Weekly outline
GEOMETRIA 3
anno accademico 2018/19
DOCENTE: Prof. Alberto ALBANO
email: alberto.albano@unito.it
tel.: 011 670 2890
INFORMAZIONI GENERALI
Il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione) e si svolge nel SECONDO semestre
ORARIO
LUN 8:30 - 10:30 (Aula A), GIO 10:30 - 12:30 (Aula A)
ATTENZIONE: Vi saranno alcune variazioni rispetto all'orario generale indicato sopra. Le variazioni sono anche indicate nell'elenco settimanale delle lezioni.
- NON ci sarà lezione nei giorni:
- lunedì 4 marzo
- lunedì 1 aprile
- lunedì 6 maggio
- lunedì 3 giugno
-
Ci sarà uno SCAMBIO di lezioni nei giorni:
- martedì 26 marzo, 8:30 - 10:30 --> GEOMETRIA 3 al posto di CPS
- giovedì 28 marzo, 10:30 - 12:30 --> CPS al posto di GEOMETRIA 3
-
Ci saranno delle lezioni AGGIUNTIVE nei giorni:
- mercoledì 15 maggio, 14:30 - 16:30 --> Aula Spallanzani
- mercoledì 22 maggio, 14:30 - 16:30 --> Aula Spallanzani
ESAMI
I prossimi appelli saranno:
- Giugno 2019:
- Scritto: venerdì 14 giugno, ore 9
- Orale: mercoledì 19 giugno, ore 9
- Luglio 2019:
- Scritto: martedì 9 luglio, ore 14:30
- Orale: venerdì 12 luglio, ore 9
- Settembre 2019:
- Scritto: lunedì 16 settembre, ore 9
- Orale: giovedì 19 settembre, ore 9
RICEVIMENTO DOCENTI
su appuntamento (telefonare o mandare email)
ARGOMENTI
- Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. Significato geometrico di curvatura e torsione in termini di comportamento locale della curva; piano osculatore e circonferenza osculatrice.
- Geometria differenziale delle superfici nello spazio: Superfici regolari in \(\mathbf{R}^3\). Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Integrale di superficie e area. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium.
- Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\) e teorema di Stokes: Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto esterno. Campi vettoriali. Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\). Pull-back, prodotto esterno e differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. Relazione con gli integrali curvilinei. Integrale di una 2-forma su una superficie. Il teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici. Interpretazione in termini di campi vettoriali: rotore, divergenza, flusso, teorema del rotore.
TESTI CONSIGLIATI
Per le parti 1. e 2. (curve e superfici)
M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer
M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (2^ edizione Dover)
N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 4, scaricabile liberamente nella sezione "Teaching"
G. Occhetta, Geometria Differenziale si possono scaricare sia la dispensa che fogli di esercizi
I primi due libri contengono anche molti esercizi, le note di Hitchin no. All'indirizzo seguente potete trovare dei fogli di errata del libro Abate-Tovena, diversi se avete la prima o la seconda edizione
Per la parte 3 (forme differenziali)
A. Albano, Forme differenziali, disponibile nei materiali qui sotto. È disponibile la versione finale. Non ci saranno ulteriori versioni.
M. do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer
L. Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, scaricabile gratuitamente
M. Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley
T. Tao, Differential Forms and Integration, un articolo di Terence Tao (medaglia Fields 2006) scritto per il Princeton Companion to Mathematics. È un articolo che spiega i vari tipi di integrazione e come nasca il concetto di forma differenziale.
Per la relazione con i campi vettoriali (forme differenziali)
V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, volume 2, Maggioli (capitolo X)
C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli (sez. 6.3)
Altri materiali sono disponibili qui sotto per il download
VIDEOREGISTRAZIONI
Negli anni scorsi sono state effettuate videoregistrazioni di corsi che coprono, in buona parte, gli argomenti di questo corso. Sono disponibili:
Geometria 3, anno acc. 2015/2016. Il programma è sostanzialmente identico a quello di quest'anno.
Geometria 2, anno acc. 2011/2012. Le lezioni 57/76 coprono la parte su curve e superfici differenziabili.
