Weekly outline

  • General

    GEOMETRIA 2 



    DOCENTI: 

    Alberto ALBANO, Cinzia CASAGRANDE, Elena MARTINENGO


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono TRE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda degli indirizzi e del corso di laurea.

    • Matematica, indirizzo TEORICO (MFN1628): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO (MFN1250): il corso vale 9 Crediti (72 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre. 


    ORARIO:

    • LUN 12:30 - 14:30
    • MAR  8:30 - 10:30
    • MER 10:30 - 12:30
    • GIO 14:30 - 16:30 

    Tutte le lezioni si svolgono in Aula A (nel cortile)

    Indicativamente, le esercitazioni si terranno il martedi'.

    Avvisi importanti

    La sessione di esami autunnale (settembre) si svolgerà in presenza. Sarà comunque garantita la possibilità di svolgere l’esame a distanza, su richiesta, agli studenti e alle studentesse che:

    1)  hanno residenza o domicilio fuori Regione; oppure

    2)  siano temporaneamente assenti dal territorio regionale per esigenze documentabili; oppure

    3)  presentino delle fragilità di salute o ricadano in una delle condizioni per cui si è impossibilitati a uscire di casa per quarantena obbligatoria o cautelativa (temperatura superiore a 37.5°, presenza di tosse o altri sintomi da covid, essere stati a contatto con persone positive al covid negli ultimi 14 giorni).

    Gli esami in presenza e a distanza si svolgeranno in contemporanea, come da calendario esami.


    Emergenza COVID-19: esami della sessione estiva

    Nella sessione estiva, gli esami si terranno online sulla piattaforma Webex. Le modalità d'esame resteranno quelle usuali: esame scritto online su carta in videoconferenza, seguito da esame orale online in videoconferenza. Si veda il file qui sotto per il dettaglio delle modalità d'esame.

    Gli orali dell'appello di luglio si terranno martedì 21/7, dalle 15 in poi, e mercoledì 22/7, dalle 9 in poi, per tutto il giorno; possono assistere tutti gli studenti del corso, ai links:



    Gli orali dell'appello di giugno si terranno giovedì 25/6, dalle 8:30 in poi, per tutto il giorno; possono assistere tutti gli studenti del corso, al link:


    Diversamente da quanto annunciato in precedenza, la lezione di lunedì 23 settembre si svolgerà nell'orario normale 12:30 - 14:30
    Non ci sara' lezione di Geometria 2: giovedi' 7/11, giovedi' 21/11, giovedi' 28/11.
    Mercoledì 27/11: ultima lezione di Geometria 2 per gli studenti dell'indirizzo modellistico (l'ultimo foglio di tutorato per gli studenti del modellistico è il 9)
    Il tutorato di mercoledì 27/11 è stato spostato a giovedì 28/11, h 14:30-16:30, aula 2.
    Ci sara' regolarmente lezione di Geometria 2 mercoledi' 4/12 e giovedi' 5/12.
    Il tutorato di mercoledì 4/12 è stato spostato a giovedì 5/12, h 12:30-14:30, aula 2.
    Martedì 3/12 ci sarà teoria, mentre giovedì 5/12 ci saranno esercitazioni.
    La lezione di martedi' 3/12 si terra' nell'orario 10:30-12:30, invece che 8:30-10:30, al posto di Analisi 2.
    Nell'ultima settimana di lezione ci sara' teoria lun 16/12 e mar 17/12, esercitazioni gio 19/12. Mer 18/12 non ci sara' lezione di Geo 2 (al suo posto ci sara' Analisi 2).

    Mar 7/1, 9-10.30, in aula A, si svolgerà un'esercitazione aggiuntiva di preparazione all'esame. Non verranno svolti esercizi su temi nuovi, ma solo argomenti di ripasso e temi d'esame.
    L'ultimo tutorato si svolgera' giovedi' 9/1, h 10:30-12:30, in aula 3, con la discussione del foglio 12 (che non verra' consegnato).


    RICEVIMENTO DOCENTI: 

    • Albano: su appuntamento (telefonare o mandare email)
    • Casagrande: su appuntamento
    • Martinengo:


    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Azioni di gruppo e quoziente associato. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti e retratti di deformazione. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Il teorema di Van Kampen sui generatori. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse. Il gruppo fondamentale della circonferenza.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Enunciato del teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. Orientabilità di superfici. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione delle superfici compatte.

    4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Diagonalizzazione simultanea di matrici. Esponenziale complesso. Esponenziale di matrici complesse.

    5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, sottospazi, proiettività. Geometria affine geometria proiettiva, punti propri e impropri. Birapporto. Spazio proiettivo duale, sistemi lineari di iperpiani. Curve algebriche piane affini e proiettive: grado, componenti irriducibili. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta, punti lisci e singolari, retta tangente. Trasformazione di una curva per affinità/proiettività. Classificazione delle coniche: casi affine/proiettivo, reale/complesso. Curve proiettive di grado d, condizioni lineari. Sistemi lineari e fasci di coniche.


    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. I programmi d'esame sono:

    • Matematica, indirizzo TEORICO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica, indirizzo MODELLISTICO: 1 + 2 + 3+ 4
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1 e 2.

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, per le parti 1 e 2.

    G. Occhetta, dispense del corso di Geometria III, scaricabile liberamente, per le parti 2 e 3.

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente, per la parte  3.

    Vi sono delle note del Prof. Albano, disponibili qui sotto, per la parte 4.

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri, capitolo 3 - Geometria proiettiva, per la parte 5.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili dalla pagina di Campusnet di Geometria 2 Teorico (MFN 1628), per la parte 5(dovete fare il login su Campusnet per scaricare questo materiale). Queste note seguono il libro di Sernesi, dando maggiori dettagli.

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, per la parte 5: oltre a molti esercizi, c'e' un riassunto conciso della teoria.


    TUTORATO:

    Tutors: Matilde Maccan e Antonio Guglielmucci

    Mercoledì 8.30-10.30

    Ogni settimana verrà assegnato un foglio di esercizi. Il foglio sarà disponibile su Moodle a fine settimana (di solito il venerdì).

    Gli esercizi vanno consegnati al tutore durante l'incontro di due mercoledì dopo, quindi ci sono almeno 11/12 giorni per svolgere gli esercizi. Nell'incontro successivo, il tutore restituirà gli esercizi corretti.

    Il primo incontro di tutorato sarà mercoledì 2 ottobre (senza consegna degli esercizi, ma con possibilità di discussione degli esercizi assegnati).


    FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):

    Topologia e topologia algebrica: 
    file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (questo va bene anche per studiare la parte di topologia generale e omologia)

    E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri

    Geometria proiettiva:
    le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri


    ESAMI:

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura:

    • 1 ora e 30 minuti  (esercizi 1-2) per gli studenti di MatFin, 
    • 2 ore e 30 minuti (esercizi 1-4) per gli studenti dell'indirizzo Modellistico,
    • 3 ore (esercizi 1-5) per gli studenti dell'indirizzo Teorico.

    Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica; è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 


    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise 

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.

  • 23 September - 29 September

    LEZIONE 1 -- lunedì 23 settembre 2019 (AA)

    Introduzione al corso.

