Attività settimanale



  • GEOMETRIA 3

    anno accademico 2019/20



    DOCENTE: Prof. Alberto ALBANO

    email: alberto.albano@unito.it
    tel.: 011 670 2890

    INFORMAZIONI GENERALI

    Il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione) e si svolge nel SECONDO semestre

    ORARIO

    MAR 8:30 - 10:30 (Aula A), GIO 10:30 - 12:30 (Aula A)


    RICEVIMENTO DOCENTI

    su appuntamento (mandare email)

    ARGOMENTI

    1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate. Significato geometrico di curvatura e torsione in termini di comportamento locale della curva; piano osculatore e circonferenza osculatrice.
    2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio: Superfici regolari in \(\mathbf{R}^3\). Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Integrale di superficie e area. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium.
    3. Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\) e teorema di Stokes: Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto esterno. Campi vettoriali. Forme differenziali su \(\mathbf{R}^n\). Pull-back, prodotto esterno e differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. Relazione con gli integrali curvilinei. Integrale di una 2-forma su una superficie. Il teorema di Stokes per integrali di 2-forme su superfici. Interpretazione in termini di campi vettoriali: rotore, divergenza, flusso, teorema del rotore.


    TESTI CONSIGLIATI


    Per le parti 1. e 2. (curve e superfici)

    M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (2^ edizione Dover)

    M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Springer

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 4, scaricabile liberamente nella sezione "Teaching"

    G. Occhetta, Geometria Differenziale si possono scaricare sia la dispensa che fogli di esercizi

    I primi due libri contengono anche molti esercizi, le note di Hitchin no. All'indirizzo seguente potete trovare dei fogli di errata del libro Abate-Tovena, diversi se avete la prima o la seconda edizione

    Errata per Abate-Tovena


    Per la parte 3 (forme differenziali)

    A. Albano, Forme differenziali, disponibile nei materiali qui sotto.

    M. do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer

    L. Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, scaricabile gratuitamente

    M. Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley

    T. Tao, Differential Forms and Integration, un articolo di Terence Tao (medaglia Fields 2006) scritto per il Princeton Companion to Mathematics. È un articolo che spiega i vari tipi di integrazione e come nasca il concetto di forma differenziale.


    Per la relazione con i campi vettoriali (forme differenziali)

    V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, volume 2, Maggioli (capitolo X)

    C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli (sez. 6.3)


    Altri materiali sono disponibili qui sotto per il download



    VIDEOREGISTRAZIONI

    Negli anni scorsi sono state effettuate videoregistrazioni di corsi che coprono, in buona parte, gli argomenti di questo corso. Sono disponibili:

    Geometria 3, anno acc. 2015/2016. Il programma è sostanzialmente identico a quello di quest'anno.

    Geometria 2, anno acc. 2011/2012. Le lezioni 57/76 coprono la parte su curve e superfici differenziabili.



    PAGINA CAMPUSNET



    MODALITA' D'ESAME

    La modalità di esami che abbiamo deciso di adottare, per il corso di Geometria 3 di quest'anno (quindi valida per gli appelli di giugno/luglio/settembre 2020 e gennaio/febbraio 2021) è la seguente, valida sia per esami online che per esami in presenza:

    • l'esame è SOLO ORALE
    • su Moodle è presente un file con degli esercizi da svolgere (16 esercizi in totale)
    • all'orale, verrà chiesto lo svolgimento di uno di questi esercizi (oltre naturalmente alle solite domande di teoria)
    • il file degli esercizi ha validità per TUTTI GLI APPELLI, fino a febbraio 2021.
    • gli esercizi dell'esame NON vanno consegnati
    • è possibile svolgere gli esercizi in collaborazione (non posso certo impedirvelo e quindi è più sensato consentirlo)
    • all'orale non potete usare appunti per esporre la soluzione degli esercizi, è come se aveste una "lista di domande" e sapete che una sicuramente verrà fatta

    Non ci saranno consulenze sulla risoluzione di questi esercizi. Risolveteli, da soli o insieme, e siate sicuri di saper esporre la soluzione (non è molto diverso dallo studiare la dimostrazione di un teorema).

    Gli esami dell'anno accademico prossimo (a partire da giugno 2021) potranno mantenere questa modalità oppure tornare a prevedere la prova scritta.



    MODALITA' DI SVOLGIMENTO DELL'ESAME ONLINE

    1. PRENOTAZIONI

    Gli appelli di gennaio/febbraio 2021 si svolgeranno esclusivamente online, utilizzando la piattaforma webex.

    • appello di giovedì 18 febbraio
    Il link per sostenere o assistere agli esami è lo stesso per tutti gli esami


    ATTENZIONE: Se desiderate assistere ad una prova d'esame, potete semplicemente collegarvi durante l'orario di svolgimento degli esami. Per evitare di disturbare chi sta sostenendo l'esame, la riunione sarà bloccata e l'accesso sarà possibile solo all'ora di inizio o fra un esame e l'altro. Quando tentate di collegarvi, potreste vedere un messaggio che dice "aspettare di essere ammessi dall'organizzatore" o qualcosa di simile.

    NON interrompete il collegamento e aspettate. Appena finisce l'orale in corso, ammetterò tutti quelli che stanno aspettando e potrete assistere all'orale seguente.

    Non ci sono limiti al numero di persone che possono assistere, finché non si presentano problemi di connessione. In tal caso, potrò chiedere a chi sta solo assistendo di disconnettersi.

    Chi assiste alla prova deve tenere webcam e microfono disattivati, per non disturbare e per evitare problemi di collegamento.

    2. PROVA SU WEBEX

    Per sostenere la prova, è necessario un collegamento internet con un dispositivo munito di videocamera e microfono. Vanno bene computer, tablet o cellulari. Durante la prova la videocamera deve inquadrare il viso. Potete usare fogli di carta su cui scrivere per aiutarvi nell'esposizione. A richiesta, dovete inquadrare questi fogli per un controllo di quello che avete scritto o per meglio capire il senso del discorso fatto.

    Per motivi di pubblicità dell'esame, i partecipanti alla prova devono rimanere collegati per tutta le seduta (circa 2 ore) in modo da assistere alle prove degli altri studenti.

    Il voto verrà comunicato alla fine della prova come al solito. Il voto verrà registrato sul libretto online alla fine di tutte le prove dell'appello.

