Attività settimanale
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Lunedì 19/10/2026, (LV 7)
In sottoinsieme di una varietà è una sottovarietà se e solo se attorno ad ogni suo punto esiste una carta adattata. Il teorema del rango in R^n (con dimostrazione). Un sottoinsieme di una varietà è una sottovarietà se e solo se attorno ad ogni suo punto esiste una carta adattata. Spazio tangente ad una sottovarietà. La restrizione di una funzione liscia è liscia e la restrizione del differenziale è il differenziale della restrizione.
Mercoledì 21/10/2026, (LV 8)
Il teorema della funzione implicita tra varietà. Descrizione della superficie di Steiner.
Venerdì 23/10/2026, (KC 6)
Alcuni esempi: mappe lineari (affini), proiezioni, grafico di una funzione polinomiale.
Morfismi di varietà proiettive: definizione, definizione di isomorfismo.
La curva razionale normale. Equazioni dell'immagine come determinanti 2×2. Scrittura delle espressioni locali dell'isomorfismo inverso, che non si può definire globalmente.
La mappa di Segre.
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Lunedì 27/10/2025, (LV 10)
Alcuni esercizi su sottovarietà. La restrizione di una funzione liscia ad una sottovarietà è liscia. Teorema di Whitney.
Definizione di fibrato tangente. Costruzione della struttura differenziabile sul fibrato tangente. Alcuni esercizi.
Mercoledì 29/10/2025, (LV 11)
Campi vettoriali su varietà. Caratterizzazione dei campi vettoriali come derivazioni. Varietà pettinabili e parallelizzabili. Introduzione al bracket di campi vettoriali. Il bracket in coordinate locali.
Venerdì 31/10/2025, (AA 6)
\La varietà di Veronese: equazioni in \( \mathbb{P}^N \).
La mappa di Veronese è un isomorfismo con l'immagine: dimostrazione del'iniettività, espressione locale polinomiale della mappa inversa.
L'immagine di una varietà proiettiva mediante la mappa di Veronese è ancora una varietà proiettiva: equazioni dell'immagine.
Tutto quello che abbiamo visto è contenuto nelle note di Occhetta e negli esercizi del foglio 5. Qui sotto trovate la versione del foglio 5 con le soluzioni. Come discusso in classe, alcune soluzioni vanno precisate e completate. Questo è un ulteriore esercizio che farete voi.
Lunedì 3/11/2025, (LV 12)
Bracket di campi vettoriali. Il bracket in coordinate locali. Principali proprietà del bracket. Push-forward di campi vettoriali tramite diffeomorfismi. Campi \( F \)-riferiti. Una caratterizazione dei campi vettoriali \(F\)-riferiti. Un esempio. Bracket di campi vettoriali \( F \)-riferiti. Bracket di campi vettoriali tengenti ad una sottovarietà. Definizione di curva integrale di una campo vettoriale.
Mercoledì 5/11/2025, (LV 13)
Bracket di campi vettoriali. Il bracket in coordinate locali. Principali proprietà del bracket. Definizione di curva integrale di una campo vettoriale. L'equazione di una curva integrali in coordinate locali è un ODE. Richiami sulla teoria di ODE in \( \mathbb{R}^n \), in particolare esistenza e unicità della soluzioni e dipendenza liscia dai dati iniziali. Esistenza e unicità di una curva integrale massimale. Campi vettoriali completi. In una varietà compatta ogni campo è completo. Flussi di campi vettoriali completi e non completi. Un esempio esplicito.
FINE DELLA PARTE DI GEOMETRIA DIFFEREIZALE PER CHI FA IL CORSO DA 6 CREDITI
Venerdì 7/11/2025, (AA 7)
Continuità dei morfismi proiettivi: solo una motivazione e un cenno di dimostrazione.
Varietà quasi-proiettive: aperti di una varietà proiettiva. Le varietà affini e proiettive sono anche quasi-proiettive. Morfismi di varietà qp.
Ridefinizione di varietà affine come varietà qp isomorfa (come varietà qp) ad un chiuso algebrico di uno spazio affine.
Esempi di varietà qp: \( \mathbb{A}^1 - \{p\} \) , \( \mathbb{A}^2 - \{p\} \). La prima è affine, la seconda no. Nel foglio di esercizi 6 ci sono maggiori dettagli ed enunciati precisi (da dimostrare!)
