Weekly outline
Geometria 3
Corso di Laurea in Matematica, 6 CFU (48 ore), secondo anno, secondo semestre.
Docente: Cinzia Casagrande
Orario: mercoledi' 12.30-14.30, giovedi' 14.30-16.30, aula A.
Avviso importante: gio 26/4, gio 3/5, mer 30/5, gio 31/5 non ci sara' lezione di Geometria 3
Si terranno due lezioni di recupero lun 23/4 h 14:30-16:30 e lun 28/5 h 14:30-16:30, in aula A
Si terra' un'esercitazione di riepilogo di preparazione allo scritto lun 4/6 h 14:30-16:30Testi di riferimento:
Per curve e superfici:
M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer
M. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall
(entrambi questi testi propongono esercizi)Per le forme differenziali in Rn:
M. Do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer - capitolo 1
Referenze per la relazione con i campi vettoriali: Analisi matematica, volume 2, V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini (capitolo X) oppure Analisi matematica 2, C.D. Pagani e S. Salsa, seconda edizione, sez. 6.3Ricevimento: su appuntamento.
Modalita' d'esame:
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 2 ore e mezza. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova; è consentito l'uso di calcolatrici di base. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.
Attenzione: il programma del corso e' nella forma attuale a partire dall'a.a. 15/16, quindi le prove scritte d'esame sullo stesso programma sono a partire da giugno 2016. Le prove d'esame degli anni precedenti contengono comunque esercizi su curve e superfici, ma anche esercizi su parti di programma non comprese piu' in Geometria 3. Inoltre, le prove d'esame dell'a.a. 15/16 contengono anche domande di teoria, mentre dall'a.a. 16/17 la prova scritta contiene solo esercizi.
Esercizi consigliati dal libro di Abate - Tovena
1.1, 1.4, 1.5, 1.7-1.9, 1.13, 1.15, 1.17, 1.18, 1.21-1.27, 1.29, 1.30, 1.32, 1.33, 1.35-1.39, 1.42-1.47, 1.51-1.53, 1.56-1.58, 1.77, 1.79, 1.80, 1.84, 1.85, 1.87, 1.95-1.97
3.2, 3.4-3.6, 3.8-3.13, 3.15-3.19, 3.21, 3.22, 3.25-3.28, 3.30, 3.31, 3.34, 3.40-3.44, 3.46, 3.49-3.52
4.1 -4.7, 4.9-4.11, 4.14-4.15, 4.17-4.18, 4.22-4.33, 4.45-4.53, 4.57, 4.7726 February - 4 March
28/2, 12:30-14:30 Introduzione al corso.
Teoria locale delle curve. Richiami dal corso di Analisi 2: curve in Rn, curve regolari, cambiamenti di parametro. Curve rettificabili; una curva di classe C1 e' rettificabile e la lunghezza si calcola con l'integrale della norma della derivata.
Funzione lunghezza d'arco, curve p.r.l.a. Una curva e' p.r.l.a. sse la derivata e' sempre un versore. Ogni curva regolare ammette una riparametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco, unica a meno di traslazioni del parametro. Versore tangente, curvatura e raggio di curvatura di una curva p.r.l.a.; curve biregolari. Esempi: retta, circonferenza.
Curve p.r.l.a. e biregolari in R3: sistema di riferimento di Frenet, piano osculatore, circonferenza osculatrice. Una curva e' piana sse il versore binormale e' costante.1/3, 14:30-16:30 Curve p.r.l.a. e biregolari in R3: torsione, formule di Frenet. Esempio: l'elica circolare. Comportamento locale in un punto: significato geometrico di piano osculatore, torsione, circonferenza osculatrice e curvatura.
