Weekly outline

  • Geometria Superiore

    a.a. 2022-2023


    Docenti:

    Cinzia Casagrande (cinzia.casagrande@unito.it)

    Federica Galluzzi (federica.galluzzi@unito.it)

    Pagina campusnet del corso qui

    Il programma del corso da 6CFU comprende gli argomenti svolti nella prima parte (F.Galluzzi) e metà degli argomenti svolti nella seconda parte (C.Casagrande).

    Referenze:

    Geometria Differenziale
    Marco Abate, Francesca Tovena
    Springer
    ISBN:978-88-470-1919-5
    Url:https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1920-1

    Per la prima parte del corso :

    Complex Geometry - An Introduction
    Daniel Huybrechts
    Springer
    ISBN: 9783540212904
    Url: https://www.springer.com/gp/book/9783540212904

    Altro materiale sarà reso disponibile in piattaforma.

    Per la seconda parte del corso:
    Algebraic curves and Riemann surfaces
    Rick Miranda
    American Mathematical Society, 1995

  • Settimana 1

    Giovedì 23 febbraio 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 16.30-18.30


    Presentazione del corso. Campi vettoriali conservativi: condizioni necessari e/o sufficienti.
    1- forme differenziali su  Rn . Differenziale.   1- forme chiuse, 1-forme esatte.
    k-forme differenziali  su Rn   . Differenziale.  Forme chiuse, forme esatte.
    Coomologia di de Rham in Rn     

    • 27 February - 5 March

      In questa settimana NON ci sarà lezione

      • Settimana 2

        Lunedì 6 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 14.30-16.30

         Forme differenziali su varietà differenziali. Differenziale. Prodotto esterno. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer - Vietoris coomologica. Esattezza.

        Mercoledì 8 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 12.30-14.30

        Coomologia di un complesso (di cocatene). Successione esatta lunga in coomologia associata a una successione esatta corta di complessi. 


        Giovedì 9 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 16.30-18.30


        Completamento dimostrazione dell'esistenza di una successione esatta lunga in coomologia associata a una successione esatta corta. I gruppi di coomologia di de Rham di una varietà con buon ricoprimento finito sono finito-dimensionali. Teorema di invarianza omotopica per la coomologia (cenni di dimostrazione)

      • Settimana 3

        Lunedì 13 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 14.30-16.30

        Conseguenze del Teorema di invarianza omotopica: Lemma di Poincaré. Coomologia di de Rham del punto e del disco.

        Gruppi di coomologia delle sfere. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).


        Mercoledì 15 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 12.30-14.30

        Gruppi di coomologia degli spazi proiettivi reale e complesso. Campi vettoriali sulle sfere : non esistono campi vettoriali mai nulli sulle sfere di dimensione pari.


        Giovedì 16 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 16.30-18.30

        Mappe omotope su varietà differenziabili inducono stessa mappa in coomologia. Richiami sull'integrazione di forme su varietà. Varietà con bordo. Teorema di Stokes (Cenni di dimostrazione). Conseguenze. Introduzione alla dualità di Poincarè.



      • 20 March - 26 March

        Lunedì 20 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 14.30-16.30

        Coomologia a supporto compatto. Lemma di di Poincarè per la coomologia a supporto compatto (dimostrazione solo per R). Teorema di dualità di Poincarè. Dimostrazione completa nel caso di varietà di tipo finito.

        Mercoledì 22 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 12.30-14.30

        L'integrale di una forma volume su una varietà è positivo. Conseguenze della dualità di Poincarè sulla coomologia di dimensione n per varietà orientabili connesse di dimensione n.
        Definizione di grado di una mappa differenziabile tra varietà orientabili della stessa dimensione (Bott-Tu ).  
        Coomologia di de Rham del toro puntato. Calcolo della coomologia di de Rham delle superfici compatte orientabili : inizio dimostrazione.


        Giovedì 23 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 16.30-18.30

         Calcolo della coomologia di de Rham delle superfici compatte orientabili: fine dimostrazione.




      • 27 March - 2 April

        Lunedì 27 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 14.30-16.30

         

        Richiami sulle funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Principio del massimo. Formula integrale di Cauchy. Teorema dei residui. Zeri e Poli. Funzioni meromorfe. Le funzioni olomorfe e meromorfe su P1(C).


