La dimostrazione comincia con il prendere r appartenente ad y^{-1}(W) (cioè un punto nel dominio) e conclude facendo vedere che h è differenziabile in un intorno N del punto r.
Poiché r era arbitrario, la funzione h è differenziabie su tutto il suo dominio, semplicemente prendendo il punto in cui si vuole dimostrare la differenziabilità e ripetendo il ragionamento.
Questo è un modo standard di dimostrare: se voglio qualcosa per tutti i punti basta dimostrare l'affermazione per un punto arbitrario.
Naturalmente nella dimostazione non devo usare proprietà speciali del punto che ho scelto, oltre ad essere nell'insieme "giusto".
Grazie per l'osservazione, ho aggiunto una riga alla fine della dimostrazione mettendo in luce questo fatto. Il nuovo file della Lezione 7 è già caricato su Moodle.