    IMPORTANTE: se cade la connessione durante la vostra prova, l'esame riprenderà appena la connessione sarà ristabilita. Se passa troppo tempo prima della riconnessione o se la connessione cade più volte, la prova sarà rimandata ad un altro momento.




    Attenzione: il programma del corso è nella forma attuale a partire dall'a.a. 15/16, quindi le prove scritte d'esame sullo stesso programma sono a partire da giugno 2016. Le prove d'esame degli anni precedenti contengono comunque esercizi su curve e superfici, ma anche esercizi su parti di programma non comprese più in Geometria 3. Inoltre, le prove d'esame dell'a.a. 15/16 contengono anche domande di teoria, mentre dall'a.a. 16/17 la prova scritta contiene solo esercizi.



    Esercizi consigliati dal libro di Abate - Tovena
    1.1, 1.4, 1.5, 1.7-1.9, 1.13, 1.15, 1.17, 1.18, 1.21-1.27, 1.29, 1.30, 1.32, 1.33, 1.35-1.39, 1.42-1.47, 1.51-1.53, 1.56-1.58, 1.77, 1.79, 1.80, 1.84, 1.85, 1.87, 1.95-1.97
    3.2, 3.4-3.6, 3.8-3.13, 3.15-3.19, 3.21, 3.22, 3.25-3.28, 3.30, 3.31, 3.34, 3.40-3.44, 3.46, 3.49-3.52
    4.1 -4.7, 4.9-4.11, 4.14-4.15, 4.17-4.18, 4.22-4.33, 4.45-4.53, 4.57, 4.77

  • 24 febbraio - 1 marzo

    NO LEZIONE -- martedì 25 febbraio 2020 -- Sospensione per CORONAVIRUS


    NO LEZIONE -- giovedì 27 febbraio 2020 -- Sospensione per CORONAVIRUS

    • 2 marzo - 8 marzo

      NO LEZIONE -- martedì 3 marzo 2020 -- Sospensione per CORONAVIRUS


      Curve nello spazio


      LEZIONE 1 -- giovedì 5 marzo 2020 -- in modalità online

      Argomenti trattati

      Definizione di curva parametrizzata differenziabile (= di classe \(\mathcal{C}^\infty\)) regolare in \(\mathbb{R}^n\). Vettore tangente.

      Esempi: rette, eliche circolari, curve non regolari (ma differenziabili), curve di classe \(\mathcal{C}^k\) per ogni \(k\) ma non di classe \(\mathcal{C}^\infty\), curve con lo stesso sostegno ma vettore velocità differente.

      Arcolunghezza. Parametrizzazione per arcolunghezza di una curva regolare. Cambiamento di paramentro (cambio di parametrizzazione). Definizione di curva come classe di equivalenza di curve parametrizzate.

      Proprietà geometriche: dipendono solo dalla curva (dalla classe di equivalenza) e non dalla parametrizzazione (dal rappresentante della classe). Esempi: l'arcolunghezza è una proprietà geometrica. La retta tangente a una curva in un punto è una proprietà geometrica (ma non il vettore tangente).

      Osservazione: ogni curva regolare ha un rappresentante parametrizzato per arcolunghezza

      Definizione di curvatura: se \(\alpha(s)\) è una parametrizzazione per arcolunghezza, si definisce \( k(s) = | \alpha''(s) | \)

      Esempi:

      • la curvatura è identicamente nulla se e solo se la curva è (parte di) una retta
      • calcolo della curvatura della circonferenza di raggio \(r\)

      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 1. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti o quasi i calcoli svolti. I calcoli non svolti sono esercizi.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: capitolo 1, paragrafi 1.2, 1.3, inizio 1.5 (fino a pag. 16)
      • La lezione registrata il 3 marzo 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezione 1, parte 1 e parte 2

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Nel file della Lezione sono presenti degli esercizi (alla fine). Siete invitati a svolgerli entro martedì prossimo. Se avete dei dubbi, utilizzate il forum qui sotto (Forum Lezione 1) per fare domande e chiedere chiarimenti.

      Tutti possono vedere i messaggi sul forum. Prima di fare una domanda, controllate che non sia già stata fatta, ma non abbiate timore a chiedere. Leggete anche le domande degli altri. Se qualcuno sa la risposta, può anche rispondere prima di me.

    • 9 marzo - 15 marzo

      LEZIONE 2 -- martedì 10 marzo 2020 -- in modalità online

      Cambiamento di parametro e curvatura. Orientazione di una curva e cambiamento di parametro che mantiene l'orientazione.

      Curve biregolari. Triedro di Frenet. Piano osculatore. Una curva piana è contenuta nel suo piano osculatore.

      Variazione del vettore binormale e definizione di torsione: \(\mathbf{b}' = -\tau(s) \mathbf{n}\)

      Proprietà: una curva biregolare è piana se e solo se la torsione è identicamente nulla.

      Variazione del vettore normale. Formule di Frenet.

      Teorema fondamentale (della teoria locale delle curve): enunciato.

      Espressione della curvatura, torsione e triedro di Frenet rispetto ad un parametro qualunque: risoluzione dell'esercizo 1-5.12 del do Carmo


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 2. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: capitolo 1, paragrafo 1.5 (tutto, tranne la dimostrazione del Teorema fondamentale)
      • Le lezioni registrate il 4 marzo e il 10 marzo 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezioni 2 e 3. Leggete gli argomenti delle lezioni prima di guardarle, nella lezione di quest'anno non c'è tutto il contenuto delle lezioni 2 e 3 registrate.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi

      • Esercizio 3.1 alla fine del file della Lezione 2: da svolgere subito dopo aver finito di leggere il paragrafo 3 della lezione. E' un esercizio molto semplice che serve per fissare i concetti e le formule appena introdotte. E' il primo esercizio in assoluto da svolgere e non dovete avere nessuna difficoltà nel farlo. Se non riuscite, rileggete bene la lezione.
      • do Carmo, 1-3: 1, 2, 4
      • do Carmo, 1-5: 1, 2, 7, 10, 13. Notate che la prima parte dell'esercizio 1-5.1 è l'esercizio assegnato in precedenza nel file della lezione.
      • tutti gli esercizi numero 1 dei compiti d'esame degli 16/17, 17/18, 18/19

      Qui sotto trovate due file con gli esercizi del do Carmo. Gli esercizi con un asterisco hanno dei suggerimenti al fondo del libro. Se volete i suggerimenti, procuratevi una copia del libro.

