Weekly outline

  • General

    GEOMETRIA 2




    DOCENTI:

    Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    Prof. Cinzia CASAGRANDE

    email: cinzia.casagrande@unito.it



    A V V I S O

    Il giorno 10 gennaio 2017 si terranno due incontri:

    - ore   8:30 - 10:30 TUTORATO sugli argomenti di Geometria Proiettiva (per gli studenti dell'indirizzo teorico) in Aula S

    - ore 16:30 - 18:30  ESERCITAZIONE in preparazione alla prova scritta (per TUTTI gli studenti) in Aula A

    ATTENZIONE: questo è l'orario corretto per l'esercitazione del pomeriggio, l'orario indicato in precedenza era sbagliato


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono TRE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda degli indirizzi e del corso di laurea.

    • Matematica, indirizzo TEORICO (MFN1628): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO (MFN1250): il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre.


    ORARIO:

    • LUN 14:30 - 16:30
    • MAR 16:30 - 18:30
    • MER 14:30 - 16:30
    • GIO 16:30 - 18:30 

    Tutte le lezioni si svolgono in Aula A (nel cortile)


    RICEVIMENTO DOCENTI:

    • Albano: su appuntamento (telefonare o mandare email)
    • Casagrande: martedi' 11-12 in studio, oppure su appuntamento


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Assiomi di separazione. Connessione. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Azioni propriamente discontinue e quozienti. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Rivestimenti.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Orientabilità. Il teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione.

    4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Endomorfismi semisemplici e nilpotenti. Decomposizione di Jordan astratta.

    5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, dualità punti-iperpiani, grassmanniane. Classificazione proiettiva delle quadriche, con particolare attenzione alle coniche piane e alle quadriche nello spazio. Curve algebriche piane: equazioni omogenee, discussione di componenti irriducibili, punti lisci e singolari, flessi. Cubiche piane: forma di Weierstrass, legge di gruppo.


    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. Ricordiamo che 1 CFU = 8 ore di lezione. I programmi d'esame sono:

    • Matematica, indirizzo TEORICO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO: 1 + 2 + 3+ 4
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1. e 2.

    W. S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology , Springer per le parti 2. e 3.

    G. Occhetta, Geometria III scaricabile liberamente per le parti 2. e 3.

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente per la parte  3.

    Vi sono delle note del docente, disponibili nei materiali didattici su Campusnet e qui sotto, per la parte 4.

    N. Hitchin, Projective Geometry, Chapter 1 e 2, scaricabile liberamente per la parte  5.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili dalla pagina di Campusnet di Geometria 2 Teorico (MFN 1628), per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).

    Vi sono delle note del docente ad integrazione dei due testi precedenti che riguardano la geometria del piano proiettivo. Esse trattano inoltre della  operazione di gruppo sulle curve cubiche, sulla pagina di Campusnet. Le note verranno probabilmente sottoposte a ulteriore revisione. Per la parte 5 (dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale).


    FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):

    Topologia e topologia algebrica:
    file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli

    E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri

    Geometria proiettiva:
    le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri


    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.



    ESAMI:

    • L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    • La prova scritta dell'anno accademico 2016/2017 è composta da esercizi da risolvere e dura:
    • 1 ora e 30 minuti (esercizi 1-3) per gli studenti di MatFin,
    • 2 ore e 30 minuti (esercizi 1-5) per gli studenti dell'indirizzo Modellistico,
    • 3 ore (esercizi 1-6) per gli studenti dell'indirizzo Teorico.
    Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    • Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame  in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    • La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 


    PROVE SCRITTE PRECEDENTI:

    Troverete qui sotto i testi delle prove scritte. A volte saranno presenti anche le soluzioni.

    NOTA BENE: le prove dell'anno 2015/2016 erano uguali per l'indirizzo Modellistico e Teorico e avevano una durata di 3 ore (esercizi 1-6) mentre per MatFin avevano una durata di 2 ore (esercizi 1-4).


  • 26 September - 2 October

    TOPOLOGIA GENERALE

    LEZIONE 1 -- 26 settembre 2016

    Introduzione al corso.

    Discussione sulla definizione di continuità per funzioni da \( {\bf R}\) in \( {\bf R}\) in termini di intorni e la definizione di aperto in \( {\bf R}\).

    Definizione di spazio topologico: assiomi degli aperti.

    Chiusi e definizione di topologia medianti i chiusi.

    Esempi: topologia euclidea in \( {\bf R}\), in \( {\bf R}^2\), topologia dei complementari finiti.

    Distanze su \( {\bf R}^2\): distanza euclidea, distanza del sup, distanza in norma 1.


    LEZIONE 2 -- 27 settembre 2016

    Definizione di spazio metrico. Esempi: metriche \(d_2\) e \(d_\infty\) su \({\bf R}^n\) e su \(C([0,1])\).

    Topologia indotta da una metrica. Le topologie indotte da \(d_2\) e \(d_\infty\) su \({\bf R}^n\) coincidono.

    Basi di aperti per una topologia.

    Teorema 3.7. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.

    Basi per la topologia euclidea: palle con centro arbitrario e raggio arbitrario, palle con centro arbitrario e raggio razionale.

    Relazione di finezza fra topologie.


    LEZIONE 3 -- 28 settembre 2016 

    Definizione di chiusura, interno, frontiera di un insieme.

    Definizione di insieme denso.

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20 e Lemma 3.21)


    ESERCITAZIONE 1 - 29 settembre 2016
    Esercizi sulla metrica e topologia euclidea in \(\mathbf{R}^n\). Esercizi su topologie non standard su \(\mathbf{R}\), basi, interno, chiusura, topologie piu' o meno fini. Esercizio 1 scritto luglio 2016 (punto 1).

  • 3 October - 9 October

    LEZIONE 4 -- 3 ottobre 2016

    Sistema fondamentale di intorni (definizione 3.22)

    Continuità: definizione di funzione continua tramite aperti e alcune semplici formulazioni equivalenti (tramite chiusi, base di aperti)

    Lemma 3.25. Le funzioni continue non "strappano" lo spazio: \(f \) è continua se e solo se per ogni \(A\) vale  
    \( f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)} \)


    Definizione di continuità in un punto tramite intorni e equivalenza delle definizioni (Teorema 3.28)

    Definizioni di funzione aperta, chiusa, omeomorfismo.

    SOTTOSPAZI: definizione di topologia di sottospazio come topologia meno fine che rende continua l'inclusione.

    Proposizione 3.54. (proprietà universale della topologia di sottospazio). Siano \(X, Z\) spazi topologici, \(Y \subseteq X\), \(i : Y \to X \) l'inclusione e \(f : Z \to Y\) una funzione. Consideriamo \(Y\) con la topologia di sottospazio. Allora:
          \( f \text{ continua} \iff i\circ f \text{ continua} \)


    LEZIONE 5 -- 4 ottobre 2016

    Per \(A \subseteq Y \subseteq X\) confronto fra la chiusura di \(A\) in \(Y\) e la chiusura di \(A\) in \(X\).
    Definizione di immersione ed alcuni esempi di immersioni e di non immersioni.

    PRODOTTI: definizione della topologia prodotto sul prodotto cartesiano \( P \times Q\) di due spazi topologici.