    Discussione sul significato della nozione di continuità per funzioni da \( \mathbf{R}\) in \( \mathbf{R}\): punti aderenti ad un sottoinsieme, chiusura di un sottoinsieme, le funzioni continue rispettano l'aderenza cioè vale

    \( f \text{ continua } \implies f(\bar A) \subseteq \bar{f(A)} \)

    Definizione di chiuso: un sottoinsieme è chiuso se è uguale alla sua chiusura.
    Definizione di aperto: un sottoinsieme è aperto se è il complementare di un chiuso.

    Definizione di spazio topologico mediante gli assiomi per gli aperti.

    Esempi: topologia euclidea in \( \mathbf{R}\), in \( \mathbf{R}^n\)


    Definizione di spazio metrico e di topologia indotta da una distanza (o metrica)

    Esempi di distanze su \( \mathbf{R}^n\): \(d_\infty, d_1, d_2\)

    Esercizio: su \(\mathbf{R}^n\) valgono le diseguaglianze \(d_\infty \le d_2 \le d_1 \le n d_\infty\)


    LEZIONE 2 -- martedì 24 settembre 2019 (AA)

    Discussione su topologie indotte da metriche: le diseguaglianze \(d_\infty \le d_2 \le d_1 \le n d_\infty\) inducono inclusioni fra palle aperte di centro \(x\) e raggio \(\varepsilon\):

    \( B_1(x, \varepsilon) \subseteq B_2(x, \varepsilon) \subseteq B_\infty(x, \varepsilon) \subseteq B_1(x, \varepsilon/n) \)

    da cui si ottiene che gli aperti rispetto alle tre distanze sono gli stessi e cioè la topologia indotta è la stessa.

    Distanze sullo spazio \(C([0, 1])\): distanza \(d_\infty, d_1, d_2\): le topologie indotte non sono la stessa (dimostrazione verrà vista in corsi di Analisi più avanzati).

    Esempi di topologie:

    • Topologia banale, topologia discreta
    • Topologia dei complementari finiti
    • Su un insieme finito, la topologia dei complementari finiti è uguale a quella discreta
    • Su un insieme infinito (per esempio, \(X = \mathbf{N}\) ), la topologia dei complementari finiti non è uguale a quella discreta

    Relazione di finezza fra topologie: la topologia banale è la meno fine di tutte, la topologia discreta è la più fine. Sullo spazio \(X = \mathbf{R}\) la topologia euclidea è strettamente più fine della topologia dei complementari finiti.

    Base di una topologia. Esempio: la famiglia degli intervalli aperti è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\), più in generale la famiglia delle palle aperte è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}^n\) .

    Esercizio: dimostrare che la famiglia degli intervalli aperti con estremi razionali è una base per la topologia euclidea \(\mathbf{R}\).

    Teorema 3.7. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.


    LEZIONE 3 -- mercoledì 25 settembre 2019 (AA)

    Esempio di topologia assegnata mediante una base: la retta di Sorgenfry. Confronto fra la topologia euclidea e la topologia di Sorgenfry.

    Definizione di chiusura, interno, frontiera di un insieme.

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20). Intorni e chiusura (Lemma 3.21).

    Sistema fondamentale di intorni (definizione 3.22)

    Esempi di sistemi fondamentali di intorni di un punto \(x\): intorni contenuti in un intorno fissato, aperti di una base che contengono \(x\).


    Continuità: definizione di funzione continua tramite aperti e alcune semplici formulazioni equivalenti (tramite chiusi).

    Teorema 3.26. Composizione di funzioni continue è continua.


    LEZIONE 4 -- giovedì 26 settembre 2019 (AA)

    Lemma 3.25. Le funzioni continue non "strappano" lo spazio: \(f \) è continua se e solo se per ogni \(A\) vale \( f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)} \)

    Definizione di continuità in un punto tramite intorni e equivalenza delle definizioni (Teorema 3.28)

    Definizione di omeomorfismo (3.29) , funzione aperta, funzione chiusa (3.30).

    Alcune osservazioni sulle relazioni fra i concetti di omeomorfismo, aperta, chiusa.

    Esempio: la proiezione \(p : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}\) data da \(p(x, y) = x\)

    • non è chiusa: la proiezione dell'iperbole \(xy = 1\), che è un chiuso, è l'asse \(x\) tranne lo \(0\) che non è un chiuso
    • è aperta: l'immagine di un disco aperto è un intervallo aperto, poi si usa il fatto che i dischi aperti sono una base per la topologia di \(\mathbf{R}^2\)

    SOTTOSPAZI: definizione di topologia di sottospazio come topologia meno fine che rende continua l'inclusione. Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi nella topologia di sottospazio.

    Esempio: la funzione \(f : [0, 1) \to S^1 \subseteq \mathbf{R}^2\) data da \(f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\) è biunivoca, continua, ma l'inversa non è continua.

  • 30 September - 6 October

    LEZIONE 5 -- lunedì 30 settembre 2019 (AA)

    Per \(A \subseteq Y \subseteq X\) confronto fra la chiusura di \(A\) in \(Y\) e la chiusura di \(A\) in \(X\) (Lemma 3.55).

    Definizione di immersione ed alcuni esempi: la funzione \(f : [0, 1) \to \mathbf{R}^2\) data da \(f(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\) studiata nella lezione precedente non è un'immersione.

    Immersioni aperte e chiuse: condizioni sufficienti.


    PRODOTTI: definizione della topologia prodotto sul prodotto cartesiano \( P \times Q\) di due spazi topologici.
    Teorema 3.61.
    1. base della topologia prodotto
    2. le proiezioni sono aperte e inducono omeomorfismi \( p : P \times \{y\} \to P \) (e analogamente per \(Q\) )
    3. proprietà universale della topologia prodotto: \(f : X \to P\times Q \text{ continua} \iff p\circ f, q\circ f \text{ continue}\), cioè \(f \) è continua se e solo se la sue componenti sono continue.

    Osservazioni sulla definizione di prodotto di insiemi quando l'insieme degli indici è infinito. Enunciato dell'Assioma della Scelta.


    ESERCITAZIONE 1 -- martedì 1 ottobre 2019 (EM)

    Discussi in classe esercizi 2 - 3 - 5.


    LEZIONE 6 -- mercoledì 2 ottobre 2019 (AA)

    Osservazioni sulla topologia prodotto (le dimostrazioni sono esercizi):

    1. Se \(\mathcal{B}\) è una base per la topologia di \( X \) e \(\mathcal{C}\) è una base per la topologia di \( Y \), allora la famiglia \(\mathcal{D} = \{U \times V \mid U \in \mathcal{B}, V \in \mathcal{C} \} \) è una base per la topologia prodotto di \( X \times Y \).
    2. Se \(A \subseteq X\) e \(B \subseteq Y\) si ha: \(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}\) nel prodotto \(X \times Y\), e di conseguenza il prodotto di chiusi è chiuso.

    SPAZI DI HAUSDORFF (o spazi \(T_2\))

    Definizione (3.65)

    Esempio: ogni spazio metrico è di Hausdorff

    Definizione di spazi \(T_1\) mediante condizioni sugli intorni e mediante la chiusura dei punti (come nel foglio di tutorato). Dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni.

    Lemma 3.67. In uno spazio di Hausdorff tutti i punti sono chiusi (cioè \(T_2 \implies T_1 \) )

    Esempio: Se \(X\) è un insieme infinito con la topologia dei complementari finiti, allora \(X\) è \(T_1\) ma non \(T_2\) (cioè \(T_1\) non implica \(T_2\)).

    Ulteriori proprietà degli spazi di Hausdorff: sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff (3.68)

    Teorema 3.69. \(X\) è di Hausdorff \( \iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).

