Attività settimanale



  • GEOMETRIA 3

    anno accademico 2020/21



    DOCENTE: Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    INFORMAZIONI GENERALI

    Il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione) e si svolge nel SECONDO semestre

    ORARIO

    • MAR 8:30 - 10:30
    • GIO 10:30 - 12:30


    LEZIONI

    Le lezioni verranno tutte svolte in modalità online sincrona, cioè verranno trasmesse in streaming su Webex nell'orario previsto. Durante la lezione sarà possibile intervenire con domande, commenti, richieste di spiegazioni, ... sia usando la chat di Webex che a voce. Le registrazioni delle lezioni saranno in generale disponibili dal giorno successivo alla lezione.

    Il link per seguire le lezioni è

    https://unito.webex.com/meet/alberto.albano

    (sempre lo stesso per tutte le lezioni). Non occorre password né login di alcun tipo.

    I link alle registrazioni saranno pubblicati qui sotto, nei giorni corrispondenti alle lezioni.


    ESAMI

    Il prossimo appello sarà:

    1. Settembre 2021:
      • Scritto: mercoledì 8 settembre, ore 14, Aula A
      • Orale: lunedì 13 settembre, ore 9, Aula 2

    MODALITA' ESAMI

    L'appello della sessione autunnale (settembre 2021) si svolgerà con le seguenti modalità:

    • Scritto: PRESENZA
    • Orale: PRESENZA

    SCRITTO: lo scritto si svolgerà in presenza. Per richiedere lo scritto a distanza, al momento della prenotazione sul sistema ESSE3 occorre scrivere nel campo NOTE una sola delle seguenti tre motivazioni:

    • FRAGILITÀ
    • QUARANTENA
    • FUORI REGIONE

    Secondo le indicazioni del Consiglio di Dipartimento di Matematica, per ora non sono richiesti certificati o autocertificazioni. Dichiarazioni false sono comunque violazioni del Codice Etico della Comunità Universitaria, in particolare degli articoli 3 e 8 e possono portare a provvedimenti amministrativi sulla carriera universitaria, quando non si configurino responsabilità penali.

    Si ricorda che l'Università potrà fare verifiche sulla veridicità delle dichiarazioni effettuate.


    La prova a distanza verrà effettuata nello stesso orario della prova scritta in presenza, usando Webex e la piattaforma esami per Moodle. Gli studenti regolarmente iscritti all'esame su ESSE3 e che avranno chiesto la prova a distanza riceveranno, alcuni giorni prima dell'esame, il link alla riunione Webex a cui collegarsi durante lo svolgimento della prova. All'inizio della prova, verrà dato il link alla pagina Moodle e la password per iscriversi alla prova. Si potrà poi scaricare da Moodle il file PDF con il testo della prova.

    Lo scritto consiste in 3/4 esercizi. Per la prova a distanza, gli esercizi dovranno essere svolti su fogli che verranno poi fotografati e caricati su Moodle. Per le fotografie si consiglia (fortemente!) l'uso di una app sul proprio cellulare in grado di produrre un unico file PDF. Questo file verrà poi caricato sulla pagina Moodle dell'esame.

    Al termine della prova, seguite i passi seguenti per creare il file da consegnare:

    Metodo 1

    • fotografate i fogli
    • trasferite le foto sul computer
    • incollate le foto nelle pagine di un file di word (o simile)
    • salvate il file come PDF (questo passo è essenziale)
    • IMPORTANTE: l'estensione del file deve essere .pdf (MINUSCOLO)
    oppure

    Metodo 2

    • scansionate i fogli con una app del vostro cellulare che produca un UNICO file PDF
    • IMPORTANTE: l'estensione del file deve essere .pdf (MINUSCOLO)
    • trasferite il file sul computer

    Moodle accetterà solo file PDF per la consegna. Se non siete sicuri, provate prima dell'esame a fare tutta la procedura: fotografate un paio di fogli bianchi e caricate il file qui sotto nella sezione "PROVA UPLOAD DI FILE". L'upload dell'esame sarà identico a questo.


    ORALE: l'orale si svolgerà in presenza. Si potrà richiedere l'orale a distanza all'inizio della prova scritta. Le ragioni per chiedere l'orale a distanza sono le stesse dello scritto e cioè

    • FRAGILITÀ
    • QUARANTENA
    • FUORI REGIONE

    Secondo le indicazioni del Consiglio di Dipartimento di Matematica, per ora non sono richiesti certificati o autocertificazioni. Dichiarazioni false sono comunque violazioni del Codice Etico della Comunità Universitaria, in particolare degli articoli 3 e 8 e possono portare a provvedimenti amministrativi sulla carriera universitaria, quando non si configurino responsabilità penali.

    Si ricorda che l'Università potrà fare verifiche sulla veridicità delle dichiarazioni effettuate.


    Dopo la correzione della prova scritta verrà fatto il calendario delle prove orali, che sarà pubblicato in questa pagina. Le prove orali inizieranno il giorno dell'appello e proseguiranno nei giorni seguenti.