La mappa di Segre \( \sigma_{n, m} : \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^N \). Proprietà: iniettività, equazioni per l'immagine. Struttura di varietà proiettiva su \( \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \) per "trasporto di struttura".
Le proiezioni sui fattori sono morfismi di varietà proiettive.
Le sottovarietà della varietà di Segre \( \Sigma_{n, m} \) corrispondono ai luoghi definiti in \( \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \) da sistemi di equazioni biomogenee.
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Lunedì 10/11/2025, (LV 14)
Distribuzioni, fogliazioni. Dimostrazione del Teorema di Frobenius. Esistenza di foglie massimali. Cenni su applicazioni del Teorema di Frobenius ai gruppi di Lie.
Mercoledì 12/11/2025, (LV 15)
Definizione di fibrato vettoriale. Banalizazioni locali. Atlanti banalizzanti. Esempi. Cociclo associato ad un atlante trivializzante. Morfismi e isomorfismi di fibrati vettoriali. Caratterizzazione dei morfismi tra fibrati in termini di cocicli. Il Teorema di struttura dei fibrati vettoriali (solo enunciato).
lezione 15Venerdì 14/11/2025, (AA 8)
Prodotti di varietà proiettive \(X \times Y\) come immagine mediante la mappa di Segre. Esempi di determinazioni delle equazioni.
Proprietà universale del prodotto.
Il grafico di un morfismo \(F : X \to \mathbb{P}^m\) con dominio (quasi)-proiettivo \(X\) è chiuso nel prodotto \(X \times \mathbb{P}^m\).
Teorema 1. Se \(f : X \to Y\) è un morfismo, con \(X\) varietà proiettiva, allora \(f\) è una mappa chiusa.
Teorema 2. Se \(X\) è una varietà proiettiva, allora per ogni varietà \(Y\) la proiezione \(\pi_Y : X \times Y \to Y\) è una mappa chiusa.
Dimostrazione dell'implicazione: Teorema 2 implica Teorema 1. Dimostreremo il Teorema 2 dopo aver studiato il Nullstellensatz.
Il Nullstellensatz di Hilbert. Enunciato della forma debole, sia nel caso affine che proiettivo.
Dimostrazione del Nullstellensatz debole per campi di cardinalità più che numerabile (per esempio, il campo complesso).
Discussione topologica:
• Il significato del Teorema 2 in relazione al Teorema (Kuratowski-Mrówka) Sia \(X\) uno spazio topologico. Allora \(X\) è compatto se e solo se per ogni spazio topologico \(Y\) la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa. Questo suggerisce che le varietà proiettive dovrebbero avere le proprietà che ci aspettiamo per gli spazi compatti. Per una discussione dettagliata e una dimostrazione del teorema, vedere math.stackexchange 1582313
• La diagonale \(\Delta_{\mathbb{P}^n}\) è chiusa nel prodotto \( \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n\) e quindi la diagonale \(\Delta_X\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\) per ogni varietà quasi proiettiva \(X\). Questa proprietà della topologia di Zariski per varietà quasi proiettive è un buon sostituto della proprietà di Hausdorff e può servire in molti casi in cui basta usare la chiusura della diagonale. Questa proprietà si enuncia dicendo che le varietà quasi proiettive sono separate.
Discussione algebrica:
• La dimostrazione che abbiamo visto del Nullstellensatz è dovuta a Irving Kaplansky, si può trovare nel libro di Beltrametti, Carletti, Gallarati e Monti Bragadin Letture su curve, superficie e varietà proiettive speciali : un'introduzione alla geometria algebrica (disponibile in biblioteca). Nel file qui sotto trovate le pagine del libro con la dimostrazione. A lezione abbiamo visto l'equivalenza di (1) e (2). L'enunciato (3) è la forma forte, che vedremo nella prossima lezione.
• Ci sono molte altre dimostrazioni più o meno semplici del Nullstellensatz, ne discuteremo nelle prossime lezioni.
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Nota: Vezzoni sarà assente dal 19.11 al 24.11
Nota:
- Mercoledì 19 novembre: lezione ALBANO
- Venerdì 21 novembre: NO LEZIONE
- Lunedì 24 novembre: NO LEZIONE
Lunedì 17/11/2025, (LV 16)
Dimostrazione del Teorema di Struttura dei Fibrati Vettoriali. Descrizione del fibrato cotangente. Una classe di fibrati in rette sul proiettivo. Somma diretta di Fibrati Vettoriali.
