Attività settimanale
Geometria 3
Corso di Laurea in Matematica, 6 CFU (48 ore), secondo anno, secondo semestre.
Docente: Cinzia Casagrande
Orario: mercoledi' 12.30-14.30, giovedi' 14.30-16.30, aula A.
Avviso importante: mer 10/5, gio 11/5, mer 24/5, gio 25/5 non ci sara' lezione di Geometria 3.
Si terranno due lezioni di recupero lun 22/5 h 10.30-12.30 in aula A, e mar 30/5 h 8.30-10.30.
Si terra' un'esercitazione finale di preparazione allo scritto mar 6/6 h 8.30-10.30.Testi di riferimento:
Per curve e superfici:
M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer
M. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall
(entrambi questi testi propongono esercizi)Per le forme differenziali in Rn:
M. Do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer - capitolo 1 e parte del capitolo 2 (da pag. 21 a pag. 24, fino alla Proposizione 3 compresa)
(referenza per la relazione con i campi vettoriali): Analisi matematica, volume 2, V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini (capitolo X)Ricevimento: giovedi' 11-12 nello studio del docente, oppure su appuntamento.
Modalita' d'esame:
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 3 ore. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova; è consentito l'uso di calcolatrici di base. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.
Attenzione: il programma del corso e' nella forma attuale a partire dall'a.a. 15/16, quindi le prove scritte d'esame sullo stesso programma sono a partire da giugno 2016, e possono essere trovate in parte sulla pagina moodle 15/16 e in parte qui sotto. Le prove d'esame degli anni precedenti contengono comunque esercizi su curve e superfici, ma anche esercizi su parti di programma non comprese piu' in Geometria 3.
26 febbraio - 4 marzo
Avviso importante: mercoledi' 1/3 non si terra' la lezione di Geometria 3. La prima lezione del corso sara' giovedi' 2/3 e si terra' nell'orario 12.30-14.30 invece che 14.30-16.30.
2/3, 12.30-14.30: Introduzione al corso. Curve parametrizzate in Rn, sostegno, vettore tangente, curve regolari. Esempi: retta, circonferenza, elica circolare, grafici di funzioni, la cuspide. Cambiamenti di parametro e curve equivalenti. Lunghezza di una curva, curve rettificabili. Una curva di classe C1 su un intervallo [a,b] e' rettificabile, e la lunghezza e' data dall'integrale della norma del vettore tangente. Lunghezza d'arco di una curva, curve p.r.l.a. Riparametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco di una curva regolare. Unicita' (a meno di traslazione del parametro) della curva p.r.l.a. equivalente a una curva data, e avente la stessa orientazione. Esempi: parametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco dell'elica cilindrica e della catenaria (grafico del coseno iperbolico).
5 marzo - 11 marzo
8/3, 12.30-14.30: Versore tangente e curvatura di una curva p.r.l.a. Curve biregolari. Il sostegno della curva e' contenuto in una retta se e solo se il versore tangente e' costante. Esempio: curvatura della circonferenza e della catenaria. Versore normale principale e piano osculatore per una curva p.r.l.a. e biregolare in R3. Versore binormale, sistema di riferimento di Frenet in R3. Versore normale a una curva p.r.l.a. in R2, curvatura orientata, sistema di riferimento di Frenet in R2. Una curva biregolare in R3 e' piana sse il versore binormale e' costante. Torsione di una curva biregolare nello spazio, equazioni di Frenet-Serret nello spazio e nel piano. Esempio: l'elica circolare. Se due curve biregolari in R3 differiscono per una rototraslazione, hanno la stessa curvatura, la stessa torsione, e i due riferimenti di Frenet differiscono per la rotazione associata alla rototraslazione.
9/3, 14.30-16.30: Assegnate le funzioni curvatura e torsione, esiste una curva p.r.l.a., biregolare in R3 con la curvatura e la torsione assegnate, unica a meno di rototraslazione. Enunciato analogo per curve in R2 con la curvatura orientata. Esempi: le curve con curvatura e torsione costanti sono le circonferenze e le eliche circolari. Esempio di due curve equivalenti per rototraslazione in R3 ma non in R2. Studio locale delle curve piane: la retta tangente e' la retta con maggior ordine di intersezione con la curva nel punto.
