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  • General

    GEOMETRIA 2 - anno accademico 2022/23


    DOCENTI: 

    Alberto ALBANO, Cinzia CASAGRANDEElena MARTINENGO


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono DUE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda del corso di laurea:

    • Matematica (MAT0279): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre.

    L'orario delle lezioni si trova su Campusnet, all'indirizzo

    https://www.matematica.unito.it/do/home.pl/View?doc=Orario_LT.html

    Il primo giorno di lezione sarà martedì 27 settembre.

    Le esercitazioni si terranno il martedì, tranne la prima settimana in cui non vi saranno esercitazioni.

    Attenzione: non ci sarà lezione di Geometria 2 lun 24/10, mer 26/10 e gio 27/10, mentre si terranno regolarmente le esercitazioni di mar 25/10.

    AVVISO: il giorno 31 ottobre (lunedì) NON ci sarà lezione.

    Ultima lezione di teoria: martedì 10/1/2023
    Ultima esercitazione: mercoledì 11/1/2023



    Le lezioni ed esercitazioni si svolgerano in presenza in Aula A a Palazzo Campana

    Non ci saranno dirette streamig e le lezioni non verranno registrate.

    Per ulteriori informazioni, consultare la pagina
     
     

    e mantenersi aggiornati leggendo gli avvisi sul sito dell'Ateneo


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Azioni di gruppo e quoziente associato. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti e retratti di deformazione. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Il teorema di Van Kampen sui generatori. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse. Il gruppo fondamentale della circonferenza.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Enunciato del teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. Orientabilità di superfici. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione delle superfici compatte.

    4. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, sottospazi, proiettività. Geometria affine geometria proiettiva, punti propri e impropri. Birapporto. Spazio proiettivo duale, sistemi lineari di iperpiani. Curve algebriche piane affini e proiettive: grado, componenti irriducibili. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta, punti lisci e singolari, retta tangente. Trasformazione di una curva per affinità/proiettività. Classificazione delle coniche: casi affine/proiettivo, reale/complesso. Curve proiettive di grado d, condizioni lineari. Sistemi lineari e fasci di coniche.

    5. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Diagonalizzazione simultanea di matrici. Esponenziale complesso. Esponenziale di matrici complesse.



    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. I programmi d'esame sono:

    • Matematica: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. ManettiTopologia, Springer per le parti 1 e 2.

    C. KosniowskiIntroduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, per le parti 1 e 2.

    G. Occhetta, dispense del corso di Geometria IIIscaricabile liberamente, per le parti 2 e 3.

    N. HitchinGeometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente, per la parte  3.

    E. SernesiGeometria 1, Boringhieri, capitolo 3 - Geometria proiettiva, per la parte 4.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili più sotto, per la parte 4. Queste note seguono il libro di Sernesi, dando maggiori dettagli.

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, per la parte 4: oltre a molti esercizi, c'e' un riassunto conciso della teoria. Disponibile in e-book collegandosi da UniTO: lo strumento da utilizzare è TROVA , previa selezione del tab presente in alto, "cerca un Ebook":

    Vi sono delle dispense, disponibili qui sotto, per la parte 5. (Forma di Jordan)


    TUTORATO:

    Tutor: Lorenzo MANISCALCO

    Orario: di solito, mercoledì mattina 8:30 - 10:30, Aula Lagrange

              variazioni orario del tutorato: 
    • mercoledì 19 ottobre: NO TUTORATO
    • giovedì 20 ottobre: ore 10:30 - 12:30, Aula Lagrange
    • mercoledì 26 ottobre, ore 10:30 - 12:30, Aula A (al posto della lezione)

    Primo incontro: mercoledì 5 ottobre

    Il tutorato sarà esclusivamente in presenza


    FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):

    Topologia e topologia algebrica: 
    file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    M. Crossley, Essential Topology, Springer Undergraduate Mathematics Series

    C. KosniowskiIntroduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (questo va bene anche per studiare la parte di topologia generale e omotopia)

    M. H. Mortad, Introductory Topology: Exercises and solutions, World Scientific

    J. Munkres, Topology, Pearson Education

    E. SernesiGeometria 2, Boringhieri

    O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetaev, Elementary Topology. Textbook in Problems. Questo bellissimo libro di topologia e topologia algebrica ha tutta la teoria e molti esercizi (alcuni decisamente difficili), ma nessuna dimostrazione. Si può scaricare liberamente dalla pagina web dell'autore Oleg Viro (che contiene anche altri materiali interessanti per studenti interessati alla geometria)

    http://www.math.stonybrook.edu/~oleg/easymath/educ-texts.html

    Esiste anche una versione con le dimostrazioni, che si può comprare sul sito dell'AMS

    https://bookstore.ams.org/mbk-54

    ma il vero scopo del libro (e di questo corso) è imparare a fare le dimostrazioni da soli.


    Geometria proiettiva:
    le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

    E. SernesiGeometria 1, Boringhieri



    ESAMI:

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura:

    • 1 ora e 30 minuti  (esercizi 1-2) per gli studenti di MatFin, 
    • 3 ore (esercizi 1-5) per gli studenti di Matematica.

    Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica; è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.



    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise 

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.


    Nell'anno accademico 2020/21, a causa dell'emergenza COVID, sono state effettuate le registrazioni di tutte le lezioni ed esercitazioni. Si trovano nella pagina Moodle del corso:

    https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1303

  • 26 September - 2 October

    LEZIONE 1 -- martedì 27 settembre 2022 (AA)

    Introduzione al corso.

    Discussione sul significato della nozione di continuità per funzioni da \( \mathbf{R}\) in \( \mathbf{R}\): punti aderenti ad un sottoinsieme, chiusura di un sottoinsieme, le funzioni continue rispettano l'aderenza cioè vale

    \( f \text{ continua } \implies f(\bar A) \subseteq \bar{f(A)} \)

    Linguaggi usati in topologia:

    • intorni di un punto: chi sono i punti vicini ad un punto dato
    • operatore di chiusura: chi sono i punti aderenti ad un sottoinsieme \(A\)
    • insiemi aperti: chi sono i sottoinsiemi che avvolgono ogni loro punto

    Definizione di spazio topologico mediante gli assiomi per gli aperti.

    Esempio: topologia euclidea in \( \mathbf{R}^n\)

    Definizione di spazio metrico e di topologia indotta da una distanza (o metrica)

    Esempi di distanze su \( \mathbf{R}^n\): \(d_\infty, d_2, d_p\)

    Palle aperte in \(\mathbf{R}^2\) rispetto alle distanze \(d_\infty, d_2, d_1\). Le topologia indotte da queste distanze sono la stessa.

    Distanze sullo spazio \(C([0, 1])\): distanza \(d_\infty, d_p, d_2\): le topologie indotte non sono la stessa (dimostrazione verrà vista in corsi di Analisi più avanzati).



    LEZIONE 2 -- mercoledì 28 settembre 2022 (AA)

    Topologia indotta da una distanza (o metrica): palle aperte e chiuse, aperti della topologia, le palle aperte sono insiemi aperti.

    Metrica che induce la topologia discreta.

    Condizione affinché due metriche inducano la stessa topologia.

    Discussione su topologie indotte da metriche: le diseguaglianze \(d_\infty \le d_2 \le d_1 \le n d_\infty\) (da dimostrare per esercizio nel primo foglio di tutorato) implicano che la topologia indotta da queste distanze su \(\mathbf{R}^n\) è la stessa.

    Esempi di topologie:

    • topologia banale, topologia discreta
    • topologia euclidea in \( \mathbf{R}\), in \( \mathbf{R}^n\)
    • topologia dei complementari finiti
    • insiemi che contengono un punto fissato, insiemi che non contengono un punto fisssato

    Definizione di chiusi di una topologia e assiomi dei chiusi (analoghi a quelli degli aperti).

    Definizione di chiusura, interno, frontiera di un insieme.

    Relazione di finezza fra topologie: la topologia banale è la meno fine di tutte, la topologia discreta è la più fine.



    LEZIONE 3 -- giovedì 29 settembre 2022 (AA)

    Base di una topologia. Esempio: la famiglia degli intervalli aperti è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\), più in generale la famiglia delle palle aperte è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}^n\) .

    Esempio di base: la famiglia degli intervalli aperti con estremi razionali è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\).

    Teorema 3.7. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.

    Esempio di topologia assegnata mediante una base: la topologia \(\mathcal{S}\) (sul Manetti è chiamata retta di Sorgenfry (Esempio 3.9, pagg. 44). Confronto fra la topologia euclidea e la topologia \(\mathcal{S}\).

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20). Intorni e chiusura (Lemma 3.21).

    Discussione sulle relazioni fra la topologia definita mediante gli aperti e la topologia definita mediante gli intorni.

    Sottoinsiemi densi.


    Attività di approfondimento:
    • svolgere l'esercizio 3.14 del Manetti su aperti e intorni
    • svolgere l'esercizio 3.15 del Manetti su aperti e operatore di chiusura
    • DOPO aver provato a svolgere gli esercizi 3.14 e 3.15, leggere il file qui sotto sui tre linguaggi della topologia. Troverete lo svolgimento completo dei due esercizi e vari commenti sulle relazioni fra aperti, intorni e operatore di chiusura
  • 3 October - 9 October

    LEZIONE 4 -- lunedì 3 ottobre 2022 (AA)

    Continuità: definizione di funzione continua tramite aperti e alcune semplici formulazioni equivalenti (tramite chiusi, basi).

    Teorema 3.26. Composizione di funzioni continue è continua.

    Lemma 3.25. Le funzioni continue rispettano l'aderenza.

    Definizione di continuità in un punto tramite intorni e equivalenza delle definizioni (Teorema 3.28)

    Definizione di omeomorfismo (3.29), funzione aperta, funzione chiusa (3.30).

    Alcune osservazioni sulle relazioni fra i concetti di omeomorfismo, aperta, chiusa.

    Esempio: funzioni biunivoche e continue con inversa non continua.