    Teorema 3.61.
    1. base della topologia prodotto
    2. le proiezioni sono aperte e inducono omeomorfismi \( p : P \times \{y\} \to P \) (e analogamente per \(Q\) )
    3. proprietà universale della topologia prodotto: \(f : X \to P\times Q \text{ continua} \iff p\circ f, q\circ f \text{ continue}\), cioè \(f \) è continua se e solo se la sue componenti sono continue.


    SPAZI DI HAUSDORFF (o spazi \(T_2\))

    definizione (3.65)

    esempio: ogni spazio metrico è di Hausdorff

    Lemma 3.67. In uno spazio di Hausdorff tutti i punti sono chiusi (cioè \(T_2 \implies T_1 \) )


    LEZIONE 6 -- 5 ottobre 2016

    Ulteriori proprietà degli spazi di Hausdorff: sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff (3.68)

    Teorema 3.69. \(X\) è di Hausdorff \( \iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).

    Conseguenze: siano \(f, g : X \to Y\) continue con \(Y \) di Hausdorff. Allora:
    1. (3.70) il luogo su cui \(f\) e \(g\) coincidono è un chiuso in \( X\).
    2. se \(f\) e \(g\) coincidono su un sottoinsieme denso allora coincidono ovunque
    3. il grafico \(\Gamma\) di \(f\) è chiuso in \(X \times Y\)

    NB: 2., 3. assegnati come esercizio


    CONNESSIONE

    Definizione di spazio connesso e condizioni equivalenti.

    Teorema 4.6. L'intervallo \( [0, 1] \) è connesso.

    Teorema 4.7. L'immagine di un connesso è connessa.

    Connessione per archi: definizione.

    Teorema 4.8. Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Lemma 4.10. Se \(A, B\) sono connessi per archi e \(A \cap B \ne \emptyset\) allora \( A \cup B\) è connesso per archi.

    Importante: definizione di prodotto di cammini: \( \alpha \ast \beta \).

    Conseguenze:

    1. ogni sottoinsieme convesso di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi
    2. la sfera \(S^n\) è connessa per archi, per \(n \ge 1\) (NB: \(S^0\) è composta da due punti ed è sconnesso).

    Teorema 4.13. Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) sono equivalenti:

    1. \(I\) è un intervallo (cioè è convesso)
    2. \(I\) è connesso per archi
    3. \(I\) è connesso


    ESERCITAZIONE 2 -- 6 ottobre 2016
    Somma, prodotto, reciproco e radice quadrata di funzioni continue da uno spazio topologico in \(\mathbf{R}\) sono continue (quando definite); funzioni \(\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}\) lineari o polinomiali sono continue. Classificazione delle coniche in \(\mathbf{R}^2\) a meno di omeomorfismo, discussione dei vari casi. Lemma di incollamento. Omeomorfismo tra la sfera \(S^n\) meno il polo nord e \(\mathbf{R}^n\) dato dalla proiezione stereografica.

  • 10 October - 16 October

    LEZIONE 7 -- 10 ottobre 2016

    Lemma 4.18. Siano \(f : X \to Y\) continua e suriettiva, \(Y\) connesso  e tutte le fibre \(f^{-1}(y)\) connesse. Se \(f\) è aperta oppure chiusa, allora \(X\) è connesso.

    Teorema 4.19. Il prodotto di connessi è connesso.

    Lemma 4.22. Se \(Y\) è connesso e \(Y \subseteq W \subseteq \bar Y \) allora \(W\) è connesso.

    Conseguenza importante: la chiusura di un connesso è connessa.

    Lemma 4.23. Unione di connessi con intersezione non vuota è connessa.

    Definizione di componente connessa e principali proprietà: componente connessa di un punto (Lemma 4.25), le componenti connesse sono chiuse e danno una partizione dello spazio (Teorema 4.27)

    Le componenti connesse non sono necessariamente aperte: le componenti connesse di \(\mathbf{Q}\) sono i punti.


    LEZIONE 8 -- 11 ottobre 2016 

    COMPATTEZZA

    Definizione di ricoprimento (aperto) e di sottoricoprimento.

    Definizione di spazio compatto (Definizione 4.35)

    Vari esempi di spazi non compatti: l'intevallo aperto \( (0, 1) \), la retta \(\mathbf{R}\), lo spazio \( \mathbf{R}^n \).

    Teorema 4.38. L'immagine di un compatto è compatta.

    Conseguenza importante: la compattezza è una proprietà topologica.

    Teorema 4.39. L'intevallo chiuso \( [0, 1] \) è compatto.

    Prime proprietà dei compatti (Proposizione 4.41)

    • un chiuso in un compatto è compatto
    • unione finita di compatti è compatto

    Due teoremi tecnici sui compatti:

    Teorema 4.44. Siano \(f : X \to Y\) continua, \(Y\) compatto  e tutte le fibre \(f^{-1}(y)\) compatte. Se \(f\) è chiusa, allora \(X\) è compatto.

    Teorema 4.47 (teorema di Wallace). Siano \(X, Y\) spazi topologici, \(A \subseteq X\), \(B \subseteq Y\), \(A, B\) compatti, e sia \(A \times B \subseteq W\), \(W\) aperto in \(X \times Y\). Allora esistono due aperti \(U, V\) dove \(A \subseteq U \), \(B \subseteq V\) tali che

    \(A \times B \subseteq U\times V \subseteq W\)

    NOTA BENE: se \(A = \{a\} \in X\) e \(B = \{b\} \in Y\), la tesi del teorema di Wallace discende dal fatto che gli aperti della forma \(U\times V\) sono una base della topologia prodotto. Il teorema di Wallace estende questa proprietà dai punti ai compatti.


    LEZIONE 9 -- 12 ottobre 2016 

    Principali proprietà dei compatti:

    Corollario 4.48. Un compatto in uno spazio di Hausorff è chiuso.

    Corollario 4.49. (1) Se \(X\) è compatto, la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa.

    Usando il teorema 4.44 si ha l'importante teorema:

    Corollario 4.49. (2) Il prodotto di due spazi compatti è compatti.

    Corollario 4.50. Un sottoinsieme di \(\mathbf{R}^n\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

    Corollario 4.43. Se \(X\) è compatto, ogni funzione continua \(f X \to \mathbf{R}\) ammette massimo e minimo.

    Corollario 4.52. Sia \( f : X \to Y\) continua da \(X\) compatto a \(Y\) Hausdorff. Allora \(f\) è chiusa. Di conseguenza, se \(f\) è anche biunivoca allora è un omeomorfismo.


    Gruppi topologici: definizione e proprietà di Hausdorff.

    Esempi: \((\mathbf{R}^n, +)\), \((\mathbf{C}^n, +)\)

    Gruppi di matrici reali: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\)

    Gruppi di matrici complessi: \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\)

    Osservazione: il gruppo \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) non è connesso.

    Proposizione (4.58). Il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso.



    ESERCITAZIONE 3 -- 13 ottobre 2016 

    Esercizi su connessione, componenti connesse, compattezza, connessione per archi, Hausdorff, topologia prodotto.

    Es. 4.15 dal Manetti. Proprietà topologiche della topologia banale, topologia discreta, topologia cofinita.

    Possibili topologie su un insieme di due elementi, e relative proprietà.

    Esercizio su una topologia prodotto non standard su \(\mathbf{R}^2\). Es. 4.24 dal Manetti.

    Discussione della compattezza/non compattezza dei gruppi topologici reali \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\). 