12 marzo - 18 marzo
15/3, 12.30-14.30: Studio locale di una curva piana: se la curvatura e' non nulla in un punto, localmente la curva sta tutta da una parte rispetto alla retta tangente, e il segno della curvatura dipende dall'orientazione della curva rispetto alla concavita'. Circonferenza osculatrice, centro di curvatura, raggio di curvatura. La circonferenza osculatrice e' la circonferenza che approssima meglio la curva nel punto. Studio locale di una curva biregolare in R3: il piano osculatore e' il piano che ha maggior ordine di contatto con la curva nel punto; se la torsione e' non nulla, localmente la curva attraversa il piano osculatore nel punto.
Curve non p.r.l.a.: formule per triedro di Frenet, curvatura e torsione.
Es. n. 1 scritto di gennaio 2017. Trattrice (inizio).16/3, 14.30-16.30: Esercizi: studio della trattrice. Data una curva biregolare, fissato un punto e il piano osculatore H alla curva in quel punto, la proiezione ortogonale della curva su H e' una curva localmente regolare avente nel punto la stessa curvatura della curva di partenza. Cicloide. Data una curva nello spazio, se tutte le rette tangenti hanno un punto in comune, il sostegno e' contenuto in una retta; se tutte le rette normali principali hanno un punto in comune, il sostegno e' contenuto in una circonferenza. Esercizi assegnati: mostrare che non puo' esistere un punto comune a tutte le rette binormali; mostrare che se tutti i piani osculatori hanno un punto in comune, la curva e' piana. Data una curva piana regolare, studiare la regolarita' della curva c data dai centri di curvatura, e mostrare che e' un'evoluta della curva di partenza; mostrare che per la trattrice c e' un arco di catenaria.
19 marzo - 25 marzo
22/3, 12.30-14.30: Spazio vettoriale tangente a Rn in un punto, base canonica. Esempio: il vettore tangente a una curva. I vettori tangenti come derivate direzionali; identificazione della base canonica con gli operatori dati dalle derivate parziali. Campi vettoriali in Rn, derivata di una funzione lungo un campo vettoriale, esempio. Spazio vettoriale cotangente a Rn in un punto come duale dello spazio tangente; base dx1,...,dxn duale della base canonica; 1-forme differenziali su Rn. Forme bilineari antisimmetriche sullo spazio vettoriale tangente; forma bilineare antisimmetrica data dal prodotto wedge di due forme lineari; base data dai prodotti wedge delle dxi; 2-forme differenziali su Rn. Forme k-lineari alternanti su uno spazio vettoriale reale. Forma k-lineare alternante data dal prodotto wedge di k forme lineari. Se k>n, ogni forma k-lineare alternante e' nulla. Al variare del multiindice I={i1,...,ik} con 0<i1<...<ik<n+1, i prodotti wedge di dxi1,...,dxik formano una base dello spazio vettoriale delle forme k-lineari alternanti sullo spazio tangente. k-forme differenziali in Rn.
23/3, 14.30-16.30: Funzione data dalla valutazione di una k-forma su k campi vettoriali; esempi. Somma di k-forme, prodotto di una k-forma per una funzione. Prodotto esterno di forme differenziali. Esempi. Nel caso delle 1-forme, la definizione coincide con la definizione precedente. Proprieta' del prodotto esterno: bilinearita', associativita', comportamento rispetto all'inversione degli argomenti. Se w e' una k-forma con k dispari, il prodotto esterno di w con se stessa e' zero; esempio di una 2-forma per cui questo non vale. 1-forma definita dal differenziale di una funzione, esempi. Pull-back di funzioni e di k-forme tramite una funzione differenziabile: definizione puntuale; il pull-back e' lineare.