    Esempio: la proiezione \(p : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}\) data da \(p(x, y) = x\)

    • non è chiusa: la proiezione dell'iperbole \(xy = 1\), che è un chiuso, è l'asse \(x\) tranne lo \(0\) che non è un chiuso
    • è aperta: l'immagine di un disco aperto è un intervallo aperto, poi si usa il fatto che i dischi aperti sono una base per la topologia di \(\mathbf{R}^2\)


    ESERCITAZIONE 1 -- martedì 4 ottobre 2022 (EM)

    Svolti in classe gli esercizi 1, 4, 5 della scheda 1. 

    LEZIONE 5 -- mercoledì 5 ottobre 2022 (AA)

    SOTTOSPAZI: definizione di topologia di sottospazio come topologia meno fine che rende continua l'inclusione. Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi nella topologia di sottospazio.

    Per \(A \subseteq Y \subseteq X\) confronto fra la chiusura di \(A\) in \(Y\) e la chiusura di \(A\) in \(X\) (Lemma 3.55).

    Definizione di immersione ed alcuni esempi: la funzione \(f : [0, 1) \to \mathbf{R}^2\) data da \(f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\) non è un'immersione.

    Immersioni aperte e chiuse: condizioni sufficienti.


    PRODOTTI: definizione della topologia prodotto sul prodotto cartesiano \( P \times Q\) di due spazi topologici.
    Teorema 3.61.
    1. base della topologia prodotto
    2. le proiezioni sono aperte e inducono omeomorfismi \( p : P \times \{y\} \to P \) (e analogamente per \(Q\) )
    3. proprietà universale della topologia prodotto: \(f : X \to P\times Q \text{ continua} \iff p\circ f, q\circ f \text{ continue}\), cioè \(f \) è continua se e solo se la sue componenti sono continue.

    COMMENTO: Discussione sui prodotti di infiniti insiemi, l'Assioma della Scelta e sulla topologia prodotto nel caso di infiniti fattori:



    LEZIONE 6 -- giovedì 6 ottobre 2022 (AA)

    Dimostrazione del Teorema 3.61.

    Osservazioni sulla topologia prodotto:

    1. Se \(\mathcal{B}\) è una base per la topologia di \( P \) e \(\mathcal{C}\) è una base per la topologia di \( Q \), allora la famiglia \(\mathcal{D} = \{U \times V \mid U \in \mathcal{B}, V \in \mathcal{C} \} \) è una base per la topologia prodotto di \( P \times Q \).
    2. Se \(\mathcal{J}(x)\) è un sistema fondamentale di intorni di \(x \in P\) e \(\mathcal{J}(y)\) è un sistema fondamentale di intorni di \(y \in Q\) allora \(\mathcal{J}(x,y) = \{U \times V \mid U \in \mathcal{J}(x), V \in \mathcal{J}(y) \} \) è un sistema fondamentale di intorni di \((x,y) \in P\times Q\).
    3. Se \(A \subseteq P\) e \(B \subseteq Q\) sono chiusi, allora \(A \times B\) è chiuso in \(P\times Q\).
    4. In effetti vale una proprietà più forte: se \(A \subseteq X\) e \(B \subseteq Y\) si ha: \(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}\) nel prodotto \(P \times Q\) (questo enunciato è un esercizio nel foglio di tutorato 2)

    SPAZI DI HAUSDORFF (o spazi \(T_2\))

    Definizione (3.65)

    Esempio: ogni spazio metrico è di Hausdorff

    Definizione di spazi \(T_1\) come nel foglio di tutorato.

    Lemma 3.67. In uno spazio di Hausdorff tutti i punti sono chiusi (cioè \(T_2 \implies T_1 \) )

    Esempio: Se \(X\) è un insieme infinito con la topologia dei complementari finiti, allora \(X\) è \(T_1\) ma non \(T_2\) (cioè \(T_1\) non implica \(T_2\)).

    Ulteriori proprietà degli spazi di Hausdorff: sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff (3.68)

    Commento sugli assiomi di separazione: abbiamo detto a lezione che ci sono svariati assiomi, più o meno forti, indicati con nomi della forma \(T_i\), dove \(i\) è un indice numerico, non necessariamente intero. Se volete saperne di più, potete cominciare a guardare su Wikipedia. Ci sono pagine in varie lingue (italiano, inglese, francese, tedesco, spagnolo, ...) e non sono proprio uguali e quindi a volte trovate qualcosa in una pagina ma non nelle altre. La pagina in inglese sembra la più completa
    https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom
    e trovate in questa pagina anche i link alle pagine nelle altre lingue (nella colonna a sinistra della pagina, come sempre).

    Su Wikipedia c'è anche una (breve) pagina sulla storia degli assiomi
    https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms
    che mette in luce come autori diversi indicano con lo stesso nome cose diverse e con nomi diversi cose uguali. Per \(T_0, T_1, T_2\) il significato usato da tutti è lo stesso, ma per gli altri varia. Morale: leggere sempre le definizioni nei libri che leggete, in modo da sapere cosa intende dire l'autore.

  • 10 October - 16 October

    LEZIONE 7 -- lunedì 10 ottobre 2022 (AA)

    Teorema 3.69. \(X\) è di Hausdorff \( \iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).