  • 17 October - 23 October

    LEZIONE 10 -- 17 ottobre 2016

    Topologia quoziente su \(Y\) indotta da una funzione \(f : X \to Y\), dove \(X\) è uno spazio topologico.
    Definizione di identificazione (5.1)

    Lemma 5.4. \(f : X \to Y\) continua, suriettiva e chiusa (oppure aperta). Allora \(f\) è una identificazione chiusa (aperta).
    Esempio: identificando gli estremi di \([0, 2\pi]\) si ottiene la circonferenza \(S^1\).

    Lemma 5.6. Proprietà universale delle identificazioni.

    Altri esempi di quozienti:
    • \( S^n \cong D^n/S^{n-1} \)
    • \( D^n \cong S^{n-1} \times [0,1] / S^{n-1} \times \{0\} \)

    I quozienti non sono sempre di Hausdorff: esempio la retta con due origini

    Teorema 5.14. \(X\) compatto e di Hausdorff, \(f : X \to Y \) identificazione (cioè \(Y\) ha la topologia quoziente). Sono equivalenti:

    1. \(Y\) è di Hausdorff
    2. \(f\) è una identificazione chiusa
    3. \( K = \{ (x_1, x_2) \in X \times X \mid f(x_1) = f(x_2) \} \) è chiuso in \( X \times X \)

    LEZIONE 11 -- 18 ottobre 2016

    Azione di un gruppo su un insieme: definizione, relazione di equivalenza indotta, classi di equivalenza (orbite), stabilizzatori, spazio quoziente \(X / G\) = spazio delle orbite.

    Corrispondenza biunivoca fra orbita di un elemento e i laterali dello stabilizzatore.

    Esempi di azioni:
    • \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per moltiplicazione (ci sono due orbite)
    • \(\mathbf{Z}\) che opera su \(\mathbf{R}\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}/\mathbf{Z} = S^1\)
    • \(\mathbf{R}^*\) che opera su \(\mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\}\) per moltiplicazione (omotetia): il quoziente è lo spazio proiettivo reale \(\mathbf{RP}^n\)
    • \(G = \{1, -1\}\) che opera sulla sfera \(S^n\) per moltiplicazione    


    Topologia su \(\mathbf{R}^n / \text{GL}(n, \mathbf{R})\) = spazio con due punti, uno aperto e l'altro chiuso.

    Determinazione dello spazio proiettivo reale per \(n = 0, 1, 2\): punto, retta proiettiva omeomorfa ad una circonferenza, piano proiettivo

    \( \mathbf{RP}^n = \mathbf{R}^{n+1} - \{\mathbf{0}\} / \mathbf{R}^* = S^n/\{1, -1\} \)

    \( \mathbf{RP}^n = \mathbf{R}^n \cup \mathbf{RP}^{n - 1} \)

    \( \mathbf{RP}^2 = D^2 \cup \) nastro di Moebius, incollati lungo il bordo



    LEZIONE 12 -- 19 ottobre 2016

    Breve ripasso sulla nozione di cardinalità di un insieme. Il prodotto di insiemi numerabili è numerabile (primo procedimento diagonale di Cantor).

    Primo e secondo assioma di numerabilità. Esempi:

    1. ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma (Lemma 6.11)
    2. la retta reale \(\mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.2)
    3. il prodotto di due spazi che soddisfano il secondo assioma soddisfa il secondo assioma e quindi \(\mathbf{R}^n\) soddisfa il secondo assioma (Esempio 6.4)
    4. secondo assioma \(\implies\) primo assioma

    Definizione di spazio separabile.

    Lemma (6.6). Secondo assioma \(\implies\) separabile.

    Discussione sugli assiomi della teoria degli insiemi. Sistema assiomatico ZF (Zermelo-Fraenkel).

    L'Assioma della Scelta (leggere il paragrafo 2.4). Uso dell'assioma della scelta nella dimostrazione del lemma 6.6.

    Lemma (6.7). Spazio metrico + separabile \(\implies\) secondo assioma

    Osservazione: primo assioma + separabile NON implica secondo assioma (Esempio 6.12, senza dimostrazione)


    Successioni: definizione di successione convergente, punto di accumulazione, sottosuccessione.

    Relazioni fra topologia e successioni:

    Proposizione (6.18). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il primo assioma e sia \(A\subseteq X\). Sono equivalenti:

    1. esiste una successione a valori in \(A\) che converge ad \(x\)
    2. il punto \(x\) è di accumulazione per una successione a valori in \(A\)
    3. il punto \(x\) appartiene alla chiusura di \(A\)


    OSSERVAZIONE: per maggiori dettagli sulle parti di teoria degli insiemi (cardinalità, assioma della scelta), leggere il Capitolo 2 del libro di Manetti.

    Qui sotto trovate:

    - un file (scritto da me alcuni anni fa come parte delle dispense di un corso di Istituzioni di Algebra) con una discussione del sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel. Nella bibliografia sono citati altri utili testi per approfondimenti, segnalo in particolare l'articolo di Y. I. Manin sull'Enciclopedia Einaudi. 

    - le lettere fra J. Hadamard, R. Baire, E. Borel e H. Lebesgue sull'uso da parte di Zermelo dell'assioma della scelta in modo esplicito per la prima volta (citate nel file precedente). Trovate la versione originale in francese (pubblicata sul Bullettin de la Société Mathématique de France nel 1905) e una traduzione in inglese. ESERCIZIO: chi è a favore e chi è contrario all'uso dell'assioma della scelta?

    Cercate su MacTutor informazioni riguardo ai matematici citati oggi a lezione: G. Cantor, G. Frege, B. Russell, E. Zermelo, A. Fraenkel, K. Gödel, P. Cohen, per rendervi conto della storia del problema di trovare assiomi per la teoria degli insiemi (e quindi i fondamenti di tutta la matematica). Se non sapete chi sono, cercate anche informazioni sugli autori delle Cinq Lettres.


    ESERCITAZIONE 4 -- 20 ottobre 2016

    Esercizi su quozienti e azioni di gruppo. Esercizio 5.9 dal Manetti.

    Azione di \(\mathbf{Z}\) su \(\mathbf{R}\) per traslazione, mappa esponenziale \(\mathbf{R} \to S^1\), dimostrazione che la mappa è il quoziente per questa azione.

    Esempio: la restrizione di un'identificazione non è necessariamente un'identificazione, anche quando resta suriettiva.

    Azione di \(\mathbf{Z}^2\) su \(\mathbf{R}^2\) per traslazioni, il quoziente è il toro \(S^1 \times S^1\).

    Il toro come quoziente del quadrato \(I \times I\).

    La bottiglia di Klein come quoziente del quadrato \(I \times I\); la bottiglia di Klein è compatta, Hausdorff, e ogni punto ha un intorno omeomorfo a un disco aperto del piano reale.

    Esercizio lasciato per casa: il cilindro \(S^1 \times I\) come quoziente del quadrato \(I \times I\).

  • 24 October - 30 October

    LEZIONE 13 -- 24 ottobre 2016

    Relazioni fra la compattezza topologica e la compattezza per successioni.

    Proposizione (4.46). Una catena numerabile discendente di chiusi, compatti non vuoti ha intersezione non vuota.

    Lemma (6.19). In uno spazio compatto ogni successione ha un punto di accumulazione.