PAGINA CAMPUSNET
MODALITA' D'ESAME
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 2 ore e mezza. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova; è consentito l'uso di calcolatrici di base. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.
Attenzione: il programma del corso è nella forma attuale a partire dall'a.a. 15/16, quindi le prove scritte d'esame sullo stesso programma sono a partire da giugno 2016. Le prove d'esame degli anni precedenti contengono comunque esercizi su curve e superfici, ma anche esercizi su parti di programma non comprese più in Geometria 3. Inoltre, le prove d'esame dell'a.a. 15/16 contengono anche domande di teoria, mentre dall'a.a. 16/17 la prova scritta contiene solo esercizi.
Esercizi consigliati dal libro di Abate - Tovena
1.1, 1.4, 1.5, 1.7-1.9, 1.13, 1.15, 1.17, 1.18, 1.21-1.27, 1.29, 1.30, 1.32, 1.33, 1.35-1.39, 1.42-1.47, 1.51-1.53, 1.56-1.58, 1.77, 1.79, 1.80, 1.84, 1.85, 1.87, 1.95-1.97
3.2, 3.4-3.6, 3.8-3.13, 3.15-3.19, 3.21, 3.22, 3.25-3.28, 3.30, 3.31, 3.34, 3.40-3.44, 3.46, 3.49-3.52
4.1 -4.7, 4.9-4.11, 4.14-4.15, 4.17-4.18, 4.22-4.33, 4.45-4.53, 4.57, 4.77- NON ci sarà lezione nei giorni:
25 February - 3 March
Curve nello spazio
LEZIONE 1 -- lunedì 25 febbraio 2019
Definizione di curva parametrizzata differenziabile (= di classe \(\mathcal{C}^\infty\)) regolare in \(\mathbb{R}^n\). Vettore tangente.
Esempi: rette, eliche circolari, curve non regolari (ma differenziabili), curve di classe \(\mathcal{C}^k\) per ogni \(k\) ma non di classe \(\mathcal{C}^\infty\), curve con lo stesso sostegno ma vettore velocità differente.
Arcolunghezza. Parametrizzazione per arcolunghezza di una curva regolare. Cambiamento di paramentro (cambio di parametrizzazione). Definizione di curva come classe di equivalenza di curve parametrizzate.
Proprietà geometriche: dipendono solo dalla curva (dalla classe di equivalenza) e non dalla parametrizzazione (dal rappresentante della classe). Esempi: l'arcolunghezza è una proprietà geometrica. La retta tangente a una curva in un punto è una proprietà geometrica (ma non il vettore tangente).
Osservazione: ogni curva regolare ha un rappresentante parametrizzato per arcolunghezza
Definizione di curvatura: se \(\alpha(s)\) è una parametrizzazione per arcolunghezza, si definisce \( k(s) = | \alpha''(s) | \)
Esempi:
- la curvatura è identicamente nulla se e solo se la curva è (parte di) una retta
- calcolo della curvatura della circonferenza di raggio \(r\)
Riferimenti al do Carmo: capitolo 1, paragrafi 1.2, 1.3, inizio 1.5 (fino a pag. 16)
LEZIONE 2 -- giovedì 28 febbraio 2019
Cambiamento di parametro e curvatura. Orientazione di una curva e cambiamento di parametro che mantiene l'orientazione.
Curve biregolari. Triedro di Frenet. Piano osculatore. Una curva piana è contenuta nel suo piano osculatore.
Variazione del vettore binormale e definizione di torsione: \(\mathbf{b}' = -\tau(s) \mathbf{n}\)
Proprietà: una curva biregolare è piana se e solo se la torsione è identicamente nulla.
Variazione del vettore normale. Formule di Frenet.
Teorema fondamentale (della teoria locale delle curve): enunciato.