26 marzo - 1 aprile
29/3, 12.30-14.30: Il pull-back del prodotto wedge di 1-forme e' il prodotto wedge dei pull-back. Il pull-back del differenziale di una funzione e' il differenziale della funzione composta. Espressione esplicita del pull-back in coordinate, esempi. Se f:Rn->Rn e' differenziabile, il pull-back della n-forma standard e' la n-forma standard per il determinante jacobiano di f. Pull-back di una 1-forma tramite una curva. Il pull-back successivo tramite due funzioni e' il pull-back tramite la composizione delle due funzioni. Il pull-back di un prodotto wedge di forme e' il prodotto wedge dei pull-back. Differenziale esterno, esempi. Differenziale di una 1-forma in Rn. Il differenziale e' lineare. Comportamento del differenziale rispetto al prodotto per una funzione e al prodotto wedge. Il differenziale di un differenziale e' zero.
30/3, 14.30-16.30: Il pull-back commuta con il differenziale. Forme chiuse, forme esatte. Caso delle 1-forme, riassunto dei risultati visti in Analisi 2. Integrale di una 1-forma chiusa lungo un cammino continuo. Dati due cammini f1e f2 omotopi in U, e una 1-forma chiusa su U, l'integrale della 1-forma lungo f1 e' uguale all'integrale della 1-forma lungo f2. Su un aperto semplicemente connesso, ogni 1-forma chiusa e' esatta. Cenni sul caso generale delle k-forme: spazi vettoriali delle k-forme chiuse e delle k-forme esatte su un aperto U; il quoziente misura "quanto" una k-forma chiusa puo' non essere esatta. Dizionario forme differenziali/campi vettoriali: differenziale di funzione = gradiente, 1-forma chiusa=campo irrotazionale, 1-forma esatta=campo conservativo, l'integrale di una 1-forma lungo una curva corrisponde al lavoro di un campo vettoriale lungo una curva (circuitazione se la curva e' chiusa). Corrispondenza tra 2-forme e campi vettoriali in R3. Il differenziale di una 1-forma corrisponde al rotore di un campo vettoriale; il differenziale di una 2-forma corrisponde alla divergenza di un campo vettoriale.
2 aprile - 8 aprile
5/4, 12.30-14.30: Esercizi su forme differenziali e su curve. Una n-forma in Rn e' sempre sia chiusa che esatta.
Teorema della funzione implicita (senza dimostrazione), esempi. Punti critici, valori critici e valori regolari per una funzione di classe C1 da un aperto di Rn a R. Esempio: localmente in ogni punto la sfera e' un grafico di una funzione. Teorema della funzione inversa (dimostrazione usando il teorema della funzione implicita).6/4, 14.30-16.30: Parametrizzazione locale per una superficie in R3, atlante, superficie regolare. Esempi: il piano; grafici di funzioni. Atlante della sfera costruito con il teorema della funzione implicita. Superfici di livello. Ogni superficie e' localmente un grafico. Esempi di sottoinsiemi di R3 che non sono superfici regolari: ostruzioni topologiche e non. Se S e' una superficie regolare, data una mappa f:U->S differenziabile, iniettiva e con differenziale iniettivo in ogni punto, f e' una parametrizzazione locale per S.
9 aprile - 15 aprile
12/4, 12.30-14.30: Esempio di una mappa regolare da R2 in R3, iniettiva con differenziale iniettivo, che non e' omeomorfismo sull'immagine. Data una superficie regolare e una parametrizzazione locale f, localmente l'inversa di f e' data dalla restrizione di un'applicazione differenziabile su un aperto di R3. Superfici di rotazione. Esempi: cilindro, cono, sfera, toro. Superfici di rotazione che intersecano l'asse di rotazione. Esempi di superfici regolari dati dalle quadriche: coni, cilindri, ellissoide, paraboloide ellittico.
Esercizi assegnati per casa: dal libro di Abate-Tovena, es. 3.4 e 3.13 pag. 152-153.