Mercoledì 19/11/2025, (AA 9)
Dimostrazione del Teorema 2: Se \(X\) è una varietà proiettiva, allora per ogni varietà \(Y\) la proiezione \(\pi_Y : X \times Y \to Y\) è una mappa chiusa.
La dimostrazione vista in classe è quella sul libro di Šafarevič (vedi l'introduzione al corso per il riferimento preciso) a pagina 58, Theorem 1.11. Trovate qui sotto un file con le pagine che servono.
Alcuni corollari: i morfismi da una varietà proiettiva alla retta affine (ad un spazio affine) sono costanti. Un'ipersuperficie proiettiva interseca ogni varietà irriducibile non ridotta ad un punto.
Intermezzo di Algebra: il risultante.
Condizioni su due polinomi per avere un fattore non costante comune.
La matrice di Sylvester. Il risultante di due polinomi a coefficienti in un UFD.
Teorema: Res\((f, g) = u(x)f(x) + v(x)g(x)\) con \(\deg u < \deg g, \deg v < \deg f\).
Conseguenze: Res\((f, g) \in (f, g)\), due polinomi hanno un fattore non costante in comune se e solo se Res\((f, g) = 0\)
Trovate materiale sul risultante nelle note di Occhetta. Il teorema visto a lezione (e molto di più) si trova nelle note della lezione del 1 ottobre del corso di Teoria dei Numeri di J. Buhler. Vi sono informazioni e teoremi sui risultanti e molte applicazioni, fra cui il teorema di Bézout e una dimostrazione del Nullstellensatz debole. Scaricate le note qui: Resultants, Discriminants, ...
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26/11/2025 (LV 17)
Fibrato pull-back. Sezioni di un fibrato vettoriale. Descrizione delle sezioni in termini dei cocicli. Un fibrato in rette è banale se e solo se ha una seczione mai nulla. Sezioni dei fibrati in rette \(E_d\) sullo spazio proiettivo reale. I fibrati \(E_d\) sono banali se e banali se e solo se d è pari. I fibrati \(E_d\) e \(E_{-d}\) sono isomorfi. Fibrato duale e calcolo del cociclo del fibrato duale.Venerdì 28/11/2025, (AA 10)
Corrispondenza ideali-varietà nel caso affine. L'ideale di una varietà è sempre un ideale radicale.
Definizione di radicale di un ideale in un anello commutativo arbitrario, il radicale di \(J\) è un ideale che contiene \(J\), definizione di ideale radicale.
Il Nullstellensatz di Hilbert. Enunciato. Forma forte (= Nullstellensatz) e forma debole. Il NS forte implica quello debole.
Il trucco di Rabinowitsch: la forma debole implica la forma forte.
Prime conseguenze del Nullstellensatz: l'anello delle coordinate di una varietà affine. La corrispondenza varietà affini - \(\mathbb{K}\)-algebre finitamente generate e ridotte.
La corrispondenza varietà-algebre è funtoriale: costruzione dell'omomorfismo di algebre pull-back di un morfismo fra varietà.
NOTA BENE. La dimostrazione della forma debole del Nullstellensatz per campi algebricamente chiusi numerabili NON è in programma per l'esame (invece quella vista per campi più che numerabili è in programma). Alcune dimostrazioni semplici, tutte basate sul risultante (e diverse fra loro) sono:
- Nelle note di Occhetta c'è una dimostrazione dovuta ad Arrondo: Teorema 3.1.4. Nella bibliografia c'è il riferimento all'articolo originale di Arrondo (2006).
- Le note della lezione del 1 ottobre del corso di Teoria dei Numeri di J. Buhler contengono varie informazioni e teoremi sui risultanti e molte applicazioni, fra cui il teorema di Bézout e una dimostrazione del Nullstellensatz debole. Scaricate le note qui: Resultants, Discriminants, ...
- L'articolo di Marco Manetti Nullstellensatz per tutti (file qui sotto) contiene una dimostrazione comprensibile ad uno studente del primo anno (di triennale!).
