Attività settimanale
Introduzione
Geometria Superiore
a.a. 2023-2024
Docenti:
Cinzia Casagrande (cinzia.casagrande@unito.it)
Federica Galluzzi (federica.galluzzi@unito.it)
Pagina campusnet del corso qui
Il programma del corso da 6CFU comprende gli argomenti svolti nella prima parte (F.Galluzzi) e metà degli argomenti svolti nella seconda parte (C.Casagrande).
Referenze:
Per la prima parte del corso :
Geometria Differenziale
Marco Abate, Francesca Tovena
Springer
ISBN:978-88-470-1919-5
Url:https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1920-1Complex Geometry - An Introduction
Daniel Huybrechts
Springer
ISBN: 9783540212904
Url: https://www.springer.com/gp/book/9783540212904Altro materiale sarà reso disponibile in piattaforma.
Per la seconda parte del corso:Algebraic curves and Riemann surfaces
Rick Miranda
American Mathematical Society, 1995Settimana 1 : 26-29 febbraio
Lunedì 26 febbraio 2024 (F.Galluzzi) Aula 3 14.30-16.30
Presentazione del corso. Richiami su definizione di varietà differenziale, k-forme differenziali, differenziale, prodotto esterno tra forme. Forme chiuse. Forme esatte. Gruppi di coomologia di de Rham. Coomologia di R.
Mercoledì 28 febbraio 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Varietà diffeomorfe hanno gruppi di coomologia di de Rham isomorfi. Teorema di invarianza omotopica (solo enunciato). Conseguenze : coomologia di Rn . Risultati noti dai corsi precedenti : condizioni necessarie e/o sufficienti per campi conservativi in R2. Il primo gruppo di coomologia del piano bucato. Prime nozioni di algebra omologica : successioni esatte di spazi vettoriali, successioni esatte corte. Successione di Mayer - Vietoris in coomologia. La successione di Mayer - Vietoris è esatta corta.
Giovedì 29 febbraio 2024 Non ci sarà lezioneSettimana 2 : 4-8 marzo
Lunedì 4 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 3 14.30-16.30
Fine della dimostrazione dell'esattezza della successione di Mayer-Vietoris. Teorema fondamentale dell'algebra omologica (Snake Lemma).
Mercoledì 6 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Fine della dimostrazione e Conseguenze del Teorema Fondamentale. Calcolo di gruppi di coomologia di de Rham di varietà note: sfere.
Giovedì 7 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30 -18.30
Calcolo di gruppi di coomologia di de Rham di varietà note: spazi proiettivi.Settimana 3 : 11 - 15 marzo
Richiami sull'integrazione di forme su varietà. Una n-forma differenziale su una varietà compatta orientabile di dimensione n è esatta se e solo se il suo integrale su M è nullo.Lunedì 11 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 3 14.30-16.30
Campi vettoriali sulle sfere : non esistono campi vettoriali mai nulli sulle sfere di dimensione pari.
Ricoprimenti aciclici. I gruppi di coomologia di de Rham di varietà di tipo finito hanno dimensione finita.
I gruppi di coomologia di de Rham di varietà compatte hanno dimensione finita.
Mercoledì 13 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Coomologia di de Rham del toro e del toro bucato.Giovedì 14 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30 -18.30
Coomologia di de Rham delle superfici compatte orientabili di genere g. Varietà con bordo. Teorema di Stokes.
Settimana 4 : 18 - 22 marzo
Lunedì 18 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 3 14.30-16.30
Dimostrazione del Teorema di Stokes (dimostrazione su \( \mathbb H ^n \) e \( \mathbb R ^n\) solo per \( n=2\)) . Conseguenze.
Mercoledì 20 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Coomologia a supporto compatto. Successione di Mayer - Vietoris a supporto compatto. Dualità di Poincaré : dimostrazione nel caso delle varietà di tipo finito.
Giovedì 21 marzo 2024 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30 -18.30
Coomologia di dimensione massima (corollario della Dualità di Poincaré). Brevi Richiami sulle funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Funzioni olomorfe di più variabili complesse. Definizione di varietà complessa. La sfera di Riemann \( \hat {\mathbb C} \).
