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  • Programma e altre informazioni

    Le modalità di svolgimento dell'esame sono descritte nell'apposita voce nella pagina campusnet dell'insegnamento. Per quanto riguarda la prova scritta, questa avrà una durata di due ore e mezza, e consisterà nello svolgimento di al più tre quesiti a scelta su quattro proposti (vedi esempio di prova scritta).

    Il programma dettagliato verrà pubblicato alla fine del corso. 

  • Programma della prima parte (prof. Caldiroli - 40 ore)

    • Spazi Lp (prima parte). Definizioni. Struttura lineare degli spazi Lp per 0<p≤∞. Disuguaglianze di Hölder e Minkowski. Completezza degli spazi Lp. Gli spazi ℓp. Relazione tra spazi Lp. Disuguaglianza di interpolazione. Convergenza Lp e convergenza puntuale. Densità delle funzioni continue a supporto compatto negli spazi Lp(Rn). Separabilità degli spazi Lp(Rn). [Brezis, cap. 4]
    • Prodotto di convoluzione, regolarizzazione mediante mollificatori, applicazioni. Prodotto di convoluzione. Teorema di Young (integrabilità Lp). Teoremi di regolarità. Mollificatori. Teoremi di approssimazione con ε-regolarizzate. Densità delle funzioni lisce a supporto compatto in Lp(Ω). Lp(Ω) è separabile se e solo se 1≤p<∞. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Teorema di approssimazione di Weierstrass. C([a,b],R) è separabile. [Brezis, cap.4]
    • Compattezza negli spazi normati e negli spazi metrici. Precompattezza in C([a,b],R) e in Lp(R). Negli spazi normati finito-dimensionali i compatti sono tutti e soli i chiusi e limitati. La palla unitaria chiusa di uno spazio normato è compatta se e solo se lo spazio è finito-dimensionale. Totale limitatezza e precompattezza. Teoremi di Ascoli-Arzelà (precompattezza in C[a,b]) e di Kolmogorov-Fréchet-Riesz (precompattezza in Lp(RN)). Teorema di esistenza di Peano sul problema di Cauchy. [Kolmogorov-Fomin, cap. 2, sez. 7, Brezis, cap. 4]
    • Teoremi di Hahn-Banach. Definizione di spazio duale. Teorema di Hahn-Banach. Caratterizzazione della norma di un vettore. Teoremi di separazione. [Brezis, cap. 1]
    • Teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso. Lemma di Baire (in due versioni). Applicazione alle basi di Hamel. Teorema di Banach-Steinhaus (principio di uniforme limitatezza). Caratterizzazione degli insiemi limitati in spazi di Banach. Teorema dell'applicazione aperta. Continuità dell'operatore inverso. Norme confrontabili e norme equivalenti. Teorema del grafico chiuso. [Brezis, cap. 2]
    • Teorema di Riesz. Semicontinuità inferiore. Topologia debole. Il teorema di Riesz sulla compattezza della palla unitaria solo negli spazi normati finito-dimensionali. La topologia della semicontinuità inferiore e caratterizzazione dei compatti. Costruzione della topologia debole in uno spazio di Banach e sue proprietà. Spazi uniformemente convessi. Ruolo dei convessi rispetto alla topologia debole. [Brezis, cap. 3]
    • Topologia debole* e spazi riflessivi. Costruzione e proprietà della topologia debole*. Complementi di topologia generale su successioni generalizzate, spazi prodotto, teorema di Tychonoff. Teorema di Banach-Alaoglou. Teorema di Kakutani e applicazioni. Minimizzazione di funzionali su convessi chiusi di spazi riflessivi. [Brezis, cap. 3; Royden, Real Analysis, cap. 8.7 e cap. 9.3]
    • Spazi Lp (seconda parte). Studio della riflessività degli spazi Lp. Il duale di Lp. [Brezis, cap. 4]
    • Spazi di Hilbert. Definizione ed esempi. Identità del parallelogramma. Proiezione su un convesso (definizione, esistenza, unicità, disequazione caratterizzante, non espansività). Sottospazi ortogonali. Basi hilbertiane (esistenza nel caso di spazi separabili infinito-dimensionali, disuguaglianza di Bessel, serie di Fourier rispetto a una base hilbertiana, identità di Parseval). Ogni spazio di Hilbert separabile infinito-dimensionale è isometricamente isomorfo a ℓ2. Lo spazio L2(S1) e la base di Fourier. [Brezis, cap. 5]

     

    Riferimenti bibliografici:

    • H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (Springer, 2011) oppure la versione in italiano: Analisi funzionale: teoria e applicazioni (Liguori, 1983).
    • A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale (Editori Riuniti).

