Weekly outline

  • General

    GEOMETRIA 2 



    DOCENTI: 

    Alberto ALBANO, Cinzia CASAGRANDE, Sergio GARBIERO


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono TRE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda degli indirizzi e del corso di laurea.

    • Matematica, indirizzo TEORICO (MFN1628): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO (MFN1250): il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre. 


    Avvisi importanti:

    * nella prima settimana di gennaio 2019 si terranno le seguenti lezioni, tutte in Aula A:

       mercoledì 9: 10:30 - 12:30   Esercitazione (solo per Teorico)

       mercoledì 9: 12:30 - 14:30   Tutorato (sugli ultimi due fogli di tutorato - solo per Teorico)

       giovedì 10:   14:30 - 16:30   Esercitazione di preparazione allo scritto (per tutti)

    * ci sarà uno scambio delle lezioni di Geometria 2 e Analisi 2 tra lunedì 3/12 e martedì 4/12, per cui lun 3/12, h 8:30 - 10:30, ci sarà lezione di Analisi 2, e mar 4/12, h 8:30 - 10:30, ci sarà lezione di Geometria 2

    * venerdì 30/11 e 14/12 la lezione di Geometria 2 sara' 8:30 - 10:30 (e quella di Analisi 2 sara' 10:30 - 12:30)

    * mercoledì 12/12 la lezione di Geometria 2 sara' 8:30 - 10:30 (e quella di Analisi Numerica sara' 10:30 - 12:30)

    * lunedì 26/11 la lezione di Geometria 2 sara' 15 - 17, per l'inaugurazione dell'anno accademico alla mattina

    * venerdì 16/11 e 23/11 la lezione di Geometria 2 sara' 8:30 - 10:30 (e quella di Analisi 2 sara' 10:30 - 12:30)

    * venerdi' 2/11 e 9/11 non ci sara' lezione di Geometria 2 (ven 9/11 sara' sostituita da Analisi Numerica)

    * ci saranno due lezioni di recupero martedi' 30/10, h 12:30 - 14:30, e martedi' 13/11, h 12:30 - 14:30


          RICEVIMENTO DOCENTI: 

          • Albano: su appuntamento (telefonare o mandare email)
          • Casagrande: su appuntamento


          ARGOMENTO:

          Il corso si compone di più parti:

          1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Azioni di gruppo e quoziente associato. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

          2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti e retratti di deformazione. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Il teorema di Van Kampen sui generatori. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse. Il gruppo fondamentale della circonferenza.

          3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Enunciato del teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. Orientabilità di superfici. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione delle superfici compatte.

          4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Diagonalizzazione simultanea di matrici. Esponenziale complesso. Esponenziale di matrici complesse.

          5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, sottospazi, proiettività. Geometria affine geometria proiettiva, punti propri e impropri. Birapporto. Spazio proiettivo duale, sistemi lineari di iperpiani. Curve algebriche piane affini e proiettive: grado, componenti irriducibili. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta, punti lisci e singolari, retta tangente. Trasformazione di una curva per affinità/proiettività. Classificazione delle coniche: casi affine/proiettivo, reale/complesso. Curve proiettive di grado d, condizioni lineari. Sistemi lineari e fasci di coniche.


          Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. I programmi d'esame sono:

          • Matematica, indirizzo TEORICO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
          • Matematica, indirizzo MODELLISTICO: 1 + 2 + 3+ 4
          • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


          TESTI CONSIGLIATI:

          M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1 e 2.

          C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, per le parti 1 e 2.

          G. Occhetta, dispense del corso di Geometria III, scaricabile liberamente, per le parti 2 e 3.

          N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente, per la parte  3.

          Vi sono delle note del Prof. Albano, disponibili qui sotto, per la parte 4.

          E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri, capitolo 3 - Geometria proiettiva, per la parte 5.

          S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili dalla pagina di Campusnet di Geometria 2 Teorico (MFN 1628), per la parte 5(dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale). Queste note seguono il libro di Sernesi, dando maggiori dettagli.

          E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, per la parte 5: oltre a molti esercizi, c'e' un riassunto conciso della teoria.


          TUTORATO: martedì 14:30 - 16:30, aula Lodi (a sportello), a partire da martedì 16/10

          Ogni settimana verrà assegnato (su moodle) un foglio di esercizi. I fogli di esercizi verranno raccolti dal tutore, Moreno Pierobon, corretti, e restituiti il martedì successivo.


          FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):

          Topologia e topologia algebrica: 
          file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

          C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (questo va bene anche per studiare la parte di topologia generale e omologia)

          E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri

          Geometria proiettiva:
          le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

          E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

          E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri


          ESAMI:

          L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
          La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura:
          • 2 ore  (esercizi 1-3) per gli studenti di MatFin, 
          • 2 ore e 30 minuti (esercizi 1-4) per gli studenti dell'indirizzo Modellistico,
          • 3 ore (esercizi 1-5) per gli studenti dell'indirizzo Teorico.
          Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.
          Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
          La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 


          VIDEOREGISTRAZIONI:

          Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

          Geometria 2 e-learning

          e sono utili per:

          • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
          • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise 

          Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.

        • 1 October - 7 October

          LEZIONE 1 -- lunedì 1 ottobre 2018 (SG)

          Introduzione al corso. Riepilogo delle strutture di \( \mathbf{R}^n \): struttura di spazio vettoriale Euclideo; struttura di spazio metrico con la distanza Euclidea. Intorni sferici di un punto e sottoinsiemi aperti. Proprietà degli insiemi aperti. Definizione di continuità di funzioni da \( \mathbf{R}^n \) in \( \mathbf{R}^m \) mediante gli aperti.

          Definizione di spazio topologico mediante gli assiomi per gli aperti e primi esempi di topologie: topologia banale, topologia discreta, topologia della semicontinuità superiore. Sottoinsiemi chiusi di uno spazio topologico: definizione ed esempi.


          LEZIONE 2 -- mercoledì 3 ottobre 2018 (SG)

          Proprietà dei sottoinsiemi chiusi e possibilità di definire una topologia a partire dai chiusi. Topologia di Zariski. Basi di una topologia e condizioni affinché una famiglia di sottoinsiemi sia una base. Confronto di topologie: topologie più fini e meno fini. Topologia di Sorgenfrey su \( \mathbf{R} \). Chiusura, interno e frontiera di un sottoinsieme: definizioni, esempi e prime proprietà.