    Saranno possibili SCAMBI ALLA PARI. Due persone che si vogliono scambiare devono mandare ENTRAMBI una mail a me (Alberto Albano) indicando il nome della persona con cui vogliono fare lo scambio. I termini per chiedere lo scambio sono 2 giorni prima dell'inizio delle prove orali e cioè:

    • orale di lunedì 13 settembre 2021: scambi entro sabato 11 settembre 2021

    Sono possibili anche scambi a tre, quattro, ... con le stesse regole: TUTTI devono mandarmi una mail indicando con precisione lo scambio richiesto.

    Al termine del periodo previsto, verrà pubblicato il nuovo calendario definitivo e non saranno possibili ulteriori modifiche.

    ATTENZIONE: non è possibile scambiarsi fra persone in calendario in presenza e persone in calendario a distanza.


    RICEVIMENTO DOCENTI

    Tutti i martedì dalle 15:30 alle 16:30 fino al 25 maggio 2021.

    Dopo il 25 maggio, mandare una email per un appuntamento.

    Il link è lo stesso di quello delle lezioni

    https://unito.webex.com/meet/alberto.albano

    Il giorno martedì 6 aprile 2021 non ci sarà ricevimento (vacanze di Pasqua)



    ARGOMENTI

    1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. Significato geometrico di curvatura e torsione in termini di comportamento locale della curva; piano osculatore e circonferenza osculatrice.
    2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio: Superfici regolari in \(\mathbf{R}^3\). Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Integrale di superficie e area. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium.
    3. Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\) e teorema di Stokes: Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto esterno. Campi vettoriali. Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\). Pull-back, prodotto esterno e differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. Relazione con gli integrali curvilinei. Integrale di una 2-forma su una superficie. Il teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici. Interpretazione in termini di campi vettoriali: rotore, divergenza, flusso, teorema del rotore.


    TESTI CONSIGLIATI


    Per le parti 1. e 2. (curve e superfici)

    M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (2^ edizione Dover)

    M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 4, scaricabile liberamente nella sezione "Teaching"

    G. Occhetta, Geometria Differenziale si possono scaricare sia la dispensa che fogli di esercizi

    I primi due libri contengono anche molti esercizi, le note di Hitchin no. All'indirizzo seguente potete trovare dei fogli di errata del libro Abate-Tovena, diversi se avete la prima o la seconda edizione

    Errata per Abate-Tovena


    Per la parte 3 (forme differenziali)

    A. Albano, Forme differenziali, disponibile nei materiali qui sotto.

    M. do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer

    L. Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, scaricabile gratuitamente

    M. Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley

    T. Tao, Differential Forms and Integration, un articolo di Terence Tao (medaglia Fields 2006) scritto per il Princeton Companion to Mathematics. È un articolo che spiega i vari tipi di integrazione e come nasca il concetto di forma differenziale.


    Per la relazione con i campi vettoriali (forme differenziali)

    V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, volume 2, Maggioli (capitolo X)

    C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli (sez. 6.3)


    Altri materiali sono disponibili qui sotto per il download.

    Sono in preparazione delle dispense che coprono l'intero corso. Verranno rese disponibili appena pronte. Controllare di frequente nell'elenco qui sotto per trovare la versione più aggiornata.



    MATERIALE DEGLI ANNI PRECEDENTI

    Negli anni scorsi sono state effettuate videoregistrazioni di corsi che coprono, in buona parte, gli argomenti di questo corso. Sono disponibili:


    Il corso dello scorso anno è stato svolto interamente a distanza. Non sono state fatte registrazioni, ma per ogni lezione c'è un file di dispense molto dettagliato, con tutte gli argomenti e le dimostrazioni viste a lezione. Probabilmente il testo di queste lezioni verrà rivisto quest'anno e integrato in un testo unico. In ogni caso, le lezioni dell'anno scorso sono disponibili qui:



    PAGINA CAMPUSNET



    MODALITA' D'ESAME

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 2 ore e mezza. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova; è consentito l'uso di calcolatrici di base. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.

    A causa dell'emergenza sanitaria, gli esami si potrebbero tenere in modalità telematica. In tal caso, troverete in questa pagina tutte le istruzioni per sostenere l'esame.


    Attenzione: il programma del corso è nella forma attuale a partire dall'a.a. 15/16, quindi le prove scritte d'esame sullo stesso programma sono a partire da giugno 2016. Le prove d'esame degli anni precedenti contengono comunque esercizi su curve e superfici, ma anche esercizi su parti di programma non comprese più in Geometria 3. Inoltre, le prove d'esame dell'a.a. 15/16 contengono anche domande di teoria, mentre dall'a.a. 16/17 la prova scritta contiene solo esercizi.