      Discuteremo in dettaglio questi esercizi nella lezione di martedì 17 marzo. Fate domande se avete difficoltà. Le formule dimostrate nella lezione di oggi sono tutte contenute anche nel "Formulario per curve e superfici" che trovate nell'introduzione al corso. E' indispensabile che impariate a conoscere ed usare queste formule. Poiché potrete portare all'esame il formulario (così come tutto il materiale che volete), non c'è bisogno di impararle a memoria.


      LEZIONE 3 -- giovedì 12 marzo 2020 -- in modalità online

      Dimostrazione del teorema fondamentale della teoria locale delle curve.

      Esempi: curvatura e torsione di circonferenza e elica circolare. Conseguenza del teorema fondamentale: se una curva ha curvatura e torsione costanti, allora è un'elica circolare (una circonferenza se la torsione è costantemente nulla).


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 3. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo, sull'Abate-Tovena e sul libro di Postnikov. I riferimenti alle pagine sono all'inizio del file della lezione.
      • La lezione registrata l'11 marzo 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. La parte delle lezione di oggi è solo la prima ora di registrazione (fino al minuto 56:30 circa)

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Continuare a svolgere gli esercizi assegnati martedì scorso. La prossima lezione (martedì 17) sarà dedicata alla discussione degli esercizi. E' quindi essenziale che proviate a farli in questi giorni.

    • 16 marzo - 22 marzo

      LEZIONE 4 -- martedì 17 marzo 2020 -- in modalità online

      Discussione delle soluzioni degli esercizi del do Carmo assegnati martedì 10 marzo


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 4. Contiene le soluzioni di tutti gli esercizi, scritte in dettaglio.
      • Alcuni problemi sono anche risolti nelle pagine del do Carmo con i suggerimenti agli esercizi. Nel file della lezione questi svolgimenti sono riportati, in generale con molti più dettagli.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi

      Siete invitati a svolgere gli esercizi prima di guardare le soluzioni. Se avete dubbi, intervenite sul forum, scrivetemi oppure contattatemmi su skype

      Nei pomeriggio di martedì 17 e mercoledì 18 sono disponibile a rispondere a vostre domande via skype. Scrivetemi per prenotare un collegamento


      LEZIONE 5 -- giovedì 19 marzo 2020 -- in modalità online

      Due teoremi di teoria globale delle curve:

      Il teorema di Fenchel (1929)

      Il primo teorema di Milnor (1950)


      NOTA PER L'ESAME: la dimostrazione del teorema di Fenchel fa parte del programma d'esame. Per il teorema di Milnor, nel programma d'esame sono richiesti solo i cenni spiegati nella lezione. Siete certamente invitati a leggere la dimostrazione completa nell'articolo di Spivak, ma non è richiesta per l'esame.

      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 5.
      • I file con gli articoli di Horn e Spivak da cui sono tratte le dimostrazioni spiegate nella lezione. Il file di Spivak ha dettagli che sono omessi nella lezione.
      • FACOLTATIVO: i file con gli articoli originali di Fenchel e Milnor. Questi sono piuttosto difficili da leggere (quello di Fenchel è in tedesco). L'articolo di Milnor è chiaro come tutti gli scritti di Milnor e certamente vale la pena di leggere almeno l'introduzione. Poi è piuttosto difficile perché dimostra in dettaglio i particolari sulla definizione di curvatura totale per i poligoni e come basti dimostrare il teorema per i poligoni, fatti che nella lezione sono appena accennati. Anche la parte geometrica è più difficile di come scrive Spivak, perché in realtà Milnor dimostra qualcosa di più generale dell'enunciato del teorema.

    • 23 marzo - 29 marzo

      Superfici nello spazio

      LEZIONE 6 -- martedì 24 marzo 2020 -- in modalità online

      Definizione di superficie regolare. Discussione delle condizioni presenti nella definizione. Parametrizzazioni locali, carte locali. Intorni coordinati.

      Esempio: la sfera \(S^2\) è una superficie regolare. Parametrizzazione come unione di grafici di funzione e mediante le coordinate polari.

      Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 1) Il grafico di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.

      Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 2) La controimmagine di un valore regolare (superficie di livello) di una funzione differenziabile \(f : U \subseteq \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R} \) è una superficie regolare.

      La dimostrazione della Proposizione 2 presente sulle note è più semplice di quella del do Carmo perché usa il teorema di Dini in modo esplicito, invece di ridimostrarlo come fa il do Carmo. Per l'esame, è meglio studiare la dimostrazione delle note.

      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 6. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • La trattazione è simile a quella del do Carmo, Capitolo 2-2 da pag. 54 a pag. 65. Su do Carmo ci sono anche esempi che non sono presenti nel file della lezione. Leggeteli sul libro.
      • Le lezioni registrate che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. La lezione di oggi è contenuta nelle registrazioni.
        1. Lezione 11, parte 1 (14 aprile 2016), dal minuto 16:40 in poi
        2. Lezione 11, parte 2 (14 aprile 2016), tutta
        3. Lezione 12 (15 aprile 2016), fino al minuto 23:10

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi sulle curve ancora non fatti. Verranno assegnati esercizi sulle superfici nella prossima lezione.


      LEZIONE 7 -- giovedì 26 marzo 2020 -- in modalità online

      Proposizione 3. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 3) Una superficie regolare è localmente il grafico di una funzione differenziabile.

      Proposizione 4. (do Carmo, Capitolo 2-2, Prop. 4) Sia \(\mathbf{x} : U \to S \subseteq \mathbf{R}^3\) una funzione differenziabile, con il differenziale di rango massimo a valori in una superficie regolare \(S\). Se \(\mathbf{x}\) è iniettiva, allora \(\mathbf{x}^{-1}\) è continua.

      La proiezione stereografica


      Funzioni differenziabili definite su una superficie: definizione mediante l'espressione in coordinate locali. Cambiamento di coordinate. La definizione non dipende dal sistema di coordinate locali scelto come conseguenza della

      Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-3, Prop. 1) Il cambiamento di coordinate è un diffeomorfismo.