  • Cronoprogramma della prima parte

    24/09/25 - Presentazione. Definizioni di seminorma e norma. Norme p in RN. Esempi di spazi normati infinito-dim. Metrica indotta da una norma. Definizione ed esempi di spazi di Banach. Esercizio: spazi normati finito-dim con la stessa dimensione sono isomorfi e sono completi.

    25/09/25 - Spazi Lp. Definizione, struttura vettoriale per p>0 (dimostrata). Disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski (dimostrate). Gli spazi Lp sono normati quando 1≤p≤∞ (dimostrato). RN con la norma p e spazi di successioni ℓp.

    26/09/25 - Limite della norma per p→∞ (esercizio svolto). Relazioni tra spazi Lp. Disuguaglianza di interpolazione (enunciata). Relazione tra convergenza semplice e convergenza Lp. Teorema di Fischer-Riesz sulla completezza degli spazi Lp (dimostrato per p<∞). 

    01/10/25 - Lo spazio delle funzioni semplici è denso in Lp (dimostrato). Lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è denso in Lp(RN) per 1≤p<∞ e non per p=∞ (con dimostrazioni). Lp(RN) è separabile per 1≤p<∞ (dimostrato) e non per p=∞ (enunciato). Prodotto di convoluzione. Disuguaglianza di Young per f∗g con f in L1 e g in Lp (solo enunciato).

    02/10/25 - Lo spazio L1loc(RN). Buona definizione e continuità di f∗g con f in Cc(RN) e g in L1loc(RN) (dimostrato). Regolarità Ck di f∗g con f in Ckc(RN) e g in L1loc(RN) (dimostrato per k=1, cenni per k>1). Mollificatori: definizione ed esempio di Friedrichs. 

    03/10/25 - Regolarizzazione per convoluzione. Convergenza delle ε-regolarizzate di f nella norma lagrangiana, con f in Cc(RN) (dimostrato). Convergenza delle ε-regolarizzate di f in Lp, con f in Lp(RN) (1≤p<∞) (dimostrato). Densità delle funzioni lisce in Lp(Ω) (1≤p<∞) (non dimostrato). Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni (dimostrato). Densità dei polinomi in C[a,b] (sketch). Lo spazio C[a,b] è separabile (sketch).

    08/10/25 - Negli spazi normati finito-dimensionali un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato (dimostrato). Negli spazi normati infinito-dimensionali la palla chiusa non è mai compatta; lemma di ε-ortogonalità di Riesz (dimostrati). Totale limitatezza. Negli spazi metrici un insieme è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato (dimostrato). Un sottoinsieme di uno spazio metrico completo è precompatto se e solo se è totalmente limitato (non dimostrato). 

    09/10/25 - Teorema di Ascoli-Arzelà sugli insiemi precompatti di C[a,b] (dimostrato). Equilipschitzianità implica equicontinuità (dimostrato). Teorema di Kolmogorov-Fréchet-Riesz sugli insiemi precompatti di Lp(RN), 1≤p<∞ (solo enunciato). 

    10/10/25 - Teorema di Peano sul problema di Cauchy (dimostrato). Lo spazio degli operatori lineari e continui tra spazi normati. Norma operatoriale. 

    15/10/25 - Funzionali lineari e continui. Spazio duale. Esempi notevoli. Teorema di Hahn-Banach (dimostrato). 

    16/10/25 - Conclusione della dimostrazione del teorema di Hahn-Banach. Caratterizzazione della norma (dim). Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottospazio di uno spazio normato sia denso (dim). Teorema di separazione debole (dim). 

    17/10/25 - Teorema di separazione forte (dim). Lemma di Baire (dim). Teorema di Banach-Steinhaus (dim). Insiemi debolmente limitati in spazi normati ed equivalenza tra debole limitatezza e limitatezza (dim). Spazi di Banach infinito-dimensionali non possono ammettere basi algebriche numerabili. 

    22/10/25 - Teorema dell'applicazione aperta (dimostrato). L'inverso di un operatore lineare continuo e biiettivo tra spazi di Banach è continuo (dimostrato). Norme confrontabili e norme equivalenti: esempi e teorema (dimostrato). Operatori chiusi: esempio e teorema del grafico chiuso (non dimostrato). La topologia generata da una famiglia di funzioni. 

    23/10/25 - Topologia debole negli spazi normati. Negli spazi infinito-dimensionali per ogni punto di un aperto in senso debole passa una retta contenuta nell'aperto (dimostrato). Proprietà delle successioni debolmente convergenti (con dimostrazioni). Norme uniformemente convesse. In uno spazio uniformemente convesso la convergenza debole e quella delle norme implica la convergenza forte (dimostrato).