    Conseguenze: siano \(f, g : X \to Y\) continue con \(Y \) di Hausdorff. Allora:

    1. (3.70) il luogo su cui \(f\) e \(g\) coincidono è un chiuso in \( X\).
    2. se \(f : X \to X\) è continua e \(X\) di Hausdorff, l'insieme dei punti fissi di \(f\) è un chiuso in \(X\)
    3. se \(f\) e \(g\) coincidono su un sottoinsieme denso allora coincidono ovunque
    4. il grafico \(\Gamma\) di \(f\) è chiuso in \(X \times Y\)

    Definizione di proprietà topologica: una proprietà \(P\) è topologica se per ogni coppia di spazi topologici \(X\) e \(Y\) si ha:

    \(X\) omeomorfo a \(Y\) \(\implies\) \([X\) soddisfa \(P\) \(\iff\) \(Y\) soddisfa \(P]\)

    Essere di Hausdorff è una proprietà topologica (dimostrazione usando l'esercizio 3.56, svolto in classe)

    Conseguenza: due spazi topologici \(X\) e \(Y\) sono di Hausdorff se e solo se il prodotto \(X \times Y\) è di Hausdorff


    LEZIONE 7 -- giovedì 3 ottobre 2019 (AA)

    CONNESSIONE

    Definizione di spazio connesso e condizioni equivalenti.

    Teorema 4.6. L'intervallo \( [0, 1] \) è connesso.

    Teorema 4.7. L'immagine di un connesso è connessa.

    Connessione per archi: definizione.

    Teorema 4.8. Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Lemma 4.10. Se \(A, B\) sono connessi per archi e \(A \cap B \ne \emptyset\) allora \( A \cup B\) è connesso per archi.

    Importante: nella dimostrazione si fa uso del di prodotto di cammini: \( \alpha \ast \beta \).

    Conseguenze:

    1. ogni sottoinsieme convesso di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi
    2. la sfera \(S^n\) è connessa per archi, per \(n \ge 1\) (NB: \(S^0\) è composta da due punti ed è sconnesso).

    Teorema 4.13. Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) sono equivalenti:

    1. \(I\) è un intervallo (cioè è convesso)
    2. \(I\) è connesso per archi
    3. \(I\) è connesso

    Applicazioni del concetto di connessione:

    1. Per \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) continua, l'immagine di un intervallo è un intervallo (questo implica immediatamente il teorema dei valori intermedi e il teorema di esistenza degli zeri in Analisi 1)
    2. Per \(f : S^n \to \mathbf{R}\) continua, con \(n \ge 1\) esiste \(x \in S^n\) per cui \(f(x) = f(-x)\) e in particolare \(f\) non può essere iniettiva
    3. Se \(I \subseteq \mathbf{R}\) e \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) con \(n \ge 2\) sono due aperti, allora non sono omeomorfi . Questo è un caso particolare del

      Teorema di Invarianza della Dimensione: Siano \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(V \subseteq \mathbf{R}^m\) due sottoinsiemi aperti. Se \(U\) è omeomorfo a \(V\), allora \(n = m\) (gli aperti "vedono" la dimensione).
      Nota Bene: la dimostrazione di questo teorema è piuttosto complicata e non sarà affrontata nel corso. Si potrà vedere la dimostrazione nel corso di Topologia Algebrica della Laurea Magistrale.

  • 7 October - 13 October

    LEZIONE 8 -- lunedì 7 ottobre 2019 (AA)

    Lemma 4.23 L'unione di connessi con intersezione non vuota è connesso.

    Teorema 4.19 \(X\) e \(Y\) sono connessi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso.

    Nota: la dimostrazione vista a lezione usa il Lemma 4.23 ed è diversa da quella sul libro di Manetti. Potete trovarla, per esempio, sul libro di Kosniowski, Teorema 9.7.


    Lemma 4.22 Se \(Y\) è connesso e \(Y \subseteq W \subseteq \bar Y \) allora \(W\) è connesso.

    Conseguenza importante: la chiusura di un connesso è connessa.

    Definizione di componente connessa e principali proprietà: componente connessa di un punto (Lemma 4.25), le componenti connesse sono chiuse e danno una partizione dello spazio (Teorema 4.27)

    Le componenti connesse non sono necessariamente aperte: le componenti connesse di \(\mathbf{Q}\) sono i punti.


    COMPATTEZZA

    Definizione di ricoprimento (aperto) e di sottoricoprimento. Definizione di spazio compatto (Definizione 4.35)

    Vari esempi di spazi non compatti: l'intervallo aperto \( (0, 1) \), la retta \(\mathbf{R}\), lo spazio \( \mathbf{R}^n \).

    \(X\) con la topologia dei complementari finiti è sempre compatto.

    Teorema 4.38. L'immagine di un compatto è compatta.

    Conseguenza importante: la compattezza è una proprietà topologica.

    Teorema 4.39. L'intervallo chiuso e limitato \( [0, 1] \) è compatto.


    ESERCITAZIONE 2 -- martedì 8 ottobre 2019 (EM)

    Svolti in classe gli esercizi 6 -9 del foglio n.1 e gli esercizi 3-4 del foglio n.2.


    LEZIONE 9 -- mercoledì 9 ottobre 2019 (AA)

    Principali proprietà dei compatti:

    • Proposizione 4.41 Un chiuso in un compatto è compatto.
    • Proposizione 4.48 Un compatto in un Hausdorff è chiuso.
    • Corollario 4.42 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.43 Una funzione continua \(f : K \to \mathbf{R}\) con \(K\) compatto ammette massimo e minimo
    • Teorema 4.49 (2) Il prodotto di 2 spazi compatti è compatto.
    • Corollario 4.50 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}^n\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.52 Sia \(f: X \to Y\) continua, con \(X\) compatto e \(Y\) Haursdorff. Allora \(f\) è chiusa.
    • Corollario 4.49. (1) Se \(X\) è compatto, la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa.

    COMMENTI:

    • Il Teorema 4.49 (2) vale anche nel caso del prodotto di infiniti spazi compatti. La dimostrazione è molto più complicata di quella del caso finito. Questo enunciato: "Il prodotto di un arbitrario numero di compatti è compatto" si chiama Teorema di Tychonoff.
    • Vale anche il viceversa del Corollario 4.49 (1) e cioè Teorema (Kuratowski-Mrówka) Sia \(X\) uno spazio topologico. Allora \(X\) è compatto se e solo se per ogni spazio topologico \(Y\) la proiezione \(p: X \times Y \to Y\) è chiusa. (non abbiamo visto la dimostrazione di questo teorema, ma solo dell'implicazione di 4.49 (1)).

    NOTA BENE: le dimostrazioni fatte a lezione della proposizione 4.48 e del teorema 4.49 sono diverse da quelle sul libro di Manetti (non usano il teorema di Wallace). Le dimostrazioni fatte a lezione si possono trovare sul libro di Kosniowski.


    LEZIONE 10 -- giovedì 10 ottobre 2019 (AA)

    GRUPPI TOPOLOGICI: definizione ed esempi semplici \((\mathbf{R}^n, +)\), \((\mathbf{C}^n, +)\), \((\mathbf{R}^*, \cdot)\)

    Gruppi di matrici:

    • Gruppi di matrici reali: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\)
    • Gruppi di matrici complessi: \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\)

    Proprietà dei gruppi topologici: le mappe \(L_a\) e \(R_a\) di moltiplicazione a sinistra e a destra sono omeomorfismi, un gruppo topologico è di Hausdorff se e solo se è T1.

