pull-back di una forma razionale tramite un'applicazione razionale dominante. Se f:X-->Y e' un'applicazione razionale dominante tra varieta' lisce, con Y proiettiva, il pull-back di una forma regolare e' regolare. Gli spazi delle r-forme regolari sono invarianti birazionali per varieta' lisce proiettive.
Se X e' proiettiva liscia, lo spazio vettoriale delle r-forme regolari ha dimensione finita (no dim.) Digressione sui numeri di Betti di una varieta' proiettiva complessa liscia e sulle loro proprieta'. Genere di una curva proiettiva liscia come dimensione dello spazio delle 1-forme regolari; il genere coincide col genere topologico nel caso complesso (no dim.) Digressione sulle classi di isomorfismo di curve proiettive lisce di genere g; casi g=0, g=1, g>1.Varieta' razionali; esempi. Una quadrica di rango massimo e' razionale. Digressione sulla razionalita' di ipersuperfici: dimensioni 1,2,3; cubic 4-fold.
31/5, 10:30-12:30 Divisori su una varieta' liscia. Ordine di una funzione razionale lungo un divisore primo. Divisore di una funzione razionale. Omomorfismo tra il gruppo moltiplicativo del campo k(X) e Div(X); divisori principali. Il divisore di una funzione e' effettivo sse la funzione e' regolare. Il divisore di una funzione e' nullo sse la funzione e' regolare e mai nulla. Su una varieta' proiettiva div(f) determina f a meno di costante moltiplicativa. Ogni divisore su An e' principale. Grado di un divisore su Pn. Un divisore su Pn e' principale sse ha grado zero. Equivalenza lineare di divisori e gruppo di Picard Pic(X). Il gruppo di Picard di Pn e' isomorfo a Z. Ogni divisore e' localmente principale; descrizione di un divisore tramite equazioni locali su un ricoprimento aperto. Divisore canonico associato a una n-forma razionale. Due divisori canonici sono sempre linearmente equivalenti; classe canonica. La classe canonica di Pn ha grado -n-1. L'unica n-forma regolare su Pn e' la forma nulla.
Esercizi: da Shafarevich Cap. 3, sez. 1, es. 1, 2, 5.
3 giugno - 9 giugno
4/6, 12:30 - 14:30 Discussione degli esercizi assegnati nelle ultime lezioni. Revisione di quanto visto nel corso e panoramica sugli argomenti successivi.