Espressione della curvatura, torsione e triedro di Frenet rispetto ad un parametro qualunque: risoluzione dell'esercizo 1-5.12 del do Carmo
Riferimenti al do Carmo: capitolo 1, paragrafo 1.5 (tutto, tranne la dimostrazione del Teorema fondamentale)
Esercizi assegnati per lunedì 11 marzo:
- do Carmo, 1-3: 1, 2, 4
- do Carmo, 1-5: 1, 2, 7, 10, 13
- tutti gli esercizi numero 1 dei compiti d'esame dell'anno scorso
4 March - 10 March
NO LEZIONE -- lunedì 4 marzo 2019
LEZIONE 3 -- giovedì 7 marzo 2019
Dimostrazione del teorema fondamentale della teoria locale delle curve.
Esempi: curvatura e torsione di circonferenza e elica circolare. Conseguenza del teorema fondamentale: se una curva ha curvatura e torsione costanti, allora è un'elica circolare (una circonferenza se la torsione è costantemente nulla).
11 March - 17 March
LEZIONE 4 -- lunedì 11 marzo 2019
Esercizi sulle curve. Sono stati discussi in classe:
- Esercizio 1, compito di febbraio 2019
- Esercizio 1, compito di gennaio 2019
- do Carmo, esercizio 1-3.1
- do Carmo, esercizio 1-5.13
- Esercizio 1, compito di giugno 2018
- Esercizio 1, compito di settembre 2018
Le soluzioni degli esercizi del do Carmo assegnati giovedì 28 febbraio sono disponibili qui sotto.
LEZIONE 5 -- giovedì 14 marzo 2019
Due teoremi di teoria globale delle curve:
Il teorema di Fenchel (1929) (CON dimostrazione)
Il primo teorema di Milnor (1950) (SENZA dimostrazione)
18 March - 24 March
Superfici nello spazio
LEZIONE 6 -- lunedì 18 marzo 2019
Definizione di superficie regolare. Discussione delle condizioni presenti nella definizione. Parametrizzazioni locali, carte locali. Intorni coordinati.
Esempio: la sfera \(S^2\) è una superficie regolare. Parametrizzazione come unione di grafici di funzione e mediante le coordinate polari.
Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 1) Il grafico di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.
Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 2) La controimmagine di un valore regolare (superficie di livello) di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.
LEZIONE 7 -- giovedì 21 marzo 2019
Proposizione 3. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 3) Una superficie regolare è localmente il grafico di una funzione differenziabile.
Proposizione 4. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 4) Sia \(\mathbf{x} : U \to S \subseteq \mathbf{R}^3\) una funzione differenziabile, con il differenziale di rango massimo a valori in una superficie regolare \(S\). Se \(\mathbf{x}\) è iniettiva, allora \(\mathbf{x}^{-1}\) è continua.
Funzioni differenziabili definite su una superficie: definizione mediante l'espressione in coordinate locali. Cambiamento di coordinate. La definizione non dipende dal sistema di coordinate locali scelto come conseguenza della
Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-3, Prop. 1) Il cambiamento di coordinate è un diffeomorfismo.
Definizione di funzione differenziabile fra superfici. Indipendenza dal sistema di coordinate.
25 March - 31 March
LEZIONE 8 -- lunedì 25 marzo 2019
Richiami sul differenziale di funzioni da \(\mathbf{R}^n\) a \(\mathbf{R}^m\).
Vettori tangenti ad una superficie: definizione come vettori tangenti ad una curva tracciata sulla superficie. Lo spazio tangente \(T_p S\).
Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 1) Lo spazio tangente \(T_pS\) è l'immagine del differenziale di una parametrizzazione ed è quindi uno spazio vettoriale di dimensione 2.
Base dello spazio tangente associata ad una parametrizzazione. Espressione in coordinate del vettore tangente ad una curva sulla superficie.
Interpretazione geometrica del differenziale: l'immagine del vettore tangente ad una curva è il vettore tangente alla curva immagine.
Definizione di differenziale di una funzione differenziabile \(\varphi: S_1 \to S_2\) come funzione \(d\varphi_p : T_p S_1 \to T_{\varphi(p)} S_2\)
Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 2) \(d\varphi_p\) è ben definito ed è un'applicazione lineare fra gli spazi tangenti.
Osservazione: nelle basi associate alle parametrizzazioni locali, la matrice del differenziale \(d\varphi_p\) è la matrice Jacobiana dell'espressione in coordinate locali della funzione \(\varphi\).