    Osservazione: il gruppo \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) non è connesso.


    Alcune proprietà:

    • Lemma 4.18 sulla connessione
    • Proposizione 4.58 il gruppo \(GL^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso
    • il gruppo ortogonale \(O(n, \mathbf{R})\) è compatto, il gruppo unitario \(\text{U}(n)\) è compatto (chiusi e limitati)
    • Proposizione 4.61 i gruppi \(\text{SO}(n)\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\) sono connessi

  • 14 October - 20 October

    LEZIONE 11 -- lunedì 14 ottobre 2019 (AA)

    Topologia quoziente su \(Y\) indotta da una funzione \(f : X \to Y\), dove \(X\) è uno spazio topologico.

    Definizione di identificazione (5.1)

    Lemma 5.4. \(f : X \to Y\) continua, suriettiva e chiusa (oppure aperta). Allora \(f\) è una identificazione chiusa (aperta).

    Esempio: \(f : [0, 1] \to S^1 \) data da \(f(t) = (\cos 2 \pi t, \sin 2\pi t)\) è una identificazione chiusa, ma non aperta, che identifica gli estremi dell'intervallo

    Lemma 5.6. Proprietà universale delle identificazioni.

    Proprietà importante:Sia \(f : X \to Y \) continua e suriettiva fra spazi topologici e sia \(x \sim y \iff f(x) = f(y)\) la relazione di equivalenza indotta da \(f\). Allora \(f\) è identificazione se e solo se la mappa indotta \(\bar f : X/\sim \to Y\) è un omeomorfismo

    Altri esempi di quozienti:

    • Contrazione di un sottoinsieme ad un punto: per \(A \subseteq X\), il quoziente \(X/A\);
    • \( S^{n-1} \times [0,1] / S^{n-1} \times \{0\} \cong D^n \): il cono su \(S^{n-1}\) è il disco \(D^n\);
    • \( D^n / \partial D^n \cong S^n \): il disco \(D^n\) modulo il suo bordo è la sfera \(S^n\).

    I quozienti di spazi di Hausdorff non sono sempre di Hausdorff: per esempio, \(X / A\) dove \(A\) non è chiuso in \(X\) (non è nemmeno \(\mathbf{T1}\)).


    ESERCITAZIONE 3 -- martedì 15 ottobre 2019 (EM)

    Svolti gli esercizi 2 - 5 - 6 - 7 del foglio n.3.


    LEZIONE 12 -- mercoledì 16 ottobre 2019 (AA)

    Teorema 5.14. \(X\) compatto e di Hausdorff, \(f : X \to Y \) identificazione (cioè \(Y\) ha la topologia quoziente). Sono equivalenti:

    1. \(Y\) è di Hausdorff
    2. \(f\) è una identificazione chiusa
    3. \( K = \{ (x_1, x_2) \in X \times X \mid f(x_1) = f(x_2) \} \) è chiuso in \( X \times X \)

    Dimostrazione delle implicazioni \(1 \implies 3\) e \(3 \implies 2\). Cenni sulla dimostrazione di \(2 \implies 1\).

    Esempi di quozienti non di Hausdorff:

    • \( X = \mathbf{R} / \mathbf{Q} \): contrazione di \(\mathbf{Q}\) ad un punto. Lo spazio \(X\) non è compatto, ma tutte le funzioni continue \(f : X \to \mathbf{R}\) hanno massimo (in effetti, sono costanti).
    • \( X = \mathbf{R} \times \{0, 1\} / \sim\), dove \( (x, t) \sim (y, s) \iff x = y \text{ e } t = s\) oppure \( x = y \ne 0\): la “retta con due origini”. Ponendo \(K_0 = \pi([-1, 1] \times \{0\}) \) e \(K_1 = \pi([-1, 1] \times \{1\}) \) si ha che \(K_0\) e \(K_1\) sono compatti (immagini di un compatto) ma l'intersezione \(K_0 \cap K_2 = [-1, 0) \cup (0, 1]\) non è compatta.

    Azione di un gruppo su un insieme: definizione, relazione di equivalenza indotta, classi di equivalenza (orbite), spazio quoziente \(X / G\) = spazio delle orbite.

    Esempi di azioni:

    • \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) che opera su \(\mathbf{R}^n\) per moltiplicazione (ci sono due orbite)
    • \(\mathbf{Z}\) che opera su \(\mathbf{R}\) per traslazione: il quoziente \(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\)

    LEZIONE 13 -- giovedì 17 ottobre 2019 (CC), 14:30 - 16:30

    Azioni di gruppo: stabilizzatori; l'orbita di x e' in corrispondenza biunivoca con i laterali sinistri dello stabilizzatore di x; elementi nella stessa orbita hanno stabilizzatori coniugati.

    Azione di un gruppo G per omeomorfismi su uno spazio topologico X. La proiezione al quoziente e' aperta, e anche chiusa se il gruppo e' finito. Se X e' di Hausdorff e G e' finito, X/G e' di Hausdorff. Esempi: R/Z e' omeomorfo alla circonferenza. Spazi proiettivi reali; gli spazi proiettivi reali sono compatti e di Hausdorff. 

    Proprieta' di numerabilita': spazi topologici a base numerabile; primo assioma di numerabilita'. Il secondo assioma di numerabilita' implica il primo. Rn con la topologia euclidea e' a base numerabile. Uno spazio metrico e' sempre primo numerabile. Il prodotto di spazi a base numerabile e' a base numerabile. I sottospazi di uno spazio a base numerabile sono a base numerabile.

  • 21 October - 27 October

    LEZIONE 14 - lunedì 21/10/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Se X e' a base numerabile, ogni ricoprimento aperto di X ammette un sottoricoprimento numerabile.
    Spazi topologici separabili. Se X e' a base numerabile, allora X e' separabile. Uno spazio metrico e' a base numerabile sse e' separabile. La retta di Sorgenfrey e' separabile, e' primo numerabile, ma non e' a base numerabile.
    Successioni in uno spazio topologico. Convergenza di una successione. Se X e' di Hausdorff, una successione convergente ha un unico limite. Esempio: se X ha la topologia banale, ogni successione converge ad ogni punto. Punti di accumulazione di successioni. Abbiamo le implicazioni: an converge a p -> an ha una sottosuccessione convergente a p -> p e' di accumulazione per an -> p e' nella chiusura di an. Se X e' primo numerabile, an ha una sottosuccessione convergente a p sse p e' di accumulazione per an. Caratterizzazione della chiusura in termini di successioni: se X e' primo numerabile, p e' nella chiusura di A sse esiste una successione in A convergente a p, sse p e' di accumulazione per una successione in A. 
    Proposizione 4.46: una catena numerabile di compatti, chiusi, non vuoti, inclusi, ha intersezione non vuota.


    ESERCITAZIONE 4 -- martedì 22 ottobre 2019 (EM)

    Svolti gli esercizi 1 - 2 - 3 - 5 del foglio n.4.

    LEZIONE 15 - mercoledì 23/10/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Se X e' compatto, ogni successione in X ha punti di accumulazione. Spazi compatti per successioni. Se X e' primo numerabile, X e' compatto per successioni sse ogni successione in X ha punti di accumulazione, e compatto implica compatto per successioni. Se X e' a base numerabile, compattezza e compattezza per successioni sono equivalenti. Se X e' uno spazio metrico, compattezza e compattezza per successioni sono equivalenti (senza dimostrazione).