          LEZIONE 3 -- giovedì 4 ottobre 2018 (SG)

          Intorni di un punto: definizione e prime proprietà. Caratterizzazione dei punti di aderenza mediante gli intorni. Base degli intorni di un punto e possibilità di definire una topologia mediante gli intorni. Funzioni continue tra due spazi topologici. Condizioni equivalenti alla continuità che coinvolgono chiusi, basi oppure chiusure di sottoinsiemi.


          LEZIONE 4 -- venerdì 5 ottobre 2018 (SG)

          Definizione di continuità in un punto ed equivalenza con la precedente nozione di continuità. La composizione di funzioni continue è continua. Funzioni aperte, chiuse ed omeomorfismi: definizione e primi esempi. Caratterizzazione degli omeomorfismi mediante le funzioni aperte o chiuse. Esempi. Sottospazi topologici: topologia indotta su un sottoinsieme dello spazio. Caratterizzazione dei chiusi e delle basi di un sottospazio topologico. Funzione inclusione.

        • 8 October - 14 October

          ESERCITAZIONE 1 -- lunedì 8 ottobre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 1, 2, 3, 4, 9. Tutti (o quasi) gli esercizi sono presi da vecchie prove d'esame.

          LEZIONE 5 -- mercoledì 10 ottobre 2018 (SG)

          Caratterizzazione delle chiusure dei sottoinsiemi di un sottospazio topologico. Immersione topologica di uno spazio topologico in un altro ed esempi di immersioni e di funzioni continue ed iniettive che non sono immersioni. Distanze e spazi metrici: definizione e primi esempi. Intorni sferici e topologia indotta da una distanza. Distanze equivalenti e spazi topologici metrizzabili: definizioni ed esempi.

          LEZIONE 6 -- giovedì 11 ottobre 2018 (SG)

          Prodotto di spazi topologici: definizione della topologia prodotto e base canonica della topologia prodotto. Proprietà delle proiezioni e delle funzioni a valori in uno spazio prodotto. Esempi. Spazi di Hausdorff: definizione e primi esempi.

          LEZIONE 7 -- venerdì 12 ottobre 2018 (SG)

          Ogni spazio metrico è di Hausdorff. I sottoinsiemi finiti di uno spazio di Hausdorff sono chiusi. I sottospazi ed i prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Caratterizzazione degli spazi di Hausdorff mediante la chiusura della diagonale e conseguenze sulle funzioni continue a valori in uno spazio di Hausdorff. Spazi topologici connessi: definizione e caratterizzazione mediante gli aperti ed i chiusi. Esempi di spazi topologici connessi e sconnessi.

        • 15 October - 21 October

          ESERCITAZIONE 2 -- lunedì 15 ottobre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11.

          LEZIONE 8 -- mercoledì 17 ottobre 2018 (SG)

          Sottospazi topologici connessi e loro proprietà. L'intervallo \([0, 1]\) è connesso. L'immagine di un connesso mediante una funzione continua è connesso. Spazi topologici connessi per archi: definizione e proprietà. Sottospazi convessi di \( \mathbf{R}^n \): definizione ed esempi. I sottoinsiemi connessi di \( \mathbf{R} \): sono tutti e soli gli intervalli.

          LEZIONE 9 -- giovedì 18 ottobre 2018 (SG)

          Proprietà delle funzioni continue da \( \mathbf{R} \) in \( \mathbf{R} \): teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Proprietà delle funzioni continue dalla sfera \( S^n \) in \( \mathbf{R} \) e conseguenze: un aperto di \( \mathbf{R} \) non è omeomorfo ad un aperto di \( \mathbf{R}^n \) se \(n \ge 2\). Enunciato del teorema della dimensione. L'intersezione di sottospazi connessi non disgiunti è connessa. Il prodotto cartesiano di spazi connessi è connesso se e solo se i fattori sono connessi. La chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Componenti connesse e componenti connesse di un punto.

          LEZIONE 10 -- venerdì 19 ottobre 2018 (SG)

          Ogni spazio topologico è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Ricoprimenti e sottoricoprimenti di uno spazio topologico. Spazi topologici compatti: definizione e primi esempi. L'immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatto. L'intervallo \( [0, 1] \) è compatto.

        • 22 October - 28 October

          ESERCITAZIONE 3 -- lunedì 22 ottobre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi tutti gli esercizi del foglio.

          LEZIONE 11 -- mercoledì 24 ottobre 2018 (SG)

          I sottospazi chiusi di un compatto sono compatti. L'unione finita di compatti è compatta. Un sottospazio di \( \mathbf{R} \) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso. Due spazi topologici sono compatti se e solo se il loro prodotto è compatto. Teorema di Heine-Borel: un sottospazio di\( \mathbf{R}^n \) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

          LEZIONE 12 -- giovedì 25 ottobre 2018 (SG)

          Una funzione continua tra uno spazio compatto e uno spazio di Hausdorff è chiusa. Le proiezioni del prodotto di spazi compatti sono chiuse. Enunciato del teorema di Kuratowski. Topologia quoziente e identificazioni: definizioni e prime proprietà. Caso del quoziente rispetto ad una relazione di equivalenza e della relativa proiezione canonica. Esempi di identificazioni: la circonferenza, il toro, il piano proiettivo.

          LEZIONE 13 -- venerdì 26 ottobre 2018, 10:30 - 12:30 (CC)

          Un'applicazione continua, suriettiva e chiusa (o aperta) è un'identificazione.

          Proprietà universale della topologia quoziente.

          Contrazione di un sottoinsieme \( A\) a un punto, quoziente \(X/A.\) Se \(A\) è aperto (chiuso), la proiezione al quoziente è aperta (chiusa).

          Esempio: la proiezione al quoziente \( \mathbf{R} \to \mathbf{R}/\mathbf{Q} \) non è né aperta né chiusa. Esempio in cui \(X\) è Hausdorff ma \(X/A\) non è Hausdorff.

          Data un'identificazione \(f: X \to Y\) con \(X\) compatto e Hausdorff, \(Y\) è Hausdorff sse \(f\) è chiusa (dimostrazione del Kosniowski). Enunciato (senza dimostrazione) del terzo criterio in \(X\times X\).