    Conseguenze del Teorema 3.69: siano \(f, g : X \to Y\) continue con \(Y \) di Hausdorff. Allora:

    1. (3.70) il luogo su cui \(f\) e \(g\) coincidono è un chiuso in \( X\).
    2. se \(f : X \to X\) è continua e \(X\) di Hausdorff, l'insieme dei punti fissi di \(f\) è un chiuso in \(X\)
    3. se \(f\) e \(g\) coincidono su un sottoinsieme denso allora coincidono ovunque
    4. il grafico \(\Gamma\) di \(f\) è chiuso in \(X \times Y\)

    Definizione di proprietà topologica: una proprietà \(P\) è topologica se per ogni coppia di spazi topologici \(X\) e \(Y\) si ha:

    \(X\) omeomorfo a \(Y\) \(\implies\) \([X\) soddisfa \(P\) \(\iff\) \(Y\) soddisfa \(P]\)

    Essere di Hausdorff è una proprietà topologica (dimostrazione usando l'esercizio 3.56, svolto in classe)

    Conseguenza: due spazi topologici \(X\) e \(Y\) sono di Hausdorff se e solo se il prodotto \(X \times Y\) è di Hausdorff

    CONNESSIONE

    Definizione di spazio connesso e condizioni equivalenti.

    Teorema 4.6. L'intervallo \( [0, 1] \) è connesso.

    Teorema 4.7. L'immagine di un connesso è connessa.

    Connessione per archi: definizione.

    Lemma 4.9. Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Conseguenze:

    1. ogni sottoinsieme convesso (in particolare gli intervalli) di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi e quindi connesso
    2. ogni sottoinsieme stellato di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi e quindi connesso


    ESERCITAZIONE 2 -- martedì 11 ottobre 2022 (EM)

    Svolti in classe gli esercizi 2, 4, 6 e 8 della scheda 2. 

    LEZIONE 8 -- mercoledì 12 ottobre 2022 (AA)

    Il Lemma di Incollamento e le ipotesi necessarie. Vedere anche Kosniowski, Lemma 12.2 oppure Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Pasting_lemma.

    Lemma 4.10. Se \(A, B\) sono connessi per archi e \(A \cap B \ne \emptyset\) allora \( A \cup B\) è connesso per archi.

    Importante: nella dimostrazione si fa uso della giunzione di cammini: \( \alpha \ast \beta \).

    Esempio: la sfera \(S^n\) è connessa per archi, per \(n \ge 1\) (NB: \(S^0\) è composta da due punti ed è sconnesso).

    Teorema 4.13. Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) sono equivalenti:

    1. \(I\) è un intervallo (cioè è convesso)
    2. \(I\) è connesso per archi
    3. \(I\) è connesso

    Applicazioni del concetto di connessione:

    1. Per \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) continua, l'immagine di un intervallo è un intervallo (questo implica immediatamente il teorema dei valori intermedi e il teorema di esistenza degli zeri in Analisi 1)
    2. Per \(f : S^n \to \mathbf{R}\) continua, con \(n \ge 1\) esiste \(x \in S^n\) per cui \(f(x) = f(-x)\) e in particolare \(f\) non può essere iniettiva
    3. Se \(I \subseteq \mathbf{R}\) e \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) con \(n \ge 2\) sono due aperti, allora non sono omeomorfi . Questo è un caso particolare del

      Teorema di Invarianza della Dimensione: Siano \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(V \subseteq \mathbf{R}^m\) due sottoinsiemi aperti. Se \(U\) è omeomorfo a \(V\), allora \(n = m\) (gli aperti "vedono" la dimensione).
      Nota Bene: la dimostrazione di questo teorema è piuttosto complicata e non sarà affrontata nel corso. Si potrà vedere la dimostrazione nel corso di Topologia Algebrica della Laurea Magistrale.

    Lemma 4.4

    Lemma 4.23 L'unione di connessi con intersezione non vuota è connesso.



    LEZIONE 9 -- giovedì 13 ottobre 2022 (AA)

    Teorema \(X\) e \(Y\) sono connessi per archi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso per archi.

    Teorema 4.19 \(X\) e \(Y\) sono connessi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso.

    Nota: la dimostrazione vista a lezione usa il Lemma 4.23 ed è diversa da quella sul libro di Manetti. Potete trovarla, per esempio, sul libro di Kosniowski, Teorema 9.7.


    Lemma 4.22 Se \(Y\) è connesso e \(Y \subseteq W \subseteq \bar Y \) allora \(W\) è connesso.

    Conseguenza importante: la chiusura di un connesso è connessa.

    Esempi di spazi connessi ma non connessi per archi: la funzione seno del topologo, la pulce e il pettine.

    Definizione di componente connessa e principali proprietà: componente connessa di un punto (Lemma 4.25), le componenti connesse sono chiuse e danno una partizione dello spazio (Teorema 4.27)


    COMPATTEZZA

    Definizione di ricoprimento (aperto) e di sottoricoprimento. Definizione di spazio compatto (Definizione 4.35)

    Vari esempi di spazi non compatti: l'intervallo aperto \( (0, 1) \), la retta \(\mathbf{R}\), lo spazio \( \mathbf{R}^n \).