16 aprile - 22 aprile
19/4, 12.30-14.30: Il cambiamento di coordinate e' un diffeomorfismo. Funzioni differenziabili da una superficie a R, definizione in termini di composizione con una parametrizzazione locale, la definizione non dipende dalla parametrizzazione. Definizione di differenziabilita' per applicazioni tra due superfici, da una superficie a Rn, da Rn a una superficie. Diffeomorfismo tra due superfici. Esempio: costruzione di un diffeomorfismo tra l'iperboloide iperbolico e il cilindro.
Piano tangente a una superficie in un punto come insieme dei vettori tangenti alle curve nella superficie nel punto. Il piano tangente coincide con l'immagine del differenziale di una parametrizzazione locale nel punto. Il piano tangente e' un piano vettoriale in R3. Curve coordinate. Le derivate parziali di una parametrizzazione locale sono i vettori tangenti alle curve coordinate e formano una base del piano tangente.20/4, 14.30-16.30: Date due parametrizzazioni locali in un punto, che inducono due basi diverse del piano tangente, la matrice del cambiamento di base e' la matrice jacobiana del cambiamento di coordinate. Piano tangente a una superficie di livello, esempio: la sfera. Differenziale di un'applicazione tra superfici. La matrice associata al differenziale di F rispetto alle basi date da parametrizzazioni locali e' la jacobiana dell'espressione di F in coordinate. Esempio: calcolo del differenziale del diffeomorfismo tra l'iperboloide iperbolico e il cilindro. Il differenziale di un diffeomorfismo e' sempre invertibile. Applicazione del teorema della funzione inversa: se un'applicazione tra superfici ha differenziale invertibile in un punto, e' un localmente un diffeomorfismo. Differenziale di un'applicazione tra una superficie e Rn. Se S e' connessa, F:S->R e' costante se e solo se ha differenziale nullo in ogni punto.
23 aprile - 29 aprile
26/4, 12.30-14.30: Orientabilita' di superfici regolari: parametrizzazioni equiorientate, atlanti orientati. I grafici di funzione sono superfici orientabili. Relazione con il versore normale. Una superficie e' orientabile se e solo se ammette un campo di versori normali. Il nastro di Moebius: costruzione come superficie regolare.
27/4, 14.30-16.30: Costruzione di un atlante per il nostro di Moebius; il nastro di Moebius non e' orientabile. L'orientabilita' e' invariante per diffeomorfismi. Le superfici di livello sono orientabili. Le superfici di rotazione sono orientabili. Una superficie chiusa in R3 e' sempre orientabile (solo enunciato). Proprieta' metriche: prima forma fondamentale, coefficienti della prima forma fondamentale rispetto alla base del piano tangente data da una parametrizzazione locale. Lunghezza di una curva sulla superficie e angolo tra curve su una superficie in termini della prima f.f. Parametrizzazioni ortogonali. Esempio: calcolo della prima f.f. per il piano, il cilindro, le superfici di rotazione. Poligoni curvilinei, regioni regolari su una superficie.
Esercizi per casa: 3.28, 3.34, 3.50, 4.14, 4.15 da Abate-Tovena.
30 aprile - 6 maggio
3/5, 12.30-14.30: Integrale di una funzione continua su una regione regolare R di una superficie, contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale. L'integrale non dipende dalla parametrizzazione locale. Area di una regione regolare. Esempi: area della sfera e di un toro di rotazione. Isometrie e isometrie locali. Esempio: isometria locale dal piano al cilindro. Superfici localmente isometriche. Costruzione di isometrie locali tramite parametrizzazioni locali aventi lo stesso dominio e gli stessi coefficienti della prima forma fondamentale. Esempi: catenoide; elicoide. Catenoide e elicoide sono localmente isometrici.
4/5, 14.30-16.30: La sezione di una superficie con un piano non tangente e', localmente, il sostegno di una curva regolare. Curve sezioni normali. Curvatura normale di una superficie orientata in un punto, lungo un versore tangente. Esempi: cilindro, sfera. Mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss e' un endomorfismo simmetrico del piano tangente. Seconda forma fondamentale. Esempi: piano, sfera, cilindro. La seconda forma fondamentale calcolata in un versore tangente v e' la curvatura normale lungo v.