      Definizione di funzione differenziabile fra superfici. Indipendenza dal sistema di coordinate.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 7. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • La trattazione è simile a quella del do Carmo, Fine Capitolo 2-2 e Capitolo 2-3.
      • Le lezioni registrate che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. La lezione di oggi è contenuta nelle registrazioni.
        1. Lezione 12, (15 aprile 2016), dal minuto 23:10 alla fine
        2. Lezione 13, parte 1 (21 aprile 2016), purtroppo mancante
        3. Lezione 13, parte 2 (21 aprile 2016), fino al minuto 6:00 circa

    • 30 marzo - 5 aprile

      LEZIONE 8 -- martedì 31 marzo 2020 -- in modalità online

      Esempi di funzioni differenziabili: la funzione altezza, la funzione "distanza al quadrato". Diffeomorfismi fra superfici


      Richiami sul differenziale di funzioni da \(\mathbf{R}^n\) a \(\mathbf{R}^m\).

      Vettori tangenti in un punto a \(\mathbf{R}^n\). Spazi tangenti e fibrato tangente di \(\mathbf{R}^n\).

      Vettori tangenti ad una superficie: definizione come vettori tangenti ad una curva tracciata sulla superficie. Il cono tangente \(C_pS\).

      Proposizione 1. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 1) Il cono tangente \(C_pS\) è l'immagine del differenziale di una parametrizzazione ed è quindi uno spazio vettoriale di dimensione 2.

      Conseguenze della Proposizione 1.

      • indipendenza dello spazio tangente dalla parametrizzazione
      • base dello spazio tangente associata ad una parametrizzazione.
      • espressione in coordinate del vettore tangente ad una curva sulla superficie.
      • fibrato tangente ad una superficie

      Interpretazione geometrica del differenziale: l'immagine del vettore tangente ad una curva è il vettore tangente alla curva immagine.

      Definizione di differenziale di una funzione differenziabile \(\varphi: S_1 \to S_2\) come funzione \(d\varphi_p : T_p S_1 \to T_{\varphi(p)} S_2\)

      Proposizione 2. (do Carmo, Capitolo 2-4, Prop. 2) \(d\varphi_p\) è ben definito ed è un'applicazione lineare fra gli spazi tangenti.

      Osservazione: nelle basi associate alle parametrizzazioni locali, la matrice del differenziale \(d\varphi_p\) è la matrice Jacobiana dell'espressione in coordinate locali della funzione \(\varphi\).


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 8. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: capitolo 2-4
      • Le lezioni registrate il 21 e 22 aprile 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezioni 13 seconda parte e la prima metà della lezione 14. La parte sul fibrato tangente non c'è, ma la spiegazione dello spazio tangente ad una superficie è completa.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi

      • do Carmo, 2-2: 1, 2, 3, 4, 5, 7
      • do Carmo, 2-3: 1, 2, 3, 5, 8
      • do Carmo, 2-4: 2, 6, 10

      Qui sotto trovate tre file con gli esercizi del do Carmo. Gli esercizi con un asterisco hanno dei suggerimenti al fondo del libro. Se volete i suggerimenti, procuratevi una copia del libro.

      Discuteremo in dettaglio questi esercizi nella lezione di giovedì 16 aprile (dopo Pasqua). Fate domande se avete difficoltà.


      LEZIONE 9 -- giovedì 2 aprile 2020 -- in modalità online

      Esempi di superfici

      • Superfici di rotazione: parametrizzazione in generale
      • Il toro come superficie di rotazione
      • Catenoide, elicoide: leggere sulle note o sul do Carmo per i dettagli

      Vettore normale e spazio tangente a una superficie


      La prima forma fondamentale: prodotto scalare fra vettori tangenti ad una superficie in un punto. Espressione dei coefficienti \(E, F, G\) della prima forma nella base \( \{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \} \). La lunghezza di una curva su una superficie si calcola mediante la sola informazione della prima forma fondamentale (e della curva). L'espressione simbolica del \(ds^2\).


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 9. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: capitolo 2-4 per gli esempi, capitolo 2-5 per la prima forma fondamentale.
      • Le lezioni registrate il 21 e 22 aprile 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezioni 14 seconda parte e la lezione 15, parte 1. Queste lezioni sono state fatte da me.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi assegnate la lezione scorsa

      Nel file di questa lezione, ci sono vari esercizi. Sono tutti esercizi di calcolo per capire bene le formule introdotte e quindi vanno fatti subito.

      L'Esercizio 4.5 (alla fine della lezione) è di natura diversa. Riporto anche qui il testo per essere sicuro che non vi sfugga.


      ESERCIZIO. In questi tempi di isolamento sociale, è bene avere radici condivise per sentirsi parte, nonostante tutto, di una comunità. Cercate informazioni su tutti i matematici nominati in questa lezione e cercate di avere un'idea della progressione dei loro lavori. Il sito MacTutor è un ottimo posto per cominciare: http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/

    • 6 aprile - 12 aprile

      LEZIONE 10 -- martedì 7 aprile 2020 -- in modalità online

      Cambiamenti di coordinate e notazione differenziale.

      La prima forma fondamentale: angoli fra le curve coordinate e la formula per il calcolo dell'area. Area della sfera e del toro.


      Orientabilità: orientazione di uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita).

      Orientazione sugli spazi tangenti ad una superficie determinata dalle parametrizzazioni e condizioni di compatibilità, mediante il determinate della matrice Jacobiana.

      Definizione di superficie orientabile.

      Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 1) Una superficie \(S\) è orientabile se e solo se esiste un campo normale, unitario e differenziabile definito su \(S\).


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 10. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: seconda parte del capitolo 2-5, capitolo 2-6 fino alla Proposizione 1
      • Le lezioni registrate il 28 e 29 aprile 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezioni 15 parte 2 e lezione 16. Nelle lezioni registrate ci sono i dettagli di alcuni esempi non scritti in questa lezione, in particolare il nastro di Moebius, che vedremo nella prossima lezione.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi assegnati.

      Discuteremo in dettaglio questi esercizi nella lezione di giovedì 16 aprile (dopo Pasqua). Fate domande se avete difficoltà.