Settimana 5 : 25-27 marzo
25/3/24, h 14:30-16:30, CC1
Introduzione alla seconda parte del corso. Prefasci di gruppi, esempi. Assioma di fascio. Esempi. Morfismi di (pre)fasci. Esempi. Spiga di un (pre)fascio in un punto, germi.
Esercizi:
da Miranda p. 277 es. D, G, p.289 es. A, E.
1) Dato un morfismo di (pre)fasci f: F->G, mostrare che f è isomorfismo di (pre)fasci sse f_U: F(U)->G(U) è isomorfismo di gruppi per ogni aperto U di X.27/3/24, h 12:30-14:30, CC2
Omomorfismi sulle spighe indotti da un morfismo di (pre)fasci. Fascio associato a un prefascio: proprietà universale e descrizione delle sezioni. Fascio nucleo e fascio immagine. Esempi. Esattezza per morfismi di fasci, iniettività e suriettività. Caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni. L'esattezza è equivalente all'esattezza sulle spighe. Esempi: complesso di de Rham di una varietà differenziabile, a livello di fasci; successione esponenziale per il piano complesso.
Esercizi:
1) Dato un prefascio F, verificare che il morfismo j è isomorfismo sse F è un fascio.
2) Definire la categoria A degli aperti di uno spazio topologico X, e mostrare che dare un prefascio di gruppi su X è equivalente a dare un funtore controvariante dalla categoria A nella categoria dei gruppi che porti il vuoto nel gruppo banale.
3) Dimostrare la caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni.
4) Dimostrare che se una successione di fasci è esatta, allora è anche esatta sulle spighe.3-5 aprile
3/4/24, h 12:30-14:30, CC3
Data una successione esatta di fasci, la successione delle sezioni globali è un complesso, ma non è necessariamente esatta. Data una successione esatta di fasci della forma
0->F->G->H, la successione delle sezioni globali è esatta.
Atlanti complessi, strutture complesse e varietà complesse. Superfici di Riemann. Struttura differenziabile data da una struttura complessa; orientabilità. Genere di una superficie di Riemann compatta. Esempi: la sfera di Riemann/la retta proiettiva complessa. Gli spazi proiettivi complessi. Tori complessi.
Esercizi:
1) da Miranda p. 276 definizione della restrizione di un fascio a un aperto, es. H p. 277 (seconda parte). Es. E p. 289.
2) Siano H il semipiano superiore e D il disco unitario nel piano complesso. Verificare che f:H->D data da f(z)=(z-i)/(z+i) è ben definita ed è biolomorfismo.
3) Sottoinsiemi discreti: sia X una varietà topologica (attenzione il testo dell'esercizio è stato corretto il 4/4!).
3a) Mostrare che dato un sottoinsieme S chiuso di X, sono equivalenti le tre proprietà: (i) ogni punto di S è isolato; (ii) la topologia indotta su S è discreta; (iii) S non ha punti di accumulazione. Diciamo allora che S è discreto in X.
3b) Dare un esempio di aperto U del piano complesso C e di un sottoinsieme S di U che sia discreto in U ma non in C.
3c) Se S è finito, mostrare che S è discreto in ogni aperto che lo contiene.
3d) Se X è compatta, mostrare che S è discreto sse è finito.
3e) Sia S in C discreto e non limitato. Mostrare che S ha un punto di accumulazione in infinito. Dare un esempio di tale S.
4) Mostrare che un reticolo in C^n è un sottoinsieme discreto.4/4/24, h 16:30-18:30, CC4
Richiami sull'ordine di una funzione olomorfa in un punto. Proprietà delle funzioni olomorfe su superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann, proprietà, ordine. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali.
Esercizi:
1) Verificare che le funzioni olomorfe e le funzioni meromorfe su una superficie di Riemann formano dei fasci di C-algebre.
