Attività settimanale
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GEOMETRIA SUPERIORE
anno accademico 2025/26
Docenti:
Tommaso Pacini (tommaso.pacini@unito.it)
Alberto Albano (alberto.albano@unito.it)
Cinzia Casagrande (cinzia.casagrande@unito.it)
Pagina campusnet del corso qui (9CFU) e qui (6CFU)
Il programma del corso da 6CFU comprende gli argomenti svolti nelle prime due parti (Pacini e Albano)
ORARIO
- LUN 14:30 - 16:30
- MER 12:30 - 14:30
- GIO 16:30 - 18:30
LEZIONI
Per un calendario completo, con le aule, vedere al link https://matematicalm.campusnet.unito.it/do/home.pl/View?doc=Orario_LM.html
RICEVIMENTO DOCENTI
In generale, su appuntamento da concordare a lezione o via email.
REFERENZE: (N.B.: molti dei libri consigliati sono disponibili in formato elettronico tramite i servizi bibliotecari di Ateneo. Consultare la pagina
https://www.bibliosdn.unito.it/it/che-cosa-cerchi/ebook-e-testi-desame
per maggiori informazioni e indicazioni sull'accesso ai libri).
Per la prima parte del corso :
Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale, Springer
Url: https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1920-1
John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer
Raoul Bott, Loring Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer
Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer
ISBN : 9781441973993
Url: https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6Per la seconda e terza parte del corso:
Daniel Huybrechts, Complex Geometry - An Introduction, Springer
Url: https://www.springer.com/gp/book/9783540212904
Rick Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, American Mathematical Society, 1995
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Lunedì 2 marzo, ore 14:30-16:30
Richiami: forme alternanti su uno spazio vettoriale, forme differenziali su una varietà liscia.
Mercoledì 4 marzo, ore 12:30-14:30
Forma volume su una varietà Riemanniana. Definizione coomologia di de Rham. Esempi. Funtorialita'.
Giovedì 5 marzo, ore 16:30-18:30
Mappe omotope inducono stessa mappa in coomologia. Esempi, teorema di Poincaré. Strutture differenziali diverse sulla stessa varietà topologica definiscono coomologie di de Rham isomorfe.
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Lunedì 9 marzo, ore 14:30-16:30
L'integrazione su una sottovarieta' senza bordo di una forma chiusa su M e' operazione ben definita in coomologia, e non distingue sottovarieta' cobordanti. Corollario: dim(H^1) \leq dim(Hom(pi_1, R)). Esempi. Enunciato del teorema di Mayer-Vietoris. Esempi. Corollario: per n\neq m, R^n, R^m non sono omeomorfi.
Mercoledì 11 marzo, ore 12:30-16:30
Forme e coomologia a supporto compatto. Teorema di Poincaré per la coomologia a supporto compatto. Teorema: in grado massimo, l'omomorfismo di integrazione dalla coomologia a suppporto compatto in R e' un isomorfismo. Corollario: se M e' orientata e compatta, H^n(M) e' isomorfa a R. Teorema: se M e' orientata e non compatta, H^n(M)=0 (senza dim).
Giovedì 12 marzo, ore 16:30-18:30
Dimostrazione del lemma zig-zag e del teorema di Mayer-Vietoris. Proposizione: ogni varieta' differenziabile ammette un buon ricoprimento.
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Lunedì 16 marzo, ore 14:30-16:30
Teorema: se M ammette un buon ricoprimento finito, allora la sua coomologia ha dimensione finita.
Teorema: se M e' orientabile e ha un buon ricoprimento finito, allora vale la dualita' di Poincare'.
Mercoledì 18 marzo, ore 12:30-14:30
Fine dimostrazione dualita' di Poincare'. Teorema: se M_1 ha un buon ricoprimento, allora vale la formula di Kunneth per la cohomologia di M_1xM_2.
Giovedì 19 marzo, ore 16:30-18:30
Omologia e coomologia singolare. Teorema di de Rham: la coomologia di de Rham e' isomorfa alla coomologia singolare a coefficienti in R (cenni di dimostrazione).
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Lunedì 23 marzo, ore 14:30-16:30
Struttura di anello su H*(M). Gli invarianti della topologia algebrica non sono sufficienti per caratterizzare il tipo topologico di una varieta'. Esempi. Applicazione star di Hodge su varieta' Riemanniane orientate.
Mercoledì 25 marzo, ore 12:30-14:30
Laplaciano di Hodge. Proprieta'. Teorema di scomposizione di Hodge. Corollario: la coomologia di de Rham e' isomorfa (come spazio vettoriale, ma non come anello) allo spazio di forme armoniche. Applicazione: dimostrazioni alternative che (i) coomologia ha dim finita, (ii) H^k, H^{n-k} hanno stessa dim (su una var compatta Riemanniana orientata).
Giovedì 26 marzo, ore 16:30-18:30
Operatori differenziali ellittici. Esempio: Laplaciano su funzioni e su forme. Teorema: ogni operatore ellittico su var. compatta e' Fredholm (solo enunciato). Cenni a come il teorema si applica alla teoria di Hodge. Orizzonti: teoria di Hodge per varieta' complesse e Kahleriane, e per varieta' Riemanniane con olonomia speciale.