          Azione (sinistra) di un gruppo \(G\) su un insieme \(X\), esempi. La moltiplicazione per un elemento fissato del gruppo è una biezione. Stabilizzatori e orbite; azione libera. relazione di equivalenza su \(X\) indotta da un'azione, quoziente \(X/G\).

          Azione di un gruppo \(G\) su uno spazio topologico \(X\) per omeomorfismi; dare un'azione per omeomorfismi è equivalente a dare un omomorfismo di gruppi \(G \to \text{Omeo}(X)\).

          Esercizi lasciati per casa: data un'azione di \(G\) su un insieme \(X\), 1) dato \(x \in X\), l'insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore di \(x\) è in corrispondenza biunivoca con l'orbita di \(x\); 2) punti nella stessa orbita hanno stabilizzatori coniugati.

        • 29 October - 4 November

          ESERCITAZIONE 4 -- lunedì 29 ottobre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 1, 3, 4, 6.


          LEZIONE 14 -- martedì 30 ottobre 2018 ore 12:30 - 14:30, Aula A (lezione di recupero) (CC)

          Se un gruppo \(G\) agisce su uno spazio topologico \(X\) per omeomorfismi, la proiezione al quoziente è aperta, ed è anche chiusa se \(G\) è finito.

          Se un gruppo finito \(G\) agisce per omeomorfismi su uno spazio topologico \(X\) compatto e di Hausdorff, il quoziente \(X/G\) è di Hausdorff.

          Se un gruppo finito \(G\) agisce per omeomorfismi su uno spazio topologico \(X\) di Hausdorff, il quoziente \(X/G\) è di Hausdorff (senza dimostrazione).

          Esempi: \( \mathbf{R}/\mathbf{Z} \) è omeomorfo alla circonferenza. Lo spazio proiettivo reale come quoziente \(\mathbf{R}^{n+1}/\mathbf{R}^*\); lo spazio proiettivo reale è compatto e di Hausdorff, ed è un quoziente della sfera.


          Proprietà di numerabilità: primo e secondo assioma. Ogni spazio metrico è primo numerabile. \(\mathbf{R}^n\) con la topologia euclidea è a base numerabile. Il prodotto di spazi a base numerabile è a base numerabile. Il secondo assioma di numerabilità implica il primo. Spazi topologici separabili. Uno spazio topologico \(X\) a base numerabile è separabile; il viceversa vale se \(X\) è metrico. La retta di Sorgenfrey è separabile, è primo numerabile, ma non è a base numerabile (senza dimostrazione).

          Successioni, convergenza di una successione, punto di accumulazione di una successione. Se \( \{a_n\} \) converge a \(x\), allora \(x\) è di accumulazione per \( \{a_n\} \); se \(x\) è di accumulazione per \( \{a_n\} \), allora \(x\) è nella chiusura dell'insieme \( \{a_n\}\). Se \(X\) è di Hausdorff, una successione convergente ha un unico limite.

          Se \(\{a_n\}\) ha una sottosuccessione convergente a \(x\), allora \(x\) è di accumulazione per \(\{a_n\}\); se \(X\) è primo numerabile, vale anche il viceversa.

          Caratterizzazione della chiusura di un insieme \(A\) in uno spazio topologico primo numerabile, in termini di convergenza delle successioni in \(A\), e in termini di punti di accumulazione di successioni in \(A\): inizio della dimostrazione.


          LEZIONE 15 -- mercoledì 31 ottobre 2018 pre 10:30 - 12:30 (CC)

          Fine della dimostrazione iniziata l'ultima lezione. L'intersezione di una catena discendente numerabile di chiusi, compatti e non vuoti, è non vuota (Prop. 4.46 Manetti).

          In uno spazio compatto ogni successione ha punti di accumulazione. Spazi topologici compatti per successioni. Se \(X\) è primo numerabile, \(X\) è compatto per successioni sse ogni successione in \(X\) ha punti di accumulazione, e se \(X\) è compatto allora \(X\) è compatto per successioni.

          Se \(X\) è a base numerabile, ogni ricoprimento aperto di \(X\) ammette un sottoricoprimento numerabile (Prop. 6.9 Manetti).

          Se \(X\) è base numerabile, sono equivalenti: (1) compatto, (2) compatto per successioni, (3) ogni successione ha un punto di accumulazione. Se \(X\) è metrico, \(X\) è compatto sse è compatto per successioni (senza dimostrazione).

          Successioni di Cauchy in spazi metrici. Una successione convergente è di Cauchy. Una successione di Cauchy è convergente sse ha punti di accumulazione. Spazi metrici completi. Uno spazio metrico compatto è completo. \( \mathbb{R}^n\) con la metrica euclidea è completo. Se \(X\) è uno spazio metrico completo, un sottoinsieme di \(X\) è chiuso sse è completo. La completezza non è una proprietà topologica.

          Completamento: definizione, primi esempi, enunciato dell'unicità (senza dimostrazione),cenni sulla costruzione.


          NO LEZIONE giovedì 1 e venerdì 2 novembre 2018

        • 5 November - 11 November

          ESERCITAZIONE 5 -- lunedì 5 novembre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 1, 2, 6.


          LEZIONE 16 -- mercoledì 7 novembre 2018 (AA)

          Definizione di omotopia fra funzioni.

          Esempi di funzioni omotope.

          Lemma 10.11. L'omotopia fra funzioni è una relazione di equivalenza.

          Lemma 10.13. L'omotopia rispetta la composizione di funzioni.

          Definizione di spazi omotopicamente equivalenti o con lo stesso tipo di omotopia.

          Esempio: tutti i convessi sono omotopicamente equivalenti.

          Definizione di spazio contraibile. Esempi: \(\mathbf{R}^n\), ogni convesso in \(\mathbf{R}^n\), ogni stellato in \(\mathbf{R}^n\).

          Proprietà: uno spazio contraibile è connesso per archi.

          Definizione di retratto (10.18).

          Esempi:

          • Un punto è un retratto di tutto lo spazio \(X\)
          • \(Y = \{0, 1\}\) non è un retratto dell'intervallo \([0, 1]\)

          LEZIONE 17 -- giovedì 8 novembre 2018 (AA)

          Definizione di retratto, di retratto di deformazione e di retratto forte di deformazione (10.18 e 10.20).