7 maggio - 13 maggio
Questa settimana non ci sara' lezione di Geometria 3.
14 maggio - 20 maggio
17/5, 12.30-14.30: Curvatura normale di una curva p.r.l.a. su una superficie, teorema di Meusnier. Direzioni principali e curvature principali. Base ortonormale del piano tangente data dalle direzioni principali, relazione con la seconda forma fondamentale; le curvature principali sono la minima e la massima curvatura normale nel punto. Punti ombelicali. Curvatura gaussiana e curvatura media. Esempi: piano, sfera, cilindro. Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari. Direzioni asintotiche. Comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente e segno della seconda forma fondamentale a seconda della natura del punto. Esempio: sella di scimmia. Espressione della seconda forma fondamentale in coordinate locali.
18/5, 14.30-16.30: Espressione in coordinate locali della matrice di dN e delle curvature gaussiana e media. Linee di curvatura e linee asintotiche. Esercizi: elicoide, pseudosfera. Superfici di rotazione: calcolo della seconda forma fondamentale e della curvatura gaussiana; studio della natura dei punti.
21 maggio - 27 maggio
22/5, 10.30-12.30: Natura dei punti del toro di rotazione. Grafici di funzione: la natura dei punti dipende dalla matrice hessiana della funzione. Una superficie compatta ha sempre un aperto di punti ellittici.
Simboli di Christoffel relativi a una parametrizzazione locale. I simboli di Christoffel sono determinati dai coefficienti della prima forma fondamentale. Similitudini di scala r tra due superfici. Date due parametrizzazioni locali per due superfici, aventi lo stesso dominio, e che inducono una similitudine tra i due aperti delle superfici, i simboli di Christoffel delle due parametrizzazioni sono uguali. Esempi: simboli di Christoffel per il piano e per le superfici di rotazione. Espressione della curvatura gaussiana in coordinate locali in termini dei simboli di Christoffel e dei coefficienti della prima forma fondamentale.28 maggio - 3 giugno
30/5, 8.30-10.30: Teorema egregium di Gauss. Un'isometria locale tra superfici rispetta la curvatura gaussiana. Una similitudine di scala r moltiplica la curvatura gaussiana per 1/r2.
Integrale di una 2-forma in R3 lungo una regione regolare R contenuta in una superficie orientata (nel caso in cui R e' contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale). Esempio. Orientazione positiva del bordo di R rispetto a R. Teorema di Stokes per 2-forme in R3 (dimostrazione nel caso in cui R e' contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale). Esempi.31/5, 12.30-14.30: Esercizio sull'integrale di una 2-forma sulla sfera. Dizionario forme differenziali/campi vettoriali: flusso di un campo vettoriale X attraverso una regione regolare R in una superficie orientata; il flusso e' uguale all'integrale su R della 2-forma associata a X. Teorema del rotore.
Teorema di Gauss-Bonnet: enunciato senza dimostrazione nel caso globale; discussione del significato, applicazioni ed esempi.
Definizione di geodetica. Una geodetica e' sempre parametrizzata rispetto a un multiplo della lunghezza d'arco. Equazioni locali delle geodetiche. Teorema di esistenza e unicita' locale della geodetica per un punto con vettore tangente assegnato (solo enunciato). Le geodetiche rappresentano i moti sulla superficie di un punto non soggetto a forze attive. Le geodetiche nel piano sono le rette.1/6, 14.30-16.30: Una retta in una superficie e' sempre una geodetica. Geodetica della sfera e del cilindro. Su una superficie di rotazione i meridiani sono sempre geodetiche; un parallelo e' una geodetica se e solo se e' ottenuto per rotazione di un punto in cui la curva ha tangente parallela all'asse di rotazione. Esempio: il toro.
Esercizi su superfici, curvature, geodetiche e teorema di Gauss-Bonnet.4 giugno - 10 giugno
6/6, 8.30-10.30: Esercizi di riepilogo.