Indice degli argomenti
Introduzione
L'orario delle lezioni è il seguente:
- Lunedì ore 8:30-10:30 in Aula Lagrange
- Mercoledì 10:30-12:30 in Aula 3
- Venerdì 10:30-12:30 in Aula 1
Link all'orario aggiornato delle lezioni
Gli studenti sono invitati a postare qui domande, dubbi, commenti riguardo al contenuto del corso
Modalità d'esame
Per ognuno dei tre moduli, i docenti proporranno 5 problemi.Chi fa l'esame da 9 CFU porta all'esame tutti e tre i moduli;dovrà consegnare la soluzione di 9 problemi, di cui almeno 2 per ciascun modulo.Chi fa l'esame da 6 CFU porta due a scelta dei 3 moduli;dovrà consegnare la soluzione di 6 problemi, di cui almeno 2 per ciascun modulo scelto.I problemi svolti dovranno essere spediti ai docenti via mail almeno una settimana prima dell'esame.L'esame orale consisterà nella discussione della risoluzione dei problemi, e in un colloquio sugli argomenti del corso.Modulo 1 - Campi e Teoria di Galois
Diario delle lezioni
Lezione 1 - Lunedi 25 Settembre 2023
Richiami sui campi. Esempi. Sottocampi e estensioni. Omomorfismi. Caratteristica di un campo e sottocampo primo. Elementi e estensioni algebriche e trascendenti. Esempi. Generatori di un'estensione. Estensioni semplici. Struttura delle estensioni semplici trascendenti e algebriche.Lezione 2 - 26 Settembre 2023
Estensioni come spazi vettoriali. Grado di un'estensione. Estensioni finite.Formula di moltiplicatività dei gradi. Omomorfismi di campi. Estensione di un omomorfismo. K-omomorfismi. Campo fissato. Caratterizzazione dei K-omomorfismi di un'estensione semplice in un campo dato.Lezione 3 - 2 Ottobre 2023
K- omomorfismi e aventi come dominio un'estensione semplice. Esempi. Cenni su problemi di separabilità. Estensioni algebriche finitamente generate. Il sottoinsieme degli elementi algebrici di un'estensione è un campo. Chiusura algebrica di un campo. Teorema di esistenza della chiusura algebrica (senza dimostrazione). Il campo
. Polinomi irriducibili su un campo di numeri hanno radici distinte in .Lezione 4 - 4 Ottobre 2023
Teorema di sollevamento di un omomorfismo a un'estensione finita. Corrispondenza tra campi intermedi di un'estensione E/K e sottoinsiemi dei K-omomorfismi di E in
. Iniettività della corrispondenza. Corollario: i campi intermedi sono in numero finito. Teorema dell'elemento primitivo. Estensioni di Galois. Gruppi di Galois di un'estensione finita. Esempi.Lezione 5 - 6 Ottobre 2023
Campo di spezzamento di un polinomio su un campo. Azione del gruppo di Galois di un polinomio sulll'insieme delle sue radici. Estensioni di Galois e campi di spezzamento coincidono. Enunciato della corrispondenza di Galois.Lezione 6 - 9 Ottobre 2023
Dimostrazione della corrispondenza di Galois (per campi di numeri). Esempio: corrispondenza tra campi intermedi e sottogruppi di S3 per il polinomio X3-2 su Q. Estensioni ciclotomiche: polinomio minimo di una radice primitiva n-esima dell'unità.Lezione 7 - 11 Ottobre 2023
Irriducibilità del polinomio ciclotomico. Gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica. Il teorema di Kronecker-Weber (enunciato). Esempio: determinazione di estensioni abeliane di Q di ordine fissato.
Composto di due (o più) campi.Lezione 8 - 13 Ottobre 2023
Lq chiusura di Galois di un'estensione. Gruppo di Galois del composto di due campi.
Estensioni radicali. Un'estensione di grado n è ciclica se e solo se è radicale quando il campo base contiene le radici n-esime dell'unità. La risolvente di Lagrange.Lezione 9 - 16 Ottobre 2023
Traccia, norma, polinomio caratteristico di un elemento relativamente a un'estensione finita. Loro proprietà. Discriminante. Il discriminante di una base non è nullo. Indipendenza lineare dei K-omomorfismi di un'estensione.
Formule risolutive per equazioni polinomiali di grado 2,3,4. Equazioni risolubili per radicali e gruppi risolubili. Il teorema di Abel-Ruffini (enunciato).Lezione 10 - 18 Ottobre 2023
Dimostrazione del Teorema di Abel-RuffiniLezione 11 - 20 Ottobre 2023
Applicazioni del teorema di Abel-Ruffini: risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali di grado minore o uguale a 4. Gruppi semplici. Complementi sulle permutazioni: classi di coniugio, semplicità di An per n≥5. Teorema: per ogni primo p esiste un polinomio di grado p con gruppo di Galois Sp. Non risolubilità per radicali di una generica equazione polinomiale di grado ≥5.Lezione del 23 Ottobre 2023
La teoria generale. Esistenza e unicità del campo di spezzamento di un polinomio su un campo arbitrario. Esistenza e unicità della chiusura algebrica. Polinomi, elementi e estensioni separabili.
Campi perfetti. Sono perfetti i campi di caratteristica 0 o quelli di caratteristica finita in cui Frobenius è un automorfismo. Estensioni normali e estensioni di Galois. Corrispondenza di Galois per estensioni finite. Il gruppo di Galois di un'estensione finita di campi finiti è ciclico generato da Frobenius.
Modulo 2 - 3, Anelli e Moduli - Gruppi
Testi consigliati
1. L.H.Rowen, Ring Theory, Academic Press INC, 1991
2. N.Jacobson, Basic Algebra, vol. I/II, Freeman and Company, 1985/1989
3. S.Lang, Algebra, GTM 211, Springer, 2002