- Nel Foglio di Esercizi 10 (qui sotto), c'è una discussione sul Nullstellensatz e l'indicazione di altre dimostrazioni che si trovano sull'Atiyah -Macdonald.
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1/12/2025 (LV 18)
Sezioni del fibrato cotangente: vari punti di vista. Lo spazio delle 1-forme su una varietà. Spazio delle 1-forme su una varietà. Il pull-back di una 1-forma tramite un'applicazione liscia. Forme esatte. Il pull-back di una forma esatta è esatta.
Videoregistrazione 1 Videoregistrazione 2 lezione 183/12/2025 (LV 19)
Integrali di 1-forme lungo cammini. Una forma è esatta se e solo se è conservativa. Forme chiuse. Ogni 1-forma esatta è chiusa.
Algebra multilineare. Spazio degli r-tensori covarianti in uno spazio vettoriale.Venerdì 05/12/2025, (AA 11)
Equivalenza di categorie fra varietà algebriche affini e \(\mathbb{K}\)-algebre finitamente generate e ridotte: definizione del pullback \(F^*\) di un morfismo fra varietà e del morfismo \(\sigma^\sharp\) indotto da un omomorfismo di algebre.
Verifica di \((F^*)^\sharp = F\) e \( (\sigma^\sharp)^* = \sigma\).
Esempio di un morfismo fra varietà che non è un isomorfismo perché il morfismo indotto fra algebre non è suriettivo.
Funzioni regolari: definizione di funzione regolare nel caso affine. L'anello delle funzioni regolari su un aperto \(\mathcal{O}_X(U)\)
Continuità delle funzioni regolari.
Teorema: se \(X\) è una varietà affine, allora l'anello delle funzioni regolari su \(X\) è l'anello delle coordinate di \(X\).
Conseguenza: le funzioni regolari su una varietà affine sono globalmente definite, anche se la definizione è locale.
Esempio: \(X = \mathbb{A}^2 - \{0\} \) non è una varietà affine, infatti \(\mathscr{O}_X(X) = \mathbb{K}[x, y]\) (dimostrazione nel foglio di esercizi 11) e quindi l'inclusione \(i : X \to \mathbb{A}^2\) induce un isomorfismo fra gli anelli delle funzioni regolari, mentre l'inclusione non è un isomorfismo. In particolare, \(X\) non è isomorfa ad \(\mathbb{A}^2\).
C'è un'interessante discussione su Math.Stackexchange riguardo questo esempio.
La dimostrazione qui sopra (che è quella vista in classe) è nella seconda risposta, di Dylan Moreland. La prima risposta, di Georges Elencwajg, contiene 3 dimostrazioni. La prima è fondamentalmente la nostra (nel linguaggio degli schemi, ma non è questo il punto). Le altre due sono più sofisticate, potete rileggerle quando avrete imparato un po' di coomologia oppure di analisi complessa in più variabili.
Un ulteriore problema è capire se \(X\) è o no omeomorfa ad \(\mathbb{A}^2\) in topologia di Zariski. In effetti, sono omeomorfi per certi campi di caratteristica \(p\). Trovate su MathOverflow
i riferimenti ai teoremi di R. Wiegand su questo fatto e un tentativo di Greg Kuperberg di dimostrare che sul campo dei complessi non sono omeomorfi (non mi pare che la dimostrazione sia completa).
Il giorno venerdì 12 dicembre 2025 NON ci sarà lezione di Albano. L'ultima lezione sarà venerdì 19 dicembre, alle 14:30 come al solito.
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10/12/2025 (LV 20)
Spazio degli r-tensori covarianti in uno spazio vettoriale. Prodotto tensoriale. Tensori alternanti e simmetrici. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali: definizione e proprietà
Venerdì 12/12/2025 -- NO LEZIONE
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7/12/2026 (LV 24)
Integrazione di forme differenziali, teorema di Stokes per varietà senza bordo. Cenni al teorema di Stokes per varietà con bordo.
Videoregistrazione -
Lunedì 26/10/2025, (LV 9)
Fine della descrizione della superficie di Steiner. Alcuni esercizi su sottovarietà. Cenni su varietà orientabili. Un embedding di RP^2 in R^4. Un esercizio sulle sottovarietà. Ogni immersione è localmente un embedding. Le immersioni proprie sono embedding (dimostrazione ala prossima lezione)
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