    Successioni di Cauchy in spazi metrici. Una successione convergente e' di Cauchy; una successione di Cauchy e' convergente sse ha punti di accumulazione, sse ha una sottosuccessione convergente. Spazi metrici completi. Se X e' compatto, allora X e' completo. Rn con la metrica euclidea e' un esempio di spazio metrico completo non compatto. Se X e' completo, un sottoinsieme di X e' chiuso sse e' completo rispetto alla metrica indotta. La completezza non e' una proprieta' topologica.
    Disuguaglianza quadrangolare.
    Completamento di uno spazio metrico: definizione astratta. Costruzione di un completamento Z di X come insieme delle classi di equivalenza dell'insieme delle successioni di Cauchy in X rispetto ad un'opportuna relazione di equivalenza. Costruzione della metrica su Z e dell'isometria f:X->Z. L'applicazione f e' suriettiva sse X e' completo. L'immagine di f e' densa in Z. Z e' completo (solo enunciato). Il completamento e' unico a meno di isometrie (solo enunciato). 

    Omotopia e gruppo fondamentale

    (su questa parte seguiremo piu' il Kosniowski del Manetti)

    LEZIONE 16 - giovedì 24/10/2019 (CC), 14:30 - 16:30

    Componenti connesse e componenti c.p.a come classi di equivalenza rispetto ad opportune relazioni di equivalenza. Cammino inverso di un cammino.

    Il lemma di incollamento.

    Omotopia tra funzioni continue. Esempio: se Y e' un sottoinsieme convesso di Rn, tutte le funzioni continue X->Y sono omotope (e varianti). L'omotopia e' una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue da X a Y. Composizioni di applicazioni omotope sono omotope. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi topologici omeomorfi hanno lo stesso tipo di omotopia. Rn ha lo stesso tipo di omotopia del punto. Essere omotopicamente equivalenti e' una relazione di equivalenza sull'insieme degli spazi topologici (dim. per esercizio). Spazi topologici contraibili. Un sottoinsieme stellato di Rn e' contraibile. L'equivalenza omotopica preserva la connessione e la connessione per archi. Uno spazio topologico contraibile e' c.p.a.

  • 28 October - 3 November

    LEZIONE 17 - lunedì 28/10/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Retrazioni e retratti. Esempi di retratti e non. La sfera Sn e' retratto di Rn+1 meno l'origine. Retratto di deformazione, esempi. Un retratto di deformazione ha lo stesso tipo di omotopia dello spazio ambiente. La sfera Sn ha lo stesso tipo di omotopia di Rn+1 meno un punto. Il piano meno due punti ammette la "figura a 8" come retratto di deformazione. Bouquet di n circonferenze. R3 meno una retta ha lo stesso tipo di omotopia di S1.

    Omotopia tra cammini, o a estremi fissi. Il prodotto di cammini rispetta l'omotopia di cammini (Lemma 14.2 Kosniowski). Riparametrizzando un cammino si ottiene un cammino omotopo (Lemma 11.3 Manetti). Proprieta' di prodotto di cammini e omotopia: Proposizioni 11.4 e 11.6 del Manetti (=Lemmi 14.3, 14.4 e 14.5 del Kosniowski). Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico con un punto base.

    ESERCITAZIONE 5 - martedì 29 ottobre (EM): 

    Svolti in aula gli esercizi 1 (proiezione stereografica) - 5 e 6 del foglio n.5 e esercizio 6 del foglio n.4.

    LEZIONE 18 - mercoledì 30/10/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Dipendenza del gruppo fondamentale dal punto base: se C e' la componente c.p.a. di X contenente a, allora il gruppo fondamentale di X con punto base a e' uguale al gruppo fondamentale di C con punto base a. Se a e b sono nella stessa componente c.p.a., i gruppi fondamentali di X con punti base a e b sono isomorfi.

    Cenni su categorie e funtori: definizione di categoria. Esempi: le categorie degli insiemi, dei gruppi, degli spazi vettoriali su un campo k, degli spazi topologici, degli spazi topologici puntati, degli spazi topologici con classi di omotopia di mappe continue. Definizione di funtore covariante e controvariante. Un funtore porta oggetti isomorfi in oggetti isomorfi. Esempi: il funtore dimenticante dalla categoria dei gruppi a quella degli insiemi; il funtore che a ogni spazio vettoriale associa il suo duale.

    Omomorfismo sui gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua tra spazi topologici. Funtorialita': il gruppo fondamentale definisce un funtore dalla categoria degli spazi topologici puntati a qualla dei gruppi. Il gruppo fondamentale e' invariante per omeomorfismo. Se A e' un retratto di X e a un punto di A, si ha un'iniezione del gruppo fondamentale di A con punto base a al gruppo fondamentale di X con lo stesso punto base, e viceversa una suriezione data dalla retrazione.


    LEZIONE 19 - giovedì 31/10/2019 (CC), 14:30 - 16:30

    Date due applicazioni omotope tra X e Y, gli omomorfismi indotti tra i gruppi fondamentali differiscono per un isomorfismo del codominio (K Teorema 15.12). Invarianza omotopica del gruppo fondamentale: se f:X->Y e' un'equivalenza omotopica, f induce isomorfismo tra i gruppi fondamentali (M Teorema 11.22). Se A e' un retratto di deformazione di X, l'inclusione induce isomorfismo tra i gruppi fondamentali. Spazi topologici semplicemente connessi. Se X e' contraibile, allora e' semplicemente connesso. Il viceversa non e' vero, ad esempio le sfere di dimensione almeno 2 sono spazi semplicemente connessi ma non contraibili (no dim.). Un cappio non suriettivo sulla sfera e' sempre omotopo al cappio costante.

    Distanza di un punto da un insieme C in uno spazio metrico X. La distanza da C e' una funzione continua su X e si annulla sulla chiusura di C.
    Lemma del numero di Lebesgue in uno spazio metrico compatto (K Teorema 23.4). Applicazione: dato uno spazio topologico X, un ricoprimento aperto di X, e un cammino a in X, esiste una partizione finita di I tale che l'immagine tramite a di ogni intervallo della partizione sia contenuta in un aperto del ricoprimento.

    Teorema di van Kampen sui generatori.


  • 4 November - 10 November

    LEZIONE 20 - lunedì 4/11/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Applicazione del teorema di van Kampen sui generatori per dimostrare che uno spazio topologico e' semplicemente connesso. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse.

    (Da K. cap. 16) Mappa esponenziale dalla retta reale nella circonferenza. Aperti uniformemente rivestiti. Sollevamenti, esempi. Esistenza e unicita' del sollevamento con punto iniziale fissato di un cammino sulla circonferenza. Grado di un cammino chiuso sulla circonferenza. Esistenza di sollevamenti di mappe continue da IxI nella circonferenza (solo enunciato). Lemma di monodromia: cammini chiusi omotopi nella circonferenza hanno lo stesso grado.

    ESERCITAZIONE 6 - martedì 5/11 (CC), 8:30 - 10:30: 

    Svolti in aula gli esercizi 2-7 del foglio n.6.

