E' online il materiale per la lezione 8 (martedì 31 marzo). Trovate il solito file con il testo della lezione.
Ci sono degli esercizi assegnati, che verranno discussi nella lezione del 16 aprile (dopo Pasqua).
Buongiorno professore.
Ho un dubbio sull'esempio 2.6.
Il sostegno di ogni curva tracciata nel cono che passi da O è ovviamente in tale punto non regolare. Abbiamo visto nelle prime lezioni che comunque si può trovare un parametrizzazione sufficientemente buona, e quindi derivare la curva in quel punto. Tuttavia non è necessario che se in tal punto la curva sia derivabile allora la derivata si annulli? (qui anche geometricamente: se voglio provare a vedere un vettore tangente alla curva in quel punto, l'unica mi sembra che abbia norma 0). A questo punto, come si può definire la direzione tangente?
Grazie
Il cono di cui si parla nell'esempio 2.6 non è il cono a cui pensiamo intuitivamente (il cono gelato, il cono che si usa nelle segnalazioni stradali...), ma un "doppio cono". Può trovare una figura di quello che intendo qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica
La prima figura è quella del cono "a una falda" (gelato, ...) la seconda (dove ci sono tre coni uguali uno accanto all'altro) è il cono "a due falde" di equazione x2+ y2 = z2.
Infatti ci sono punti sia con z positivo che z negativo (l'equazione è chiaramente simmetrica rispetto al piano xy). L'intersezione del cono con un piano orizzontale di equazione z = c è una circoferenza (orizzontale) di centro (0, 0, c) e raggio |c| = \( \sqrt{c^2} \), dove il numero c può essere sia positivo che negativo.
E' allora immediato vedere che per l'origine passano tutte le "generatici", cioè le rette che giacciono sul cono. Tutte queste curve sono non singolari, anche se passano per un punto singolare della superficie, e nell'origine la loro direzione tangente è la retta stessa. Dunque il cono tangente nell'origine è formato dall'unione di tutte queste rette e cioè dal cono stesso.
Trova una figura che spiega bene questa situazione sul libro Abbena-Fino-Gianella, che forse ha
per averlo usato l'anno scorso in Geometria UNO. Nel capitolo 12.2
parla del cono. La figura migliore (per i nostri scopi) è la figura
12.3: nel disegno vede chiaramente le rette di cui sto parlando. Non sono sicuro di avere la stessa edizione del libro che ha lei. Comunque cerchi nel capitolo che parla di coni, cilindri, ... e troverà certamente la figura che intendo.
Non ho l’Abbena Fino Gianella sotto mano, ma comunque è chiarissimo: con il doppio cono quadra tutto!
La ringrazio professore, buona serata
Buongiorno professore, ho un dubbio sull'ultima dimostrazione della lezione 8. Provo a esporle quello che mi sembra di aver capito. Ci saranno di sicuro degli errori ma purtroppo non riesco a circoscrivere i miei dubbi e a concentrarli in una singola domanda.
La dimostrazione serve a verificare la buona definizione e linearità, per una mappa generica tra superfici, del differenziale applicato a un vettore dello spazio tangente. Questo è necessario poiché la definizione dipende da alpha (che è necessario introdurre insieme al vettore tangente stesso per definirlo). A questo punto, nella dimostrazione, si introducono in modo naturale altre mappe in modo da costruire un diagramma che commuti in modo "comodo". Da qui perdo il senso della dimostrazione. Lo scopo, mi sembra, è mostrare che (phi \circ alpha)'(0)=β'(0), che è posto uguale al differenziale applicato a w nella definizione, non dipende da alpha. I passaggi di per sé sono chiari, finché non c'è scritto:
"Le coordinate di β′(0) nella base {yξ(q′),yη(q′)} si trovano derivando rispetto a t l’espressione in coordinate locali e si ha, usando la solita formula per le derivate della funzione composta: β′(0)=..."
Quando c'è scritto β′(0)=... si intende che si deriva l'espressione in coordinate locali, ma β non è a valori in R3? (per "vederla" in coordinate locali non bisogna comporla con la carta locale y^-1 ?)
Mi scusi per la lunghezza dell'intervento.
La ringrazio
Certo, ha ragione, ho scritto male io.
La frase
"Le coordinate di β′(0) nella base {yξ(q′),yη(q′)} si trovano ..."
è scritta giusta, in particolare è chiaro che voglio le coordinate di un vettore nello spazio tangente a S2, e quindi 2 numeri. Questo è proprio quello che facciamo, però c'è scritto
" β′(0)=..."
che è sbagliato, mentre il calcolo scritto (e voluto) è
(y-1 ο β)'(0) = ...
Il punto è: per definizione dφ(w) = β′(0). Il vettore β′(0) è un vettore di R3 che per costruzione appartiene anche a Tφ(p) S2.
Quali sono le coordinate di questo vettore? Se lo penso in R3, ha 3 coordinate che, rispetto alla base standard, sono i tre numeri che ottengo calcolando β′(0) come vettore dello spazio.
Io invece voglio vederlo come vettore in Tφ(p) S2 e scriverlo rispetto a una specifica base di Tφ(p) S2. In questa base, le sue 2 coordinate si ottengono calcolando (y-1 ο β)'(0).
Grazie per la precisazione, correggo il file della lezione e metto su Moodle la nuova versione.
Grazie mille professore,
Cordiali saluti