Weekly outline

  • General

    Istituzioni di Geometria 

          a.a. 2018/19



    DOCENTI: Prof. Luigi Vezzoni & Prof. Cinzia Casagrande


    INFORMAZIONI GENERALI :

    • Il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione), e si svolge al primo semestre

    • La versione dell'esame da 6 Crediti (48 ore ore di lezione) comprende, come programma, meta' della parte di geometria differenziale, e la parte di geometria algebrica (si veda il calendario delle lezioni qui sotto).

    ORARIO:

    • Lunedì 12:30-14:30, mercoledì 14:30-16:30, giovedì 10:30-12:30, aula Lagrange


      RICEVIMENTO DOCENTI: 

      • su appuntamento tramite email


        ARGOMENTO:

        Il corso si propone di dare un'introduzione alla teoria delle varietà differenziabili e delle varietà algebriche complesse.


        TESTI CONSIGLIATI:

        Per la parte di Geometria Differenziale

        • Appunti di Geometria Differenziale
        • T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.
        • J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
        • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.
        • F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

        Per la parte di Geometria Algebrica

        • W. Fulton, Algebraic Curves, disponibile sulla pagina web dell'autore: http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/
        • M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988.
        • K. Smith et al., An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000.

        Parti svolte dal libro di Fulton: Cap. 1, sezioni 1.1 - 1.7. Cap. 2, sezioni 2.1 - 2.6. Cap. 3, sezioni 3.1 - 3.2. Cap. 4, sezioni 4.2 (esclusi l'anello delle coordinate omogenee, il campo delle funzioni razionali e l'anello locale nel caso proiettivo) - 4.3. Cap. 6, sezione 6.1.

        ESAME:

        L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello in cui si e' superata la prova scritta.

        Alcuni esercizi sulla parte di geometria algebrica, simili a possibili esercizi della prova scritta, si posso trovare qui sotto.

        Gli studenti degli anni precedenti che intendono sostenere l'esame sul programma degli anni scorsi devono comunicarlo ai docenti almeno due settimane prima dell'appello d'esame.


        CALENDARIO DELLE LEZIONI (eventuali variazioni verranno comunicate tempestivamente a lezione e su questo sito):

        Casagrande (programma di Geometria Algebrica - 24 ore): mer 3/10, gio 4/10, gio 11/10, gio 18/10, gio 25/10, lun 29/10, mer 31/10, lun 12/11, gio 22/11, gio 29/11, gio 6/12, lun 10/12

        Vezzoni (programma di Geometria Differenziale - 48 ore): tutte le lezioni restanti; la parte di programma per l'esame da 6 CFU si svolgera' nelle prime 24 ore

      • 24 September - 30 September

        Lunedì 24 settembre [LV]

        Introduzione al corso. Richiami di topologia. Definizione di varietà topologica ed esempi. 


        Mercoledì 26 settembre [LV]

        Lo spazio proiettivo è di Hausdorff e a base numerabile. Ogni varietà topologica è localmente connessa per archi. Alcune conseguenze. Atlanti e strutture differenziabili. Esempi di varietà differenziabili. Un teorema di struttura per le varietà differenziabili.  


        Giovedì 27 settembre [LV]

        Funzioni lisce su varietà differenziabili. Funzioni lisce tra varietà differenziabili. Le funzioni lisce sono continue e composizioni di mappe lisce sono lisce. 
        Esempi di funzioni lisce tra varietà. Il gruppo dei diffeomorfismi. Alcuni esempi esotici.  




        • 1 October - 7 October

          Lunedì 1 ottobre [LV]

          Introduzione allo spazio tangente ad una superficie. Lo spazio tangente ad una superficie come uno spazio di derivazioni. Germi di funzioni lisce su varietà differenziabili. Lo spazio tangente ad una varietà differenziabile definito come insieme di derivazioni. 

          Mercoledi' 3 ottobre, 14:30-16:30 [CC]

          Introduzione alla geometria algebrica. Spazio affine su un campo, polinomi, ipersuperfici, insiemi algebrici; proprieta' ed esempi. Struttura di k-algebra. Esercizi dal Fulton: 1.8, 1.11 (a) e (b), 1.12, 1.4, 1.6, 1.14.

          Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.10, 1.11(c), 1.13, 1.15.