        Mercoledì 29 marzo 2023 (F.Galluzzi)  Aula Lagrange 12.30-14.30

        Varietà analitiche. Esempi. Definizione di superficie di Riemann. Curve affini non singolari. Curve proiettive non singolari.

        (Oss. L'insieme degli zeri di una funzione olomorfa definita su C2  

        è un sottospazio di C quindi è a base numerabile e di Hausdorff).

        Giovedì 30 marzo 2023 CC1  Aula Lagrange 16.30-18.30

        Discussione della lezione largangiana di Claudio Arezzo.
        Introduzione alla seconda parte del corso. Prefasci di gruppi, esempi. Assioma di fascio. Esempi. Morfismi di (pre)fasci. Esempi.
        Esercizi: Da Miranda p. 277 es. D, G, p.289 es. A, E. 1) Dato un morfismo di (pre)fasci f: F->G, mostrare che f è isomorfismo di (pre)fasci sse f_U: F(U)->G(U) è isomorfismo di gruppi per ogni aperto U di X.

      • 3 April - 9 April

        3/4/23, h 14:30-16:30, CC2
        Spiga di un (pre)fascio in un punto, germi. Fascio associato a un prefascio: proprietà universale e descrizione delle sezioni. Fascio nucleo e fascio immagine. Esempi.
        Esercizi: 1) da Miranda es. H p. 277. 2) Dato un prefascio F, verificare che il morfismo j è isomorfismo sse F è un fascio. 3) Definire la categoria A degli aperti di uno spazio topologico X, e mostrare che dare un prefascio di gruppi su X è equivalente a dare un funtore controvariante dalla categoria A nella categoria dei gruppi che porti il vuoto nel gruppo banale.

        5/4/23, h 12:30-14:30, CC3
        Esattezza per morfismi di fasci, iniettività e suriettività. L'esattezza è equivalente all'esattezza sulle spighe. Esempi: complesso di de Rham di una varietà differenziabile, a livello di fasci; successione esponenziale per una varietà complessa. Data una successione esatta di fasci, la successione delle sezioni globali è un complesso, ma non è necessariamente esatta.
        Introduzione alla coomologia di fasci. Cocatene di Cech relative a un ricoprimento aperto.
        Esercizi: 1) dimostrare la caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni; 2) dimostrare che se una successione di fasci è esatta, allora è anche esatta sulle spighe.

        • 10 April - 16 April

          12/4/23, h 12:30-14:30, CC4
          Coomologia di Cech relativa a un ricoprimento aperto. Esempi. Richiami su insiemi diretti, sistemi diretti e limite diretto, esempio: la spiga di un fascio in un punto. Omomorfismi di raffinamento.
          Esercizi: 1) verificare che la formula del cobordo vale anche per indici non ordinati. 2) Calcolare i gruppi di coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente ai due ricoprimenti aperti: a) S^2\{p},S^2\{q} (due aperti); b) quattro aperti dati da intorni delle 4 facce del tetraedro. 3) Verificare la costruzione dell'omomorfismo in coomologia dato da un morfismo di fasci, la funtorialità, e il caso dell'H^0. 4) Verificare che gli omomorfismi tilde{r} definiti tramite la funzione di raffimento r definiscono un morfismo di complessi. 

          13/4/23, h 16:30-18:30, CC5
          Coomologia di Cech. Proprietà dell'H^1. Successione esatta lunga in coomologia, dimostrazione della prima parte.
          E
          sercizi: 1) nell'esercizio assegnato sul calcolo della coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente a due ricoprimenti aperti di cui il secondo è un raffinamento del primo, scrivere una funzione di raffinamento e gli omomorfismi indotti sulle cocatene e in coomologia. 2) Mostrare che gli omomorfismi di raffinamento sugli H^0 rispettano gli isomorfismi con i gruppi delle sezioni globali. 3) Completare la dimostrazione della prima parte della successione esatta lunga in coomologia.

          Venerdì 14/4, h 16:30 - 18:30, lezione di recupero in aula 4

          14/4/23, h 16:30-18:30, CC6
          Successione esatta lunga in coomologia (solo enunciato).
          I fasci delle p-forme su una varietà differenziabile sono aciclici. I fasci grattacielo hanno H^1 nullo.
          Se F è un fascio tale che F_{|U} è aciclico in U per ogni aperto U di un ricrpimento aperto A, allora H^1(A,F)=H^1(X,F). Criterio generale perché un ricprimento aperto calcoli la coomologia di Cech (solo enunciato).
          Risoluzioni, risoluzioni acicliche, teorema astratto di de Rham. Applicazione: la coomologia di de Rham di una varietà differenziabile è isomorfa alla coomologia del fascio delle funzioni reali localmente costanti.