Esercizi assegnati per giovedì 4 aprile:
- do Carmo, 2-2: 1, 2, 3, 4, 5, 7
- do Carmo, 2-3: 1, 2, 3, 5, 8
- do Carmo, 2-4: 2, 6, 10
Qui sotto trovate i files con gli esercizi del do Carmo. Gli esercizi con un asterisco hanno dei suggerimenti al fondo del libro. Se volete i suggerimenti, procuratevi una copia del libro.
LEZIONE 9 -- MARTEDI' 26 MARZO 2019 - ore 8:30
Esempi di superfici
- Superfici di rotazione: parametrizzazione in generale, piano tangente
- Il toro come superficie di rotazione
- Catenoide, elicoide: leggere sulle note o sul do Carmo per i dettagli
La prima forma fondamentale: prodotto scalare fra vettori tangenti ad una superficie in un punto. Espressione dei coefficienti \(E, F, G\) della prima forma nella base \( \{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \} \). La lunghezza di una curva su una superficie si calcola mediante la sola informazione della prima forma fondamentale (e della curva). L'espressione simbolica del \(ds^2\).
1 April - 7 April
NO LEZIONE -- lunedì 1 aprile 2019
LEZIONE 10 -- giovedì 4 aprile 2019
Discussione degli esercizi assegnati. Lo svolgimento completo degli esercizi si trova nel file qui sotto.
8 April - 14 April
LEZIONE 11 -- lunedì 8 aprile 2019
La prima forma fondamentale: angoli fra le curve coordinate e la formula per il calcolo dell'area. Area della sfera e del toro.
Orientabilità: orientazione di uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita).
Orientazione sugli spazi tangenti ad una superficie determinata dalle parametrizzazioni e condizioni di compatibilità, mediante il determinate della matrice Jacobiana.
Definizione di superficie orientabile.
Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 1) Una superficie \(S\) è orientabile se e solo se esiste un campo normale, unitario e differenziabile definito su \(S\).
LEZIONE 12 -- giovedì 11 aprile 2019
Proposizione 2.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 2) Una superficie \(S\) di livello di un valore regolare è orientabile.
La mappa di Gauss di una superficie regolare.
Il differenziale della mappa di Gauss. Esempi: piano, sfera, cilindro.
Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 3-2, prop. 1) Il differenziale della mappa di Gauss è un endomorfismo simmetrico.
La seconda forma fondamentale come forma quadratica associata al differenziale della mappa di Gauss (cambiato di segno).
La curvatura normale. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale come curvatura normale.
Teorema di Meusnier (Do Carmo, Capitolo 3-2, Prop. 2)
15 April - 21 April
LEZIONE 13 -- lunedì 15 aprile 2019
Autovalori e autovettori del differenziale della mappa di Gauss.
Formula di Eulero. Conseguenza: gli autovalori di \(-d\mathbf{N}_p\) sono il massimo e il minimo delle curvature normali.
Definizioni: curvature principali e direzioni principali di curvatura, curvatura Gaussiana e curvatura media (Do Carmo, cap.3-2, def. 4 e def. 6)
Definizione: punti ellittici, iperbolici, parabolici. Punti planari e punti ombelicali. (Do Carmo, cap 3-2, def. 7 e 8)
La mappa di Gauss in coordinate locali: coefficienti \(e, f, g\) della seconda forma rispetto alla base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\), matrice del differenziale della mappa di Gauss.
Relazione matriciale: \(-d\mathbf{N}_p = I^{-1} \cdot II \)
Formule per \(K\) e \(H\) in termini di \(E, F, G, e, f, g\).
Esempio: il toro.
Esercizi assegnati per lunedì 29 aprile:
- do Carmo, 2-5: 1, 2, 5
- do Carmo, 3-2: 8, 16
- do Carmo, 3-3: 1, 2, 3, 5, 14
- leggere il primo esercizio del foglio "Esercizi su prima e seconda forma" qui sotto e svolgere gli altri esercizi (tranne l'ultimo punto dell'esercizio 5)
- in modo simile, svolgere tutti gli esercizi numero 2 dei compiti d'esame degli anni 16/17 e 17/18 (tranne 2019.02)
Il formulario aggiornato con le formule per le superfici è fra i materiali all'inizio. Se trovate errori di battitura nelle formule, segnalateli lunedì 29 a lezione.