Se due curve in R3 differiscono per una rototraslazione, hanno la stessa curvatura e torsione. Richiamo su esistenza e unicita' della soluzione globale del problema di Cauchy associato a un sistema lineare di equazioni differenziali ordinarie. Teorema fondamentale della teoria delle curve in R3: prima parte della dimostrazione.5 March - 11 March
7/3, 12:30-14:30 Seconda parte della dimostrazione del teorema fondamentale della teoria delle curve in R3.
Curve p.r.l.a. in R2: sistema di riferimento di Frenet, curvatura orientata, formule di Frenet; teorema fondamentale nel caso del piano. Comportamento locale di curve piane rispetto alla retta tangente: significato del segno della curvatura orientata, circonferenza osculatrice.
Curve non p.r.l.a.: formule per curvatura, torsione, curvatura orientata.8/3, 14:30-16:30 Esercizi sulle curve.
Es. 1 dallo scritto di febbraio 2018. Es. 1 dallo scritto di settembre 2017. Es. 1 dallo scritto di luglio 2017. Una curva biregolare in R3 avente curvatura e torsione costanti ha sostegno contenuto in una circonferenza o in un'elica circolare. Se una curva biregolare in R3 e' tale che tutti i piani osculatori hanno un punto comune, allora la curva e' piana. Trattrice.12 March - 18 March
14/3, 12:30-14:30 Moto di un punto vincolato a muoversi su una curva nello spazio, relazione con quanto visto sulle curve.
1-sottovarietà in Rn. Esempi in R2: grafici di funzione, curve di livello. Ogni 1-sottovarietà C è il sostegno di una curva regolare f, iniettiva nel caso non compatto (in tal caso f induce un omeomorfismo tra C e R), periodica nel caso compatto (f induce un omeomorfismo tra C e la circonferenza): prima parte della dimostrazione.15/3, 14:30-16:30 Seconda parte della dimostrazione.
Una 1-sottovarietà in R2 è, nell'intorno di ogni punto, un grafico di una funzione di classe C^{\infty} rispetto a una delle due variabili.
Esempi in R2: la cubica nodale (descrizione parametrica e con equazione), la cubica cuspidale (descrizione parametrica e con equazione), una curva regolare e iniettiva che non è omeomorfismo con il sostegno.19 March - 25 March
21/3, 12:30-14:30 Forme multilineari su uno spazio vettoriale reale V (di dimensione finita n), forme alternanti, potenza esterna k-esima di V*. La potenza esterna k-esima e' nulla se k>n. Prodotto wedge di k forme lineari su V. Data una base di V e la base duale di V*, i prodotti wedge degli elementi della base duale danno una base della potenza esterna. Esempi. Prodotto wedge di forme alternanti.
22/3, 14:30-16:30 Esercizi sulle curve.
Es. 1 dallo scritto di gennaio 2017.
La catenaria: riparametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco, curvatura e riferimento di Frenet.
Luogo dei centri di curvatura c(t) di una curva piana, c(t) e' un'evoluta della curva di partenza.
Il luogo dei centri di curvatura della trattrice e' un'evoluta della catenaria.
Es. 1 dallo scritto di luglio 2016.
Sia a=a(t) un'elica circolare, p un punto non sul sostegno, P(t) il piano osculatore all'elica in t. Mostrare che esiste un piano Q tale che p appartiene a P(t) sse a(t) appartiene a Q.26 March - 1 April
28/3, 12:30-14:30 Proprieta' del prodotto wedge di forme alternanti: scrittura nella base, associativita', (anti)commutativita'. Nel caso di prodotto wedge di forme lineari, le due definizioni date coincidono.
Applicazione lineare trasposta tra le potenze esterne, indotta da un'applicazione lineare tra spazi vettoriali. La trasposta di un'applicazione lineare preserva il prodotto wedge di forme alternanti.
Forme differenziali su un aperto di Rn, definizione e espressione in coordinate. Operazioni sulle forme differenziali: somma, prodotto per una funzione, prodotto wedge. Esempi.2 April - 8 April
4/4, 12:30-14:30 Valutazione di una k-forma su k campi vettoriali, esempio.