          Giovedi' 4 ottobre, 10:30-12:30 [CC]

          Richiami su anelli noetheriani, teorema della base di Hilbert, l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo e' noetheriano. Ogni insieme algebrico puo' essere definito da un numero finito di polinomi. Ideale di un sottoinsieme dello spazio affine, proprieta' ed esempi. Richiami su ideali massimali, primi, radicali; radicale di un ideale. L'ideale di un sottoinsieme e' sempre radicale. Insiemi algebrici riducibili e irriducibili; un insieme algebrico X e' irriducibile sse I(X) e' primo; esempi. Decomposizione in irriducibili: enunciato.
          Esercizi dal Fulton: 1.7, 1.16, 1.18, 1.19, 1.25(a)

          Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.17, 1.20, 1.26.



          • 8 October - 14 October

            Lunedì 8 ottobre [LV]

            La dimostrazione del fatto che lo spazio tangente di una varietà differenziabile ha dimensione finita uguale alla dimensione della varietà.
            Il differenziale di una funzione su una varietà. Proprietà principali del differenziale. Il differenziale rispetta le proprietà funtoriali, in particolare se due varietà sono diffeomorfe hanno la stessa dimensione. Il differenziale letto in componenti. Se una funzione ha differenziale nullo è localmente costante. 

            Mercoledì 9 ottobre [LV]

            Il differenziale di una funzione definita in una varietà a valori in Rn. I differenziali delle componenti di una carta locale definiscono una base dello spazio cotangente. Il fibrato tangente: definizione e struttura di varietà differenziale. La proiezione nel fibrato tangente è una mappa liscia. Definizione di fibrato vettoriale. Mappe di cociclo. Sezioni di un fibrato vettoriale.       

            Giovedì 11 ottobre, 10:30-12:30 [CC]

            Decomposizione in irriducibili: dimostrazione. Esercizi dal Fulton: 1.25(b), 1.26, 1.29.
            Data un'ipersuperficie algebrica in Rn (rispettivamente, in Cn) definita da un polinomio F, l'aperto dei punti in cui almeno una delle derivate parziali di F e' non nulla ha una struttura naturale di varieta' differenziabile di dimensione n-1 (rispettivamente, 2n-2). 
            Sottoinsiemi algebrici del piano affine: due polinomi primi tra loro si annullano al piu' su un insieme finito nel piano affine; applicazioni.

            Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.27, 1.28, 1.30. Mostrare che nel piano affine complesso l'ideale di V(x+y2) e' generato da x+y2.


            • 15 October - 21 October

              15 Ottobre [LV]

              Le mappe di cociclo nello spazio tangente sono date dalle matrici Jacobiane dei cambi di coordinate. Una caratterizzazione dei fribrati vettoriali. Il fibrato tautologico sullo spazio proiettivo reale. Il teorema di struttura dei fibrati vettoriali e la prima parte della dimostrazione.    


              17 Ottobre [LV]

              Fine della della dimostrazione del teorema di struttura dei fibrati vettoriali. Morfismi tra fibrati vettoriali: caratterizione locale. Sezioni di un fibrato vettoriale. Lo spazio delle sezioni è un modulo sull'anello delle funzioni lisce (esercizio). Un fibrato in rette è banale se e solo ha una sezione globale mai nulla. Generalizzazione ai fibrati di rango arbitrario. Fibrati naturali in rette nello spazio proiettivo reale, capire quando sono banali (esercizio).  


              Giovedi' 18 Ottobre, 10:30 - 12:30 [CC]

              Ancora sui sottoinsiemi algebrici del piano affine.
              Nullstellensatz debole, Nullstellensatz forte, corollari e applicazioni. Esercizio dal Fulton 1.33(a).

              Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.31, 1.32, 1.33(b), 1.34, 1.35, 1.37.

              • 22 October - 28 October

                22 ottobre (LV)

                Risoluzione di alcuni esercizi proposti alla lezione precedente: lo spazio delle sezioni di un fibrato forma uno spazio vettoriale reale e un modulo sull'anello delle funzioni lisce. Un fibrato è banale se e solo se ha un frame globale. La famiglia E_d di fibrati in rette sullo spazio proiettivo reale. Se d è parti E_d è banale,  mentre se d è dispari, E_d è isomorfo a E_1. Lo spazio delle sezioni di E_d è isomorfo allo spazio delle funzioni d-omogenee in R^n+1. Alcune considerazioni sui campi vettoriali. 