      Nei giorni 16 e 17 aprile, sarò disponibile su webex dalle 14:30 alle 17:00, per chiarimenti sugli esercizi e su tutti gli argomenti trattati finora. Se desiderate parlarmi, andate all'indirizzo http://unito.webex.com/meet/alberto.albano Non c'è bisogno di prendere appuntamento, io sarò presente per tutto l'orario indicato.

    • 13 aprile - 19 aprile

      LEZIONE 11 -- giovedì 16 aprile 2020 -- in modalità online

      Discussione degli esercizi assegnati. Lo svolgimento completo degli esercizi si trova nel file qui sotto.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 11. Contiene le soluzioni di tutti gli esercizi, scritte in dettaglio.
      • Alcuni problemi sono anche risolti nelle pagine del do Carmo con i suggerimenti agli esercizi. Nel file della lezione questi svolgimenti sono riportati, in generale con molti più dettagli.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi

      Siete invitati a svolgere gli esercizi prima di guardare le soluzioni. Se avete dubbi, intervenite sul forum, scrivetemi oppure contattatemi su skype o su webex

      Vi ricordo che nei pomeriggi di giovedì 16 e venerdì 18 sono disponibile a rispondere a vostre domande su webex. Sarò presente dalle 14:30 alle 17:00

      Se desiderate parlarmi, andate all'indirizzo http://unito.webex.com/meet/alberto.albano

    • 20 aprile - 26 aprile

      LEZIONE 12 -- martedì 21 aprile 2020 -- in modalità online

      Proposizione 2.(do Carmo, Capitolo 2-6, prop. 2) Una superficie \(S\) di livello di un valore regolare è orientabile.


      La mappa di Gauss di una superficie regolare.

      Il differenziale della mappa di Gauss. Esempi: piano, sfera, cilindro.

      Proposizione 1.(do Carmo, Capitolo 3-2, prop. 1) Il differenziale della mappa di Gauss è un endomorfismo simmetrico.

      La seconda forma fondamentale come forma quadratica associata al differenziale della mappa di Gauss (cambiato di segno).

      La curvatura normale. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale come curvatura normale.

      Teorema di Meusnier (Do Carmo, Capitolo 3-2, Prop. 2)


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 12. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: capitolo 2-6 dopo la Proposizione 1, capitolo 3-1, 3-2 fino al teorema di Meusnier
      • Le lezioni registrate 29 aprile e 5 maggio 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Si tratta della lezione 16 per la parte sul nastro di Moebius e della lezione 17 per la mappa di Gauss e la curvatura normale.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi 1.3 e 1.4 nel file di questa Lezione 12.

      Leggere le pagine del do Carmo sul nastro di Moebius. Ho caricato un file con queste 3 pagine per chi non ha il libro

      Il giorno 24 aprile, sarò disponibile per consulenza su webex dalle 14:30 alle 17:00. Se desiderate parlarmi, andate all'indirizzo http://unito.webex.com/meet/alberto.albano Non c'è bisogno di prendere appuntamento, io sarò presente per tutto l'orario indicato.


      LEZIONE 13 -- giovedì 23 aprile 2020 -- in modalità online

      Autovalori e autovettori del differenziale della mappa di Gauss.

      Formula di Eulero. Conseguenza: gli autovalori di \(-d\mathbf{N}_p\) sono il massimo e il minimo delle curvature normali.

      Definizioni: curvature principali e direzioni principali di curvatura, curvatura Gaussiana e curvatura media (Do Carmo, cap.3-2, def. 4 e def. 6)

      Definizione: punti ellittici, iperbolici, parabolici. Punti planari e punti ombelicali. (Do Carmo, cap 3-2, def. 7 e 8)

      La mappa di Gauss in coordinate locali: coefficienti \(e, f, g\) della seconda forma rispetto alla base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\), matrice del differenziale della mappa di Gauss.

      Relazione matriciale: \(-d\mathbf{N}_p = I^{-1} \cdot II \)

      Formule per \(K\) e \(H\) in termini di \(E, F, G, e, f, g\).

      Esempio: il toro.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 13. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: fine del capitolo 3-2 e capitolo 3-3 fino al calcolo della curvatura del toro
      • La lezione 18 registrata il 6 maggio 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016.
      • ATTENZIONE: il calcolo della matrice del differenziale della mappa di Gauss nella videoregistrazione è SBAGLIATO. La correzione è all'inizio della lezione 20. Il calcolo nella videoregistrazione è uguale al calcolo del do Carmo (dove è giusto). Nel file della lezione 13 di quest'anno è fatto in modo diverso ed è più semplice (oltre che giusto!). Morale: non guardate la videoregistrazione sulla parte del calcolo della matrice di \(dN_p\) e non leggete il do Carmo per questo calcolo.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Esercizi assegnati per martedì 5 maggio:

      • do Carmo, 2-5: 1, 2, 5
      • do Carmo, 3-2: 8, 16
      • do Carmo, 3-3: 1, 2, 3, 5, 14
      • leggere il primo esercizio del foglio "Esercizi su prima e seconda forma" qui sotto e svolgere gli altri esercizi (tranne l'ultimo punto dell'esercizio 5)
      • in modo simile, svolgere tutti gli esercizi numero 2 dei compiti d'esame degli anni 16/17 e 17/18 (tranne 2019.02) e tutti gli esercizi numero 3 dei compiti dell'anno 18/19.

      Il formulario con le formule per le superfici è fra i materiali all'inizio. Se trovate errori di battitura nelle formule, segnalateli.

      Qui sotto trovate i file con gli esercizi del do Carmo. Gli esercizi con un asterisco hanno dei suggerimenti al fondo del libro. Se volete i suggerimenti, procuratevi una copia del libro.


    • 27 aprile - 3 maggio

      LEZIONE 14 -- martedì 28 aprile 2020 -- in modalità online

      Isometrie fra superfici: diffeomorfismi che conservano la lunghezza di tutte le curve.

      Un diffeomorfismo \(f : M \to N\) è una isometria \(\iff\) il differenziale \(df_p : T_p M \to T_{f(p)} N\) è una isometria lineare fra gli spazi tangenti per ogni \(p \in M\) \(\iff\) \(f\) trasforma la prima forma fondamentale di \(M\) in quella di \(N\).


      Simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel dipendono solo dalla prima forma fondamentale, cioè solo dalla metrica.