    Definizione di spazio compatto per successioni.

    Lemma (6.20). Per uno spazio \(X\) che soddisfa il primo assioma sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto per successioni
    2. ogni successione in \(X\) ha un punto di accumulazione

    Proposizione (6.9). Se \(X\) soddisfa il secondo assioma, ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento numerabile.


    Proposizione (6.22). Sia \(X\) uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma. Sono equivalenti:

    1. \(X\) è compatto
    2. ogni successione a valori in \(X\) ha punti di accumulazione
    3. \(X\) è compatto per successioni

    NOTA: \(1. \implies 2.\) è il lemma 6.19 e quindi vale per ogni spazio topologico, \(2. \implies 3.\) è il Lemma 6.20 e quindi vale per tutti gli spazi che soddisfano il primo assioma. Solo \(3. \implies 1.\) richiede il secondo assioma


    Successioni di Cauchy in uno spazio metrico

    Lemma (6.25). Una successione di Cauchy è convergente se e solo se ha punti di accumulazione.

    Definizione di spazio metrico completo.

    Esempi: gli spazi metrici compatti sono completi.

    Teorema (6.27). \(\mathbf{R}^n\) è uno spazio metrico completo.

    Completamento di uno spazio metrico (paragrafo 6.6)

    Definizione di completamento, costruzione dell'insieme \(\hat X\), definizione della funzione \(\hat d\).



    LEZIONE 14 -- 25 ottobre 2016

    Teorema (6.47). Per ogni spazio metrico \((X, d)\), lo spazio \((\hat X, \hat d)\) è un completamento.

    Teorema (6.48). Il completamento di uno spazio metrico è unico a meno di isometrie (solo enunciato)

    Esempio: Il completamento di \(\mathbf{Q}\) rispetto alla distanza euclidea è \(\mathbf{R}\)


    Esempio: la norma \(p\)-adica su \(\mathbf{Q}\). Ci sarà un foglio di esercizi facoltativo su questo argomento.

    Questo argomento non è richiesto per l'esame, ma potrebbe essere oggetto di domande per la lode.


    Fine del programma di TOPOLOGIA GENERALE



    OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    LEZIONE 15 -- 26 ottobre 2016

    Definizione di omotopia fra funzioni.

    Esempi di funzioni omotope.

    Lemma (10.11). L'omotopia è una relazione di equivalenza.

    Lemma (10.13). L'omotopia rispetta la composizione di funzioni.

    Definizione di spazi omotopicamente equivalenti o con lo stesso tipo di omotopia.

    Esempi:

    1. \(\mathbf{R}^n \sim \{*\}\)
    2. \(\mathbf{R}^n - \{0\} \sim S^n\)
    3. \(\mathbf{R}^3 - retta \sim S^1\)

    Definizione di spazio contraibile. Esempi: \(\mathbf{R}^n\), ogni convesso in \(\mathbf{R}^n\), ogni stellato in \(\mathbf{R}^n\).

    Definizione di retratto e di retratto di deformazione (10.18 e 10.20).

    Esempio: \(S^n\) è un retratto di deformazione di \(\mathbf{R}^n - \{0\}\)


    ESERCITAZIONE 5 -- 27 ottobre 2016
    Esercizi 6.3 e 6.1 dal Manetti su separabilità e assiomi di numerabilità: esempio di un quoziente di \(\mathbf{R}\) che non soddisfa il primo assioma di numerabilità.

    Esercizi su convergenza di successioni nella topologia discreta, banale, cofinita.

    Esercizio 2 dall'esame di luglio 2016. Relazione tra intersezione delle chiusure e chiusura dell'intersezione.

    Esercizio 3 punto 1 dall'esame di gennaio 2016.


  • 31 October - 6 November

    NO LEZIONE -- 31 ottobre 2016 



    NO LEZIONE -- 1 novembre 2016 



    LEZIONE 16 -- 2 novembre 2016

    Spazio dei cammini \(\Omega(X, a, b)\) e operazioni di "giunzione di cammini" \(\alpha * \beta\) e "inversione" \(i(\alpha)\).

    Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia rispetta la giunzione e l'inversione.

    Proposizioni (11.4 - 11.6).  A meno di omotopia:

    1. La giunzione è associativa, cioè \( \alpha * (\beta * \gamma) \sim (\alpha * \beta) * \gamma \)
    2. Il cammino costante è un elemento neutro per la giunzione.
    3. \(i(\alpha)\) è l'inverso di \(\alpha\) rispetto alla giunzione.


    Definizione di gruppo fondamentale \(\pi_1(X, a) = \Omega(X, a, a) /\sim\), dove \(\sim\) è l'omotopia a estremi fissi.

    Lemma (11.13).   Un cammino \(\gamma\) che unisce i punti \(a\) e \(b\) induce un isomorfismo

    \( \gamma_\sharp : \pi_1(X, a) \to \pi_1(X, b) \)

    In particolare, se \(X\) è connesso per archi, la classe di isomorfismo del suo gruppo fondamentale non dipende dal punto base.

    Una funzione continua \(f : X \to Y \) induce un omomorfismo \( f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\)

    Proposizione (11.19). Sia \(F: X \times I \to Y \) un'omotopia fra \(f\) e \(g\) e sia \(\gamma(s) = F(a, s)\) il cammino indotto da \(F\) che unisce \(f(a)\) a \(g(a)\). Allora

    \( g_* = \gamma_\sharp \circ f_* \)



    LEZIONE 17 -- 3 novembre 2016

    Funtorialità di \(\pi_1(X, x_0)\):

    Una funzione continua \(f : X \to Y \) induce un omomorfismo \( f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) tale che

    1. \((id_X)_* = id_{\pi_1(X)}\)
    2. \((g \circ f)_* = g_* \circ f_* \)
    Conseguenza immediata: se \(f : X \to Y\) è un omeomorfismo, allora \(f_*\) è un isomorfismo.

    Invarianza omotopica di \(\pi_1(X, x_0)\):

    Teorema (11.22). Se \(f : X \to Y\) è una equivalenza omotopica, allora \(f_* : \pi_1(X, a) \to \pi_1(Y, f(a))\) è un isomorfismo, e quindi la classe di isomorfismo del gruppo fondamentale dipende solo dal tipo di omotopia di uno spazio.

    Il gruppo fondamentale della sfera \(S^n\), \(n \ge 2\).

    Osservazione: se \(\alpha : I \to S^n\) non è suriettivo, allora \(\alpha\) è omotopo ad un cammino costante.
    Esistenza di funzioni continue suriettive \(\alpha : I \to S^n\): la curva di Peano. 
    (vedere qui sotto per l'articolo originale di Peano e un foglio di esercizi facoltativo)

    Teorema (del numero di Lebesgue). Sia \((Y, d)\) spazio metrico compatto e \(\mathcal{U}\) un ricoprimento aperto di \(Y\). Allora esiste un numero reale \(\delta > 0\) tale che ogni sottoinsieme \(B\subseteq Y\) di diametro minore di \(\delta\) è contenuto in un aperto del ricoprimento.

    N.B.: Questa è la versione che abbiamo visto in classe. Potete trovare la dimostrazione sul libro di Munkres, Topology, Lemma 27.5, pag. 175, oppure su Wikipedia, Lebesgue's number lemma. La dimostrazione è la stessa, sul Munkres c'è qualche dettaglio in più sulla definizione di distanza da un sottoinsieme e sulla continuità di questa funzione.