    Esercizi consigliati dal libro di Abate - Tovena
    1.1, 1.4, 1.5, 1.7-1.9, 1.13, 1.15, 1.17, 1.18, 1.21-1.27, 1.29, 1.30, 1.32, 1.33, 1.35-1.39, 1.42-1.47, 1.51-1.53, 1.56-1.58, 1.77, 1.79, 1.80, 1.84, 1.85, 1.87, 1.95-1.97
    3.2, 3.4-3.6, 3.8-3.13, 3.15-3.19, 3.21, 3.22, 3.25-3.28, 3.30, 3.31, 3.34, 3.40-3.44, 3.46, 3.49-3.52
    4.1 -4.7, 4.9-4.11, 4.14-4.15, 4.17-4.18, 4.22-4.33, 4.45-4.53, 4.57, 4.77

  • 22 febbraio - 28 febbraio

    Curve nello spazio

    LEZIONE 1 -- martedì 23 febbraio 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 23 febbraio 2021

    Definizione di curva parametrizzata differenziabile (= di classe \(\mathcal{C}^\infty\)) regolare in \(\mathbb{R}^n\). Vettore tangente.

    Esempi: rette, eliche circolari, curve non regolari (ma differenziabili), curve di classe \(\mathcal{C}^k\) per ogni \(k\), curve con lo stesso sostegno ma vettore velocità differente.

    Arcolunghezza. Parametrizzazione per arcolunghezza di una curva regolare. Cambiamento di parametro (cambio di parametrizzazione). Definizione di curva come classe di equivalenza di curve parametrizzate.

    Proprietà geometriche: dipendono solo dalla curva (dalla classe di equivalenza) e non dalla parametrizzazione (dal rappresentante della classe). Esempi: l'arcolunghezza è una proprietà geometrica. La retta tangente a una curva in un punto è una proprietà geometrica: Il vettore tangente non è una proprietà geometrica.

    Osservazione: ogni curva regolare ha un rappresentante parametrizzato per arcolunghezza

    Esercizi per giovedì 4 marzo:

    • Provare a svolgere gli esercizi tratti dal do Carmo presenti nelle dispense, Capitolo 1.6. Sulle dispense gli esercizi sono completamente svolti, quindi la discussione a lezione sarà limitata solo ai punti più difficili.
    • Svolgere gli esercizi sul foglio qui sotto. Potrete risolvere quasi tutti gli esercizi dopo la lezione di giovedì 25 febbraio. Discuteremo in dettaglio questi esercizi nella lezione del 4 marzo.
    • Potete anche provare a svolgere gli esercizi numero 1 nei vecchi compiti d'esame. Se avete domande, ne parliamo il 4 marzo.


    LEZIONE 2 -- giovedì 25 febbraio 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 25 febbraio 2021

    Definizione di curvatura: se \(\alpha(s)\) è una parametrizzazione per arcolunghezza, si definisce \( k(s) = | \alpha''(s) | \)

    Esempi:

    • la curvatura è identicamente nulla se e solo se la curva è (parte di) una retta
    • calcolo della curvatura della circonferenza di raggio \(r\)

    Cambiamento di parametro e curvatura. Orientazione di una curva e cambiamento di parametro che mantiene l'orientazione.

    Curve biregolari. Triedro di Frenet. Piano osculatore. Una curva piana è contenuta nel suo piano osculatore.

    Variazione del vettore binormale e definizione di torsione: \(\mathbf{b}' = -\tau(s) \mathbf{n}\)

    Proprietà: una curva biregolare è piana se e solo se la torsione è identicamente nulla.

    Variazione del vettore normale. Formule di Frenet.

    Espressione della curvatura, torsione e triedro di Frenet rispetto ad un parametro qualunque: risoluzione dell'esercizo 1-5.12 del do Carmo

  • 1 marzo - 7 marzo

    LEZIONE 3 -- martedì 2 marzo 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 2 marzo 2021

    Invarianza di curvatura e torsione per movimenti rigidi dello spazio.

    Comportamento della torsione rispetto ai cambi di orientazione.

    Teorema Fondamentale della teoria locale delle curve: enunciato e dimostrazione.



    LEZIONE 4 -- giovedì 4 marzo 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 4 marzo 2021

    Esercizi sulle curve. Sono stati discussi in classe:

    • Calcolo di curvatura e torsione per circonferenza ed elica, dispense Esempi 5.4, 5.5 nel capitolo 1
    • Esercizio 2, 6, 5 (parte) del foglio di esercizi assegnati il 23 febbraio
    • Esercizio 4 del foglio: breve commento

    Le soluzioni degli esercizi del foglio del 23 febbraio sono disponibili qui sotto.

  • 8 marzo - 14 marzo

    LEZIONE 5 -- martedì 9 marzo 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 9 marzo 2021

    Invarianza geometrica della torsione.


    Due teoremi di teoria globale delle curve:

    Il teorema di Fenchel (1929)

    Il primo teorema di Milnor (1950)


    NOTA PER L'ESAME:

    • la dimostrazione del teorema di Fenchel fa parte del programma d'esame
    • la dimostrazione del teorema di Milnor NON fa parte del programma d'esame. Siete certamente invitati a leggere le dispense oppure la dimostrazione completa nell'articolo di Spivak, ma non è richiesta per l'esame.