Pull-back di forme differenziali: definizione, proprietà, espressione in coordinate, esempio.
Differenziale esterno: definizione, esempio. Proprietà: comportamento del differenziale rispetto alla somma, al prodotto per una funzione, al prodotto wedge. Il differenziale ripetuto due volte dà sempre la forma nulla. Il pull-back commuta con il differenziale.5/4, 14:30-16:30 Forme chiuse, forme esatte, primitive. Caso delle 1-forme: dizionario 1-forme / campi vettoriali. Richiami da Analisi 2: integrale di una 1-forma lungo una curva, caratterizzazione dell'esattezza in termini di integrale; su un aperto semplicemente connesso, ogni 1-forma chiusa e' esatta. lemma di Poincare': su un aperto contraibile di Rn, ogni k-forma chiusa e' esatta (solo enunciato). Campo vettoriale associato a una 2-forma su R3. Differenziale in R3 in termini di campi vettoriali: relazione con gradiente, rotore e divergenza.
Superfici regolari in R3, parametrizzazioni locali, atlante. Esempi: il piano, i grafici di funzione, la sfera, le superfici di livello, il cono.
9 April - 15 April
11/4, 12:30-14:30 Esercizi su forme alternanti e forme differenziali.
Dato un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V, l'endomorfismo indotto della potenza esterna massima del duale di V e' la moltiplicazione per det(f). Se a e' una k-forma con k dispari, il prodotto esterno di a con se stessa e' zero. Es. 3 dallo scritto di gennaio 2018.
L'inversa della proiezione stereografica da' una parametrizzazione locale per la sfera.12/4, 14:30-16:30 Ogni superficie e' localmente un grafico. Se S e' una superficie regolare e f:U->S e' un'applicazione regolare da un aperto di R2, iniettiva e con differenziale iniettivo, allora f e' una parametrizzazione locale. (Teorema dell'applicazione aperta per funzioni regolari da Rn in Rn.) Esempio: la proprieta' non e' vera se S non e' una superficie regolare. L'inversa di una parmetrizzazione locale e', localmente, la restrizione di un'applicazione regolare su un aperto di R3. Il cambiamento di coordinate e' un diffeomorfismo.
Superfici di rotazione.16 April - 22 April
18/4, 12:30-14:30 Funzioni regolari su una superficie, applicazioni regolari tra superfici, diffeomorfismi. Espressione in coordinate.
Piano tangente a una superficie regolare in un punto come insieme dei vettori tangenti alle curve sulla superficie in quel punto. Il piano tangente e' l'immagine del differenziale di una parametrizzazione locale. Le derivate parziali di una parametrizzazione locale sono i vettori tangenti alle curve coordinate, e formano una base del piano tangente. Date due parametrizzazioni locali nello stesso punto, la matrice del cambiamento di base tra le basi indotte del piano tangente e' la matrice jacobiana del cambiamento di coordinate. Il piano tangente a una superficie di livello {F(p)=a} e' il piano ortogonale al gradiente di F.
Differenziale di un'applicazione regolare tra superfici.19/4, 14:30-16:30 Differenziale di un'applicazione regolare tra superfici, relazione con il differenziale dell'espressione in coordinate locali. La matrice che rappresenta dF rispetto alle basi dei piani tangenti date dalle parametrizzazioni locali e' la jacobiana dell'espressione di F in coordinate locali. Il differenziale di una composizione e' la composizione dei differenziali; il differenziale di un diffeomorfismo e' un isomorfismo. Teorema di invertibilita' locale per un'applicazione tra superfici. Differenziale di un'applicazione da una superficie a Rn. Applicazione tra superfici indotta da un'applicazione differenziabile da R3 a R3. Esempio: la mappa antipodale sulla sfera.