    Teorema 4.38. L'immagine di un compatto è compatta.

    Conseguenza importante: la compattezza è una proprietà topologica.

    Teorema 4.39. L'intervallo chiuso e limitato \( [0, 1] \) è compatto.

  • 17 October - 23 October

    LEZIONE 10 -- lunedì 17 ottobre 2022 (AA)

    Prime proprietà dei compatti:

    • Proposizione 4.41 Un chiuso in un compatto è compatto.
    • Proposizione 4.48 Un compatto in un Hausdorff è chiuso.
    • Corollario 4.42 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.43 Una funzione continua \(f : K \to \mathbf{R}\) con \(K\) compatto ammette massimo e minimo

    NOTA BENE: la dimostrazione fatta a lezione della proposizione 4.48 è diversa da quella sul libro di Manetti (non usa il teorema di Wallace). La dimostrazione fatta a lezione si può trovare sul libro di Kosniowski, Theorem 8.7.

    Ulteriori proprietà dei compatti:

    • Tube Lemma
    • Teorema 4.49 (2) Il prodotto di 2 spazi compatti è compatto.
    • Teorema 4.49 (1) Se \(Y\) è compatto, la proiezione \(p: X \times Y \to X\) è chiusa.
    • Corollario 4.50 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}^n\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.52 Sia \(f: X \to Y\) continua, con \(X\) compatto e \(Y\) Haursdorff. Allora \(f\) è chiusa.

    COMMENTI:

    • Discussione sui prodotti di infiniti insiemi, l'Assioma della Scelta e sulla topologia prodotto nel caso di infiniti fattori.
    • Il Teorema 4.49 (2) vale anche nel caso del prodotto di infiniti spazi compatti. La dimostrazione è molto più complicata di quella del caso finito. L'enunciato: "Il prodotto di un arbitrario numero di compatti è compatto" si chiama Teorema di Tychonoff.
    • Vale anche il viceversa del Teorema 4.49 (1) e cioè Teorema (Kuratowski-Mrówka) Sia \(X\) uno spazio topologico. Allora \(X\) è compatto se e solo se per ogni spazio topologico \(Y\) la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa.
    • Le dimostrazioni del Tube Lemma e del Teorema 4.49 (2) fatte a lezione si trovano sul libro di Munkres, Theorem 26.7 a pag. 167.


    ESERCITAZIONE 3 -- martedì 18 ottobre 2022 (EM)

    Svolti in classe gli esercizi 2, 3 e 4 della scheda 3.

    LEZIONE 11 -- mercoledì 19 ottobre 2022 (AA)

    GRUPPI TOPOLOGICI: definizione ed esempi semplici \((\mathbf{R}^n, +)\), \((\mathbf{C}^n, +)\), \((\mathbf{R}^*, \cdot)\), \( (T^n, \cdot) \) = toro \(n\)-dimensionale = vettori di \(\mathbf{R}^n\) con tutte le componenti non nulle.

    Gruppi di matrici:

    • Gruppi di matrici reali: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\)
    • Gruppi di matrici complessi: \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\)

    Esempi di proprietà topologiche: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) è aperto in \( \mathbf{R}^{n,n} \), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\) sono chiusi in \( \mathbf{R}^{n,n} \).


    Compattezza: i gruppi \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\) non sono compatti, i gruppi \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\) e \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\) sono compatti.


    Proprietà dei gruppi topologici: le mappe \(L_a\) e \(R_a\) di moltiplicazione a sinistra e a destra sono omeomorfismi, un gruppo topologico è di Hausdorff se e solo se è T1.


    Connessione: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\) non sono connessi.

    Lemma 4.18 sulla connessione

    Proposizione 4.58 il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso



    LEZIONE 12 -- giovedì 20 ottobre 2022 (AA)

    Ulteriori proprietà di connessione dei gruppi topologici

    • Il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) è un aperto di \(\mathbf{R}^{n,n}\) e quindi è connesso per archi
    • Il gruppo \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), è immagine di \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) e quindi è connesso (per archi)
    • Il gruppo \(\text{SO}(n)\) è connesso

    COMMENTO: abbiamo accennato a lezione ad una dimostrazione della connessione per archi di \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\) sfruttando la forma canonica di Jordan, che studierete più avanti nel corso. Potete trovare questa dimostrazione nelle note di Brian C. Hall An Elementary Introduction to Groups and Representations, disponibile all'indirizzo https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032. La dimostrazione è nel paragrafo 2.4, a pagina 16, Proposition 2.7.

    Probabilmente non risulterà chiara adesso, ma provate a leggerla dopo aver imparato la forma di Jordan. La dimostrazione non funziona per \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) perché usa gli autovalori delle matrici e la matrici reali non sempre hanno autovalori reali.


    Topologia quoziente

    Topologia quoziente su \(Y\) indotta da una funzione \(f : X \to Y\), dove \(X\) è uno spazio topologico.