                24 ottobre (LV)

                Lo spazio dei campi vettoriali su una varietà si identifica con lo spazio delle derivazioni dell'algebra delle funzioni lisce. Alcuni lemmi di estensione per funzioni lisce. Varietà parallelizzabili, S^1, S^3 e i tori sono parallelizzabili. Quando il prodotto di due sfere è parallelizabile (solo enunciato). Bracket di campi vettoriali: proprietà ed espressione locale.    

                25 ottobre, 10:30-12:30 (CC)

                Topologia di Zariski, definizione e prime proprieta'. Richiami su k-algebre finitamente generate. Funzioni polinomiali su varieta' affini, anello delle coordinate di una varieta' affine (come quoziente dell'anello dei polinomi e come anello delle funzioni polinomiali). Corrispondenza ideali radicali / chiusi in una varieta' affine.

                Esercizi dal Fulton: 1.34, 1.38, 1.40, 2.1, 2.2, 2.3

                Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.36, 1.39, 2.4, 2.5, 6.2, 6.6. Se C e' una curva piana affine irriducibile, mostrare che la topologia di Zariski su C e' la topologia cofinita.

                • 29 October - 4 November

                  29 ottobre, 12:30-14:30 (CC)

                  Mappe polinomiali tra varieta', pull-back associato, funtorialita'. Isomorfismi. Le mappe polinomiali tra X e Y sono in biezione con gli omomorfismi di k-algebre tra k[Y] e k[X]. Due varieta' sono isomorfe sse i loro anelli delle coordinate sono isomorfi. Esempio: la curva piana V(xy-1) non e' isomorfa alla retta affine. La congettura jacobiana.

                  Esercizi dal Fulton: 2.7, 2.11, 2.12(a), 2.16.

                  Esercizi da svolgere a casa: Fulton 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9, 2.10, 2.12(b), 2.13, 6.3, 6.5, 6.7. Dimostrare che un sottospazio affine di dimensione r e' isomorfo allo spazio affine r-dimensionale.

                  31 ottobre, 14:30-16:30 (CC)

                  Campo delle funzioni razionali come campo dei quozienti dell'anello delle coordinate. Dominio di una funzione razionale; dom(f) e' un aperto della varieta'. Anello locale di una varieta' in un punto. Una funzione razionale con dom(f)=X e' una funzione polinomiale. Una funzione razionale definisce una funzione da dom(f) in k. Valutazione in p come omomorfismo dall'anello locale in k. Anelli locali: descrizioni equivalenti; Op(X) e' un anello locale. Op(X) e' un anello noetheriano. Esempio: l'anello locale della retta affine nell'origine. Anelli di valutazione discreta.

                  Esercizi dal Fulton: 2.17.

                  Esercizi da svolgere a casa: Fulton 1.2, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21. Se X e' una varieta', mostra che ogni aperto non vuoto di X e' denso.

                  • 5 November - 11 November

                    5.11.2018 (LV)

                    Campi indotti da diffeomorfismi. I diffeomorfismi conservano i bracket di campi vettoriali. Campi F-riferiti. Curve integrali di campi vettoriali: esistenza e unicità locale. Il flusso di un campo vettoriale. 

                    7.11.2018 (LV)

                    Ogni campo vettoriale su una varietà compatta è completo. Immersioni, embedding, sottovarietà. La retrimmagine di un valore regolare trasmise una funziona continua è una sottovarietà. Nuovi esempi di varietà. O(n), SL(n,R), SO(n) sono varietà differenziabili.

                    FINE DEL PRIMO MODULO DELLA PAERTE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE 

                    8.11.2018 (LV)

                    Il teorema dell’inversa locale (solo enunciato). Il teorema del rango. Carte adattate a sottovarietà. Un sottoinsieme S di una varietà M è una sottovarietà se e solo se attorno ad ogni punto di S c’è una carta di M adattata ad S.  

                    • 12 November - 18 November

                      12 novembre, 12:30-14:30 (CC)

                      Anelli di valutazione discreta, caratterizzazioni equivalenti. Un DVR e' un PID; parametro locale; ordine. Esempi.
                      Proprieta' locali delle curve piane: curve piane affini come classi di equivalenza di polinomi; punti semplici e multipli, molteplicita' di una curva in un punto, tangenti a una curva in un punto, tangenti semplici e multiple. Punti multipli ordinari, nodo, cuspide; esempi.