2) Verificare che l'ordine di una funzione meromorfa in un punto del piano complesso è invariante per biolomorfismo locale; che se m è l'ordine, localmente f(z)0(z-z_0)^m g(z) con g olomorfa e non nulla; determinare l'ordine del prodotto e della somma di due funzioni meromorfe in un punto.
Esercizi da Miranda: A, G pag. 7, C, F pag. 12, J pag. 13.8-12 aprile
8/4/24, h 14:30-16:30, CC5
Mappe olomorfe tra superfici di Riemann e loro proprietà. Biolomorfismo tra la sfera di Riemann e la retta proiettiva complessa. Biezione tra funzioni meromorfe e mappe olomorfe nella sfera di Riemann.
Esempio di superfici di Riemann: curve piane affini non singolari, curve proiettive piane non singolari. Sottovarietà complesse dello spazio proiettivo complesso. Superfici di Riemann compatte proiettive.Esercizi:
1) Sia X una curva algebrica piana proiettiva complessa, non singolare. Dati due polinomi F,G omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di P^2, con G non identicamente nullo su X, mostrare che F/G definisce una funzione meromorfa su X.
2) Dimostrare il principio di identità per mappe olomorfe tra superfici di Riemann.
3) Completare la verifica che la funzione associata a una mappa olomorfa da X nella sfera di Riemann è meromorfa.
4) Mostrare che ogni funzione meromorfa non costante su una superficie di Riemann compatta ha almeno uno zero e almeno un polo.
5) Sia C una conica di rango massimo nel piano proiettivo complesso; mostrare che C è biolomorfa alla retta proiettiva complessa.
Da Miranda: es. C p. 30, es. A p. 38, es. E, F, G, H, I, K p. 43.10/4/24, h 12:30-14:30, CC6
Discussione su sottovarietà complesse dello spazio proiettivo e teorema di Chow.
Forma normale locale per una mappa tra superfici di Riemann, molteplicità. Punti di ramificazione e diramazione. I punti di ramificazione sono discreti. La mappa F è biolomorfismo locale in p sse ha molteplicità 1 in p, sse è iniettiva nell'intorno di p. Come trovare i punti di ramificazione in termini di un'espressione locale. Esempi. Grado di una mappa non costante tra superfici di Riemann compatte.
Esercizi:
1) Siano X e Y curve algebriche piane proiettive complesse non singolari, e F:X->Y un morfismo algebrico. Mostrare che F è olomorfa.
2) Da Miranda p. 53 es. C, F, G, H, K.11/4/24, h 16:30-18:30, CC7
Applicazioni del teorema del grado. Su una superficie di Riemann compatta X, la somma sui punti di X degli ordini di una funzione meromorfa è zero. Formula di Hurwitz. Applicazioni. Formula del genere per una curva algebrica proiettiva piana non singolare.
Esercizi:
1) Sia f una mappa olomorfa dalla retta proiettiva complessa in se stessa. Mostrare che f è un morfismo algebrico.
2) Sia f un biolomorfismo dalla retta proiettiva complessa in se stessa. Mostrare che f è una proiettività.
3) Sia f: C->C un biolomorfismo. Mostrare che f è un'affinità.
Da Miranda p. 53 es. A, E.15-19 aprile
Lunedì 15/4 (F.Galluzzi)
La coomologia a supporto compatto non è un invariante omotopico. Generatori della coomologia di dimensione massima a supporto compatto. Coomologia di de Rham e coomologia a supporto compatto del nastro di Moebius aperto. Definizione di grado di una mappa propria. Il grado di una mappa propria è un intero.
Mercoledì 17/4 (F. Galluzzi)
Il grado una mappa propria è un intero: dimostrazione per \( \mathbb R ^n \). Rif. Bott-Tu "Differential forms in Algebraic Topology" Chap. I -4 e J.Lee "Introduction to Smooth manifolds" II Ed.