          Lunedì 17/4: discussione degli esercizi assegnati finora



          • 17 April - 23 April

            Lunedì 17/4: lezione in aula S invece che Lagrange; discussione degli esercizi assegnati finora

            17/4/23, h 14:30-16:30, CC7
            Discussione degli esercizi assegnati finora.
            Commenti sulla coomologia di de Rham delle varietà compatte / compatte e orientabili; numeri di Betti.

            19/4/23, h 12:30-14:30, CC8
            Relazione tra coomologia dei fasci costanti e coomologia singolare; relazione con coomologia di de Rham.
            Richiami su strutture complesse e varietà complesse. Esempi: la sfera di Riemann/la retta proiettiva complessa. Tori complessi. Richiami sull'ordine di una funzione olomorfa in un punto.

            Esercizi: 1) data una 1-forma chiusa su una varietà differenziabile, determinare un 1-cociclo di Cech, relativo al fascio delle funzioni localmente costanti, che rappresenta la sua classe in coomologia. 2) Siano H il semipiano superiore e D il disco unitario nel piano complesso. Verficiare che f:H->D data da f(z)=(z-i)/(z+i) è ben definita ed è biolomorfismo. 3) Mostrare che un reticolo in C^n è un sottoinsieme discreto. 4) Per n=1 scrivere un esempio (disegno) di cambiamento di coordinate di un toro complesso con dominio non connesso, in cui il cambiamento di coordinate sia dato da traslazioni diverse sulle componenti connesse. 5) Verificare che le funzioni olomorfe su una superficie di Riemann formano un fascio di C-algebre.

            Da questa settimana la lezione del giovedì è spostata all'orario 12:30-14:30 in aula S

            20/4/23, h 12:30-14:30, CC9
            Proprietà delle funzioni olomorfe su superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann, proprietà, ordine. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali. Varietà proiettive complesse, cenni sul teorema di Chow.

            Esercizi: 1) mostrare che il tipo di singolarità isolata per una funzione su una superficie di Riemann si può vedere componendo con una carta locale. 2) Verificare che l'ordine di una funzione meromorfa in un punto del piano complesso è invariante per biolomorfismo locale; che se m è l'ordine, localmente f(z)0(z-z_0)^m g(z) con g olomorfa e non nulla; determinare l'ordine del prodotto e della somma di due funzioni meromorfe in un punto. 4) Mostrare che tutte e sole le funzioni meromorfe sulla retta proiettiva complessa sono date da quozienti di polinomi omogenei dello stesso grado, nelle coordinate omogenee. 5) Sia X una curva algebrica piana proiettiva complessa, non singolare. Dati due polinomi F,G omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di P^2, con G non identicamente nullo su X, mostrare che F/G definisce una funzione meromorfa su X.
            Esercizi dal Miranda: G p. 13, C p. 30, A p. 38.


            • 24 April - 30 April

              Lunedì 24 aprile non ci sarà lezione di Geometria Superiore.

              26/4/23, h 12:30-14:30, CC10
              Mappe tra superfici di Riemann. Biezione tra funzioni meromorfe e mappe olomorfe nella sfera di Riemann. Forma normale locale per una mappa tra superfici di Riemann, molteplicità. Punti di ramificazione e diramazione. Grado di una mappa non costante tra superfici di Riemann compatte.

              Esercizi: 1) Dimostrare il principio di identità e il teorema della mappa aperta per mappe olomorfe tra superfici di Riemann. 2) Verificare che la mappa naturale dalla sfera di Riemann alla retta proiettiva complessa è un biolomorfismo. 3) Completare la verifica che la funzione associata a una mappa olomorfa da X nella sfera di Riemann è meromorfa. Mostrare che ogni funzione meromorfa non costante su una superficie di Riemann compatta ha almeno uno zero e almeno un polo.

              27/4/23, h 12:30-14:30, CC11
              Applicazioni del teorema del grado. Su una superficie di Riemann compatta X, la somma sui punti di X degli ordini di una funzione meromorfa è zero. Formula di Hurwitz. Applicazioni. Formula del genere per una curva algebrica proiettiva piana non singolare (inizio).