    Materiali di lettura

    • Il file con l'articolo di Horn sulla dimostrazione del teorema di Fenchel
    • Il file con l'articolo di Spivak con la dimostrazione del teorema di Milnor
    • FACOLTATIVO: i file con gli articoli originali di Fenchel e Milnor. Questi sono piuttosto difficili da leggere (quello di Fenchel è in tedesco). L'articolo di Milnor è chiaro come tutti gli scritti di Milnor e certamente vale la pena di leggere almeno l'introduzione. Poi è piuttosto difficile perché dimostra in dettaglio i particolari sulla definizione di curvatura totale per i poligoni e come basti dimostrare il teorema per i poligoni, fatti che nelle dispense sono appena accennati. Anche la parte geometrica è più difficile di come scrive Spivak, perché in realtà Milnor dimostra qualcosa di più generale dell'enunciato del teorema.


    LEZIONE 6 -- giovedì 11 marzo 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 11 marzo 2021

    Definizione di superficie regolare. Discussione delle condizioni presenti nella definizione. Parametrizzazioni locali, carte locali. Intorni coordinati.

    Esempio: la sfera \(S^2\) è una superficie regolare. Parametrizzazione come unione di grafici di funzione e mediante le coordinate polari.

    Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 1) Il grafico di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.

    Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 2) La controimmagine di un valore regolare (superficie di livello) di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.

  • 15 marzo - 21 marzo

    LEZIONE 7 -- martedì 16 marzo 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 16 marzo 2021

    Proposizione 3. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 3) Una superficie regolare è localmente il grafico di una funzione differenziabile.

    Proposizione 4. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 4) Sia \(\mathbf{x} : U \to S \subseteq \mathbf{R}^3\) una funzione differenziabile, con il differenziale di rango massimo a valori in una superficie regolare \(S\). Se \(\mathbf{x}\) è iniettiva, allora \(\mathbf{x}^{-1}\) è continua.


    Funzioni differenziabili definite su una superficie: definizione mediante l'espressione in coordinate locali. Cambiamento di coordinate. La definizione non dipende dal sistema di coordinate locali scelto come conseguenza della

    Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-3, Prop. 1) Il cambiamento di coordinate è un diffeomorfismo.

    Esercizi per giovedì 25 marzo:

    • Svolgere gli esercizi tratti dal do Carmo presenti nelle dispense, Capitolo 3.5. Sulle dispense è riportato il testo dgli esercizi e sono completamente svolti, quindi la discussione a lezione sarà limitata solo ai punti più difficili.
    • Svolgere gli esercizi sul foglio qui sotto. Potrete risolvere gli esercizi dopo la lezione di oggi. Discuteremo in dettaglio questi esercizi nella lezione del 25 marzo.
    • Svolgere gli esercizi 11, 12, 13, 15 a pagina 69 del do Carmo, capitolo 2-2 (vedi file qui sotto).


    LEZIONE 8 -- giovedì 18 marzo 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 18 marzo 2021

    Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Funzioni differenziabili fra superfici.

    Esempi di funzioni differenziabili: le coordinate locali, la funzione altezza, la funzione "distanza al quadrato".


    Richiami sul differenziale di funzioni da \(\mathbf{R}^n\) a \(\mathbf{R}^m\).

    Vettori tangenti in un punto a \(\mathbf{R}^n\). Spazi tangenti e fibrato tangente di \(\mathbf{R}^n\).

    Vettori tangenti ad una superficie: definizione come vettori tangenti ad una curva tracciata sulla superficie. Il cono tangente \(C_pS\).

  • 22 marzo - 28 marzo

    LEZIONE 9 -- martedì 23 marzo 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 23 marzo 2021

    Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 1) Il cono tangente \(C_pS\) è l'immagine del differenziale di una parametrizzazione ed è quindi uno spazio vettoriale di dimensione 2.

    Conseguenze della Proposizione 1.

    • indipendenza dello spazio tangente dalla parametrizzazione
    • base dello spazio tangente associata ad una parametrizzazione.
    • espressione in coordinate del vettore tangente ad una curva sulla superficie.
    • fibrato tangente ad una superficie

    Vettore normale. Equazione del piano tangente affine.


    Interpretazione geometrica del differenziale: l'immagine del vettore tangente ad una curva è il vettore tangente alla curva immagine.

    Definizione di differenziale di una funzione differenziabile \(\varphi: S_1 \to S_2\) come funzione \(d\varphi_p : T_p S_1 \to T_{\varphi(p)} S_2\)

    Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 2) \(d\varphi_p\) è ben definito ed è un'applicazione lineare fra gli spazi tangenti.

    Osservazione: nelle basi associate alle parametrizzazioni locali, la matrice del differenziale \(d\varphi_p\) è la matrice Jacobiana dell'espressione in coordinate locali della funzione \(\varphi\).



    LEZIONE 10 -- giovedì 25 marzo 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 25 marzo 2021

    Discussione degli esercizi assegnati.

    Esercizi svolti in aula: 1, 2, 3 del foglio.

    Esempi di superfici: superfici di rotazione.