    Da questo teorema si deduce immediatamente la versione che c'è sul Manetti:

    Teorema (11.23). Sia \(f : Y \to X\) una funzione continua, \((Y, d)\) spazio metrico compatto, \(\mathcal{A}\) un ricoprimento aperto di \(X\). Allora esiste un numero reale \(\delta > 0\) tale che ogni palla di raggio minore di \(\delta\) in \(Y\) ha immagine contenuta in un aperto del ricoprimento.


    Teorema (11.25) (van Kampen, generatori) (11.25). Sia \(X = A \cup B\) con \(A, B, A \cap B\) aperti connessi per archi, sia \(x_0 \in A \cap B\) e siano \(f : A \to X\) e \(g : B \to X\) le inclusioni. Allora \(\pi_1(X, x_0)\) è generato dalle immagini di \(f_*\) e \(g_*\).

    Conseguenze:

    1. Corollario (11.26). Se \(A\) e \(B\) sono semplicemente connessi, allora \(X\) è semplicemente connesso
    2. Corollario (11.27). La sfera \(S^n\) è semplicemente connessa per ogni \(n \ge 2\)
    3. Corollario (11.28). \(\mathbf{R}^n\) meno un numero finito di punti è semplicemente connesso, per ogni \(n \ge 3\)

  • 7 November - 13 November

    LEZIONE 18 -- 7 novembre 2016

    Il gruppo fondamentale della circonferenza. Abbiamo seguito l'impostazione di Kosniowski, vedi sotto per le pagine del libro con le dimostrazioni fatte a lezione.

    Lemma (Kosniowski, 16.1). Proprietà della mappa \(e : \mathbf{R} \to S^1\) data da \( t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\).

    Teorema (Kosniowski, 16.4). Esistenza e unicità del sollevamento di cammini con punto iniziale assegnato.

    Definizione del grado di un cammino: \(\deg \alpha = \tilde\alpha(1)\).

    Lemma     (Kosniowski, 16.5). Esistenza e unicità del sollevamento di omotopie con punto iniziale assegnato.

    Corollario (Kosniowski, 16.6. Teorema di monodromia). Se \(\alpha\) e \(\beta\) sono cammini in \(S^1\) omotopi allora \(\deg \alpha = \deg \beta\).

    Teorema (Kosniowski, 16.7). \(\pi_1(S^1, 1) \cong \mathbf{Z}\)

    ESERCITAZIONE 6 -- 8 novembre 2016

    Esercizi su equivalenza omotopica e gruppo fondamentale.
    L'equivalenza omotopica preserva la connessione per archi. Il cilindro \(S^1 \times I\) ha lo stesso tipo di omotopia della circonferenza.
    Se \(X_1\) è omotopicamente equivalente a \(X_2\) e \(Y_1\) è omotopicamente equivalente a \(Y_2\) allora \(X_1 \times Y_1\) è omotopicamente equivalente a \(X_2 \times Y_2\). In particolare, il prodotto con uno spazio contraibile non cambia il tipo di omotopia.
    Il piano meno due punti ha lo stesso tipo di omotopia del bouquet di 2 circonferenze, dimostrazione dettagliata con retratto di deformazione. Più in generale, il piano meno \(n\) punti ha lo stesso tipo di omotopia del bouquet di \(n\) circonferenze (senza dimostrazione).
    Tipo di omotopia di \(\mathbf{R}^3\) meno una retta, meno due rette, meno \(n\) rette per l'origine. Divisione delle lettere dell'alfabeto in classi di omeomorfismo modulo equivalenza omotopica (senza dimostrazioni).
    Omomorfismo indotto tra i gruppi fondamentali dall'applicazione \(S^1 \to S^1\) che manda \(z \) in \(z^k\), per \(k\) intero fissato.
    Esempio di una classe nel gruppo fondamentale del piano proiettivo reale il cui quadrato e' banale




    LEZIONE 19 -- 9 novembre 2016


    Se \(A\) è un retratto di \(X\), allora l'inclusione induce una mappa iniettiva fra i gruppi fondamentali (pag. 206, osservazione dopo le proprietà funtoriali dell'omomorfismo indotto).


    Corollario (12.38). La circonferenza \(S^1\) non è un retratto del disco \(D^2\).


    Corollario (Teorema del punto fisso di Brouwer) (12.39). Ogni funzione continua \(f : D^2 \to D^2\) possiede almeno un punto fisso.


    Teorema fondamentale dell'algebra (Gauss, 1799). Ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha (almeno) una radice complessa.


    La dimostrazione vista a lezione segue il testo di Munkres, vedi sotto per il file con le due pagine del libro. Per maggiori informazioni sulla storia del Teorema fondamentale dell'algebra, si può vedere
    http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fund_theorem_of_algebra.html

    Fine del programma di OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MATFIN



    CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE

    Per questa parte seguiremo le note di Hitchin Geometry of surfaces Chapter 1. All'inizio del corso sono date indicazioni di altro materiale che può essere utile consultare.


    Definizione di varietà topologica di dimensione \(n\): uno spazio topologico di Hausdorff, a base numerabile e localmente euclideo, cioè ogni punto ha un intorno omeomorfo ad una palla aperta di \(\mathbf{R}^n\).

    Esempi: in dimensione 1 ci sono solo la retta \(\mathbf{R}\) e la circonferenza \(S^1\) (connessi).

    In dimensione 2 (connessi e compatti): sfera \(S^2\), toro \(T\), piano proiettivo reale \(P\), bottiglia di Klein \(K\).




    LEZIONE 20 -- 10 novembre 2016

    Superfici ottenute mediante identificazione dei lati di un poligono piano a due a due. Lo spazio topologico risultante è sempre di Hausdorff. Parola corrispondente ad una superficie: sequenza dei lati del poligono con l'orientazione.

    Somma connessa di superfici \(X \sharp Y\). La parola corrispondente alla somma connessa è la concatenzione delle parole corrispondenti alle due superfici.

    Esempi (con dimostrazione mediante "taglia e incolla"):

    • \(X \sharp S^2 = X\): la sfera è l'elemento neutro per l'operazione di somma connessa
    • \(P \sharp P = K\), la somma connessa di due piani proiettivi è una bottigli di Klein
    • \(T \sharp P = K \sharp P = P \sharp P \sharp P\): l'operazione di somma connessa non soddisfa la proprietà di cancellazione


    Enunciato del Teorema di classificazione: Ogni superficie topologica connessa e compatta è omeomorfa ad una delle seguenti:

    • \(S^2\) = sfera
    • \( T_g \) = somma connessa di \( g \) tori, \( g \ge 1 \)
    • \( P_n \) = somma connessa di \( n \) piani proiettivi, \( n \ge 1 \)
    e le superfici indicate nella lista sono tutte non omeomorfe fra loro.


  • 14 November - 20 November

    LEZIONE 21 -- 14 novembre 2016

    Primo passo nella dimostrazione del teorema di classificazione:
    Teorema di Radó: Ogni superficie topologica connessa e compatta è triangolabile.
    Corollario: ogni superficie si ottiene da un poligono con un numero pari di lati, identificando i lati a due a due.