      Espressione della curvatura Gaussiana in termini dei simboli di Christoffel e di conseguenza:

      Theorema Egregium di Gauss. La curvatura Gaussiana è invariante per isometrie.


      Materiali sul Theorema Egregium

      • Commentationes Soc. Reg. Scie. Gottingensis Dal sito della biblioteca della Georg-August-Universität Göttingen, il numero della rivista della Società Scientifica di Göttingen in cui è pubblicato il lavoro originale di Gauss Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, da pagina 99 in poi. Il Theorema Egregium è al fondo di pagina 120. Cliccando su "Export" in alto a destra, scaricate il PDF con tutto il numero della rivista. Notate che nelle pagine precedenti alle Disquisitiones c'è un altro lavoro, in cui Gauss riporta le misurazioni degli angoli fra le montagne per calcolare la somma degli angoli di un triangolo dopo aver sviluppato la teoria degli errori (scarto quadratico medio, distribuzione normale, ...) per trattare dati sperimentali.
      • Disquisitiones Dal sito archive.org, la copia delle Disquisitiones della New York Public Library. Il teorema è al fondo di pagina 24. Dopo le Disquisitiones ci sono gli altri lavori di Gauss già presenti nel link precedenti, solo ristampati in un ordine diverso. È possibile scaricare il testo in vari formati (PDF, epub, ...).
      • General Investigations... Da Project Gutenberg una traduzione in inglese del 1902 di Morehead e Hiltebeitel della Princeton University, con alcuni commenti e note critiche. L'edizione non è quella originale ma rifatta in TeX e quindi forse più leggibile (il fatto che sia in inglese e non in latino aiuta...). Si può anche scaricare il sorgente TeX, se volete perfezionare il vostro TeX.
      • Le Disquisitiones sono state anche tradotte in tedesco (qui una copia scaricabile ), in francese (qui una copia scaricabile ) e recentemente in catalano. Che io sappia, non sono mai state tradotte in italiano (forse perché la versione latina è sufficiente...).

      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 14. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Gli stessi argomenti sono sul do Carmo: Capitolo 4-2 per la isometrie, Capitolo 4-3 per il teorema di Gauss. Altri riferimenti, all'Abate-Tovena e al Postnikov sono all'inizio del file della lezione. Anche nelle note di Hitchin c'è una dimostrazione del Theorema Egregium, ma il metodo è differente.
      • La lezione 19 registrata il 12 maggio 2016, che trovate con il link al corso dell'anno 2015/2016. Nella videoregistrazione il Therema Egregium è dimostrato con l'uso della formula di Brioschi ed è un po' diversa. La dimostrazione comincia dal minuto 25 in poi della parte 2 ed è la stessa che si trova sul libro di Sernesi Geometria 2 (a pag. 317). Sul libro di Sernesi ci sono due dimostrazioni: la seconda è quella della lezione videoregistrata, la prima è come quella sulle note di Hitchin.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Continuare a svolgere gli esercizi assegnati nella lezione scorsa per martedì 5 maggio.

      Per i più appassionati: provare a leggere le Disquisitiones (in una lingua a scelta fra quelle sopra), per avere un'idea di come si scriveva la matematica negli anni venti dell'Ottocento, dopo Eulero e Lagrange, contemporaneamente a Cauchy ma ben prima di Weierstrass.



      Forme differenziali


      LEZIONE 15 -- giovedì 30 aprile 2020 -- in modalità online

      Richiami sugli spazi vettoriali duali.

      Forme multilineari, determinanti.

      Esempi: forme 2- e 3-lineari su \(\mathbf{R}^3\).

      Forme multilineari alternanti, prodotti esterni di forme lineari.

      Potenza esterna di uno spazio vettoriale (duale): definizione di \(\bigwedge^k(V^*) =\) funzioni \(k\)-lineari alternanti su \(V\).


      Proprietà. se \(\{v_1, \dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(\{h_1, \dots, h_n\}\) è la base duale, allora l'insieme \(\{h_{i_1}\wedge \dots \wedge h_{i_k}\}, \ 1\le i_1 < \dots < i_k \le n\) è una base di \(\bigwedge^k(V^*)\).

      Moltiplicazione esterna di forme. L'algebra esterna \(\bigwedge^* \left(V^* \right) = \bigoplus_{k=0}^n \bigwedge^k \left(V^* \right) \).

      Proprietà della moltiplicazione esterna: associativa e anticommutativa graduata.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 15. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo del do Carmo Differential Forms and Application.
      • Le note scritte da me che trovate nella pagina iniziale del corso contengono tutto quello che faremo. Però nei file delle lezioni trovate le stesse cose con più dettagli e spiegazioni, perciò è meglio leggere via via le lezioni. Naturalmente potete già cominciare a leggere le note, se siete curiosi di sapere quello che faremo.
      • Questa parte del corso si discosta abbastanza (nello stile, che è un po' più astratto e algebrico, più che negli argomenti) dalle lezioni registrate 4 anni fa. Potete comunque guardarle, ma non metterò più i riferimenti specifici. Comunque nel corso videoregistrato ci sono gli argomenti trattati nelle varie lezioni e quindi potete trovare quelle che interessano.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Continuare a svolgere gli esercizi assegnati nella lezione scorsa per martedì 5 maggio.

      In questa lezione ci sono alcuni semplici esercizi di algebra lineare. Provate a farli.

      La settimana prossima ci sarà consulenza su webex:

      • martedì 5 maggio, ore 14:30 - 16:30
      • giovedì 7 maggio, ore 10:30 - 12:30

      L'indirizzo a cui collegarsi è sempre lo stesso

      http://unito.webex.com/meet/alberto.albano

    • 4 maggio - 10 maggio

      LEZIONE 16 -- martedì 5 maggio 2020 -- in modalità online

      Discussione degli esercizi assegnati. Lo svolgimento completo degli esercizi dal libro di do Carmo si trova nel file qui sotto.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 16. Contiene le soluzioni di tutti gli esercizi, scritte in dettaglio.
      • Alcuni problemi sono anche risolti nelle pagine del do Carmo con i suggerimenti agli esercizi. Nel file della lezione questi svolgimenti sono riportati, in generale con molti più dettagli.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Svolgere gli esercizi

      Siete invitati a svolgere gli esercizi prima di guardare le soluzioni. Se avete dubbi, intervenite sul forum, scrivetemi oppure contattatemi su webex

      Vi ricordo che questa settimana ci sono due consulenze su Webex. Giorni e ore sono indicati nella Lezione 15


      LEZIONE 17 -- giovedì 7 maggio 2020 -- in modalità online

      Lo spazio tangente \(T_p \mathbf{R}^n \) e lo spazio cotangente \(T^*_p \mathbf{R}^n \). Base per lo spazio tangente con i vettori tangenti alle curve coordinate. La base duale \( \{dx_1, \dots, dx_n \} \) è data dai differenziali delle funzioni coordinate.