    Esempi di quozienti:

    • Contrazione di un sottoinsieme ad un punto: per \(A \subseteq X\), il quoziente \(X/A\);
    • I quozienti di spazi di Hausdorff non sono sempre di Hausdorff: per esempio, \(X / A\) dove \(A\) non è chiuso in \(X\) (non è nemmeno \(\mathbf{T1}\));

    Definizione di identificazione (5.1)

    Proprietà importante:Sia \(f : X \to Y \) continua e suriettiva fra spazi topologici e sia \(x \sim y \iff f(x) = f(y)\) la relazione di equivalenza indotta da \(f\). Allora \(f\) è identificazione se e solo se la mappa indotta \(\bar f : X/\sim \to Y\) è un omeomorfismo

    Lemma 5.4. \(f : X \to Y\) continua, suriettiva e chiusa (oppure aperta). Allora \(f\) è una identificazione chiusa (aperta).

    Esempio: \(f : [0, 1] \to S^1 \) data da \(f(t) = (\cos 2 \pi t, \sin 2\pi t)\) è una identificazione chiusa, ma non aperta, che identifica gli estremi dell'intervallo

    Esempio: \(\mathbf{R}/[0,1]\) è omeomorfo ad \(\mathbf{R}\)

    Esempio: \( D^2 / S^1 \cong S^2 \)

    Esercizio: più in generale \( D^n / \partial D^n \cong S^n \), cioè identificando il bordo del disco \(D^n\) ad un punto si ottiene la sfera \(S^n\). Se non riuscite a fare l'esercizio, leggere Manetti, Esempio 5.7

  • 24 October - 30 October

    AVVISO

    Questa settimana non ci sarà lezione di Geometria 2 nei giorni

    • lunedì 24/10
    • mercoledì 26/10
    • giovedì 27/10

    Le esercitazioni di mar 25/10 si terranno regolarmente

    ESERCITAZIONE 4 -- martedì 25 ottobre 2022 (EM)

    Svolti in classe gli esercizi 1 e 3 della scheda 4. Discusso esercizio 5 scheda 3.

    • 31 October - 6 November

      AVVISO

      Questa settimana non ci sarà lezione di Geometria 2 il giorno lunedì 31/10.

      Mercoledì 2 novembre dalle 10.30 alle 12.30 al posto della consueta lezione di Geometria 2 ci sarà lezione di Analisi Matematica 2;

      Venerdì 4 novembre dalle 12.30 alle 14.30 al posto della consueta lezione di Analisi Matematica 2 ci sarà lezione di Geometria 2.

      Tutte le altre lezioni ed esercitazioni restano invariate.

      L13, 3/11/2022, 14:30-16:30, CC
      Richiami su topologia quoziente e identificazioni. Proprietà universale della topologia quoziente. Teorema: se X è compatto e Hausdorff, e f:X->Y è un'identificazione, allora Y è di Hausdorff sse f è chiusa (senza dimostrazione).
      Azioni di gruppo dal punto di vista insiemistico (su questa parte seguiamo il Kosniowski). Relazione di equivalenza indotta da un'azione di gruppo, orbite, insieme quoziente, stabilizzatori. L'orbita di x è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore di x in G.
      Azione per omeomorfismi di un gruppo su uno spazio topologico. Se un gruppo agisce per omeorfismi, la proiezione al quoziente è aperta, ed è chiusa se il gruppo è finito.
      Esempi: azione di GL(n,R) su R^n per molitplicazione; azione di Z su R per traslazione.

      L14, 4/11/2022, 12:30-14:30, CC
      Il quoziente di R per l'azione di Z per traslazioni è la circonferenza. Azione di Z^2 su R^2 per traslazioni, toro. Azione di R\{0} su R^n\{0} per moltiplicazione, spazi proiettivi reali. Gli spazi proiettivi reali sono compatti e di Hausdorff, e possono essere visti come quozienti della sfera.
      Proprietà di numerabilità (se questa parte seguiamo il Manetti). Primo e secondo assioma di numerabilità. Uno spazio metrico è sempre primo numerabile. Prodotto di spazi a base numerabile è a base numerabile. Essere a base numerabile si trasmette ai sottospazi, ma non ai quozienti (senza dim.). Il secondo assioma di numerabilità implica il primo. Se X è a base numerabile, ogni ricoprimento aperto di X ammette sottoricprimento numerabile. Spazi topologici separabili. Se X è a base numerabile, allora è separabile. Uno spazio metrico separabile è a base numerabile.

    • 7 November - 13 November

      L15, 7/11/2022, 12:30-14:30, CC

      Esempi: se X non è numerabile e ha la topologia discreta, allora X è metrico ma non è a base numerabile né separabile. La retta di Sorgenfrey è primo numerabile, separabile, ma non a base numerabile.
      Successioni in spazi topologici. Convergenza di una successione a un punto. Se X è di Hausdorff, il limite è unico. Esempi: topologia banale, topologia discreta, spazi metrici. Punto di accumulazione per una successione. Vale la catena di implicazioni:

      {a_n} converge a p -> {a_n} ha una sottosuccessione convergente a p -> p è punto di accumulazione per {a_n} -> p è nella chiusura dell'immagine A della successione.

      Se X è primo numerabile, {a_n} ha una sottosuccessione convergente a p sse p è punto di accumulazione per {a_n}.
      Caratterizzazione della chiusura in termini di successioni, in uno spazio topologico primo numerabile.