    Discussione sull'esistenza di una decomposizione in simplessi (= triangoli di dimensione superiore) per le varietà di dimensione \( n \):

    1. in dimensione 1 la decomposizione esiste: ovvio, una circonferenza è omeomorfa ad un poligono
    2. in dimensione 2 la decomposizione esiste: vale il teorema di Radó (1925), la cui dimostrazone è piuttosto difficile
    3. in dimensione 3 la decomposizione esiste: vale il teorema di Moise (1950), la cui dimostrazione è molto difficile
    4. in dimensione \(\ge 4\) la decomposizione non esiste sempre e se esiste non sempre è unica: lavori di Kirby-Siebenmann, Freedman, Donaldson, Manolescu, vedi triangolazioni e Hauptvermutung  (Hauptvermutung = congettura principale)


    Secondo passo della dimostrazione del teorema di classificazione:

    L'algoritmo del "taglia e incolla": ogni superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono è omeomorfa ad una superficie ottenuta identificando a due a due i lati di un poligono in forma standard.

    Descrizione completa dei 4 passi dell'algoritmo.


    ESERCITAZIONE 7 -- 15 novembre 2016
    Esercizi sull'applicazione dell'algoritmo del "taglia e incolla": es. 5 esame gennaio 2016, es. 5 esame giugno 2016.

    Omeomorfismo tra \(S^1 \times \mathbf{R}\) e il piano meno un punto. Omeomorfismo tra un toro di rotazione in \( \mathbf{R}^3\) e \(S^1 \times S^1\).

    Gruppo fondamentale del toro, descrizione dei generatori.

    La circonferenza come retratto del toro (esempio di retratto che non è un retratto di deformazione).

    Gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze: dimostrazione con van Kampen che è generato dalle classi dei due cammini che fanno un giro attorno alle due circonferenze; il gruppo fondamentale non è abeliano e i due generatori non commutano (senza dimostrazione).

    Il bouquet di due circonferenze non è un retratto del toro. 


    LEZIONE 22 -- 16 novembre 2016 

    Terzo (e ultimo) passo della dimostrazione del teorema di classificazione:
    Invarianti topologici: orientabilità e caratteristica di Eulero

    Il nastro di Möbius non è orientabile.

    Definizione: una superficie è orientabile se non contiene nastri di Möbius.

    Il piano proiettivo reale non è orientabile (contiene un nastro di Möbius).

    Orientabilità di uno spazio vettoriale reale: una orientazione su uno spazio vettoriale corrisponde alla scelta di una base. Due basi danno la stessa orientazione se la matrice del cambiamento di base ha determinate positivo.

    Teorema: una superficie non orientabile (che contiene un nastro di Möbius) non può essere immersa in \(\mathbf{R}^3\).

    Schema della dimostrazione seguendo le note di Hitchin. Questa dimostrazione non è richiesta per l'esame, ma potrebbe essere oggetto di domande per la lode.

    Corollario: una somma connessa di piani proiettivi  non è omeomorfa a una somma connessa di tori.


    La caratteristica di Eulero: discussione sulle suddivisioni di una superficie, sulla caratteristica di Eulero di un poliedro, sulla formula di Eulero e sulla sua validità.


    Riferimenti: per maggiori approfondimenti (sulla storia e sul significato della formula di Eulero) vedere

    history of topology su MacTutor

    I. Lakatos, Dimostrazioni e confutazioni. La logica della scoperta matematica, Feltrinelli, 1979 (ci sono due copie in biblioteca)


    Teorema. Sia \(S\) una superficie topologica. Allora

    1. tutte le suddivisioni della superficie \(S\) hanno la stessa caratteristica di Eulero, che si può quindi scrivere come \(\chi(S)\)
    2. se \(T\) è una superficie omeomorfa a \(S\), allora \(\chi(T) = \chi(S)\)

    (senza dimostrazione).

    Suddivisione di una superficie a partire dal poligono: 1 vertice, \(2g\) (tori) oppure \(n\) (piani proiettivi ) lati, 1 faccia

    Corollario (conclusione della dimostrazione del teorema di classificazione).

    • \( \chi(S^2) = 2 \)
    • \( \chi(T_g) = 2 - 2g \)
    • \( \chi(P_n)  = 2 - n \)
    e quindi le superfici nell'enunciato del teorema di classificazione sono tutte non omeomorfe fra loro a due a due.



    LEZIONE 23 -- 17 novembre 2016

    L'algoritmo del "taglia e incolla" semplificato: enunciato preciso della forma semplificata dell'algoritmo e dimostrazione nel caso del passo 3. Vedi sotto per le note con la dimostrazione completa.


    Proprietà della caratteristica di Eulero: se \(X\) e \(Y\) sono superfici topologiche, allora

    \(\chi(X \sharp Y) = \chi(X) + \chi(Y) - 2\)


    Come scrivere l'equazione in \(\mathbf{R}^3\) di una superficie omeomorfa ad una somma di \(g\) tori: il caso della sfera, del toro e del toro con due buchi. Il caso generale.


    Fine del programma di CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE


  • 21 November - 27 November

    LA FORMA CANONICA DI JORDAN

    Per questa parte seguiremo le note disponibili nei materiali all'inizio del corso. L'argomento è anche trattato in moltissimi libri di Algebra Lineare.

    LEZIONE 24 -- 21 novembre 2016

    Diagonalizzazione simultanea:

    Teorema. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate diagonalizzabili. Esiste una base formata da autovettori comuni (cioè \(A\) e \(B\) sono diagonalizzabili simultaneamente) se e solo se \(AB = BA\).


    Funzioni di matrici: polinomi valutati con argomenti matrici. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo \(K[t]\) è a ideali principali. L'ideale \(I_A\) associato ad una matrice.

    Definizione. Il polinomio minimo di \(A\), \(m_A(t)\) è l'unico generatore monico di \(I_A\).

    Osservazione. \(I_A\) è sempre un ideale non nullo: se \(A\) è una matrice quadrata di ordine \(n\), esistono sempre polinomi non nulli di grado \(n^2\) in \(I_A\) e quindi \(\deg m_A(t) \le n^2\).


    Teorema di Cayley-Hamilton. Il polinomio caratteristico \(c_A(t) = \det(tI - A)\) appartiene ad \(I_A\), cioè \(c_A(A) = 0\).

    Corollario: \(m_A(t)\) è un divisore di \(c_A(t)\), e in particolare \(\deg m_A(t) \le n\).


    ESERCITAZIONE 8 -- 22 novembre 2016

    Es.5 esame gennaio 2016 e es.5 esame giugno 2016: caratteristica di Eulero e orientabilità.

    Esercizio su un modello piano che non dà una superficie topologica.

    Esercizi su varietà topologiche: lo spazio proiettivo reale è una varietà topologica; una varietà topologica è connessa se e solo se è connessa per archi.

    Esercizio 2 esame gennaio 2016. 


    LEZIONE 25 -- 23 novembre 2016

    Teorema. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno le stesse radici, cioè \(m_A(\alpha) = 0 \iff \alpha\) è un autovalore.

    Relazione fra diagonalizzabilità, polinomio caratteristico e polinomio minimo: esempi di matrici che esibiscono comportamenti differenti.

    Teorema. Una matrice quadrata complessa \(A\) è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità \(1\).


    Definizione di blocco di Jordan \(J_k(a)\). Diagonale principale e sovradiagonale. Autovalori e autovettori associati ad un blocco di Jordan.