    LEZIONE 21 - mercoledì 6/11/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Il grado del prodotto di due cammini chiusi nella circonferenza e' la somma dei gradi dei due cammini. Isomorfismo tra il gruppo fondamentale della circonferenza e Z. Esempio: omomorfismo indotto sui gruppi fondamentali dall'applicazione da S1 in S1 che manda z in zn.
    Il bordo del disco 2-dimensionale non e' un retratto del disco. Teorema del punto fisso di Brouwer.
    Un aperto di R non puo' essere omeomorfo a un aperto di Rn con n>1. Un aperto di R2 non puo' essere omeomorfo a un aperto di Rn con n>2. Invarianza della dimensione (solo enunciato).

    Gruppo fondamentale del prodotto.
    Il toro, immersione in R3 come toro di rotazione. Il gruppo fondamentale del toro.
    Il gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze (descrizione senza dimostrazione).
    Il piano proiettivo reale, descrizione come quoziente del disco. Il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale (descrizione senza dimostrazione).


    Fine del programma di OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MATFIN

    Giovedì 7/11 non ci sara' lezione di geometria 2.

  • 11 November - 17 November

    CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE

    Per questa parte faremo riferimento alle note dei Prof. Occhetta e Hitchin, scaricabili liberamente dalle pagine web dei due docenti, vedere i link all'inizio della pagina moodle.

    LEZIONE 22 - lunedì 11/11/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Spazi topologici localmente euclidei, varieta' topologiche. Esempi: Rn, Sn, gli spazi proiettivi reali, il toro. Se X e' uno spazio topologico compatto, connesso, di Hausdorff e localmente euclideo, allora X e' una varieta' topologica (senza dimostrazione). Ogni varieta' topologica di dimensione 1 e' omeomorfa alla retta o alla circonferenza (senza dimostrazione).

    Superfici topologiche; esempi. Rappresentazione del toro T, della sfera e del piano proiettivo reale P come quozienti del quadrato, e parole associate. Costruzione di superfici compatte come quozienti di poligoni con un numero pari di lati, identificati a 2 a 2. La bottiglia di Klein K. Somma connessa di superfici compatte. Fatti enunciati senza dimostrazione: la somma connessa e' una superficie compatta ed e' ben definita a meno di omeomorfismo; la somma connessa e' commutativa e associativa; la somma connessa di X con una sfera e' omeomorfa a X. Toro con g buchi come somma connessa di g tori. Rappresentazione della somma connessa con i modelli piani: la parola ottenuta e' la giustapposizione delle parole corrispondenti alle due superfici. La bottiglia di Klein e' omeomorfa alla somma connessa di due piani proiettivi reali.

    ESERCITAZIONE 7 - martedì 12 novembre (EM):

    Svolti in aula gli esercizi 1-2-4-5-6 del foglio n.7.

    LEZIONE 23 - mercoledì 13/11/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    La somma connessa del toro e del piano proiettivo e' omeomorfa alla somma connessa della bottiglia di Klein e del piano proiettivo. Enunciato del teorema di classificazione delle superfici compatte.
    Triangoli geometrici e triangolazioni. Teorema di Rado': ogni superficie compatta ammette una triangolazione (solo enunciato). Corollario: ogni superficie compatta ammette un modello piano.
    Coppie del primo e del secondo tipo nel modello piano. Dimostrazione che ogni superficie compatta e' omeomorfa ad una somma connessa di tori o di piani proiettivi, tramite l'algoritmo del taglia & incolla. L'algoritmo produce una somma connessa di piani proiettivi sse nel modello piano iniziale e' presente una coppia di lati del II tipo. 

    LEZIONE 24 - giovedì 14/11/2019 (CC), 14:30 - 16:30

    Superfici orientabili: una superficie topologica si dice orientabile se non contiene un sottospazio omeomorfo al nastro di Moebius. Esempi: il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale, la bottiglia di Klein non sono orientabili. Le somme connesse di piani proiettivi non sono orientabili. Se una superficie compatta S è omeomorfa a un sottospazio di R3, allora S è orientabile (solo enunciato). Applicazione: la sfera, il toro e le somme connesse di tori sono orientabili. Corollario: le superfici Pn non sono omeomorfe alla sfera, né alle superfici Tg. Una superficie S data da un modello piano è orientabile sse il modello piano non contiene una coppia di lati del II tipo.

    Suddivisione di una superficie compatta, esempi. Caratteristica di Eulero di una suddivisione. Due suddivisioni della stessa superficie compatta hanno la stessa caratteristica di Eulero (solo enunciato); caratteristica di Eulero di una superficie compatta. Esempi: caratteristica della sfera, del piano proiettivo reale, del toro, della bottiglia di Klein. Caratteristica della somma connessa di due superfici. Caratteristica delle superfici Pn e Tg. Applicazione: le superfici S2, Pn e Tg sono tutte non omeomorfe tra loro.
    Suddivisione di una superficie compatta indotta da un modello piano, calcolo della caratteristica di Eulero dal modello piano.

    Esempio di applicazione dell'algoritmo del taglia & incolla sulla superficie dell'es. 3 dello scritto di luglio 2018.

  • 18 November - 24 November

    LA FORMA CANONICA DI JORDAN

    Per questa parte faremo riferimento alle note del Prof. Albano, disponibili all'inizio della pagina.

    LEZIONE 25 - lunedì 18/11/2019 (EM), 12:30 - 14:30

    Ripasso di autovalori, autovettori, autospazi e diagonalizzazione di una matrice. Diagonalizzazione simultanea di matrici. Se due matrici quadrate A e B commutano, allora per ogni autospazio W di B si ha che AW e' contenuto in W. Se A e B sono entrambe diagonalizzabili, allora sono simultaneamente diagonalizzabili sse commutano. Esempio di matrici simultaneamente diagonalizzabili e metodo per trovare una base che le diagonalizza entrambre. 

    Polinomi valutati su una matrice, ideale dei polinomi che si annullano su una matrice, polinomio minimo. Teorema di Cayley-Hamilton: il polinomio caratteristico si annulla sulla matrice. 

    ESERCITAZIONE 8 - martedì 19 novembre (EM):

    Ripasso di omeomorfismi, omotopie, esempi di spazi omeomorfi (o no) e di spazi omotopicamente equivalenti (o no), gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze. 

    Svolti in classe gli esercizi 2-3 del foglio n. 7.

    LEZIONE 26 - mercoledì 20/11/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Ogni polinomio nell'ideale di A si annulla su tutti gli autovalori di A. Gli zeri del polinomio minimo sono tutti e soli gli autovalori.
    Blocco di Jordan. Analisi della base relativa a un blocco di Jordan J nilpotente e analisi delle potenze di J. Matrici in forma di Jordan. Forma canonica di Jordan: ogni matrice quadrata complessa e' simile a una matrice in forma di Jordan, unica a meno dell'ordine dei blocchi. Dimostrazione dell'unicita'. Dimostrazione dell'esistenza: prima parte.
     

    Giovedi' 21/11 non ci sara' lezione di Geometria 2.

  • 25 November - 1 December

    LEZIONE 27 - lunedì 25/11/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Forma canonica di Jordan: seconda parte della dimostrazione dell'esistenza. Matrici simili hanno lo stesso ideale e quindi lo stesso polinomio minimo. Se a e' un autovalore di A, l'esponente di t-a nel polinomio minimo di A e' uguale alla dimensione del piu' grande blocco di Jordan relativo ad a. Una matrice complessa e' diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte radici di molteplicita' 1. Esempio di matrici aventi uguale polinomio caratteristico, polinomio minimo, e dimensione degli autospazi, ma diversa forma di Jordan. 