Discussione degli esercizi assegnati
18/4/24, h 16:30-18:30, CC8
Mappe tra tori complessi: ogni mappa tra tori complessi è data dalle composizione di una mappa indotta da un'applicazione lineare in C, con una traslazione. Due tori complessi sono isomorfi sse esiste un numero complesso non nullo che porta un reticolo nell'altro. Tori complessi X_t associati a un numero complesso t nel semipiano superiore. Ogni toro complesso è isomorfo a un X_t. Due tori complessi X_t e X_{t'} sono isomorfi sse t e t' sono nella stessa orbita per l'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore. Descrizione di un dominio fondamentale per quest'azione. Esisotono infinite classi di isomorfismo di tori complessi.
Superfici di Riemann iperellittiche: inizio della costruzione.
Esercizi.
1) Sia F:X->Y una mappa tra tori complessi indotta da un'applicazione lineare f:C->C tale che f(L)=M. Mostrare che il grado di F è uguale all'indice di f(L) in M.
2) Mostrare che se t=(at'+b)/(ct'+d) con a,b,c,d reali e t,t' numeri complessi nel semipiano superiore, allora la matrice associata ha determinante positivo.
3) Verificare che si ha un'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore.19/4/24, h 16:30-18:30, CC9
Superfici di Riemann iperellittiche: costruzione esplicita tramite incollamento; ogni superficie di Riemann compatta avente una mappa di grado 2 su P^1 è iperellittica.
Divisori su superfici di Riemann, grado, divisori principali, equivalenza lineare, gruppo di Picard.
Esercizi.
Verificare i dettagli della costruzione delle superfici di Riemann iperellittiche.
Da Miranda es. A p. 137, es. C p. 145.22-24 aprile
22/4/24, h 14:30-16:30, CC10
Se X è compatta, deg:Pic(X)->Z è isomorfismo sse X è isomorfa a alla sfera di Riemann. Se su X compatta esistono due punti linearmente equivalenti, allora X è isomorfa a alla sfera di Riemann. Divisori effettivi. Pullback di divisori; il pullback di un divisore principale è principale. Fasci associati a un divisore. Se D è minore o uguale di E, allora O(D) è contenuto in O(E). Se D ha grado negativo, l'unica sezione globale di O(D) è la funzione nulla. Divisori linearmente equivalenti danno fasci isomorfi.Descrizione delle sezioni globali di O(D) sulla sfera di Riemann. Se X è una superficie di Riemann compatta ed esiste f non costante in O(p)(X), allora X è isomorfa a alla sfera di Riemann. Morfismo da O(D) nel fascio grattacielo concentrato in un punto p.
Esercizi.
1) Mostrare che O(D)(U) è un sottospazio vettoriale complesso di M(U).
2) Mostrare che O(D) è un sottofascio del fascio M delle funzioni meromorfe.
Da Miranda: p. 137 es. D e E, p. 145 es. D, p. 152 es. C, p. 153 es. G.24/4/24, h 12:30-14:30, CC11
Successione esatta corta di fasci data da un divisore e da un punto.
Fibrati vettoriali complessi C^{infty} e olomorfi. Fibrato tangente complessificato e decomposizione in somma diretta dei fibrati tangenti olomorfo e antiolomorfo; descrizione in coordinate locali. Il fibrato tangente olomorfo sulla retta proiettiva complessa ha grado 2.29 aprile - 3 maggio
Lunedì 29/4: ultima lezione di teoria per il corso da 6 CFU, salvo eventualmente una lezione sugli esercizi
29/4/24, h 14:30-16:30, CC12
Forme differenziali complesse, forme di tipo (p,q). Operatori di derivazione e loro proprietà. Forme olomorfe. Una forma di tipo (p,0) è olomorfa se e solo se è nel nucleo dell'operatore bar{partial}. 1-forme olomorfe e meromorfe su superfici di Riemann; ordine di una 1-forma meromorfa in un punto. L'unica 1-forma olomorfa sulla sfera di Riemann è la forma nulla.