      Definizione di campo vettoriale, 1-forma differenziale e \(k\)-forma differenziale. Prodotto esterno di forme.

      Pull-back di forme differenziali: una funzione differenziabile \(f :U \to V\) induce una mappa \(f^* : \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)\).

      Esempio di pullback

      Proprietà di \(f^*\):

      • \(f^*(\omega_1 + \omega_2) = f^*(\omega_1) + f^*(\omega_2)\)
      • se \(g \in \Omega^0(V)\) è una funzione differenziabile, \(f^*(g) = g\circ f\)
      • se \(\omega_1, \dots, \omega_k\) sono \(1\)-forme, allora \(f^*(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k) = f^*(\omega_1)\wedge\dots\wedge f^*(\omega_k)\)

      Calcolo fondamentale: \(f^*\) si calcola mediante "sostituzione di variabili".

      Ulteriori proprietà del pullback: omomorfismo di anelli e funtorialità.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 17. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo del do Carmo Differential Forms and Application., Capitolo1
      • Le note scritte da me che trovate nella pagina iniziale del corso contengono tutto quello che faremo. Però nei file delle lezioni trovate le stesse cose con più dettagli e spiegazioni, perciò è meglio leggere via via le lezioni. Naturalmente potete già cominciare a leggere le note, se siete curiosi di sapere quello che faremo.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Per adesso, studiare bene i nuovi concetti. La settimana prossima ci sarà una esercitazione sulle forme differenziali, ma non darò gli esercizi in anticipo, perché i problemi che si affrontano e il modo di risolverli verranno spiegati nell'esercitazione.

    • 11 maggio - 17 maggio

      LEZIONE 18 -- martedì 12 maggio 2020 -- in modalità online

      La derivazione esterna \(d : \Omega^k(\mathbf{R}^n) \to \Omega^{k+1}(\mathbf{R}^n)\): definizione come generalizzazione del differenziale di funzioni.

      Proprietà algebriche.

      Proprietà fondamentale. \(d^2 = 0\).

      Definizione di forme chiuse ed esatte. La coomologia di deRham: il quoziente di forme chiuse modulo forme esatte.

      Relazioni fra derivata esterna e pullback: \( d(f^* \omega) = f^*(d \omega) \)


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 18. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo del do Carmo Differential Forms and Application., Capitolo 1

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Per adesso, studiare bene i nuovi concetti. La prossima lezione sarà di esercitazione sulle forme differenziali. Svolgeremo in dettaglio molti degli esercizi alla fine del Capitolo 1 del libro di do Carmo. Gli esercizi che vedremo saranno d'aiuto nella risoluzione degli esercizi d'esame.


      LEZIONE 19 -- giovedì 14 maggio 2020 - in modalità online

      Esercizi sulle forme differenziali.

      Definizione dell'operatore \(*\) di Hodge.

      Definizione di divergenza, gradiente e rotore in termini di derivata esterna \(d\) e \(*\) di Hodge. Contrazione di un campo vettoriale e una forma differenziale. Le relazioni fra divergenza, gradiente e rotore in generale e in \(\mathbf{R}^3\).

      La forma di volume \(dV\): definizione, calcolo, esattezza, primitive.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 19. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo del do Carmo Differential Forms and Application., Capitolo 1

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      In questa lezione c'è lo svolgimento di molti esercizi dal do Carmo. Provare a fare gli esercizi senza prima leggere la soluzione.

      Nel file della lezione ci sono anche degli esercizi non risolti. Provare a farli, seguendo le linee degli esercizi svolti.

      Altri esercizi sulle forme differenziali si trovano nei compiti d'esame.

      Cominciate a fare gli esercizi presenti nel file per l'esame. Qualcuno è risolvibile con i concetti visti fino ad adesso.


    • 18 maggio - 24 maggio

      LEZIONE 20 -- martedì 19 maggio 2020 -- in modalità online

      Il lemma di Poincaré per le 1-forme su aperti stellati di \(\mathbf{R}^n\): se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa su un aperto stellato \(U\), allora esiste una funzione differenziabile \(f\) definita su \(U\) tale che \(\omega = df\). (ripasso di Analisi 2)

      Integrale di una 1-forma su un cammino differenziabile (integrale di linea o di seconda specie). Condizioni equivalenti all'esattezza di una 1-forma in termini di integrali di linea.

      Esattezza locale: una 1-forma è chiusa se e solo se è localmente esatta.

      Integrale di una 1-forma su un cammino continuo.

      Teorema. Se \(\omega\) è una \(1\)-forma chiusa definita sull'aperto \(U\subseteq \mathbf{R}^n\), e \(\alpha\), \(\beta\) sono due cammini in \(U\) omotopi a estremi fissati, allora \(\int_{\alpha}\omega = \int_{\beta} \omega\). (Con dimostrazione)

      Corollario. Se \(U\subseteq \mathbf{R}^n\) è semplicemente connesso, allora ogni \(1\)-forma chiusa è esatta.

      Lemma di Poincaré. Sia \(U\) un sottoinsieme aperto e connesso di \(\mathbf{R}^n\) contraibile e sia \(\omega\) una \(k\)-forma definita su \(U\). Allora \(d\omega = 0 \iff \exists \eta : \omega = d\eta\). (SOLO ENUNCIATO)

      Esercizi su forme differenziali.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 20. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo del do Carmo Differential Forms and Application, Capitolo 2
      • La dimostrazione nel caso degli aperti contraibili (NON IN PROGRAMMA PER L'ESAME) è presa dal do Carmo, Differential Forms and Application, Capitolo 4, Paragrafo 3 (Poincaré's Lemma)

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Le due lezioni di questa settimana sono la parte finale e più importante del programma sulle forme differenziali. E' quindi indispensabile uno studio attento. Nelle ultime tre lezioni vedremo molti esempi ed applicazioni dei teoremi dimostrati nelle lezioni di oggi e giovedì 21 e avremo occasione di fare esercizi.