Qui sotto trovate i file con gli esercizi del do Carmo. Gli esercizi con un asterisco hanno dei suggerimenti al fondo del libro. Se volete i suggerimenti, procuratevi una copia del libro.
VACANZA -- giovedì 18 aprile 2019
22 April - 28 April
Vacanze di Pasqua - 25 aprile
29 April - 5 May
LEZIONE 14 -- lunedì 29 aprile 2019
Discussione degli esercizi assegnati. Lo svolgimento completo degli esercizi dal libro di do Carmo si trova nel file qui sotto.
LEZIONE 15 -- giovedì 2 maggio 2019
Isometrie fra superfici: diffeomorfismi che conservano la lunghezza di tutte le curve.
Un diffeomorfismo \(f : M \to N\) è una isometria \(\iff\) il differenziale \(df_p : T_p M \to T_{f(p)} N\) è una isometria lineare fra gli spazi tangenti per ogni \(p \in M\) \(\iff\) \(f\) trasforma la prima forma fondamentale di \(M\) in quella di \(N\).
Simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel dipendono solo dalla prima forma fondamentale, cioè solo dalla metrica.
Espressione della curvatura Gaussiana in termini dei simboli di Christoffel e di conseguenza:
Theorema Egregium di Gauss. La curvatura Gaussiana è invariante per isometrie.
Materiali sul Theorema Egregium
- Commentationes Soc. Reg. Scie. Gottingensis Dal sito della biblioteca della Georg-August-Universität Göttingen, il numero della rivista della Società Scientifica di Göttingen in cui è pubblicato il lavoro originale di Gauss Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, da pagina 99 in poi. Il Theorema Egregium è al fondo di pagina 120. Cliccando su "Export" in alto a destra, scaricate il PDF con tutto il numero della rivista. Notate che nelle pagine precedenti alle Disquisitiones c'è un altro lavoro, in cui Gauss riporta le misurazioni degli angoli fra le montagne per calcolare la somma degli angoli di un triangolo dopo aver sviluppato la teoria degli errori (scarto quadratico medio, distribuzione normale, ...) per trattare dati sperimentali.
- Disquisitiones Dal sito archive.org, la copia delle Disquisitiones della New York Public Library. Il teorema è al fondo di pagina 24. Dopo le Disquisitiones ci sono gli altri lavori di Gauss già presenti nel link precedenti, solo ristampati in un ordine diverso. È possibile scaricare il testo in vari formati (PDF, epub, ...).
- General Investigations... Da Project Gutenberg una traduzione in inglese del 1902 di Morehead e Hiltebeitel della Princeton University, con alcuni commenti e note critiche. L'edizione non è quella originale ma rifatta in TeX e quindi forse più leggibile (il fatto che sia in inglese e non in latino aiuta...). Si può anche scaricare il sorgente TeX, se volete perfezionare il vostro TeX.
- Le Disquisitiones sono state anche tradotte in tedesco (qui una copia scaricabile ), in francese (qui una copia scaricabile ) e recentemente in catalano. Che io sappia, non sono mai state tradotte in italiano (forse perché la versione latina è sufficiente...).
6 May - 12 May
Forme differenziali
Per questa parte non ci saranno i files con gli appunti delle lezioni. Tutto il materiale fatto a lezione è contenuto nelle note disponibili nei materiali all'inizio della pagina del corso.
NO LEZIONE -- lunedì 6 maggio 2019
LEZIONE 16 -- giovedì 9 maggio 2019
Richiami sugli spazi vettoriali duali.
Forme multilineari, determinanti.
Esempi: forme 2- e 3-lineari su \(\mathbf{R}^3\).
Forme multilineari alternanti, prodotti esterni di forme lineari.