              Esercizi da Miranda: p. 43 es. A, C, D, E, F, G, H, I, K; p. 53 es. A, C, E, F, G, H, I, J, K.

              • 1 May - 7 May

                3/5/23, h 12:30-14:30, CC12
                Fine della dimostrazione della formula del genere. Mappe tra tori complessi e classi di isomorfismo di tori complessi.

                Esercizi: da Miranda p. 65, es. A e J.

                Giovedì 4/5: discussione degli esercizi assegnati finora - Ultima lezione per il corso da 6 CFU

                4/5/23, h 12:30-14:30, CC13
                Breve discussione di alcuni argomenti visti a lezione.
                C
                lassi di isomorfismo di tori complessi. Superfici di Riemann iperellittiche: costruzione esplicita tramite incollamento; ogni superficie di Riemann compatta avente una mappa di grado 2 su P^1 è iperellittica.

                Esercizi: da Miranda p. 65, es. F e I.


                • 8 May - 14 May

                  Lunedì 8/5: lezione in aula S invece che Lagrange

                  8/5/23, h 14:30-16:30, CC14
                  Divisori su superfici di Riemann, grado, divisori principali, equivalenza lineare, gruppo di Picard.Il gruppo di Picard della retta proiettiva complessa. Pullback di divisori. Fasci associati a un divisore.

                  Esercizi: da Miranda p. 137 es. A, D, E, p. 145 es. B, C. Mostrare che O(D)(U) è un O(U)-sottomodulo di M(U), e che O(D) è un sottofascio del fascio delle funzioni meromorfe.

                  10/5/23, h 12:30-14:30, CC15
                  Descrizione delle sezioni globali del fascio O(D) sulla sfera di Riemann. Se D e E sono linearmente equivalenti, i fasci O(D) e O(E) sono isomorfi. Successione esatta corta di fasci data da un divisore e da un punto, analisi della successione esatta lunga associata. Stima su h^0(O(D)). Teorema di Riemann-Roch in forma debole.

                  Esercizi: da Miranda es. C p. 152, es. G, H, I p. 153. Sia F: X->P^1 olomorfa non costante; mostrare che i divisori F^*(q) sono tutti linearmente equivalenti, al variare di q in P^1.

                  11/5/23, h 12:30-14:30, CC16
                  Dimostrazione di Riemann-Roch.Applicazioni.
                  Fibrati vettoriali complessi C^{infty} e olomorfi. Cocicli di fibrati lineari olomorfi e primo gruppo di coomologia del fascio delle funzioni olomorfe mai nulle. Ogni divisore su una superficie di Riemann è localmente principale; equazioni locali e cociclo associato a un divisore. Isomorfismo tra gruppo di Picard di una superficie di Riemann compatta e H^1(X,O^*). Esempio: cociclo associato a D=dp su P^1.

                  Esercizio: scrivere il cociclo del fibrato tautologico di P^1 e dedurre che il fibrato tautologico ha grado -1.

                  • 15 May - 21 May

                    Lunedì 15 maggio non ci sarà lezione di Geometria Superiore.

                    17/5/23, h 12:30-14:30, CC17
                    Il fibrato tautologico sulla retta proiettiva complessa ha grado -1. Successione esponenziale e gruppo di Picard; il nucleo del grado per una superficie di Riemann compatta è un toro complesso. Fibrato tangente complessificato e decomposizione in somma diretta dei fibrati tangenti olomorfo e antiolomorfo; descrizione in coordinate locali.

                    Esercizio: calcolare il grado del fibrato tangente olomorfo sulla retta proiettiva complessa. 1) Verificare che lega la derivata di f rispetto a z è il coniugato della derivata del coniugato di f rispetto a \bar{z}. 2) Verificare le formule delle derivate delle z_i e \bar{z}_i rispetto a z_j o a \bar{z}_j.

                    18/5/23, h 12:30-14:30, CC18
                    Il fibrato tangente olomorfo sulla retta proiettiva complessa ha grado 2. 1-forme olomorfe e meromorfe su superfici di Riemann. Divisori canonici. Pullback di divisori e di 1-forme. Divisore associato al pullback di una 1-forma.