          Definizione di omotopia rel \(Y\), cioè omotopia fra funzioni che tiene fissato un sottoinsieme \(Y\) del dominio.

          NOTA BENE: la definizione di retratto (10.18) è standard. Manetti chiama "retratto di deformazione" (10.20) quello che abbiamo chiamato "retratto forte di deformazione". La definizione data in classe è quella di Wikipedia ed è quella che si trova nel libro di Spanier, Algebraic Topology, pag. 27 e seguenti.

          Esempi:

          • Se \(Y\) è un retratto di deformazione di \(X\), allora \(X\) e \(Y\) sono omotopicamente equivalenti
          • \(S^n\) è un retratto forte di deformazione di \(\mathbf{R}^n - \{0\}\).
          • \(X =\) il pettine formato dai segmenti verticali sopra i punti \(0, 1, 1/2, 1/3, \dots\) e dal segmento orizzontale \([0, 1]\) sull'asse \(x\), e i punti \(A = (0, 0)\), \(B = (0, 1) \). Allora \(\{A\}\) è un retratto forte di formazione di \(X\) mentre \(\{B\}\) è un retratto di deformazione che non è un retratto forte.

          Spazio dei cammini \(\Omega(X, a, b)\) e operazioni di "giunzione di cammini" \(\alpha * \beta\) e "inversione" \(i(\alpha)\).

          Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia rispetta la giunzione e l'inversione.

          Proposizioni (11.4 - 11.6). A meno di omotopia:

          1. La giunzione è associativa, cioè \( \alpha * (\beta * \gamma) \sim (\alpha * \beta) * \gamma \)
          2. Il cammino costante è un elemento neutro per la giunzione.
          3. \(i(\alpha)\) è l'inverso di \(\alpha\) rispetto alla giunzione.

          Definizione di gruppo fondamentale \(\pi_1(X, a) = \Omega(X, a, a) /\sim\), dove \(\sim\) è l'omotopia a estremi fissi.

          Lemma (11.13). Un cammino \(\gamma\) che unisce i punti \(a\) e \(b\) induce un isomorfismo

          \( \gamma_\sharp : \pi_1(X, a) \to \pi_1(X, b) \)

          In particolare, se \(X\) è connesso per archi, la classe di isomorfismo del suo gruppo fondamentale non dipende dal punto base.


          NO LEZIONE -- venerdì 9 novembre 2018

        • 12 November - 18 November

          ESERCITAZIONE 6 - lunedì 12 novembre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.

          Inoltre abbiamo scritto la retrazione di deformazione fra \( \mathbb{R}^2 \setminus \{P, Q\} \) e la “figura 8”.


          LEZIONE 18 - martedì 13 novembre 2018 ore 12:30 - 14:30, Aula A (lezione di recupero) (CC)

          Omomorfismo tra i gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua tra spazi topologici puntati; funtorialità. Un omeomorfismo induce isomorfismo tra i gruppi fondamentali. Se \(A\) è un retratto di \(X\), il gruppo fondamentale di \(A\) è un sottogruppo del gruppo fondamentale di \(X\).
          Proposizione 11.19: date due mappe omotope \(f, g: X \to Y\), gli omomorfismi indotti tra i gruppi fondamentali differiscono per un isomorfismo. Applicazione: invarianza omotopica del gruppo fondamentale (Teorema 11.22). Spazi topologici contraibili, spazi topologici semplicemente connessi, relazione tra le due nozioni. Ogni cappio non suriettivo sulla sfera di dimensione \(\ge 2\) è omotopo al cappio costante.

          Distanza da un sottoinsieme in uno spazio metrico; la distanza è continua e si annulla esattamente sulla chiusura del sottoinsieme. Lemma del numero di Lebesgue (Kosniowski, teorema 23.4).


          LEZIONE 19 - mercoledì 14 novembre 2018, 10:30 - 12:30 (CC)

          Teorema di Van Kampen (generatori) (teorema 11.25). Applicazione: se uno spazio topologico \(X\) è unione di due aperti semplicemente connessi, con intersezione non vuota e c.p.a., allora \(X\) è semplicemente connesso (Coroll. 11.26). Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse (Corollario 11.27).

          Gruppo fondamentale della circonferenza (dal Kosniowski, cap. 16). Mappa esponenziale, aperti uniformemente rivestiti (K. lemma 16.1). Sollevamenti. Esistenza del sollevamento di cammini (K. teorema 16.4). Grado di un cappio nella circonferenza. Sollevamento delle omotopie (K. lemma 16.5). Teorema di monodromia: cammini omotopi hanno lo stesso grado (K. corollario 16.6).


          LEZIONE 20 - giovedì 15 novembre 2018 (CC)

          Gruppo fondamentale della circonferenza (K. teorema 16.7).

          Uno spazio topologico che contiene un retratto omeomorfo alla circonferenza non è semplicemente connesso. Il disco piano non ammette una retrazione sul suo bordo (Coroll. 12.38). Teorema del punto fisso di Brouwer (Coroll. 12.39).

          Se un aperto di \(\mathbb{R}^n\) è omeomorfo a un aperto di \(R\), allora \(n = 1\). Se un aperto di \(\mathbb{R}^n\) è omeomorfo a un aperto di \(\mathbb{R}^2\), allora \(n = 2\). Invarianza della dimensione (solo enunciato).

          Gruppo fondamentale del prodotto (Prop. 11.17). Esempio: gruppo fondamentale del toro.

          Un esempio di gruppo fondamentale non abeliano: descrizione (senza dimostrazione) del gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze.

          Esempi di equivalenze omotopiche, senza dimostrazione.

          Proprietà topologiche dello spazio proiettivo reale. La retta proiettiva reale è omeomorfa alla circonferenza.


          Fine del programma di OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE


          FINE CORSO GEOMETRIA 2 MATFIN



          CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE

          Per questa parte faremo riferimento alle note dei Prof. Occhetta e Hitchin, scaricabili liberamente dalle pagine web dei due docenti, vedere i link all'inizio della pagina moodle.