Potenza esterna di uno spazio vettoriale (duale): definizione di \(\bigwedge^k(V^*) =\) funzioni \(k\)-lineari alternanti su \(V\).
Proprietà. se \(\{v_1, \dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(\{h_1, \dots, h_n\}\) è la base duale, allora l'insieme \(\{h_{i_1}\wedge \dots \wedge h_{i_k}\}, \ 1\le i_1 < \dots < i_k \le n\) è una base di \(\bigwedge^k(V^*)\).
13 May - 19 May
LEZIONE 17 -- lunedì 13 maggio 2019
Moltiplicazione esterna di forme. L'algebra esterna \(\bigwedge^* \left(V^* \right) = \bigoplus_{k=0}^n \bigwedge^k \left(V^* \right) \).
Proprietà della moltiplicazione esterna: associativa e anticommutativa graduata.
Lo spazio tangente \(T_p \mathbf{R}^n \) e lo spazio cotangente \(T^*_p \mathbf{R}^n \). Base per lo spazio tangente con i vettori tangenti alle curve coordinate. La base duale \( \{dx_1, \dots, dx_n \} \) data dai differenziali delle funzioni coordinate.
Definizione di campo vettoriale, 1-forma differenziale e \(k\)-forma differenziale. Prodotto esterno di forme.
Pull-back di forme differenziali: una funzione differenziabile \(f :U \to V\) induce una mappa \(f^* : \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)\).
Proprietà di \(f^*\):
- \(f^*(\omega_1 + \omega_2) = f^*(\omega_1) + f^*(\omega_2)\)
- se \(g \in \Omega^0(V)\) è una funzione differenziabile, \(f^*(g) = g\circ f\)
- se \(\omega_1, \dots, \omega_k\) sono \(1\)-forme, allora \(f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k) = f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)\)
Calcolo fondamentale: \(f^*\) si calcola mediante "sostituzione di variabili".
LEZIONE 18 -- mercoledì 15 maggio 2019, ore 14:30 - 16:30, Aula Spallanzani
Esempi di pullback di forme.
La derivata esterna \(d : \Omega^k(\mathbf{R}^n) \to \Omega^{k+1}(\mathbf{R}^n)\): definizione come generalizzazione del differenziale di funzioni.
Proprietà algebriche.
Proprietà fondamentale. \(d^2 = 0\).
Definizione di forme chiuse ed esatte. La coomologia di deRham: il quoziente di forme chiuse modulo forme esatte.
Relazioni fra derivata esterna e pullback: \( d(f^* \omega) = f^*(d \omega) \)
LEZIONE 19 -- giovedì 16 maggio 2019
Esercizi sulle forme differenziali.
Definizione dell'operatore \(*\) di Hodge.
Definizione di divergenza, gradiente e rotore in termini di derivata esterna \(d\) e \(*\) di Hodge. Contrazione di un campo vettoriale e una forma differenziale. Le relazioni fra divergenza, gradiente e rotore in generale e in \(\mathbf{R}^3\).
La forma di volume \(dV\): definizione, calcolo, esattezza, primitive.
20 May - 26 May
LEZIONE 20 -- lunedì 20 maggio 2019
Il lemma di Poincaré per le 1-forme su aperti stellati di \(\mathbf{R}^n\): se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa su un aperto stellato \(U\), allora esiste una funzione differenziabile \(f\) definita su \(U\) tale che \(\omega = df\). (ripasso di Analisi 2)
Integrale di una 1-forma su un cammino differenziabile (integrale di linea o di seconda specie). Condizioni equivalenti all'esattezza di una 1-forma in termini di integrali di linea.
Esattezza locale: una 1-forma è chiusa se e solo se è localmente esatta.
Integrale di una 1-forma su un cammino continuo.
Teorema. Se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa definita sull'aperto \(U\subseteq \mathbf{R}^n\), e \(\alpha\), \(\beta\) sono due cammini in \(U\) omotopi a estremi fissati, allora \(\int_{\alpha}\omega = \int_{\beta} \omega\). (Con dimostrazione)
Corollario. Se \(U\subseteq \mathbf{R}^n\) è semplicemente connesso, allora ogni \(1\)-forma chiusa è esatta.
