Ho ricevuto una domanda di chiarimento per l'Esercizi d'esame 1.3. Riporto qui sotto la domanda e la mia risposta, che potrebbe essere utile a tutti.
Domanda: Quando viene chiesto di mostrare che α "non è omeomorfismo con l'immagine" viene chiesto di far vedere che effettivamente non può essere un omeomorfismo tra R e α(R)?
Risposta: Esatto, α non è un omeomorfismo fra R e α(R).
Si può dimostrarlo facendo vedere che l'inversa α-1 non è continua.
Si può
anche osservare che R (con la sua topologia euclidea standard) e
α(R) (con la topologia come sottospazio di R2) non sono omeomorfi,
quindi non ci può essere omeomorfismo.
Il disegno presente nel foglio degli esercizi dovrebbe suggerire come
procedere per dimostrare entrambi gli enunciati appena detti.
Naturalmente basta dimostrarne uno per completare l'esercizio.