                      Esercizi dal Fulton: 2.8, 2.14, 2.25.

                      Esercizi da svolgere a casa: Fulton 2.23, 2.24, 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.7, 3.9, 3.10, 3.11.

                      14.11.2018 (LV)

                      Retroimmaggini di valori regolari tramite funzioni lisce sono sottovarietà. Dimostrazione e applicazioni del risultato. Alcuni esercizi sulle sottovarietà.

                      15.11.2018 (LV)

                      La superficie di Steiner. Descrizione geometrica della superficie. Calcolo dei punti in cui la superficie non è embedded e dei punti in cui la superficie non è immersa. Restrizione di funzioni lisce a sottovarietà sono lisce e la restrizione del differenziale è il differenziale della restrizione.


                      • 19 November - 25 November

                        19.11.2018 (LV)

                        Partizioni dell'unità: la dimostrazione che ogni ricoprimento aperto su una varietà ha una partizione dell'unità sobbordinata. Ogni immersione è localmente un embedding.

                        21.11.2018 (LV)

                        Insiemi di misura nulla su varietà differenziabili. Funzioni lisce portano insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla. L'immagine tramite una funzione liscia da una varietà in una varietà di dimensione maggiore ha sempre misura nulla. Dimostrazione del teorema che asserisce che ogni mappa liscia da una varietà n-dimensionale ad Rn+1  si approssima in norma C0  con un'immersione. 

                        22.11.2018, 10:30 -12:30 (CC)

                        Se p e' un punto non-singolare su una curva irriducibile C, l'anello locale di C in p e' un DVR; in tal caso, data una retta L per p, l'equazione di L dà un parametro locale sse L non e' tangente a C in p. Ordine di una funzione razionale su C in un punto non singolare; ordine di un polinomio. Punti di flesso. Significato del parametro locale e dell'ordine: se G e' un polinomio che definisce una curva per p non tangente a C in p, allora l'ordine in p della restrizione di G a C coinbcide con la molteplicita' della curva G=0 in p (senza dimostrazione). Molteplicita' di una curva irriducibile in un punto in termini dell'anello locale, esempi. Se l'anello locale di una curva irriducibile in p e' un DVR, allora p e' non-singolare.

                        Esercizi dal Fulton: 3.4, 3.12.

                        Esercizi da svolgere a casa: Fulton 3.13, 3.14, 3.15, 3.16.


                        • 26 November - 2 December

                          26.11.2018 (LV)

                          Ogni immersione da una varietà n-dimensionale in R^m con m>2n si approssima sempre in norma C^0 con  un'immersione iniettiva. Dimostrazione del Teorema di Whitney. Fibrato duale e rispettive sezioni. Estensioni di campi vettoriali. 

                          28.11.2018 (LV)

                          Calcolo del cociclo del fibrato duale. Il differenziale di una funzione è una 1-forma. Esempi ed esercizi. Pull-back di una 1-forma. Integrale di una 1-forma lungo un cammino.  

                          29.11.2018, 10:30 -12:30 (CC)

                          Spazio proiettivo su un campo k, coordinate omogenee. Annullamento di polinomi in un punto dello spazio proiettivo. Insiemi algebrici proiettivi. Ideali omogenei; un ideale e' omogeneo sse puo' essere generato da polinomi omogenei. Ideale dei polinomi che si annullano su un insieme di punti. Topologia di Zariski sullo spazio proiettivo. Irriducibilita'; un insieme algebrico proiettivo X e' irriducibile sse I(X) e' primo; decomposizione in irriducibili. Cono affine su un insieme algebrico proiettivo. Nullstellensatz proiettivo; corrispondenza biunivoca tra insiemi algebrici proiettivi e ideali omogenei, radicali e propri.

                          Esercizi dal Fulton: 3.7, 3.14, 4.2.

                          Esercizi da svolgere a casa: Fulton 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.12, 4.18.