Lemma di Poincaré. Sia \(U\) un sottoinsieme aperto e connesso di \(\mathbf{R}^n\) contraibile e sia \(\omega\) una \(k\)-forma definita su \(U\). Allora \(d\omega = 0 \iff \exists \eta : \omega = d\eta\). (Solo enunciato)
Definizione di \(k\)-cubo singolare su \(U\subseteq \mathbf{R}^n\). Esempi. L'\(n\)-cubo singolare standard in \(\mathbf{R}^n\).
Catene singolari: combinazioni lineari formali a coefficienti interi di cubi singolari.
LEZIONE 21 -- mercoledì 22 maggio 2019, ore 14:30 - 16:30, Aula Spallanzani
Bordo di una catena singolare:
- facce del cubo standard \(I^n_{(i, \alpha)}\),
- formula per il bordo del cubo standard \(\partial I^n\) come somma di facce con segno,
- facce di un cubo arbitrario \( c : [0,1]^n \to \mathbf{R}^m\) come pullback di \(c\) lungo le facce del cubo standard
- formula per il bordo di un cubo arbitrario come somma di facce con segno (stessa formula del cubo standard)
- bordo di una catena come combinazione lineare dei bordi dei cubi che danno la catena
Proprietà fondamentale del bordo: \( \partial^2 = 0 \) (SENZA DIMOSTRAZIONE)
Definizione di integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena:
- integrale di una \(k\)-forma sul cubo standard \(I^k = [0, 1]^k\)
- integrale di una \(k\)-forma \(\omega\) sull'aperto \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) su un \(k\)-cubo in \(U\) come integrale del pullback di \(\omega\) lungo il cubo \(c\)
- integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena come combinazione lineare degli integrali sui cubi che danno la catena
Il Teorema di Stokes per \((k-1)\)-forme su \(k\)-catene in \(U\)
\( \int_c d\omega = \int_{\partial c} \omega \)
LEZIONE 22 -- giovedì 23 maggio 2019
Esercizi su catene singolari: come scrivere un disco, una corona circolare, una sfera, una semisfera.
Esercizi su integrali da compiti d'esame.
27 May - 2 June
LEZIONE 23 -- lunedì 27 maggio 2019
La forma volume \(dV\) su \(\mathbf{R}^3\).
L'elemento d'area \(dA\) su una superficie e la definizione di area. Le \(2\)-forme di \(\mathbf{R}^3\) che operano sul piano tangente ad una superficie come multipli di \(dA\).
Il Teorema di Gauss-Green
Il teorema della divergenza.
Il teorema di Stokes o del rotore.
Il teorema di Gauss-Bonnet (versione globale). Per una superficie \(S \subseteq \mathbf{R}^3\) connessa, compatta, orientabile e senza bordo si ha
\( \int_S K\,dA = 2\pi\chi(S)\)
dove \(\chi(S)\) è la caratteristica di Eulero di \(S\).
Per una dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet, sia nella versione locale che in quella globale, si possono vedere le note di Hitchin. La dimostrazione non è nel programma d'esame.
LEZIONE 24 -- giovedì 30 maggio 2019
Esempio di una \(2\)-forma chiusa ma non esatta su un dominio semplicemente connesso:
\( \omega = \dfrac{1}{x^2 + y^2 + z^2} (x\, dy \wedge dz - y\, dx \wedge dz + z\, dx \wedge dy) \)
è chiusa su \(U = \mathbf{R}^3 - \{0\}\) ma non è esatta, perché l'integrale di \(\omega\) sulla sfera di centro l'origine (che è un ciclo) è diverso da 0.
Osservazione. Dal teorema di Stokes si ottengono le affermazioni
\(\omega\) esatta e \(S\) ciclo \(\implies \int_S \omega = 0\)
\(\omega\) chiusa e \(S\) bordo \(\implies \int_S \omega = 0\)
Esercizi da prove d'esame:
- Esercizio 3 del 12 giugno 2018
- Esercizio 1 del 3 luglio 2017
- Esercizio 2 del 17 gennaio 2018