    Esponenziale complesso definito tramite la serie; la serie converge assolutamente. L'esponziale di z+w e' il prodotto degli esponenziali di z e w. L'esponenziale di iy, con y reale, e' cos(y)+isin(y). L'esponenziale di z ha modulo exp(Re(z)) e argomento Im(z). L'esponenziale di z e' sempre non nullo.

    ESERCITAZIONE 9 - martedì 19 novembre (EM):
    Svolti in classe gli esercizi 1, 2, 3, 4, 6 del foglio n. 9. 

    LEZIONE 28 - mercoledì 27/11/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Norma infinito di una matrice, norma infinito di un prodotto di matrici. Convergenza della serie esponenziale per una matrice quadrata complessa A, esponenziale di A. Esempio di matrici A e B per cui exp(A+B) e' diverso da exp(A)exp(B). Se A e B commutano, si ha exp(A+B)=exp(A)exp(B). Se A e' simile a B, allora exp(A) e' simile a exp(B) tramite la stessa matrice. Il determinante di exp(A) e' exp(tr(A)), in particolare exp(A) e' sempre una matrice invertibile. Calcolo di exp(A) tramite la forma di Jordan; esempio.
    Esercizio n.4 dallo scritto di febbraio 2018.

    Se due matrici reali sono simili su C, allora sono simili anche su R. Se una matrice quadrata reale A ha tutti gli autovalori reali, allora A ammette una forma di Jordan su R.

    Funzioni localmente costanti da uno spazio topologico in un insieme. Una funzione localmente costante e' costante su ogni componente connessa del dominio.

    Esercizio n.4 dallo scritto di luglio 2018, punti (a) e (c).

    Avvisi:

    Giovedi' 28/11 non ci sara' lezione di Geometria 2.
    Attenzione: il tutorato di mercoledì 27/11 è stato spostato a giovedì 28/11, h 14:30-16:30, aula 2.
    Mercoledì 27/11: ultima lezione di Geometria 2 per gli studenti dell'indirizzo modellistico (l'ultimo foglio di tutorato per gli studenti del modellistico è il 9)

    FINE CORSO GEOMETRIA 2 MODELLISTICO

  • 2 December - 8 December

    GEOMETRIA PROIETTIVA

    LEZIONE 29 - lunedì 2/12/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale V, come insieme quoziente e come insieme delle rette vettoriali in V. Dimensione. Sottospazi proiettivi, codimensione.
    Coordinate omogenee e riferimento proiettivo indotto da una base di V, esempi. Due basi multiple definiscono lo stesso riferimento proiettivo. Punti fondamentali e punto unità.
    Equazioni cartesiane per i sottospazi proiettivi.
    L'intersezione di due sottospazi proiettivi è un sottospazio proiettivo.
    Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Somma di due sottospazi proiettivi come sottospazio generato dall'unione. Formula di Grassmann proiettiva. Applicazione: se la somma delle dimensioni di due sottospazi è almeno la dimensione di P(V), i due sottospazi sono incidenti. Due rette nel piano proiettivo si intersecano sempre.
    Punti linearmente indipendenti; m punti sono indipendenti sse generano un sottospazio di dimensione m-1. Due punti sono indipendenti sse sono distinti; in tal caso generano una retta. Tre punti sono indipendenti sse sono distinti e non allineati. Esercizio 2.1 FFP. 

    LEZIONE 30 - martedì 3/12/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Visualizzazione delle rette proiettive nel modello piano del piano proiettivo reale.
    Punti in posizione generale. Esempi: il caso della retta e del piano proiettivo. Un insieme di m>n punti sono in posizione generale se ogni scelta di n+1 punti non sono contenuti in un iperpiano.
    Rappresentazione parametrica di un sottospazio proiettivo.
    Riferimenti proiettivi diversi possono avere gli stessi punti fondamentali. Dati n+2 punti in posizione generale, esiste una base di V tale che i primi n+1 punti siano le immagini dei vettori della base, e l'ultimo sia l'immagine della loro somma; tale base e' unica a meno di costante moltiplicativa. Dati n+2 punti in posizione generale, esiste ed e' unico un riferimento proiettivo in cui i primi n+1 punti sono i punti fondamentali, e l'ultimo e' il punto unita'.
    Applicazione tra spazi proiettivi indotta da un'applicazione lineare iniettiva tra spazi vettoriali. Trasformazioni proiettive e proiettivita'. Due applicazioni lineari invertibili inducono la stessa trasformazione proiettiva sse sono proporzionali. Uno spazio proiettivo di dimensione n e' isomorfo a Pn(k). Le proiettivita' di Pn(k) formano un gruppo, PGL(n+1,k), isomorfo al quoziente di GL(n+1,k) per il sottogruppo dato dai multipli della matrice identica. Espressione in coordinate di una proiettivita'.

    LEZIONE 31 - mercoledì 4/12/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Sottoinsiemi proiettivamente equivalenti. Dati n+2 punti in posizione generale in P(V) e in P(W), esiste ed e' unica una trasformazione proiettiva da P(V) a P(W) che porta i punti dati nei punti dati. Una proiettivita' di una retta proiettiva e' determinata dalle immagini di 3 punti distinti. Due sottoinsiemi di k<n+3 punti in posizione generale sono sempre proiettivamente equivalenti. Esempio di due terne di punti non proiettivamente equivalenti nel piano proiettivo. Se una proiettivita' fissa n+2 punti in posizione generale, allora e' l'identita'. Esercizio sul determinare una proiettivita' della retta proiettiva reale assegnate le immagini di tre punti. Cambiamenti di coordinate proiettive.

    Richiami su kn visto come spazio affine. Carta affine dello spazio proiettivo: corrispondenza biunivoca tra U e kn, iperpiano improprio, punti propri e impropri. Caso n=1. Chiusura proiettiva di una retta affine, punto improprio di una retta affine. Corrispondenza tra punti dell'iperpiano improprio e direzioni delle rette affini. Equazione della chiusura proiettiva per una retta nel piano.


    ESERCITAZIONE 10 - giov 5 dic (EM): 

    Svolti in classe gli esercizi 1-2-5-8 della scheda 10. 


    Avvisi:

    La lezione di martedi' 3/12 si terra' nell'orario 10:30-12:30, invece che 8:30-10:30, al posto di Analisi 2.

    Martedì 3/12 ci sarà teoria, mentre giovedì 5/12 ci saranno esercitazioni.

    Il tutorato di mercoledì 4/12 è stato spostato a giovedì 5/12, h 12:30-14:30, aula 2.

  • 9 December - 15 December

    LEZIONE 32 - lunedì 9/12/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Chiusura proiettiva di un sottospazio affine; i punti impropri di un sottospazio affine sono dati dal proiettivizzato del suo sottospazio direttore nell'iperpiano improprio.

    Punti fissi di proiettivita', relazione con autovettori e autospazi. Casi reale e complesso.

    Birapporto di quattro punti sulla retta proiettiva. Calcolo del birapporto in coordinate arbitrarie. Due quaterne ordinate di punti sulla retta proiettiva sono proiettivamente equivalenti sse hanno lo stesso birapporto. Le classi di equivalenza proiettiva delle quaterne ordinate di punti sulla retta proiettiva sono in corrispondenza biunivoca con k\{0,1}. Birapporto di quattro punti allineati nello spazio proiettivo.

    ESERCITAZIONE 11 - martedì 10 dic (EM):

    Svolti in classe l'esercizio 6 del foglio n. 10 e gli esercizi 2-3-4-5 del foglio n.11.