                          • 3 December - 9 December

                            3.12.2018 (LV)

                            1-forma conservative. Una 1-forma è conservativa se e solo se è esatta. 1-forme chiuse. Il pull-back di una 1-forma chiusa è sempre una 1-forma chiusa. In aperti stellati dello spazio Euclideo le 1-forme chiuse sono anche esatte, in particolare ogni 1-forma chiusa su una varietà è localmente esatta. Primo gruppo di coomologia di de Rham e ralazione con in gruppo fondamentale.    

                            5.12.2018 (LV)

                            Algebra multilineare. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali reali di dimensione finita. Basi indotte. Tensori. Tensori simmetrici e tensori alternanti. Simmetrizzatore e alternatore.  Prodotti tra fibrati su varietà: somma diretta, quoziente e prodotti tensoriali. Tensori su varietà. Cenni alla geometria Riemanniana, Lorentziana e simplettica. 

                            6/12/2018, 10:30 -12:30 (CC)

                            Omogenizzazione e deomogenizzazione di polinomi e relative proprieta'. Relazione tra insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi: dato un insieme algebrico affine X, la sua chiusura proiettiva e' definita dall'ideale generato dagli omogenizzati di tutti i polinomi in I(X). La chiusura proiettiva di un'ipersuperficie affine e' un'ipersuperficie proiettiva. Esempio della cubica gobba: per definire la chiusura proiettiva non bastano gli omogenizzati dei generatori di I(X).
                            Punti non singolari di ipersuperfici affini e ipersuperfici proiettive. Un punto e' non singolare per un'ipersuperficie proiettiva X sse e' non singolare per l'ipersuperficie affine ottenuta intersecando X con una carta affine dello spazio proiettivo. Un punto non singolare di un'ipersuperficie proiettiva X appartiene a un'unica componente irriducibile Y di X, ed e' non singolare per Y.

                            Esercizi dal Fulton: 4.7, 4.19, 4.20.

                            Esercizi da svolgere a casa: Fulton 4.21, 4.22, 4.23, 4.25, 6.4. Mostrare che la topologia di Zariski sulla retta proiettiva e' la topologia cofinita.

                            • 10 December - 16 December

                              10/12/2018, 12:30 -14:30 (CC)

                              L'insieme dei punti singolari di un'ipersuperficie proiettiva complessa e' un chiuso proprio. Se X e' un'ipersuperficie proiettiva complessa non-singolare, allora X e' irriducibile. Se X e' un insieme algebrico affine o proiettivo, complesso, e irriducibile, allora X e' connesso nella topologia euclidea (senza dimostrazione).
                              L'insieme dei punti non-singolari di un'ipersupersuperficie proiettiva complessa ha una struttura naturale di varieta' differenziabile, orientabile.
                              Un'ipersuperficie proiettiva complessa non-singolare e' una varieta' differenziabile compatta e orientabile. Caso delle curve proiettive piane non-singolari, discussione della formula del genere. Rette e coniche hanno genere zero. Costruzione della biezione tra una conica di rango 3 e una retta, data dalla proiezione da un punto della conica.
                              Discussione sulle cubiche proiettive piane, a meno di proiettivita'. Discussione della cubica cuspidale e della cubica nodale. A meno di equivalenza proiettiva, ci sono solo 2 cubiche piane proiettive irriducibili e singolari.

                              Esercizi dal Fulton: 5.10 (in parte).

                              Esercizi da svolgere a casa: Fulton 5.10, 5.11, 5.13.

                              12.12.2018 (LV)

                              Forme differenziabili su varietà. Prodotto wedge di forme e pull-back. Differenziale esterno: esistenza e unicità. Forme chiuse e forme esatte. Gruppi di coomologia di De Rham. I gruppi di coomologia di de Rham sono degli invarianti.   

                              • 17 December - 23 December

                                19.12.2018 (LV)

                                Definizione di varietà orientabile e orientazione. Esempi di varietà orientabili. S^n è orientabili. Una varietà è orientabile se e solo se ha una forma volume. 
                                Gli spazi proiettivi sono orientabili se e solo se hanno dimensione dispari. Ogni varietà parallelizzabile è orientabile. Se M è una varietà connessa non orientabile allora si riveste a due fogli con una varietà orientabile. In particolare ogni varietà connessa semplicemente connessa è orientabile.  

                                20.12.2018 (LV)
                                Integrale di forme di differenziabili a supporto compatto su varietà orientate. Varietà con bordo. Teorema di Stokes. dimostrazione del teorema di Stokes per varietà senza bordo.