Parametrizzazioni locali equiorientate, superfici orientabili. Il piano, i grafici di funzione, la sfera sono orientabili. Campo di versori normali. Una superficie e' orientabile sse ammette un campo di versori normali.23 April - 29 April
Lunedì 23/4 h 14:30-16:30, aula A: lezione di recupero Esercizi sulle superfici.
Atlante della sfera come superficie di rotazione, coordinate sferiche. Superfici di rotazione che intersecano l'asse di rotazione. Panoramiche delle quadriche come superfici regolari.
Diffeomorfismo tra l'iperboloide iperbolico e il cilindro, scrittura esplicita del differenziale.Giovedì 26/4 non ci sarà lezione di Geometria 3
30 April - 6 May
2/5, 12:30-14:30 Relazione tra i versori normali indotti da diverse parametrizzazioni. Una superficie e' orientabile sse ammette un campo di versori normali: dimostrazione. Orientazione di una superficie orientabile. Le superfici di livello sono sempre orientabili. Se una superficie S ha due parametrizzazioni locali a dominio connesso, che non sono equiorientate, ne' inducono orientazione opposta, allora S non e' orientabile.
Costruzione del nastro di Moebius come superficie regolare.Giovedì 3/5 non ci sarà lezione di Geometria 3
7 May - 13 May
9/5, 12:30-14:30 Il nastro di Moebius non e' orientabile. Le superfici di rotazione sono orientabili. L'orientabilita' e' invariante per diffeomorfismo. Alcuni risultati globali sulle superfici, enunciati senza dimostrazione: 1) due superfici regolari in R3 sono diffeomorfe sse sono omeomorfe; 2) la nozione di orientabilita' di una superficie regolare coincide con la nozione topologica; 3) una superficie regolare S compatta e connessa in R3 e' sempre orientabile; inoltre R3\S ha due componenti connesse, una limitata (interno di S) e una illimitata (esterno di S).
Integrale di una 2-forma differenziale in R3 su un compatto K contenuto in una superficie orientata. Caso in cui K e' contenuto nell'immagine di una parametrizzazione locale dell'atlante orientato: l'integrale non dipende dalla scelta della parametrizzazione. Esempio. Cenni sul caso generale.
Introduzione al teorema di Stokes. Regione regolare su una superficie. Orientazione positiva del bordo di una regione regolare su una superficie orientata (o nel piano). Richiamo del teorema di Gauss-Green nel piano; equivalenza con il teorema di Stokes in R2. Enunciato del teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici in R3.10/5, 14:30-16:30 Dimostrazione del teorema di Stokes nel caso in cui la regione regolare e' contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale. Esempi e applicazioni. Flusso di un campo vettoriale attraverso una regione regolare; il flusso e' uguale all'integrale della 2-forma corrispondente al campo vettoriale. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa; la circuitazione e' uguale all'integrale lungo la curva della 1-forma corrispondente al campo vettoriale. Interpretazione del teorema di Stokes in termini di campi vettoriali: teorema del rotore.
Proprieta' metriche di una superficie regolare: prima forma fondamentale; coefficienti della I forma fondamentale rispetto a una parametrizzazione locale. Lunghezze di curve su una superficie. Angoli tra curve su una superficie; parametrizzazioni ortogonali. Area di un compatto su una superficie; esempio: superfici di rotazione.14 May - 20 May
16/5, 12:30-14:30 Esercizi su integrali di 2-forme su superfici, teorema di Stokes, area, superfici.
Es. 3 dallo scritto di giugno 2017. Es. 3 (ii) dallo scritto di luglio 2017. Es. 3 dallo scritto di settembre 2017. Es. 4 dallo scritto di gennaio 2017.