    Definizione. Una matrice è in forma di Jordan se ha tutti blocchi di Jordan lungo la diagonale principale e zero altrove.

    Teorema. (esistenza e unicità della forma di Jordan). Ogni matrice quadrata complessa è simile ad una matrice in forma di Jordan. Inoltre, la forma di Jordan è unica a meno di permutazione dei blocchi.

    Inizio della dimostrazione: decomposizione \(V = \ker B^p \oplus \text{Im} B^p\)


    LEZIONE 26 -- 24 novembre 2016

    Dimostrazione del teorema sulla forma di Jordan.

    Prima parte: come determinare una base di \(\ker B^p\).

    Esempio di costruzione della base di \(\ker B^p\).

    Seconda parte: i vettori individuati sono effettivamente una base di \(\ker B^p\).

  • 28 November - 4 December

    LEZIONE 27 -- 28 novembre 2016

    La funzione esponenziale in campo complesso. Definizione tramite serie di potenze e dimostrazione delle proprietà fondamentali. Esponenziale di una matrice. Stime sulla norma del prodotto di matrice. Convergenza della serie che definisce l'esponziale di una matrice.
    Esponenziale di matrici simili e di matrici a blocchi. Formula per l'esponenziale di un blocco di Jordan.
    Esempi e esercizi sul calcolo dell'esponenziale di una matrice.



    ESERCITAZIONE 9 -- 29 novembre 2016
    Esercizi su diagonalizzazione simultanea, forma canonica di Jordan, polinomio minimo, esponenziale di matrici. Es. 6 esame di settembre 2016, es. 6 esame di luglio 2016.


    Fine del programma di LA FORMA CANONICA DI JORDAN


    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MODELLISTICO



    GEOMETRIA PROIETTIVA


    LEZIONE 28 -- 30 novembre 2016

    Richiami sugli spazi affini. Definizione di spazio proiettivo \(\mathbf{P}(V)\). Definizione di dimensione di uno spazio proiettivo.

    Sistemi di coordinate omogenee determinati da una base dello spazio vettoriale.

    Definizione di punti indipendenti nello spazio proiettivo.

    Sistemi di coordinate omogenee determinate da \((n+1)\) punti indipendenti \(P_0, \dots, P_n\) e un punto unità \(U\).

    Aperti affini dentro uno spazio proiettivo. Descrizione \(\mathbf{P}^n(\mathbf{R}) =   \mathbf{R}^n \cup \mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{R})\)



    LEZIONE 29 -- 1 dicembre 2016 

    Definizione di sottospazio proiettivo. Dimensione di un sottospazio proiettivo.

    Sottospazi del piano proiettivo: punti, rette. Equazioni omogenee.

    Nel  piano proiettivo: per due punti passa una retta, due rette si incontrano in un punto.

    Equazioni omogenee di un sottospazio. Completamento proiettivo di un sottospazio affine. Passaggio dalle equazioni affini alle equazioni omogenee.

    Due rette parallele nel piano affine si incontrano in un punto sulla retta all'infinito, corrispondente alla direzione individuata dalle rette.

    • 5 December - 11 December

      LEZIONE 30 -- 5 dicembre 2016
      Proiettività fra spazi proiettivi. Due funzioni lineari inducono la stessa proiettività e e solo se sono multiple scalari l'una dell'altra.
      Il gruppo delle proiettività \(\text{PGL}(V) = \text{GL}(V)/K^*\).

      Il birapporto \(\beta(P_0, P_1, P_2, P_3)\) di una quaterna ordinata di punti su una retta proiettiva: definizione proiettiva e formula in coordinate omogenee mediante rapporti di determinanti.
      Il birapporto è un invariante proiettivo.

      Proposizione 15 (Console-Fino) Date due quaterne ordinate \((P_0, P_1, P_2, P_3)\) e \((Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)\) esiste una proiettività \(g : \mathbf{P}^1 \to \mathbf{P}^1\) tale che \(g(P_i) = Q_i\) se e solo se \(\beta(P_0, P_1, P_2, P_3) = \beta(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)\)

      Proposizione 16 (Console-Fino) Una biieezione \(g : \mathbf{P}^1 \to \mathbf{P}^1\) è una proiettività se e solo se lascia invariati i birapporti di tutte le quaterne ordinate di punti.


      ESERCITAZIONE 10 -- 6 dicembre 2016
      Esercizi su sottospazi proiettivi, chiusura proiettiva di sottospazi affini e punti impropri, proiettività, punti fissi di proiettività.
      Esercizi 1, 9, 14, 22, 31 dalle note Console-Fino, e 2.1, 2.2, 2.3 dal Fortuna-Frigerio-Pardini.

      LEZIONE 31 -- 7 dicembre 2016
      Il birapporto di quattro punti (senza ordine). La funzione modulare \(j : K \setminus \{0, 1\} \to K\).

      Il caso complesso (\(K = \mathbf{C}\). La funzione \(j\) è suriettiva. Le fibre di \(j\): Lemma 1 (Console-Fino, pag. 50)

      Teorema 3 (Console-Fino, pag. 51) Due quaterne non ordinate \(\{P_0, P_1, P_2, P_3\}\) e \(\{Q_0, Q_1, Q_2, Q_3\}\) sono proiettivamente equivalenti se e solo se hanno lo stesso invariante modulare, cioè \(j(P_0, P_1, P_2, P_3) = j(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)\).

      Il teorema di Desargues: enunciato e dimostrazione.

      Dualità punto-retta in un piano proiettivo. L'enunciato duale di ogni teorema è ancora un teorema.

      L'enunciato duale del teorema di Desargues è il suo viceversa, cioè le condizioni espresse dal teorema di Desargues sono equivalenti.

      NO LEZIONE -- 8 dicembre 2016

      • 12 December - 18 December

        LEZIONE 32 -- 12 dicembre 2016
        Il teorema di Pappo: enunciato e dimostrazione.
        Il teorema di Pappo è autoduale, cioè l'enunciato duale del teorema di Pappo è il teorema stesso.

        Definizione di curva algebrica piana come luogo di zeri di un polinomio.
        Fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi. Componenti di una curva.
        Il caso affine e il caso proiettivo: equazioni omogenee.

        Le definizioni iniziali (curva algebrica, componenti, retta tangente, ...) si possono trovare anche nelle note di N. Hitchin sulle curve algebriche

        http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/hitchinnotes.html

        pagine 17-19.


        LEZIONE 33 -- 13 dicembre 2016

        Completamento proiettivo di una curva algebrica affine: omogeneizzazione dell'equazione.
        Coniche: equazioni affini e proiettive.
        La classificazione delle coniche proiettive sul campo complesso.


        LEZIONE 34 -- 14 dicembre 2016

        Per parte del materiale seguente sulle famiglie di curve e sulla molteplicità di intersezione, potete guardare le pagine del libro di M. Hindry che trovate più sotto.

        Lo spazio vettoriale \(V_{d}\) dei polinomi omogenei di grado \(d\) in 3 variabili. 
        Nota Bene: sul libro di Hindry, lo spazio vettoriale che abbiamo indicato con \(V_d\) viene denotato con \(S_{2, d}\).
        Calcolo della dimensione \(\dim V_{d} = \binom{d + 2}{2}\)
        Lo spazio di tutte le curve algebriche proiettive piane di grado \(d\) è lo spazio proiettivo \(\mathbf{P}(V_d)\).
        Imporre il passaggio per un punto alla famiglia di tutte le curve di grado fissato è una condizione lineare.