Esercizi:
(1) Verificare che la base dz_i, dbar{z}_i è la base duale della base date dalle derivate rispetto a zi e a bar{z}j
(2) Verificare la scrittuyra di df nella base dz_i, dbar{z}_j
(3) Verificare la formula per il pullback di una 1-forma olomorfa su un aperto di C tramite una mappa olomorfa da C in C
Da Miranda es. B p. 111.2/5/24, h 16:30-18:30, CC13
Introduzione alla coomologia di fasci. Cocatene di Cech relative a un ricoprimento aperto. Coomologia di Cech relativa a un ricoprimento aperto. Esempi.
Esercizi:
1) verificare che la formula del cobordo vale anche per indici non ordinati.
2) Calcolare i gruppi di coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente ai due ricoprimenti aperti: a) S^2\{p},S^2\{q} (due aperti); b) quattro aperti dati da intorni delle 4 facce del tetraedro.
3) Verificare la costruzione dell'omomorfismo in coomologia dato da un morfismo di fasci, la funtorialità, e il caso dell'H^0.
Da Miranda es. M p. 301.3/5/24, h 16:30-18:30, CC14
Discussione degli esercizi assegnati.
Insiemi diretti, sistemi diretti e limite diretto, esempio: la spiga di un fascio in un punto. Omomorfismi di raffinamento. Coomologia di Cech. Proprietà dell'H^1. Successione esatta lunga in coomologia, inizio della dimostrazione della prima parte.
Esercizi:
1) Verificare che gli omomorfismi tilde{r} definiti tramite la funzione di raffimento r definiscono un morfismo di complessi.
2) Nell'esercizio assegnato sul calcolo della coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente a due ricoprimenti aperti di cui il secondo è un raffinamento del primo, scrivere una funzione di raffinamento e gli omomorfismi indotti sulle cocatene e in coomologia.
3) Mostrare che gli omomorfismi di raffinamento sugli H^0 rispettano gli isomorfismi con i gruppi delle sezioni globali.- Questa settimana
6-10 maggio
6/5/24, h 14:30-16:30, CC15
Successione esatta lunga in coomologia, fine della dimostrazione della prima parte. Successione esatta lunga in coomologia in generale (solo enunciato). Se F è un fascio tale che F_{|U} è aciclico in U per ogni aperto U di un ricoprimento aperto A, allora H^1(A,F)=H^1(X,F). Criterio generale perché un ricoprimento aperto calcoli la coomologia di Cech (solo enunciato).
Risoluzioni, risoluzioni acicliche, teorema astratto di de Rham.
Esercizi: da Miranda es. B p. 308.
2) Completare la dimostrazione della prima parte della successione esatta lunga in coomologia.8/5/24, h 12:30-14:30, CC16
I fasci delle p-forme su una varietà differenziabile sono aciclici. Teorema di de Rham: la coomologia di de Rham di una varietà differenziabile è isomorfa alla coomologia del fascio delle funzioni reali localmente costanti. Digressione sulla relazione tra coomologia dei fasci costanti e coomologia singolare; relazione con coomologia di de Rham.
I fasci grattacielo hanno H^1 nullo.
Successione esatta corta di fasci data da un divisore e da un punto: analisi della successione esatta lunga associata. Stima su h^0(O(D)). Teorema di Riemann-Roch in forma debole e prime applicazioni.
Esercizio: data una 1-forma chiusa su una varietà differenziabile, determinare un 1-cociclo di Cech, relativo al fascio delle funzioni localmente costanti, che rappresenta la sua classe in coomologia.9/5/24, h 16:30-18:30, CC17
Applicazioni della formula di Riemann-Roch: ogni superficie di Riemann compatta X ha funzioni meromorfe non costanti e mappe non costanti su P^1; su X\p esistono funzioni olomorfe.
1-forme olomorfe e meromorfe su superfici di Riemann. Divisori canonici. Pullback di divisori e di 1-forme. Divisore associato al pullback di una 1-forma. Grado del divisore canonico. Isomorfismo tra fascio delle 1-forme olomorfe e O(K).
Esercizi:da Miranda es. C, D, E, G, I p. 111/112, es. H, I p. 117/118.es. D p. 152, es. H, I p. 153. 13-17 maggio
20-24 maggio
Lunedì 20/5 non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
27-31 maggio