    Parametrizzazione dell'iperboloide e del toro.


    Qui sotto trovate i fogli di esercizi assegnati con lo svolgimento completo.

  • 29 marzo - 4 aprile

    LEZIONE 11 -- martedì 30 marzo 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 30 marzo 2021

    La prima forma fondamentale: prodotto scalare fra vettori tangenti ad una superficie in un punto. Espressione dei coefficienti \(E, F, G\) della prima forma nella base \( \{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \} \). La lunghezza di una curva su una superficie si calcola mediante la sola informazione della prima forma fondamentale (e della curva). L'espressione simbolica del \(ds^2\).

    Cambiamenti di coordinate e notazione differenziale.



    VACANZA -- giovedì 1 aprile 2021

  • 5 aprile - 11 aprile

    VACANZA -- martedì 6 aprile 2021



    LEZIONE 12 -- giovedì 8 aprile 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 8 aprile 2021

    Formula del cambiamento della matrice della prima forma per cambiamenti di coordinate.

    Angoli fra curve e angoli fra le curve coordinate.

    La formula per il calcolo dell'area. Invarianza dalla parametrizzazione. Area della sfera e del toro.


    Distanza intrinseca su una superficie. Isometrie fra superfici: diffeomorfismi che conservano la lunghezza di tutte le curve.

  • 12 aprile - 18 aprile

    LEZIONE 13 -- martedì 13 aprile 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 13 aprile 2021

    Un diffeomorfismo \(f : M \to N\) è una isometria \(\iff\) il differenziale \(df_p : T_p M \to T_{f(p)} N\) è una isometria lineare fra gli spazi tangenti per ogni \(p \in M\) \(\iff\) \(f\) trasforma la prima forma fondamentale di \(M\) in quella di \(N\).


    Orientabilità: orientazione di uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita).

    Orientazione sugli spazi tangenti ad una superficie determinata dalle parametrizzazioni e condizioni di compatibilità, mediante il determinate della matrice Jacobiana.

    Definizione di superficie orientabile.

    Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 1) Una superficie \(S\) è orientabile se e solo se esiste un campo normale, unitario e differenziabile definito su \(S\).



    LEZIONE 14 -- giovedì 15 aprile 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 15 aprile 2021

    Proposizione 2.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 2) Una superficie \(S\) di livello di un valore regolare è orientabile.

    Discussione sull'orientabilità di somme connesse di tori e di piani proiettivi. Il nastro di Möbius non è orientabile.

    Esercizi da svolgere: 3.10 e 3.11 delle dispense, alla fine del paragrafo 4.3.


    La mappa di Gauss di una superficie regolare.

    Il differenziale della mappa di Gauss. Esempi: piano, sfera, cilindro.

    Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 3-2, prop. 1) Il differenziale della mappa di Gauss è un endomorfismo simmetrico.



    Esercizi assegnati per martedì 27 aprile:

    • leggere il primo esercizio del foglio "Esercizi 03a" qui sotto e svolgere gli altri esercizi (tranne l'ultimo punto dell'esercizio 5)
    • svolgere gli esercizi del foglio "Esercizi 03b" qui sotto
    • in modo simile, svolgere tutti gli esercizi numero 2 dei compiti d'esame degli anni 16/17 e 17/18 (tranne 2019.02) e tutti gli esercizi numero 3 dei compiti dell'anno 18/19.
    • do Carmo, 2-5: 1, 2, 5
    • do Carmo, 3-2: 8, 16
    • do Carmo, 3-3: 1, 2, 3, 5, 14

    Faremo tutta la parte riguardo alla seconda forma e alla curvatura nella prossima settimana. Per adesso potete svolgere la parte che riguarda la prima forma.

    Gli esercizi del do Carmo sono completamente svolti sulle dispense, nei paragrafi finali dei Capitoli 4 e 5

    Il formulario con le formule per le superfici è fra i materiali all'inizio. Se trovate errori di battitura nelle formule, segnalateli.

  • 19 aprile - 25 aprile

    LEZIONE 15 -- martedì 20 aprile 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 20 aprile 2021

    La seconda forma fondamentale come forma quadratica associata al differenziale della mappa di Gauss (cambiato di segno).

    La curvatura normale. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale come curvatura normale.

    Teorema di Meusnier (Do Carmo, Capitolo 3-2, Prop. 2)

    Autovalori e autovettori del differenziale della mappa di Gauss.

    Formula di Eulero. Conseguenza: gli autovalori di \(-d\mathbf{N}_p\) sono il massimo e il minimo delle curvature normali.

    Definizioni: curvature principali e direzioni principali di curvatura, curvatura Gaussiana e curvatura media (Do Carmo, cap.3-2, def. 4 e def. 6)

    Definizione: punti ellittici, iperbolici, parabolici. Punti planari e punti ombelicali. (Do Carmo, cap 3-2, def. 7 e 8)



    LEZIONE 16 -- giovedì 22 aprile 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 22 aprile 2021

    La mappa di Gauss in coordinate locali: coefficienti \(e, f, g\) della seconda forma rispetto alla base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\), matrice del differenziale della mappa di Gauss.