      Data una successione K_n di chiusi, compatti e non vuoti, tali che K_n contiene K_{n+1} per ogni n, l'intersezione di tutti i K_n è non vuota.

      Se X è compatto, ogni successione in X ha punti di accumulazione.

      ESERCITAZIONI 8/11 (EM)

      Svolti in aula gli esercizi 1, 2, 3 della scheda 5.

      L16, 9/11/2022, 10:30-12:30, CC

      Compattezza per successioni. Se X è compatto per successioni, ogni successione in X ha un punto di accumulazione. Se X è primo numerabile, allora X è compatto per successioni sse ogni successione in X ha un punto di accumulazione. Se X è a base numerabile, X è compatto sse è compatto per successioni. Se X è uno spazio metrico compatto per successioni, allora X è a base numerabile, e quindi compatto.
      Successioni di Cauchy in spazi metrici, prime proprietà. Spazi metrici completi. Uno spazio metrico compatto è completo. R^n (con la metrica euclidea) è uno spazio metrico completo. La completezza non è una proprietà topologica.

      FINE DELLA PARTE DI TOPOLOGIA GENERALE

      -----------------------------------------------------------------------------------------------

      OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

      Richiami: lemma di incollamento; componenti connesse; cammini, cammino inverso, prodotto di cammini. Componenti connesse per archi. Introduzione all'omotopia tra funzioni continue.

      L17, 10/11/2022, 14:30-16:30, CC

      Omotopia tra funzioni continua. Esempi: omotopie lineari per funzioni a valori in un convesso di R^n. L'omotopia è una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue tra due spazi topologici fissati. Le composizioni di funzioni omotope sono omotope.
      Equivalenza omotopica tra spazi topologici. R^n è omotopicamente ad un punto. Spazi contraibili. I sottoinsiemi stellati di R^n sono contraibili. Uno spazio topologico contraibile è c.p.a. La connessione per archi è preservata dall'equivalenza omotopica.
      Retratti. Esempi: un punto di uno spazio topologico, la circonferenza nel piano bucato. Esempi di sottospazi che non sono retratti. Retratti di deformazione.



    • 14 November - 20 November

      L18, 14/11/2022, 12:30-14:30, CC

      Se A è retratto di deformazione di X, allora A e X sono omotopicamente equivalenti. Esempi di retratti di deformazione: il bouquet di 2 circonferenze è retratto di deformazione del piano meno due punti.
      Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia di cammini è una relazione di equivalenza sull'insieme dei cammini in X a estremi fissati. Prodotti di cammini omotopi sono cammini omotopi. Cambiamento di parametro in un cammino. Proposizione riassuntiva sulle proprietà del prodotto di cammini rispetto all'omotopia di cammini, al cammino inverso e ai cammini costanti.


      ESERCITAZIONE 15/11 (EE)
      Svolti in aula gli esercizi 2-4-5-6 della scheda 6.

      L19, 16/11/2022, 10:30-12:30, CC
      Gruppo fondamentale di uno spazio topologico con punto base. Dipendenza dal punto base: il gruppo fondamentale dipende solo dalla componente cpa di X contenente il punto base; costruzione di un isomorfismo tra i gruppi fondamentali di X rispetto a due punti base nella stessa componente cpa. Omomorfismo tra i gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua.
      Cenni su categorie e funtori; esempi.
      Il gruppo fondamentale dà un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati alla categoria dei gruppi. Un omeomorfismo induce isomorfismo tra i gruppi fondamentali.

      L20, 17/11/2022, 14:30-16:30, CC

      Se A è un sottospazio di X, in generale il gruppo fondamentale di A con punto base a non è un sottogruppo del gruppo fondamentale di X con punto base a. Se invece A è un retratto di X, allora l'inclusione induce un omomorfismo iniettivo tra i gruppi fondamentali.
      Due due mappe omotope da X a Y, gli omomorfismi indotti tra i gruppi fondamentali differiscono per un isomorfismo dei codomini (senza dimostrazione).
      Invarianza omotopica del gruppo fondamentale. Applicazioni: se X è contraibile, il gruppo fondamentale di X è banale. Spazi topologici semplicemente connessi.
      Distanza di un punto da un insieme in uno spazio metrico. Lemma del numero di Lebesgue.


    • 21 November - 27 November

      L21, 21/11/2022, 12:30-14:30, CC - lezione online causa assenza della docente

      Conclusione della dimostrazione del lemma sul numero di Lebesgue. Applicazione ai cammini.
      Teorema di Van Kampen sui generatori. Applicazione: criterio per la semplice connessione. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse.
      Mappa esponenziale dalla retta alla circonferenza, aperti uniformemente rivestiti. Sollevamenti di cammini: esistenza.


      ESERCITAZIONE 22/11 (EE)
      Svolti in aula gli esercizi 1-2-3-5-6-7 della scheda 7.