    24/10/25 -  Un convesso è w-chiuso se e solo se è s-chiuso (dimostrato). Negli spazi infinito-dim la sfera non è w-chiusa e la sua chiusura debole è la palla chiusa (dimostrato). La chiusura debole e forte di un convesso sono convessi e coincidono (non dimostrato). Lemma di Mazur sulle successioni debolmente convergenti (non dimostrato). Spazi riflessivi: definizione ed esempi, ogni spazio uniformemente convesso è riflessivo (non dimostrato). Caratterizzazione degli spazi riflessivi (teoremi di Kakutani, Eberlein-Smulian, non dimostrati). Net, topologia debole*, teorema di Banach Alaoglou (non dimostrato). La palla di uno spazio riflessivo è debolmente compatta (dimostrato).

    29/10/25 - Teorema di Tychonoff (non dimostrato) e dimostrazione del teorema di Banach-Alaoglou. In uno spazio riflessivo la norma di un funzionale lineare e continuo è realizzata (dimostrato). Teorema di James (non dimostrato). La topologia della semicontinuità inferiore. Teoremi di esistenza del minimo per funzionali convessi (dimostrato).

    30/10/25 - C([0,1]) non è riflessivo (dim). Lp è uniformemente convesso per 2≤p<∞ (dim). Lp è riflessivo per 1<p<2 (dim). L1(R) non è riflessivo (dim). Il duale di Lp per 1<p<∞ (dim).  

    31/10/25 -  Duale di L1 (dimostrazione nel caso di misura finita). Proprietà di L∞. Prodotto interno. Norma indotta, spazi di Hilbert. Gli spazi L2 sono di Hilbert. La norma hilbertiana è uniformemente convessa.

    05/11/25 - Teorema di Fischer-Riesz sul duale di uno spazio di Hilbert (dim). Proiezione su convessi (dim). Teorema di decomposizione ortogonale (dim). Caratterizzazione dei sottospazi densi di spazi di Hilbert (dim). 

    06/11/25 - Sistemi ortogonali, sistemi ortonormali e basi hilbertiane. Esempio di base negli spazi di funzioni periodiche. Ogni spazio di Hilbert ammette una base hilbertiana e due basi dello stesso spazio hanno la stessa cardinalità (non dimostrato). Uno spazio di Hilbert infinito dimensionale è separabile se e solo se ha una base numerabile (non dimostrato). Disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval, rappresentazione in serie di Fourier rispetto ad una fissata base hilbertiana (dimostrate). Applicazione al caso delle funzioni periodiche. Isometria tra uno spazio di Hilbert separabile e lo spazio ℓ2.

  • Seconda parte, Cap. 1. L'operatore aggiunto

    Definizione e proprietà fondamentali dell'aggiunto di un operatore lineare e continuo su uno spazio di Hilbert. Esempi. Definizione di operatore autoaggiunto/unitario/normale. Norma degli operatori autoaggiunti. Caratterizzazione degli operatori autoaggiunti e delle proiezioni ortogonali. Esercizi.

  • Seconda parte, Cap. 2. Operatori compatti su spazi di Hilbert

    Operatori di rango finito e loro rappresentazione. Definizione di operatore compatto (su uno spazio di Hilbert). Esempio: operatori integrali con nucleo  a quadrato integrabile. L'insieme degli operatori compatti è un sottospazio chiuso degli operatori limitati. Caratterizzazioni di compattezza di operatori. Definizione di operatore compatto (su uno spazio di Banach). Esercizi.

  • Seconda parte, Cap. 3. Operatori di Fredholm

    Operatori invertibili e serie di Neumann. Continuità dell'inversione. Definizione di operatore di Fredholm/operatore ad indice. Esempio: operatore derivata. Invertibilità modulo operatori di rango finito e modulo operatori compatti. L'insieme degli operatori di Fredholm è un sottoinsieme aperto degli operatori limitati. L'indice è una funzione localmente costante. Stabilità dell'indice rispetto a perturbazioni compatte. Composizione di operatori di Fredholm. Esercizi. 

  • Seconda parte, Cap. 4. Teoria spettrale

    Lo spettro e l'insieme risolvente degli operatori limitati. Lo spettro degli operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Spettro di operatori di rango finito. Esercizi.

  • Seconda parte, Cap. 5. Operatori di Toeplitz

    Definizione dello spazio di Hardy (per funzioni 2π-periodiche). Operatori di Toeplitz. Proprietà di Fredholm degli operatori di Toeplitz e formula dell'indice. Spettro degli operatori di Toeplitz.

  • Seconda parte, Cap. 6. Distribuzioni

    Il supporto delle funzioni continue. Le funzioni test. Convergenza di successioni di funzioni test. Definizione di distribuzione. La disuguaglianza di controllo. Esempi: distribuzioni regolari, distribuzione delta, valore principale di 1/x. Convergenza di una successione di distribuzioni. Il supporto di una distribuzione. Derivata (parziale) di distribuzioni. Derivata debole di funzioni definite a tratti. Soluzioni fondamentali. Equazioni impulsive. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Soluzione fondamentale del Laplaciano su R2. Esercizi.