    Relazione matriciale: \(-d\mathbf{N}_p = I^{-1} \cdot II \)

    Formule per \(K\) e \(H\) in termini di \(E, F, G, e, f, g\).

    Esempio: il toro.



    Simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel dipendono solo dalla prima forma fondamentale, cioè solo dalla metrica.

    Espressione della curvatura Gaussiana in termini dei simboli di Christoffel e di conseguenza:

    Theorema Egregium di Gauss. La curvatura Gaussiana è invariante per isometrie.


    Materiali sul Theorema Egregium

    • Commentationes Soc. Reg. Scie. Gottingensis Dal sito della biblioteca della Georg-August-Universität Göttingen, il numero della rivista della Società Scientifica di Göttingen in cui è pubblicato il lavoro originale di Gauss Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, da pagina 99 in poi. Il Theorema Egregium è al fondo di pagina 120. Cliccando su "Export" in alto a destra, scaricate il PDF con tutto il numero della rivista. Notate che nelle pagine precedenti alle Disquisitiones c'è un altro lavoro, in cui Gauss riporta le misurazioni degli angoli fra le montagne per calcolare la somma degli angoli di un triangolo dopo aver sviluppato la teoria degli errori (scarto quadratico medio, distribuzione normale, ...) per trattare dati sperimentali.
    • Disquisitiones Dal sito archive.org, la copia delle Disquisitiones della New York Public Library. Il teorema è al fondo di pagina 24. Dopo le Disquisitiones ci sono gli altri lavori di Gauss già presenti nel link precedenti, solo ristampati in un ordine diverso. È possibile scaricare il testo in vari formati (PDF, epub, ...).
    • General Investigations... Da Project Gutenberg una traduzione in inglese del 1902 di Morehead e Hiltebeitel della Princeton University, con alcuni commenti e note critiche. L'edizione non è quella originale ma rifatta in TeX e quindi forse più leggibile (il fatto che sia in inglese e non in latino aiuta...). Si può anche scaricare il sorgente TeX, se volete perfezionare il vostro TeX.
    • Le Disquisitiones sono state anche tradotte in tedesco (qui una copia scaricabile ), in francese (qui una copia scaricabile ) e recentemente in catalano come parte di un bel libro sulle geometrie non euclidee (qui una copia scaricabile ). Che io sappia, non sono mai state tradotte in italiano (forse perché la versione latina è sufficiente...).

    Approfondimenti e dimostrazioni alternative

    • Nelle note di Hitchin c'è una dimostrazione del Theorema Egregium, ma il metodo è differente.
    • La lezione 19 registrata il 12 maggio 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Nella videoregistrazione il Therema Egregium è dimostrato con l'uso della formula di Brioschi ed è un po' diversa. La dimostrazione si trova dal minuto 25 in poi della parte 2 ed è la stessa che si trova sul libro di Sernesi Geometria 2 (a pag. 317). Sul libro di Sernesi ci sono due dimostrazioni: la seconda è quella della lezione videoregistrata, la prima è come quella sulle note di Hitchin.
    • Sulla pagina di Wikipedia sul Theorema Egregium è riportata la dimostrazione con la formula di Brioschi.
    • Per i più appassionati: provare a leggere le Disquisitiones (in una lingua a scelta fra quelle sopra), per avere un'idea di come si scriveva la matematica negli anni venti dell'Ottocento, dopo Eulero e Lagrange, contemporaneamente a Cauchy ma ben prima di Weierstrass.

  • 26 aprile - 2 maggio

    LEZIONE 17 -- martedì 27 aprile 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 27 aprile 2021

    Discussione degli esercizi assegnati. In particolare i fogli 3a e 3b

    ATTENZIONE: il foglio 3a aveva la formula della curvatura media H nella prima pagina sbagliata (mancava il fattore 1/2). La versione attuale è corretta.


    Linee di curvatura e linee asintotiche.



    LEZIONE 18 -- giovedì 29 aprile 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 29 aprile 2021

    Richiami sugli spazi vettoriali duali.

    Forme multilineari, determinanti.

    Esempi: forme 2- e 3-lineari su \(\mathbf{R}^3\).

    Forme multilineari alternanti, prodotti esterni di forme lineari.

    Potenza esterna di uno spazio vettoriale (duale): definizione di \(\bigwedge^k(V^*) =\) funzioni \(k\)-lineari alternanti su \(V\).


    Proprietà. se \(\{v_1, \dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(\{h_1, \dots, h_n\}\) è la base duale, allora l'insieme \(\{h_{i_1}\wedge \dots \wedge h_{i_k}\}, \ 1\le i_1 < \dots < i_k \le n\) è una base di \(\bigwedge^k(V^*)\).

    Moltiplicazione esterna di forme. L'algebra esterna \(\bigwedge^* \left(V^* \right) = \bigoplus_{k=0}^n \bigwedge^k \left(V^* \right) \).