                    Esercizi: da Miranda es. A, B, C, D, E, G, I p. 111/112, es. H, I p. 117/118. 1) Verificare che dz, d\bar{z} è la base duale della base delle derivate rispetto a z e \bar{z}. 2) Verificare la formula del cambiamento di coordinate per una 1-forma olomorfa. 3) Verificare che, se f è una funzione olomorfa, df è ben definito e coincide con l'usuale differenziale. 4) Verificare che il pullback di una 1-forma olomorfa è ben definito e coincide con il pullback usuale.

                    • 22 May - 28 May

                      22/5/23, h 14:30-16:30, CC19
                      Grado del divisore canonico. Il cociclo associato al divisore canonico è quello del fibrato cotangente olomorfo. Isomorfismo tra fascio delle 1-forme olomorfe e O(K). Dualità di Serre (solo enunciato). Applicazioni: formula di Riemann-Roch. Uguaglianza dei tre generi. Una superficie di Riemann compatta di genere zero è biolomorfa alla sfera di Riemann. Mappe nello spazio proiettivo date da funzioni meromorfe. Mappa associata a un divisore. Punti base.

                      Esercizi da Miranda: C p. 137, D p. 145, A p. 166.

                      Mercoledì 24/5: discussione degli esercizi assegnati finora

                      24/5/23, h 12:30-14:30, CC20
                      Discussione degli esercizi. Punti base. Criteri per iniettività.

                      Esercizi: 1) data X superficie di Riemann compatta, scrivere la successione esatta lunga in coomologia associata alla successione esatta corta di fasci data dal differenziale dal fascio delle funzioni olomorfe al fascio delle 1-formew olomorfe, e verficiare che le dimensioni sono coerenti. 2) Mostrare che H^0(O(D)) è non nullo sse D è linearmente equivalente a un divisore effettivo. 3) Mostrare sono equivalenti: (i) D è principale; (ii) deg D=0 e h^0(O(D))=1; (iii) deg D=0 e H^0(O(D)) è non nullo. 

                      25/5/23, h 12:30-14:30, CC201
                      Criteri per embedding. Ogni superficie di Riemann compatta è isomorfa a una sottovarietà proiettiva.Una superficie di Riemann compatta di genere 1 è biolomorfa a una cubica piana. Su una superficie di Riemann di genere >0, il divisore canonico è senza punti base. Ogni superficie di Riemann di genere 2 è iperellittica, tramite la mappa canonica. Se g>2, la mappa canonica è un embedding sse la superficie di Riemann non è iperellittica.

                      Esercizi: da Miranda p. 193 es. C, D, G, H, I, J; p. 202 es. A.

                      • 29 May - 4 June

                        Lunedì 29/5: non ci sarà lezione di Geometria Superiore

                        Martedì 30/5 lezione di recupero h 12:30-14:30 aula Lagrange

                        30/5/23, h 12:30-14:30, CC22
                        Forme differenziali complesse, forme di tipo (p,q). Operatori di derivazione e loro proprietà. Forme olomorfe. Coomologia di Dolbeault.

                        31/5/23, h 12:30-14:30, CC23
                        Lemma di Dolbeault (solo enunciato). Teorema di Dolbeault: i gruppi di coomologia di Dolbeault sono isomorfi ai gruppi di coomologia dei fasci delle forme olomorfe. Descrizione della decomposizione di Hodge per varietà complesse proiettive; proprietà dei numeri di Hodge. Cenni sulla dimostrazione del lemma di Dolbeault in dimensione 1.

                        Esercizi: 1) Sia X  una superficie di Riemann. Esplicitare l'isomorfismo tra il primo gruppo di coomologia di Cech del fascio delle funzioni olomorfe, e il corrispondente gruppo di coomologia di Dolbeault. 2) Sia X una superficie di Riemann compatta e sia f l'applicazione dallo spazio vettoriale delle 1--forme olomorfe su X nel primo gruppo di coomologia di de Rham complessa H^1(X,C), che manda omega nella classe di omega. Mostrare che f è ben definita, iniettiva, e che ha immagine il sottospazio H^{1,0}. Dedurre che per ogni x in H^1(X,C) esistono e sono uniche due 1-forme olomorfe omega, eta su X tali che x sia la classe di omega + il coniugato di eta.

                        Giovedì 1/6: discussione degli esercizi assegnati finora - ultima lezione

                        1/6/23, h 12:30-14:30, CC24
                        Discussione degli esercizi.