1. Introduzione

Dato \(X\) spazio di Banach (o un sottospazio chiuso di uno spazio di Banach, a meno di traslazioni) ed un funzionale (chiamato energia) \(\mathfrak{F}: X \rightarrow \mathbb{R} \cup\{+\infty\}\), in queste note ci occuperemo di varie questioni legate alla minimizzazione di \(\mathfrak{F}\) su \(X\), cioè il problema

\(\text { Trovare } \bar{x} \in X: \mathfrak{F}(\bar{x})=\min _{x \in X} \mathfrak{F}(x) \text {. } \tag{1.1}\)

Tra le principali questioni che affronteremo nella prima parte di corso (e dunque in queste note) ci saranno il problema dell’esistenza di un punto di minimo e la discussione di alcune sue proprietà.

Concretamente, le energie che studieremo saranno del tipo

\(\mathfrak{F}(v):=\int_{\Omega} L(x, v(x), \nabla v(x)) \mathrm{d} x, \tag{1.2}\)

dove \(\Omega\) è un aperto limitato e regolare di \(\mathbb{R}^{d}\), la funzione \(L\) (chiamata Lagrangiana)

\(L: \Omega \times \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{N \times d} \rightarrow \mathbb{R} \cup\{+\infty\}\)