        Fascio di curve = sottospazio proiettivi di \(\mathbf{P}(V_d)\) di dimensione \(1\).

        Fascio di rette: famiglia di rette passanti per un punto.

        Fasci di coniche, luogo base del fascio. Le coniche che passano per quattro punti non allineati formano un fascio.
        In un fascio di coniche in cui non tutte le coniche sono degeneri, ci sono esattamente 3 coniche degeneri.

        Per 5 punti passa sempre almeno una conica.

        Caratterizzazione delle circonferenze: sono le coniche che passano per i punti ciclici \([0:1:i]\) e \([0:1:-i]\).


        ESERCITAZIONE 11 -- 15 dicembre 2016
        Esercizi su proiettività, birapporto, fasci di coniche.
        Esercizio n. 18 dalle note Console-Fino.
        Esercizi n. 2.23 (in parte), 2.26, 4.1, 4.11 dal Fortuna-Frigerio-Pardini.

      • 19 December - 25 December

        LEZIONE 35 -- 19 dicembre 2016

        Un polinomio omogeneo in due variabili \(f(x_0, x_1)\) si scompone in modo unico nel prodotto di fattori lineari.

        Definizione di molteplicità di intersezione, in un punto, di una retta e una curva \(I(C, r; P)\) (la notazione è quella delle note di Console-Fino, Definizione 53, pag. 92)

        Lemma 1.13 (Hindry) Una curva di grado \(d\) e una retta non contenuta nella curva si incontrano in \(d\) punti, contati con la loro molteplicità.

        Lemma 1.14 (Hindry) Una curva di grado \(d\) e una conica senza componenti in comune si incontrano in \(2d\) punti, contati con la loro molteplicità.

        I due lemmi precedenti sono casi particolari del Teorema di Bézout, di cui vediamo solo l'enunciato.

        Teorema di Bézout (solo enunciato, versione semplice) Siano \(C_1\) e \(C_2\) due curve algebriche piane proiettive complesse di gradi rispettivamente \(m\) e \(n\). Se \(C_1\) e \(C_2\) si incontrano in più di \(mn\) punti, allora hanno una componente in comune.

        In effetti è possibile definire la molteplicità di intersezione in un punto di due curve di grado qualunque. Con questa definizione (che non abbiamo visto) si dimostra il

        Teorema di Bézout (solo enunciato, versione completa) Siano \(C_1\) e \(C_2\) due curve algebriche piane proiettive complesse di gradi rispettivamente \(m\) e \(n\) senza componenti in comune. Allora \(C_1\) e \(C_2\) si incontrano esattamente in \(mn\) punti, contati con le opportune molteplicità.


        Molteplicità di un punto su una curva: \(m_P(C) = \min I(C, r; P)\) al variare di \(r\) fra tutte le rette del fascio di centro \(P\).

        Definizione di punto regolare (\(m_P(C) = 1\) e punto singolare (\(m_P(C) \ge 2\)

        Sviluppo di Taylor e molteplicità di un punto su una curva.

        Studio locale dell'equazione affine \(f(x, y) = 0\) con il Teorema del Dini e relazione con le derivate parziali.

        Il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: se \(f(x_0, x_1, x_2)\) è un polinomio omogeneo di grado \(d\), allora

        \( x_0 \dfrac{\partial f}{\partial x_0} + x_1 \dfrac{\partial f}{\partial x_1} +x_2 \dfrac{\partial f}{\partial x_2} = d\cdot f\)

        Relazione fra le derivate in coordinate affini e in coordinate omogenee.

        Un punto \(P\) è singolare sulla curva \(C\) di equazione \(f(x_0, x_1, x_2) = 0\) se e solo se
        \(\dfrac{\partial f}{\partial x_0}(P) = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(P) = \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(P) = 0\)



        LEZIONE 36 -- 20 dicembre 2016
        Osservazioni su quando il passaggio per punti distinti impone condizioni indipendenti.

        Lemma 1.18. (Hindry) Siano \(P_1, \dots, P_5\) punti assegnati nel piano. Se 4 dei 5 punti non sono mai allineati, allora esiste una unica conica per i 5 punti e cioè \( \dim V_{2}(P_1, \dots, P_5) = 1\).

        Retta tangente ad una curva in un punto regolare \(P \in C\): definizione algebrica come l'unica retta passante per \(P\) tale che \(I(C, r; P) \ge 2\).
        Dimostrazione dell'unicità della retta tangente in un punto regolare.
        Equazione della retta tangente annullando i termini di primo grado dello sviluppo di Taylor (= termini di primo grado del polinomio che si ottiene traslando il punto \(P\) nell'origine).
        Equazione della retta tangente usando le derivate parziali del polinomio calcolate in \(P\).

        Tangenti principali in un punto \(P\) di molteplicità \(s \ge 2\): rette passanti per \(P\) tali che \(I(C, r; P) \ge s + 1\).
        Le tangenti principali si ottengono annullando la parte omogenea di grado \(s\) dello sviluppo di Taylor (= termini di grado \(s\) del polinomio che si ottiene traslando il punto \(P\) nell'origine).

        Cono tangente: unione della tangenti principali. Il cono tangente in un punto di molteplicità \(s\) è una curva algebrica piana di grado \(s\) le cui componenti sono tutte rette (magari contate con molteplicità). L'equazione del cono tangente nel punto \(P\) è la parte omogena di grado \(s\) del polinomio che si ottiene traslando il punto \(P\) nell'origine.

        Alcuni esempi:
        1. \(y^2 = x^2 (x + 1)\): punto doppio con due tangenti principali distinte
        2. \(y^2 = x^k\): punto doppio con due tangenti principali coincidenti



        ESERCITAZIONE 12 -- 21 dicembre 2016
        Esercizi n. 6 pag. 315 e n. 1a pag. 365 dal Sernesi (Geometria 1). Discussione della relazione tra classificazione affine e proiettiva delle coniche, nel caso reale e complesso. Esempio di un fascio di coniche avente solo 2 punti base, in cui tutte le coniche del fascio sono tangenti a due rette date nei due punti base. Essere tangente a una retta assegnata non e' una condizione lineare sulle coniche, mentre essere tangente a una retta assegnata in un punto fissato impone due condizioni lineari indipendenti alle coniche. Esercizio n. 4 pag. 422 dal Sernesi.


        ESERCIZI DI GEOMETRIA PROIETTIVA per le vacanze di Natale (vedi file qui sotto):
        Esercizi "standard":
        Dal Sernesi, Geometria 1: es. 1 e 5 pag. 314, es. 1 e 2 pag. 353, n. 1 b,c,d pag. 365. Dal Fortuna-Frigerio-Pardini: es. 3.15.
        Esercizi meno standard:
        Dal Sernesi, es. 1 e 2 pag. 429. Dal Fortuna-Frigerio-Pardini: es. 4.3 e 4.18. 


        Fine del programma di GEOMETRIA PROIETTIVA



        FINE CORSO GEOMETRIA 2 TEORICO

      • 4 gennaio - 10 gennaio

        ESERCITAZIONE -- 10 gennaio 2016
         Esercizi di preparazione all'esame: tema d'esame di febbraio 2016; es.6 dallo scritto di gennaio 2016.