          LEZIONE 21 - venerdì 16 novembre 2018 (CC)

          Modello piano del piano proiettivo reale; descrizione (senza dimostrazione) del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale.
          Spazi topologici localmente euclidei, varietà topologiche. Esempi. Uno spazio topologico compatto, Hausdorff, connesso, e localmente euclideo, è a base numerabile (senza dim.) Ogni varietà topologica di dimensione 1 è omeomorfa alla retta o alla circonferenza (senza dim.)
          Superfici topologiche, esempi. Superfici compatte ottenute come quoziente di un poligono piano, parola associata. La bottiglia di Klein. Somma connessa di superfici compatte. La somma connessa di \(g\) tori (sfera con \(g\) manici). La somma connessa corrisponde alla concatenazione delle parole. La somma connessa è un'operazione associativa e commutativa, con elemento neutro la sfera. La bottiglia di Klein è la somma connessa di due piani proiettivi reali: dimostrazione con taglia & incolla. Discussione sulla strategia di classificazione delle superfici compatte.

        • 19 November - 25 November

          ESERCITAZIONE 7 -- lunedì 19 novembre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi gli esercizi 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9.


          LEZIONE 22 - mercoledì 21 novembre 2018, 10:30 - 12:30 (CC)

          Superfici Tg e Pn. La somma connessa di T e P e' omeomorfa alla somma connessa di K e P. Enunicato del teorema di classificazione delle superfici topologiche compatte.
          Triangoli geometrici, triangolazioni. Teorema di Rado': ogni superficie compatta ammette una triangolazione (solo enunciato). Discussione sulle triangolazioni in dimensione superiore. Applicazione: ogni superficie compatta ha un modello piano.
          Dimostrazione della prima parte del teorema di classificazione, con l'algoritmo del taglia & incolla. L'algoritmo produce una superficie Pn sse il poligono iniziale contiene una coppia di lati del II tipo.


          LEZIONE 23 - giovedì 22 novembre 2018, 14:30 - 16:30 (CC)

          Orientabilita': una superficie topologica e' orientabile se non contiene sottospazi omeomorfi al nastro di Moebius. esempi: il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale, la bottiglia di Klein non sono orientabili. Piu' in generale, Pn non e' orientabile. Una superficie compatta che e' un sottospazio di R3 e' sempre orientabile (solo enunciato). Corollario: la sfera, il toro e le superfici Tg sono orientabili. Una superficie data da un modello piano e' orientabile sse il poligono non contiene coppie di lati del II tipo.

          Suddivisione di una superficie compatta, caratteristica di Eulero di una suddivisione, esempi. La caratteristica di Eulero dipende solo dalla superficie e non dalla suddivisione (solo enunciato). Un modello piano di una superficie S induce una suddivisione di S con una sola faccia. Caratteristica di Eulero delle superfici Tg e Pn. Caratteristica di Eulero di una somma connessa.

          Dimostrazione della seconda parte del teorema di classificazione delle superfici compatte.

          Esempio: es. 3 dallo scritto di luglio 2018, applicazione dell'algoritmo del taglia & incolla.


          Fine del programma di CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE


          LA FORMA CANONICA DI JORDAN

          Per questa parte faremo riferimento alle note del Prof. Albano, disponibili all'inizio della pagina.

          LEZIONE 24 - venerdì 23 novembre 2018, 8:30 - 10:30 (CC)

          Diagonalizzazione simultanea di matrici. Se due matrici quadrate A e B commutano, allora per ogni autospazio W di B si ha che AW e' contenuto in W. Se A e B sono entrambe diagonalizzabili, allora sono simultaneamente diagonalizzabili sse commutano.

          Polinomi valutati su una matrice, ideale dei polinomi che si annullano su una matrice, polinomio minimo. Esempi. Teorema di Cayley-Hamilton: il polinomio caratteristico si annulla sulla matrice. Le radici del polinomio minimo sono tutti e soli gli autovalori. Esempi.

        • 26 November - 2 December

          ESERCITAZIONE 8 - lunedì 26 novembre 2018 (AA)

          Vedi foglio qui sotto per i testi degli esercizi. In classe sono stati discussi tutti gli esercizi.

          Scrittura delle mosse del taglia e incolla mediante sequenze.


          LEZIONE 25 - mercoledì 28 novembre 2018, 10:30 - 12:30

          Blocco di Jordan, esame del caso nilpotente. Matrici in forma di Jordan. Teorema di esistenza della forma di Jordan per una matrice quadrata complessa: prima parte della dimostrazione.

          LEZIONE 26 - giovedì 29 novembre 2018, 14:30 - 16:30

          Fine della dimostrazione dell'esistenza della forma di Jordan. Unicita' della forma di Jordan a meno dell'ordine dei blocchi. Forma di Jordan e polinomio minimo: la dimensione del piu' grande blocco di Jordan relativo a un autovalore e' pari alla molteplicita' dell'autovalore come radice del polinomio minimo. Una matrice complessa e' diagonalizzabile sse il suo polinomio minimo ha tutte radici di molteplicita' 1.

          Esponenziale complesso: definizione tramite la serie; l'esponenziale di una somma e' il prodotto degli esponenziali. Modulo e argomento dell'esponenziale complesso.

          Norma infinito di una matrice quadrata complessa; stima della norma infinito del prodotto di due matrici.

          LEZIONE 27 - venerdì 30 novembre 2018, 8:30 - 10:30

          Esponenziale di una matrice quadrata complessa, convergenza della serie. Se due matrici commutano, l'esponenziale di una somma e' il prodotto degli esponenziali. Se due matrici sono simili, gli esponenziali sono simili tramite la stessa matrice. Calcolo dell'esponenziale di una matrice in forma di Jordan. Il determinante di exp(A) e' exp(Tr(A)); in particolare exp(A) e' sempre invertibile. Relazione tra esponenziale di matrici e sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie.

          Discussione della forma di Jordan per matrici reali; se una matrice reale A ha tutti gli autovalori reali, allora A ammette forma di Jordan reale. Blocco reale associato a una coppia di autovalori complessi coniugati. Forma a blocchi per una matrice reale: enunciato senza dimostrazione.

          Esercizio n. 4 dallo scritto di luglio 2018.

        • 3 December - 9 December

          ESERCITAZIONE 9 - martedì 4 dicembre 2018, 8:30 - 10:30

          Esercizi su diagonalizzazione simultanea, forma di Jordan, esponenziale di matrici.
          Esercizio 6 giugno 2016. Esercizio sul trovare la base che mette in forma di Jordan per una matrice 4x4 con un blocco di ordine 3. Esercizio 5 settembre 2017. Esercizio 6 febbraio 2016. Esercizio 5 giugno 2017.

