Non riesco a trovare una dimostrazione (o comunque una buona argomentazione) per rispondere negativamente alla domanda 5.2.2, come sembrerebbe implicato dal punto 3. Inoltre nel 5.2.3 la risposta sembra legata al fatto che la cuspide ammette retta tangente nell'origine, al contrario del valore assoluto. È così?
Provo a darti una risposta del punto 2. Non ne sono totalmente sicuro, ma magari ti apro qualche strada che non hai considerato.
Supponiamo per assurdo che esista una parametrizzazione C^inf. Allora tale parametrizzazione sarà della forma:
a(t)=(x(t),abs((x(t))) dove entrambe le componenti sono C^inf. Tale parametrizzazione possiamo riscriverla come unione di due curve di (x(t),x(t)) e (-x(t),x(t)) per t opportuni, tali che garantiscano una situazione di raccordo in zero.
Quindi quello che sto cercando di fare con questa parametrizzazione è di dividere il valore assoluto nei suoi due rami. Ad esempio puoi verificare mettendo su desmos : (cos(t),cos(t)) t \in (0,pi/2) e (-cos(t),cos(t)) \in (-pi/2,0).
A questo punto credo tu possa concludere abbastanza in fretta l'esercizio, verificando che in zero non è possibile che sia soddisfatta la condizione di essere C^inf per a(t).
Ovviamente non prendere per oro colato tutto ciò che ho detto, fammi sapere se ti quadra tutto e se trovi errori non esitare a dirmelo!
Ammetto di essere anch'io piuttosto confuso. A me viene da pensare questo:
definiamo f(x) = {exp(-1/x^2) se x=/=0, 0 se x=0 (un esempio famoso di funzione infinitamente differenziabile). Voglio che la funzione abbia come codominio tutto R, perciò definisco g(x) = xf(x).
A questo punto la curva parametrizzata beta(t) = (g(t), |g(t)|) dovrebbe essere infinitamente differenziabile e avere come sostegno il valore assoluto; ma non ho controllato i miei passaggi, quindi potrebbe essere un ragionamento erroneo.
La confusione è dovuta all'enunciato non corretto. Però ha stimolato questa discussione e quindi ha comunque avuto un effetto positivo.
Il punto 3 dell'Esercizio 5.2 non è corretto. Infatti è possibile trovare una parametrizzazione C-infinito per il sostegno del valore assoluto (questo è il contenuto dell'esercizio 1.10, pag. 36 dell'Abate-Tovena).
La funzione suggerita nell'intervento di Giacomo Maletto funziona (quasi, non proprio quella suggerita ma una collegata), anche se occorrono un po' di calcoli per spiegare bene la situazione.
L'enunciato non corretto è dovuto a una mia lettura affrettata dell'esercizio 1-3.7 del do Carmo, in cui si parla di "strong tangent" e "weak tangent". Queste nozioni possono essere definite per funzioni continue e nel caso di curve C^1 avere "strong tangent" in un punto è equivalente al fatto che la curva sia regolare nel punto (vettore tangente diverso da 0).
Semplificando un po', i concetti "weak" e "strong" si possono esprimere come:
- "strong" = le rette secanti ammettono limite (= alla retta tangente, e cioè c'è il vettore tangente diverso da 0 nel punto)
- "weak" = le rette tangenti ammettono limite, e in questo caso il vettore tangente potrebbe anche essere nullo
Con le definizione date, la cuspide ha "weak tangent" (naturalmente non ha "strong tangent") mentre il valore assoluto non ha nemmeno "weak tangent": i limiti destro e sinistro delle rette tangenti sono ovviamente diversi per il valore assoluto, ma sono uguali per la cuspide.
Nel foglio allegato ci sono tutti i dettagli per la soluzione dell'Esercizio dell'Abate-Tovena sulla parametrizzazione C-infinito. C'è anche allegato un altro file con l'esercizio 1-3.7 del do Carmo con le definizioni precise di "strong tangent" e "weak tangent". Provate a farlo e chiedete spiegazioni se trovate difficoltà.