      L22, 23/11/2022, 10:30-12:30, CC
      Unicità del sollevamento di un cammino a partire da un punto fissato. Grado in un cammino chiuso nella circonferenza. Il grado di un cammino prodotto è la somma dei gradi. Teorema di monodromia (solo enunciato): cappi omotopi hanno lo stesso grado. Il gruppo fondamentale della circonferenza è isomorfo a Z. Applicazioni: se D è un disco chiuso in R^2, il bordo di D non è un retratto di D. Teorema del punto fisso di Brouwer. Un aperto di R^2 non può essere omeomorfo ad un aperto di R^n con n>2. L'ipotesi che A e B siano aperti nel teorema di Van Kampen è necessaria.
      Il gruppo fondamentale di un prodotto.

      L23, 24/11/2022, 14:30-16:30, CC
      Ancora sul gruppo fondamentale di un prodotto. Esempio: gruppo fondamentale del toro.
      Descrizione del gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze come gruppo libero a due generatori.
      Modello piano del piano proiettivo reale, descrizione del suo gruppo fondamentale.
      Spazi topologici localmente euclidei e varietà topologiche; esempi. Classificazione delle varietà topologiche di dimensione 1 (solo enunciato). La congettura di Poincaré.
      Superfici compatte, esempi. Modelli piani: come ottenere una superficie compatta come quoziente di un poligono avente un numero pari di lati.

    • 28 November - 4 December

      L24, 28/11/2022, 12:30-14:30, CC

      Modelli piani e parole. La bottiglia di Klein. Somma connessa di superfici compatte. Le superfici Tg e Pn. La somma connessa ha un modello piano dato dalla concatenazione delle parole dei modelli piani delle due superfici. La bottiglia di Klein è la somma connessa di due copie del piano proiettivo reale. La somma connessa di T e P è omeomorfa alla somma connessa di K e P. Enunciato del teorema di classificazione delle superfici compatte. Triangoli geometrici e triangolazioni. Teorema di Radò: ogni superficie compatta ammette una triangolazione (solo enunciato). Corollario: ogni superficie compatta ammette un modello piano. Coppie di lati del primo e del secondo tipo.

      ATTENZIONE: questa settimana il tutorato si terrà giovedì 1/12, h 8:30-10:30, aula C (in cortile di fianco all'aula A), invece che mercoledì 30/11.

      ESERCITAZIONI 29/11 (EM)

      Svolti in aula gli esercizi 3, 4, 5 e 6 della scheda 8.

      L25, 30/11/2022, 10:30-12:30, CC

      Algoritmo del taglia e incolla. Si ottiene una somma connessa di piani proiettivi sse nel modello piano iniziale c'è almeno una coppia di lati del II tipo.
      Orientabilità di superfici topologiche. Esempi. Teorema: una superficie compatta contenuta in R^3 è sempre orientabile (senza dimostrazione). Le superfici S^2 e T_g sono orientabili, le superfici P_n no. Una superficie data da un modello piano è orientabile sse il modello non contiene coppie di lati del II tipo.
      Caratteristica di Eulero di una triangolazione di una superficie. Suddivisione di una superficie; esempi.

      L26, 1/12/2022, 14:30-16:30, CC

      Caratteristica di Eulero di una suddivisione. Date due suddivisioni della stessa superficie, la caratteristica di Eulero è la stessa (senza dimostrazione). Caratteristica di Eulero di una superficie compatta; la caratteristica di Eulero è invariante per omeomorfismo. Suddivisione di una superficie indotta da un modello piano. Caratteristica di Eulero delle superfici P_n e T_g. Le superfici P_n sono tutte non omeomorfe tra loro, idem per le superfici T_g. Esempio dallo scritto di luglio 2018.

      GEOMETRIA PROIETTIVA

      Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Dimensione. Sottospazi proiettivi. Coordinate omogenee e riferimenti proiettivi. Basi multiple inducono lo stesso riferimento proiettivo. Punti coordinati e punto unità. Descrizione dei sottospazi proiettivi tramite equazioni lineari omogenee nelle coordinate omogenee.



    • This week

      5 December - 11 December

      L27, 5/12/2022, 12:30-14:30, CC

      Intersezione di sottospazi proiettivi. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Somma di sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva. Due sottospazi tali che la somma delle dimensioni sia almeno dim P(V) si intersecano sempre. Punti linearmente indipendenti. Esempi: 2 punti, 3 punti. Es. 2.1 FFP. Punti in posizione generale. Esempi: dimensione 1 e 2. Rappresentazione parametrica di un sottospazio proiettivo. Esempio: una retta in P^3.
      Due riferimenti proiettivi diversi possono avere gli stessi punti fondamentali. Dato n+2 punti in posizione generale, esiste ed è unico un riferimento proiettivo di cui tali punti sono i punti fondamentali e il punto unità.
      Trasformazioni proiettive e proiettività. Due isomorfismi tra spazi vettoriali inducono la stessa trasformazione proiettiva sse sono multipli.


      ESERCITAZIONI 6/12 (EM)

      Svolti in aula gli esercizi 1, 2, 3 e 4 della scheda 9.



    • 12 December - 18 December

      • 19 December - 25 December

        • 9 January - 15 January

          Ultima lezione di teoria: martedì 10/1/2023
          Ultima esercitazione: mercoledì 11/1/2023