          Fine del programma di LA FORMA CANONICA DI JORDAN

          FINE CORSO GEOMETRIA 2 MODELLISTICO

          GEOMETRIA PROIETTIVA

          LEZIONE 28 - mercoledì 5 dicembre 2018, 10:30 - 12:30

          Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale V su un campo k, come insieme quoziente. Dimensione. Lo spazio proiettivo associato a V e' anche l'insieme dei sottospazi vettoriali 1-dimensionali di V. Spazio proiettivo standard associato a kn+1.
          Sottospazi proiettivi, codimensione.
          Sistema di riferimento proiettivo indotto da una base di V, coordinate omogenee. Punti fondamentali e punto unita'.
          Descrizione dei sottospazi proiettivi in coordinate tramite equazioni. Esempi.
          L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio. Sottospazio proiettivo <S> generato da un sottoinsieme S. Somma di sottospazi. Formula di Grassmann proiettiva; applicazioni: se la somma delle dimensioni di due sottospazi e' almeno n, allora i due sottospazi sono incidenti. Due rette nel piano proiettivo sono sempre incidenti.
          Punti linearmente indipendenti; relazione tra indipendenza lineare e dimensione del sottospazio generato dai punti. Due punti sono indipendenti sse sono distinti; tre punti sono indipendenti sse non sono allineati.

          LEZIONE 29 - giovedì 6 dicembre 2018, 14:30 - 16:30

          Descrizione delle rette proiettive nel piano proiettivo reale tramite il modello piano dato dal disco con i punti antipodali identificati; verifica che le rette sono omeomorfe alla circonferenza, e che due rette si intersecano sempre.
          Punti in posizione generale, esempi.
          Rappresentazione parametrica di un sottospazio proiettivo.
          Coordinate proiettive e punti in posizione generale: esistono riferimenti proiettivi diversi aventi gli stessi punti fondamentali. Dati n+2 punti in posizione generale, esiste ed e' unico il riferimento proiettivo in cui tali punti sono i punti fondamentali e il punto unita'.
          Geometria affine e geometria proiettiva: biezione naturale tra kn e il complementare U0 in Pn(k) dell'imperpiano improprio H0={x0=0}, interpretazione dello spazio proiettivo come ampliamento dello spazio affine, punti propri e impropri (punti all'infinito). Esercizio assegnato per casa: dimostrare che nel caso reale, U0 e' un aperto e la corrispondenza con Rn e' omeomorfismo. Esempi: caso n=1, caso della retta proiettiva reale. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine S, come sottospazio proiettivo generato da S. La chiusura proiettiva di S e' definita dal sistema lineare omogeneo ottenuto omogeneizzando il sistema lineare che definisce S nello spazio affine, e ha la stessa dimensione di S.

          LEZIONE 30 - venerdì 7 dicembre 2018, 10:30 - 12:30

          Punti impropri di S come intersezione tra la chiusura proiettiva di S e l'iperpiano improprio. I punti impropri di S sono dati in H0 dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato al sistema che definisce S. Se W e' il sottospazio vettoriale di kn di cui S e' un traslato, e interpretiamo H0 come il proiettivizzato di kn, allora i punti impropri di S sono dati dal sottospazio proiettivo P(W). Caso di una retta affine: il punto improprio di una retta affine corrisponde alla direzione della retta. Interpretazione dell'iperpiano improprio come insieme delle direzioni delle rette affini in kn. Due rette affini hanno lo stesso punto improprio sse sono parallele, in tal caso le loro chiusure proiettive si intercano.
          Carte affini dello spazio proiettivo ottenute deomogeneizzando rispetto alle altre variabili.
          Un'applicazione lineare iniettiva tra spazi vettoriali induce un'applicazione iniettiva tra gli spazi proiettivi associati. Trasformazioni proiettive (isomorfismi proiettivi) e proiettivita'. Due spazi proiettivi sono isomorfi sse hanno la stessa dimensione. Due isomorfismi lineari inducono la stessa trasformazione proiettiva sse sono proporzionali.
          L'insieme delle proiettivita' di P(V) e' un gruppo rispetto alla composizione, isomorfo al quoziente di GL(V) per il sottogruppo dato dai multipli dell'identita'. Gruppo lineare proiettivo, descrizione come quoziente di GL(n+1,k).
          Una proiettivita' porta un sottospazio proiettivo in un sottospazio proiettivo della stessa dimensione. Insiemi proiettivamente equivalenti. Due sottospazi sono proiettivamente equivalenti sse hanno la stessa dimensione.
          Date due (n+2)-uple di punti in posizione generale in P(V) e P(V'), esiste ed e' unica la trasformazione proiettiva da P(V) a P(V') che porta i punti l'uno nell'altro.
          Applicazioni: se una proiettivita' lascia fissi n+2 punti in posizione generale, allora e' l'identita'. Una proiettivita' della retta proiettiva e' determinata dalle immagini di 3 punti distinti. Due sottoinsiemi di P(V) di m punti in posizione generale, con m al piu' n+2, sono sempre proiettivamente equivalenti. Tre punti allineati e tre punti non allineati non sono proiettivamente equivalenti.
          Trasformazioni proiettive in coordinate, matrice associata a una trasformazione proiettiva rispetto a dei sistemi di riferimento proiettivi. Esempio esplicito.
          Cambiamenti di coordinate proiettive.
          Proiettivita' di P1(k) come trasformazioni lineari fratte.

        • 10 December - 16 December

          ESERCITAZIONE 10 - lunedì 10 dicembre 2018 (AA)

          Esercizi su coordinate omogenee, posizione generale, riferimenti proiettivi, proiettività, dalle note di Console-Fino, pag. 64. Altri esercizi simili si possono trovare sul foglio qui sotto.

          LEZIONE 31 - mercoledì 12 dicembre 2018, 8:30 - 10:30

          Topologia degli spazi proiettivi complessi indotta dalla topologia euclidea, proprieta'. Lo spazio proiettivo complesso n-dimensionale e' una varieta' topologica compatta, di dimensione 2n. La retta proiettiva complessa e' omeomorfa alla sfera, sfera di Riemann.