    LEZIONE 33 - mercoledì 11/12/2019 (CC), 10:30 - 12:30

    Proiettivita' di P1 come trasformazioni lineari fratte.

    Proprieta' topologiche degli spazi proiettivi complessi: Pn(C) e' una varieta' topologica compatta di dimensione 2n. La retta proiettiva complessa e' omeomorfa alla sfera.

    Rette nel piano proiettivo: corrispondenza biunivoca in coordinate con i punti del piano proiettivo duale. Fasci di rette nel piano proiettivo. Un fascio di rette corrisponde a una retta nel piano proiettivo duale. Punto base di un fascio. Equazione lineare della retta corrispondente al fascio. Un fascio e' l'insieme di tutte le rette passanti per il punto base. Relazione con i fasci di rette affini, nei casi in cui il punto base sia proprio o improprio.
    Interpretazione astratta del piano proiettivo duale come proiettivizzato dello spazio vettoriale duale di K3. Spazio proiettivo duale di P(V) come proiettivizzato dello spazio vettoriale duale di V; i punti dello spazio proiettivo duale sono in biezione con gli iperpiani di P(V). 

    Se F e' un polinomio omogeneo nelle coordinate omogenee di P2, e p e' un punto di P2, la condizione F(p)=0 e' ben posta.

    LEZIONE 34 - giovedì 12/12/2019 (CC), 14:30 - 16:30

    Curve algebriche proiettive piane, date da equazioni F(x)=0 dove F e' un polinomio omogeneo nelle coordinate omogenee, e due polinomi individuano la stessa curva se sono multipli. Supporto e grado di una curva; rette e coniche.
    Coniche e forme quadratiche (caso reale o complesso); matrice simmetrica associata a una conica; rango di una conica; coniche degeneri e non. Trasformazione di una conica tramite una proiettivita'; esempio. La matrice della nuova conica e' congruente alla matrice della conica iniziale. 
    Classificazione delle coniche proiettive complesse tramite il rango; forme canoniche nelle tre classi.
    Caso reale: la segnatura di una conica proiettiva reale e' definita a meno del segno. Classificazione delle coniche proiettive reali tramite la segnatura; forme canoniche delle 5 classi.

    Osservazioni sugli zeri di un polinomio omogeneo in due variabili sulla retta proiettiva.

    Corrispondenza tra coniche nel piano proiettivo e punti di P5 tramite i coefficienti dell'equazione. Il passaggio per un punto impone una condizione lineare. Dati 5 punti nel piano proiettivo, esiste sempre una conica che li contiene.
    Fasci di coniche. Matrice della conica generale del fascio, studio del determinante. O ogni conica del fascio e' degenere, oppure il fascio ha al piu' 3 coniche degeneri; inoltre esiste sempre almeno una conica degenere (casi reale e complesso). Esempi di due fasci nei due casi, uno avente 2 coniche degeneri. Punti base di un fascio. I punti base sono dati dall'intersezione di due coniche qualsiasi (distinte) del fascio, e si possono calcolare prendendo una delle due coniche degenere. Un fascio ha o infiniti punti base, oppure al piu' 4 punti base. Due coniche proiettive non aventi una retta comune si intersecano in al piu' 4 punti. Calcolo dei punti base nei due esempi. Dati 4 punti in posizione generale nel piano proiettivo, l'insieme delle coniche che li contengono e' un fascio, avente per punti base esattamente i 4 punti.

  • 16 December - 22 December

    Questa settimana ci sara' teoria lun 16/12 e mar 17/12, esercitazioni gio 19/12. Mer 18/12 non ci sara' lezione di Geo 2 (al suo posto ci sara' Analisi 2).

    LEZIONE 35 - lunedì 16/12/2019 (CC), 12:30 - 14:30

    Proprieta' del fascio delle coniche per quattro punti in posizione generale, descrizione delle tre coniche degeneri. Dato un fascio di coniche e un punto P del piano che non sia un punto base, esiste ed e' unica la conica del fascio passante per P. Dati 5 punti del piano, tali che comunque scelti 4 punti non siano allineati, esiste ed e' unica la conica C per i 5 punti; C e' non degenere sse i 5 punti sono in posizione generale. Invece dati 5 punti del piano di cui 4 allineati, esistono infinite coniche per i 5 punti.

    Intersezione tra una curva e una retta nel piano proiettivo: molteplicita' di intersezione in un punto ottenuta parametrizzando la retta e sostituendo nell'equazione della curva. Se la retta non e' contenuta nella curva, i punti di intersezione sono al piu' d (grado della curva), piu' precisamente la somma delle molteplicita' di intersezione e' al piu' d. Se siamo sui numeri complessi, e r non e' contenuta in C, C e r si intersecano in d punti contati con molteplicita'. La molteplicita' di intersezione non dipende dalla parametrizzazione scelta per r, ed e' invariante per proiettivita' (no dim.) Esempio: intersezione retta/conica nel piano proiettivo reale e complesso. Se una conica contiene 3 punti allineati, allora e' degenere.

    Curve algebriche piane affini, chiusura proiettiva, punti impropri. Esempio: caso della parabola, della circonferenza e dell'iperbole reali, analisi delle chiusure proiettive e dei punti impropri. Esempio: caso delle coniche degeneri reali date da una coppia di rette reali distinte, incidenti o parallele: analisi delle chiusure proiettive e dei punti impropri. Classificazione affine delle coniche nel piano affine complesso (solo enunciato); descrizione delle 5 classi, con chiusure proiettive e punti impropri.

    LEZIONE 36 - martedì 17/12/2019 (CC), 8:30 - 10:30


    Intersezione tra una retta e una curva nel piano affine, molteplicita' di intersezione in un punto ottenuta parametrizzando la retta e sostituendo nell'equazione della curva. La molteplicita' di intersezione non dipende dalla parametrizzazione scelta per r, ed e' invariante per affinita' (no dim.) La molteplicita' di intersezione tra C e r in P e' uguale alla molteplicita' di intersezione delle chiusure proiettive di C e r in P (no dim.) 
    Una retta e' tangente a una curva in un punto P se la molteplicita' di intersezione e' >1 (sia nel caso affine che proiettivo). Analisi locale nel caso affine: definizione di punto singolare e non per una curva affine. Se P e' singolare, ogni retta per P e' tangente a C in P. Se P e' non singolare, esiste ed e' unica la retta tangente. Esempio.
    Caso proiettivo: relazione di Eulero per i polinomi omogenei. Definizione di punto singolare e non nel caso proiettivo, equazione della retta tangente. Verifica che le nozioni affine e proiettiva coincidono quando consideriamo la chiusura proiettiva di una curva affine.
    Esempi: retta, conica. L'insieme delle coniche proiettive passanti per 3 punti non allineati, con tangente assegnata in uno dei punti,l forma un fascio.


    ESERCITAZIONE 12 - giovedì 19 dic (EM): 

    Svolti in classe tutti gli esercizi della scheda n.12.  

  • 6 January - 12 January

    ESERCITAZIONE - martedì 7 gennaio (EM):

    Il 7 gennaio dalle 9 alle 10.30 in aula A si svolgerà un'esercitazione aggiuntiva di preparazione all'esame. Non verranno svolti esercizi su temi nuovi, ma solo argomenti di ripasso e temi d'esame.


    Giovedi' 9/1, h 10:30-12:30, in aula 3, si svolgera' l'ultimo tutorato, con la discussione del foglio 12 (che non verra' consegnato).