  • 3 maggio - 9 maggio

    LEZIONE 19 -- martedì 4 maggio 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 4 maggio 2021

    Moltiplicazione esterna di forme. L'algebra esterna \(\bigwedge^* \left(V^* \right) = \bigoplus_{k=0}^n \bigwedge^k \left(V^* \right) \).

    Proprietà della moltiplicazione esterna: associativa e anticommutativa graduata.

    Lo spazio tangente \(T_p \mathbf{R}^n \) e lo spazio cotangente \(T^*_p \mathbf{R}^n \). Base per lo spazio tangente con i vettori tangenti alle curve coordinate. La base duale \( \{dx_1, \dots, dx_n \} \) data dai differenziali delle funzioni coordinate.

    Definizione di campo vettoriale, 1-forma differenziale e \(k\)-forma differenziale. Prodotto esterno di forme.

    L'algebra \(\Omega^*(U) \) delle forme differenziali su un aperto \(U\) di \( \mathbf{R}^n \)

    Proprietà della moltiplicazione esterna di forme differenziali: associativa e anticommutativa graduata.



    LEZIONE 20 -- giovedì 6 maggio 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 6 maggio 2021

    Pull-back di forme differenziali: una funzione differenziabile \(f :U \to V\) induce una mappa \(f^* : \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)\).

    Esempi di pullback di forme.

    Proprietà di \(f^*\):

    • \(f^*(\omega_1 + \omega_2) = f^*(\omega_1) + f^*(\omega_2)\)
    • se \(g \in \Omega^0(V)\) è una funzione differenziabile, \(f^*(g) = g\circ f\)
    • se \(\omega_1, \dots, \omega_k\) sono \(1\)-forme, allora \(f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k) = f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)\)

    Calcolo fondamentale: \(f^*\) si calcola mediante "sostituzione di variabili".


    La derivata esterna \(d : \Omega^k(\mathbf{R}^n) \to \Omega^{k+1}(\mathbf{R}^n)\): definizione come generalizzazione del differenziale di funzioni.

    Proprietà algebriche.

    Proprietà fondamentale. \(d^2 = 0\).

  • 10 maggio - 16 maggio

    LEZIONE 21 -- martedì 11 maggio 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 11 maggio 2021

    Relazioni fra derivata esterna e pullback: \( d(f^* \omega) = f^*(d \omega) \)

    Esempi ed esercizi: Capitolo 6, paragrafo 3 delle dispense. Svolti in classe: 1, 3, 7. Provare a risolvere gli altri, in particolare 8.


    Definizione di forme chiuse ed esatte. La coomologia di de Rham: il quoziente di forme chiuse modulo forme esatte.


    Definizione dell'operatore \(*\) di Hodge.

    Contrazione di un campo vettoriale e una forma differenziale.



    LEZIONE 22 -- giovedì 13 maggio 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 13 maggio 2021

    Definizione di divergenza, gradiente e rotore in termini di derivata esterna \(d\) e \(*\) di Hodge. Le relazioni fra divergenza, gradiente e rotore in generale e in \(\mathbf{R}^3\).


    Il lemma di Poincaré per le 1-forme su aperti stellati di \(\mathbf{R}^n\): se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa su un aperto stellato \(U\), allora esiste una funzione differenziabile \(f\) definita su \(U\) tale che \(\omega = df\). (ripasso di Analisi 2)

    Integrale di una 1-forma su un cammino differenziabile (integrale di linea o di seconda specie). Condizioni equivalenti all'esattezza di una 1-forma in termini di integrali di linea. (ripasso di Analisi 2)

    Esattezza locale: una 1-forma è chiusa se e solo se è localmente esatta.

    Integrale di una 1-forma su un cammino continuo.

    Teorema. Se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa definita sull'aperto \(U\subseteq \mathbf{R}^n\), e \(\alpha\), \(\beta\) sono due cammini in \(U\) omotopi a estremi fissati, allora \(\int_{\alpha}\omega = \int_{\beta} \omega\). (Con dimostrazione)

    Corollario (Lemma di Poincaré per i domini semplicementi connessi) Se \(U\subseteq \mathbf{R}^n\) è semplicemente connesso, allora ogni \(1\)-forma chiusa è esatta.

    Lemma di Poincaré per i domini contraibili. Sia \(U\) un sottoinsieme aperto e connesso di \(\mathbf{R}^n\) contraibile e sia \(\omega\) una \(k\)-forma definita su \(U\). Allora \(d\omega = 0 \iff \exists \eta : \omega = d\eta\). (Solo enunciato)

  • 17 maggio - 23 maggio

    LEZIONE 23 -- martedì 18 maggio 2021 -- ore 8:30 - 10:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 18 maggio 2021

    Definizione di \(k\)-cubo singolare su \(U\subseteq \mathbf{R}^n\). Esempi. L'\(n\)-cubo singolare standard in \(\mathbf{R}^n\).

    Catene singolari: combinazioni lineari formali a coefficienti interi di cubi singolari.