      LEZIONE 21 -- giovedì 21 maggio 2020 -- in modalità online

      Definizione di \(k\)-cubo singolare su \(U\subseteq \mathbf{R}^n\). Esempi. L'\(n\)-cubo singolare standard in \(\mathbf{R}^n\).

      Catene singolari: combinazioni lineari formali a coefficienti interi di cubi singolari.

      Bordo di una catena singolare:

      • facce del cubo standard \(I^n_{(i, \alpha)}\),
      • formula per il bordo del cubo standard \(\partial I^n\) come somma di facce con segno,
      • facce di un cubo arbitrario \( c : [0,1]^n \to \mathbf{R}^m\) come pullback di \(c\) lungo le facce del cubo standard
      • formula per il bordo di un cubo arbitrario come somma di facce con segno (stessa formula del cubo standard)
      • bordo di una catena come combinazione lineare dei bordi dei cubi che danno la catena

      Proprietà fondamentale del bordo: \( \partial^2 = 0 \) (SENZA DIMOSTRAZIONE)

      Definizione di integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena:

      • integrale di una \(k\)-forma sul cubo standard \(I^k = [0, 1]^k\)
      • integrale di una \(k\)-forma \(\omega\) sull'aperto \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) su un \(k\)-cubo in \(U\) come integrale del pullback di \(\omega\) lungo il cubo \(c\)
      • integrale di una \(k\)-forma su una \(k\)-catena come combinazione lineare degli integrali sui cubi che danno la catena

      Il Teorema di Stokes per \((k-1)\)-forme su \(k\)-catene in \(U\)

      \( \int_c d\omega = \int_{\partial c} \omega \)

      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 21. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Per questa parte può essere utile vedere il testo di Michael Spivak Calculus on Manifolds, Capitolo 4

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Leggere (e studiare!) con attenzione la parte su catene e integrazione. Nelle lezioni della prossima settimana vedremo esempi e applicazioni del teorema di Stokes, e svolgeremo parecchi esercizi.


    • 25 maggio - 31 maggio

      LEZIONE 22 -- martedì 26 maggio 2020 - in modalità online

      Esercizi su catene singolari, bordi e integrali.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 22. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti e anche molti disegni.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Dopo il lavoro teorico svolto nelle ultime due lezioni, vediamo una serie di esercizi su come scrivere catene per regioni semplici nel piano e nello spazio e come calcolare i loro bordi. Vediamo poi un paio di esercizi sugli integrali di forme differenziali, presi da vecchi compiti. Potete guardare nei compiti degli scorsi anni per altri esercizi dello stesso tipo.



      LEZIONE 23 -- giovedì 28 maggio 2020 -- in modalità online

      La forma volume \(dV\) su \(\mathbf{R}^3\).

      L'elemento d'area \(dA\) su una superficie e la definizione di area. Le \(2\)-forme di \(\mathbf{R}^3\) che operano sul piano tangente ad una superficie come multipli di \(dA\).

      L'elemento di lunghezza \(ds\) su una curva. Le \(1\)-forme di \(\mathbf{R}^3\) che operano sulla retta tangente ad una curva come multipli di \(ds\).


      Il Teorema di Gauss-Green

      Il teorema della divergenza.

      Il teorema di Stokes o del rotore.


      Il teorema di Gauss-Bonnet: la curvatura geodesica, la versione locale (SENZA DIMOSTRAZIONE), la versione per un triangolo (SENZA DIMOSTRAZIONE)

      Il teorema di Gauss-Bonnet (versione globale). Per una superficie \(S \subseteq \mathbf{R}^3\) connessa, compatta, orientabile e senza bordo si ha

      \( \int_S K\,dA = 2\pi\chi(S)\)

      dove \(\chi(S)\) è la caratteristica di Eulero di \(S\).

      Le dimostrazioni del teorema di Gauss-Bonnet, nella versione locale e per i triangoli, si possono vedere sulle note di Hitchin. Queste due dimostrazioni non sono nel programma d'esame..

      La dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet globale E' NEL PROGRAMMA D'ESAME.


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 23. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Leggere gli esercizi presenti che illustrano l'uso delle versioni classiche del teorema di Stokes.

      Svolgere esercizi sulle forme differenziali e sugli integrali presenti nelle prove d'esame degli anni scorsi.

    • 1 giugno - 7 giugno

      NO LEZIONE -- martedì 2 giugno 2020 - VACANZA


      LEZIONE 24 -- giovedì 4 giugno 2020 -- in modalità online

      Esempio di una \(2\)-forma chiusa ma non esatta su un dominio semplicemente connesso:

      \( \omega = \dfrac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} (x\, dy \wedge dz - y\, dx \wedge dz + z\, dx \wedge dy) \)

      è chiusa su \(U = \mathbf{R}^3 - \{0\}\) ma non è esatta, perché l'integrale di \(\omega\) sulla sfera di centro l'origine (che è un ciclo) è diverso da 0.

      Osservazione. Dal teorema di Stokes si ottengono le affermazioni

      \(\omega\) esatta e \(S\) ciclo \(\implies \int_S \omega = 0\)

      \(\omega\) chiusa e \(S\) bordo \(\implies \int_S \omega = 0\)


      Il teorema di de Rham (NON IN PROGRAMMA PER L'ESAME)

      Le equazioni di Maxwell (NON IN PROGRAMMA PER L'ESAME)


      Materiale di riferimento per lo studio

      • Il file qui sotto scritto da me: Lezione 24. Contiene tutti gli argomenti della lezione spiegati in dettaglio, con tutti i calcoli svolti.
      • Il secondo e terzo paragrafo, sul teorema di de Rham e sulle equazioni di Maxwell NON SONO IN PROGRAMMA PER L'ESAME. Leggeteli se siete interessati, ma non verranno chiesti all'esame, nemmeno come domanda per la lode.

      Attività da svolgere individualmente (o anche in gruppo)

      Il corso è finito. Studiate bene gli argomenti, risolvete gli esercizi assegnati e ci vedremo all'esame


      BUON LAVORO!