          Punti fissi di proiettivita', relazione con gli autovettori. Ogni proiettivita' di uno spazio proiettivo complesso ha punti fissi. Ogni proiettivita' di uno spazio proiettivo reale di dimensione pari ha punti fissi. L'insieme dei punti fissi di una proiettivita' e' dato dall'unione di sottospazi a 2 a 2 disgiunti (i proiettivizzati degli autospazi).

          Birapporto di quattro punti ordinati su una retta proiettiva, definizione in termini del sistema di riferimento definito dai primi tre punti (distinti). Espressione del birapporto in coordinate generali. Proprieta' del birapporto: dati due insiemi di 4 punti ordinati Pi, Qi su due rette proiettive (i primi tre punti distinti), esiste una trasformazione proiettiva che porta Pi in Qi per i=1,2,3,4 sse il birapporto dei Pi e' uguale al birapporto dei Qi. Applicazione: l'insieme delle classi di equivalenza proiettiva di 4 punti distinti e ordinati sulla retta proiettiva e' in corrispondenza biunivoca con k\{0,1}.

          LEZIONE 32 - giovedì 13 dicembre 2018, 14:30 - 16:30

          Dimostrazione del teorema sulla proprieta' del birapporto. Valori del birapporto ottenuti permutando i 4 punti. Funzione j e sue proprieta' sui numeri complessi. Invariante j di 4 punti distinti (non ordinati) sulla retta proiettiva complessa. Due quaterne di punti distinti sulla retta proiettiva complessa sono proiettivamente equivalenti sse hanno lo stesso invariante j. L'insieme delle classi di equivalenza proiettiva di 4 punti distinti sulla retta proiettiva complessa e' in corrispondenza biunivoca con il campo dei numeri complessi.

          Dualita': spazio proiettivo duale come proiettivizzato dello spazio vettoriale duale. Corrispondenza biunivoca tra punti di P(V)* e iperpiani di P(V). Fissato un riferimento su P(V), questo induce un riferimento su P(V)* tramite la base duale; se un iperpiano ha equazione a0x0+...+anxn=0, il punto corrispondente in P(V)* e' (a0:...:an).
          Sistemi lineari di iperpiani, fasci di iperpiani. Esempi: fasci di rette nel piano proiettivo. Ogni fascio di rette nel piano e' l'insieme delle rette passanti per un punto fissato. Relazione con i fasci di rette affini. Centro di un sistema lineare.

          LEZIONE 33 - venerdì 14 dicembre 2018, 8:30 - 10:30

          Se un sistema lineare ha dimensione k, il suo centro S e' un sottospazio proiettivo di dimensione n-1-k, e il sistema lineare e' l'insieme degli iperpiani che contengono S. Ogni sottospazio T di P(V) definisce un sistema lineare di centro T, come l'insieme degli iperpiani che contengono T. Fasci di piani in P3.

          Curve algebriche piane: una curva algebrica piana, affine, e' una classe di equivalenza di polinomi non costanti in k[x,y], dove l'equivalenza e' la relazione di proporzionalita'. Equazione di una curva, grado, supporto, componenti irriducibili, molteplicita' di una componente; curve irriducibili e curve ridotte. In generale il supporto di una curva non determina la curva, esempi di curve reali con supporto vuoto o un punto; il supporto non dipende dalle molteplicita' delle componenti. Sui numeri complessi, il supporto di una curva ridotta determina la curva (senza dimostrazione). Esempi: rette, coniche.
          Caso proiettivo: l'annullarsi di un polinomio omogeneo in un punto e' una condizione ben definita in un punto di P2. Una curva algebrica piana, proiettiva, e' una classe di equivalenza di polinomi omogenei non costanti in k[x0,x1,x2]; definizioni analoghe al caso affine.
          Chiusura proiettiva di una curva affine come la curva ottenuta omogeneizzando l'equazione della curva affine. Punti impropri. Il supporto della chiusura proiettiva e' dato dall'unione del supporto della curva affine e dei punti impropri. I punti impropri sono dati dalla parte omogenea di grado massimo dell'equazione della curva, e sono al piu' d dove d e' il grado della curva. Esempio: punti impropri dell'iperbole. Parte affine di una curva proiettiva, ottenuta deomogeneizzando l'equazione della curva. Se la curva proiettiva X non ha la retta impropria come componente irriducibile, la sua parte affine e' una curva C dello stesso grado, e X e' la chiusura proiettiva di C.

          Proiettivita' e affinita': se una proiettivita' di Pn  fissa l'iperpiano improprio, allora induce un'affinita' sulla carta affine; relazione tra le matrici.

        • 17 December - 23 December

          ESERCITAZIONE 11 - lunedì 17 dicembre 2018, 8:30 - 10:30 (CC)
          Esercizi su proiettivita', birapporto, sistemi lineari. Es. 6 dallo scritto dell'1/2/2017, es. 5 dallo scritto di febbraio 2018. Esercizi 2.26, 2.32, 2.44, 2.45 dal Fortuna-Frigerio-Pardini. Esercizi 9 pag. 65 e 33 pag. 68 dalle note Console-Fino. 

          LEZIONE 34 - mercoledì 19 dicembre 2018, 10:30 - 12:30

          Trasformazione di una curva affine mediante un'affinita', curve affinemente equivalenti. Trasformazione di una curva proiettiva mediante una proiettivita', curve proiettivamente equivalenti. Curve equivalenti hanno lo stesso grado, hanno supporti equivalenti, e hanno lo stesso numero di componenti irriducibili, con uguali gradi e molteplicita'. Se due curve affini sono equivalenti per affinita', le loro chiusure proiettive sono proiettivamente equivalenti, e anche i loro punti impropri.
          Tutte le rette affini sono equivalenti, tutte le rette proiettive sono equivalenti.
          Relazione tra coniche proiettive e forme quadratiche, matrice simmetrica associata a una conica, rango di una conica. Classificazione delle coniche proiettive complesse (a meno di equivalenza proiettiva) in base al rango, classificazione delle coniche proiettive reali in base alla segnatura (a meno dell'ordine).
          Relazione tra classificazione affine e euclidea delle coniche in R2. Rilettura della classificazione delle coniche affini reali in termini della chiusura proiettiva e dei punti impropri, cioe' della posizione della retta impropria rispetto alla chiusura proiettiva. Classificazione delle coniche affini complesse in termini della chiusura proiettiva e dei punti impropri.
          Cenni sulle quadriche in Pn; classificazione in base al rango nel caso complesso, in base alla segnatura nel caso reale.

