La confusione è dovuta all'enunciato non corretto. Però ha stimolato questa discussione e quindi ha comunque avuto un effetto positivo.
Il punto 3 dell'Esercizio 5.2 non è corretto. Infatti è possibile trovare una parametrizzazione C-infinito per il sostegno del valore assoluto (questo è il contenuto dell'esercizio 1.10, pag. 36 dell'Abate-Tovena).
La funzione suggerita nell'intervento di Giacomo Maletto funziona (quasi, non proprio quella suggerita ma una collegata), anche se occorrono un po' di calcoli per spiegare bene la situazione.
L'enunciato non corretto è dovuto a una mia lettura affrettata dell'esercizio 1-3.7 del do Carmo, in cui si parla di "strong tangent" e "weak tangent". Queste nozioni possono essere definite per funzioni continue e nel caso di curve C^1 avere "strong tangent" in un punto è equivalente al fatto che la curva sia regolare nel punto (vettore tangente diverso da 0).
Semplificando un po', i concetti "weak" e "strong" si possono esprimere come:
- "strong" = le rette secanti ammettono limite (= alla retta tangente, e cioè c'è il vettore tangente diverso da 0 nel punto)
- "weak" = le rette tangenti ammettono limite, e in questo caso il vettore tangente potrebbe anche essere nullo
Con le definizione date, la cuspide ha "weak tangent" (naturalmente non ha "strong tangent") mentre il valore assoluto non ha nemmeno "weak tangent": i limiti destro e sinistro delle rette tangenti sono ovviamente diversi per il valore assoluto, ma sono uguali per la cuspide.
Nel foglio allegato ci sono tutti i dettagli per la soluzione dell'Esercizio dell'Abate-Tovena sulla parametrizzazione C-infinito. C'è anche allegato un altro file con l'esercizio 1-3.7 del do Carmo con le definizioni precise di "strong tangent" e "weak tangent". Provate a farlo e chiedete spiegazioni se trovate difficoltà.