    Bordo di una catena singolare:

    • facce del cubo standard \(I^n_{(i, \alpha)}\),
    • formula per il bordo del cubo standard \(\partial I^n\) come somma di facce con segno,
    • facce di un cubo arbitrario \( c : [0,1]^n \to \mathbf{R}^m\) come pullback di \(c\) lungo le facce del cubo standard
    • formula per il bordo di un cubo arbitrario come somma di facce con segno (stessa formula del cubo standard)
    • bordo di una catena come combinazione lineare dei bordi dei cubi che danno la catena

    Proprietà fondamentale del bordo: \( \partial^2 = 0 \) (SENZA DIMOSTRAZIONE)

    Definizione di integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena:

    • integrale di una \(k\)-forma sul cubo standard \(I^k = [0, 1]^k\)
    • integrale di una \(k\)-forma \(\omega\) sull'aperto \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) su un \(k\)-cubo in \(U\) come integrale del pullback di \(\omega\) lungo il cubo \(c\)
    • integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena come combinazione lineare degli integrali sui cubi che danno la catena

    Il Teorema di Stokes per \((k-1)\)-forme su \(k\)-catene in \(U\)

    \( \int_c d\omega = \int_{\partial c} \omega \)

    LEZIONE 24 -- giovedì 20 maggio 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 20 maggio 2021

    Fine della dimostrazione del Teorema di Stokes: integrazione su un cubo arbitrario, integrazione su una catena.


    La forma volume \(dV\) su \(\mathbf{R}^3\). Discussione degli esercizi dal Capitolo 6: Esercizi 3.8, 5.13, 5.14.

    L'elemento d'area \(dA\) su una superficie e la definizione di area. Le \(2\)-forme di \(\mathbf{R}^3\) che operano sul piano tangente ad una superficie come multipli di \(dA\).

    L'elemento di lunghezza \(ds\) su una curva. Le \(1\)-forme di \(\mathbf{R}^3\) che operano sulla retta tangente ad una curva come multipli di \(ds\).


    Il Teorema di Green

    Il teorema della divergenza.

    Il teorema di Stokes o del rotore.



    NOTA STORICA: Una storia dettagliata del Teorema di Stokes generale dimostrato in queste lezioni e dei teoremi classici di Analisi visti nell'ultima lezione si trova nell'articolo

    Victor J. Katz, The History of Stokes’ Theorem, ”Mathematics Magazine”, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156

    L’articolo è disponibile per intero sulla piattaforma Jstor, e potete accedere usando le vostre credenziali Unito (login e password della vostra mail istituzionale) all'indirizzo

    https://www-jstor-org.bibliopass.unito.it/stable/2690275?seq=1#metadata_info_tab_contents


    IMPORTANTE

    È possibile accedere a molte risorse matematiche online (riviste, cataloghi di biblioteche e molto altro) usando il servizio BIBLIOPASS di Ateneo, anche usando il proprio computer da casa. Trovate tutte le informazioni sul servizio alla pagina

    https://www.sba.unito.it/it/strumenti/accedi-da-casa, a cura dei Servizi Bibliotecari di Ateneo

    Per ulteriori informazioni, potete consultare le pagine della Biblioteche di Scienze della Natura, all'indirizzo

    https://www.bibliosdn.unito.it/it

    Sul sito delle Biblioteche di Scienze della Natura, trovate anche tutte le informazioni sempre aggiornate sulle modalità di accesso alla Biblioteca di Matematica a Palazzo Campana.

  • 24 maggio - 30 maggio

    In questa settimana si terranno due incontri di preparazione alla prova scritta, nelle date indicate qui sotto. Gli incontri saranno ONLINE, all'indirizzo solito.

    Durante gli incontri svolgeremo esercizi dalle prove scritte degli anni precedenti. Sarà possibile fare domande su esercizi delle dispense.

    È richiesta una partecipazione attiva per meglio prepararsi all'esame, quindi provate a fare gli esercizi a casa prima degli incontri, per poi fare domande sugli argomenti su cui avete avuto difficoltà.

    A richiesta, potremo anche parlare di argomenti teorici (rivedere passaggi di dimostrazioni o chiarire il significato di definizioni ed enunciati), ma l'enfasi sarà sullo svolgimento di esercizi.



    PREPARAZIONE ALLA PROVA SCRITTA -- martedì 25 maggio 2021 -- ore 15:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 25 maggio 2021

    Esercizi svolti:

    • Abate-Tovena, ex. 4.24, pag. 222
    • compito giugno 2017, ex. 1
    • compito giugno 2018, ex. 2
    • compito giugno 2018, ex. 3: solo alcuni cenni sulla scelta dell'orientazione, i calcoli completi sono svolti sulle dispense, ex. 3.11, pag. 275


    PREPARAZIONE ALLA PROVA SCRITTA - giovedì 27 maggio 2021 -- ore 10:30 - 12:30

    Link webex per accedere alla registrazione: 27 maggio 2021

    Esercizi svolti:

    • compito giugno 2019, ex. 4
    • compito febbraio 2020, ex. 4
    • compito settembre 2018, ex. 1