          LEZIONE 35 - giovedì 20 dicembre 2018, 14:30 - 16:30

          Richiami sui polinomi omogenei in due variabili. Molteplicita' di intersezione tra una curva proiettiva e una retta in un punto P, come molteplicita' dello zero del polinomio ottenuto valutando l'equazione della curva in una parametrizzazione della retta. La molteplicita' non dipende dalla parametrizzazione della retta. La molteplicita' di intersezione e' invariante per proiettivita'. La molteplicita' di intersezione tra C e r in P e' la somma delle molteplicita' di intersezione tra le componenti di C e r in P, per la molteplicita' delle componenti stesse. Discussione sui polinomi in una variabile che si annullano in ogni valore del campo. Se il campo e' infinito, la retta e' contenuta in C sse l'equazione di r divide l'equazione di C. Molteplicita' di intersezione tra una curva e una retta nel caso affine; la molteplicita' coincide con la molteplicita' di intersezione delle chiusure proiettive.

          Una retta e' tangente a una curva in un punto p se la molteplicita' di intersezione in p e' >1. Discussione su derivata formale di polinomi e gradiente. Data una curva affine C di equazione f(x,y)=0, la condizione che il gradiente di f sia non nullo in un punto di C e' invariante per affinita'; se il gradiente e' non nullo, la retta di equazione

          fx(p)(x-a)+fy(p)(y-b)=0  (*)

          (con p=(a,b)) e' invariante per affinita'. Determinazione esplicita delle rette tangenti a una curva affine nell'origine. Punti singolari e non singolari di una curva affine C, in termini dell'annullarsi del gradiente di f. Se p e' singolare, ogni retta per p e' tangente a C in p. Se p e' non singolare, esiste ed e' unica la retta tangente a C in p, di equazione (*).

          Caso proiettivo: relazione di Eulero sui polinomi omogenei. Data una curva proiettiva C di equazione F(x0,x1,x2)=0, la condizione che il gradiente di F sia non nullo in un punto di C e' invariante per proiettivita'; se il gradiente e' non nullo, la retta di equazione

          Fx0(p)x0+Fx1(p)x1+Fx2(p)x2=0  (**)

          passa per il punto p ed e' invariante per proiettivita'.

          Se C e' una curva affine di equazione f(x,y)=0, p e' un punto di C, e F(x0,x1,x2)=0 e' l'equazione della chiusura proiettiva di C, allora il gradiente di f e' non nullo in p sse lo e' il gradiente di F. In tal caso, la chiusura proiettiva della retta tangente a C in p e' la retta proiettiva di equazione (**).


          LEZIONE 36 - venerdì 21 dicembre 2018, 10:30 - 12:30

          Punti singolari di curve proiettive. Se p e' singolare, ogni retta per p e' tangente a C in p. Se p e' non singolare, esiste ed e' unica la retta tangente a C in p, di equazione (**). Se in un punto P si annulla il gradiente di F omogeneo, allora F(P)=0. Punti singolari delle coniche.

          Spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d in n+1 indeterminate, calcolo della dimensione.

          Spazio proiettivo delle curve proiettive piane di grado d. Caso d=1: ritroviamo lo spazio proiettivo duale. Sistemi lineari di curve. Condizioni lineari sulle curve di grado d. Il passaggio per un punto e' una condizione lineare. Il passaggio per un punto con tangente assegnata sono due condizioni lineari indipendenti. Esiste sempre una curva di grado che soddisfi fino a d(d+3)/2 condizioni lineari. Per 5 punti passa sempre una conica.

          Fasci di coniche. Parametrizzazione del fascio, matrice e discriminante. Dato un fascio di coniche, o tutte le coniche del fascio sono degeneri, oppure ci sono al piu' 3 coniche degeneri. Sui reali o complessi, ogni fascio ha almeno una conica degenere. Punti base del fascio; i punti base sono dati dall'intersezione di due qualsiasi coniche del fascio.
          La famiglia delle coniche per 4 punti in posizione generale e' un fascio F; calcolo esplicito di F. Il fascio ha esattamente 4 punti base, e contiene 3 coniche degeneri, date dalle 3 coppie di rette per i 4 punti.
          Dato un fascio, se P non e' un punto base, esiste ed e' unica la conica del fascio che contiene P. Per 5 punti in posizione generale passa una e una sola conica.
          Intersezione di coniche: come usare i fasci per trovare l'intersezione tra due coniche. Se le due coniche non hanno una retta in comune, si intersecano al piu' in 4 punti.
          Esempio: la famiglia delle coniche che contengono una retta r e un punto P (non in r) forma un fascio di coniche tutte degeneri, date da r piu' una retta del fascio di rette per P. Dati 4 punti di cui 3 allineati, la famiglia delle coniche per i 4 punti e' un fascio di coniche degeneri dello stesso tipo del precedente, dove r e' la retta generata dai 3 punti allineati.

        • 7 January - 13 January

          ESERCITAZIONE 12 -- mercoledì 9 gennaio 2019

          Retta polare di un punto rispetto ad una conica: se la conica \(C\) ha equazione \({}^t X A X = 0\), la retta polare \(\text{pol}(P)\) di \(P\) rispetto a \(C\) ha equazione \( {}^t P A X = 0 \).

          Proprietà della retta polare:

          • (tangente) se \( P \in C \) allora \(\text{pol}(P)\) è la retta tangente \(T_PC\) alla conica \(C\) nel punto \(P\)
          • (reciprocità) per ogni coppia di punti \(P, R\) si ha: \( P \in \text{pol}(R) \iff R \in \text{pol}(P) \)
          • (appartenenza) \( P \in \text{pol}(P) \iff P \in C \)
          • (rette tangenti) se \(P \notin C\) allora \(\text{pol}(P)\) è la retta che unisce i due punti della conica le cui tangenti passano per \(P\), cioè le rette del fascio di centro \(P\) tangenti alla conica sono tangenti nei punti di intersezione fra la conica e la retta polare di \(P\).

          Risoluzione di esercizi del foglio di tutorato 11: esercizi 4, 5, 6, 7.


          ESERCITAZIONE DI PREPARAZIONE ALL'ESAME -- giovedì 10 gennaio - 14:30 - 16:30 - Aula A