Es. 2 (i), (ii) e (iii) dallo scritto di giugno 2017. Un'applicazione regolare tra superfici e' localmente costante sse ha differenziale nullo in ogni punto. La sezione di una superficie regolare con un piano non tangente e' localmente una 1-sottovarieta'.17/5, 14:30-16:30 Curva sezione normale, curvatura normale di una superficie in un punto lungo un versore tangente. Esempi: piano, sfera, cilindro. Mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss e' un endomorfismo del piano tangente, ed e' un endomorfismo simmetrico. Seconda forma fondamentale. Esempi: piano, sfera, cilindro. Data una curva sulla superficie, la seconda f.f. calcolata sul vettore tangente e' uguale al prodotto scalare tra la derivata seconda della curva e il versore normale alla superficie. Teorema di Meusnier: la curvatura normale lungo un versore tangente v e' uguale alla seconda f.f. calcolata in v. Direzioni princiapli e curvature principali. Base ortonormale del piano tangente che diagonalizza la seconda f.f.; le curvature principali sono il minimo e il massimo delle curvature normali nel punto. Punti ombelicali.
21 May - 27 May
23/5, 12:30-14:30 Curvatura gaussiana e curvatura media. La curvatura gaussiana non dipende dall'orientazione. Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari. Direzioni asintotiche. Espressione in coordinate della seconda forma fondamentale e del differenziale della mappa di Gauss. Studio locale della distanza dal piano tangente. Comportamento locale di S rispetto al piano tangente, natura dei punti, e segno della seconda f.f. Esempi: sella di scimmia; natura dei punti del toro.
Isometrie locali e isometrie. Un'isometria locale conserva le lunghezze delle curve, le aree, gli angoli tra curve. Esempio: isometria locale tra piano e cilindro. Similitudine locale di scala r; una similitudine locale moltiplica le lunghezze delle curve per r, le aree per r2, e conserva gli angoli tra curve. Introduzione al teorema Egregium.24/5, 14:30-16:30 Data un'isometria locale tra superfici e una parametrizzazione locale della prima superficie, costruzione di una parametrizzazione locale della seconda superficie avente gli stessi coefficienti della I f.f. Viceversa: date due parametrizzazioni locali di due superfici aventi lo stesso dominio, e gli stessi coefficienti della I f.f., costruzione di un'isometria tra le loro immagini. Teorema Egregium (solo enunciato): data una parametrizzazione locale, l'espressione della curvatura gaussiana in coordinate locali si puo' esprimere in termini dei coefficienti della I f.f. e delle loro derivate. Corollario: la curvatura gaussiana e' invariante per isometrie locali. Caso di una similitudine di scala r.
Integrale di una funzione continua su un compatto C contenuto in una superficie: caso in cui C e' contenuto nell'immagine di una parametrizzazione locale; l'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta. Enunciato del teorema di Gauss-Bonnet in forma globale. Un punto di norma massima su una superficie compatta e' ellittico. Una superficie compatta e connessa non omeomorfa ad una sfera contiene sempre un aperto di punti ellittici, un aperto di punti iperbolici, e un chiuso di punti a curvatura gaussiana nulla.
Cenni sulle geodetiche: definizione; una geodetica e' sempre parametrizzata rispetto a un multiplo della lunghezza d'arco. Moto di un punto su una superficie; interpretazione delle geodetiche come moti di punti sulla superficie, non soggetti a forze attive. Esempi: piano, sfera, cilindro. Teorema di esistenza e unicita' locale della geodetica per un punto con vettore tangente assegnato (solo enunciato).28 May - 3 June
28/5, 14:30-16:30: Esercizi su superfici, curvatura e seconda forma fondamentale.
Elicoide. Catenoide. Elicoide e catenoide sono localmente isometrici. Pseudosfera. Superfici di rotazione: prima e seconda forma fondamentale, direzioni e curvature principali, natura dei punti. Esercizio n. 2 dallo scritto di luglio 2017.Mercoledì 30/5 e giovedì 31/5 non ci sarà lezione di Geometria 3
4 June - 10 June
Lunedì 4/6 h 14:30-16:30, aula A: esercitazione di riepilogo di preparazione allo scritto