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Lunedì 30 marzo 2026 -- (AA 1)
Prefasci: definizione ed esempi (da Miranda, cap. IX)
L'assioma di fascio. Esempi di prefasci che non sono fasci: il fascio costante, il fascio delle funzioni olomorfe limitate.
Morfismi fra (pre)fasci. Esempi: identità, inclusioni, mappa esponenziale, derivazioni.
Spiga di un fascio: definizione e discussione degli esercizi I, J, K di Miranda, pag. 277.
Esercizi:
- Risolvere in dettaglio gli esercizi I, J, K, riflettendo sul fatto se siano validi per un prefascio oppure solo per un fascio
- Leggere il file qui sotto sui limiti diretti e svolgere gli esercizi dei paragrafi 1, 2, e 3.
Mercoledì 1 aprile 2026 -- (AA 2)
Nucleo, immagine e conucleo di morfismi di prefasci.
Il nucleo di un morfismo fra fasci è un fascio. L'immagine non è sempre un fascio (esempio: la mappa esponenziale)
Mappe indotte sulle spighe. Il nucleo di un morfismo di fasci è nullo se e solo se tutte le mappe indotte sulle spighe sono iniettive.
Fascio associato ad un prefascio: definizione delle sezioni e proprietà di fascio.
Costruzione dell'espace étalé di un (pre)fascio: topologia e omeomorfismo locale.
Esercizio: il fascio delle sezioni continue dell'espace étalé è il fascio associato al (pre)fascio.
Per una presentazione degli argomenti di oggi, guardare Eisenbud-Harris, The Geometry of Schemes, Cap. I.1.3 (pagg. 11-16) e in particolare
- Exercise I-8: espace étalé
- Exercise I-10: il prefascio immagine non è sempre un fascio
- Exercise I-11: il fascio associato ad un prefascio è esattamente l'espace étalé del prefascio
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Mercoledì 8 aprile 2026 -- (AA 3)
Esempi di fascio associato ad un prefascio. La mappa canonica dal prefascio al fascio associato non è in generale iniettiva né suriettiva. Per dettagli, vedi Serre, FAC, paragrafo 3, proposizioni 1, 2 e 3.
Fasci grattacielo (Miranda, pag. 273 e seguenti). Fasci a supporto discreto. Fascio dei divisori su una superficie di Riemann.
Fasci di moduli: definizione. Esempio: il fascio delle sezioni di un fibrato vettoriale.
Morfismi di fasci. Definizione di iniettività e suriettività. Il fascio associato al prefascio immagine. Suriettività e uguaglianza fra fascio immagine e codominio (vedi Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, Capitolo 4, def 4.10 e lemmi 4.11, 4.12)
Giovedì 9 aprile 2026 -- (AA 4)
Morfismi e isomorfismi di fasci: un morfismo è iniettivo e suriettivo se e solo se esiste il morfismo inverso (Miranda, Lemma 2.26 pag. 286).
Successioni esatte di fasci. Alcuni esempi:
- \( 0 \to \mathcal{O}^* \to \mathcal{M}^* \to \mathcal{Div}_X \to 0 \) (fascio dei divisori su una superficie di Riemann)
- \( 0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^* \to 0 \) (successione esponenziale)
- il complesso di deRham
Coomologia di Čech: definizione di cocatene associate ad un ricoprimento aperto, mappa di cobordo, cocicli e cobordi, gruppi di coomologia.
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Lunedì 13 aprile 2026 -- (AA 5)
Raffinamenti di ricoprimenti. La mappa di raffinamento induce una mappa fra le coomologie associate ai due ricoprimenti. La mappa indotta non dipende dalla mappa di raffinamento, ma solo dai ricoprimenti. (Miranda, lemma 3.10). Definizione della coomologia di Čech come limite diretto delle coomologie associate ai ricoprimenti.
Esempi: \(\check H^0(X, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X) \), le mappe di raffinamento per \(\check H^1\) sono tutte iniettive (Miranda, lemma 3.11)
Teorema di Leray (solo enunciato)
Successione esatta lunga in coomologia, costruzione dell’omomorfismo di connessione.
Mercoledì 15 aprile 2026 -- (AA 6)
La successione esatta lunga di coomologia (dimostrazione sotto l'ipotesi di avere ricoprimenti sufficientemente fini in modo da avere una successione esatta di complessi di sezioni).
Calcoli fondamentali:
- I fasci fini, cioè che ammettono una partizione dell'unità, sono aciclici, cioè tutta la coomologia per \( p \ge 1\) si annulla
- per un complesso simpliciale, la coomologia di Čech del fascio costante \(\mathbb{Z}\) è isomorfa alla coomologia simpliciale (e quindi alla coomologia singolare)
Un riferimento per queste lezioni è Griffiths-Harris, Principles of Algebraic Geometry. Trovate qui sotto un file con le pagine che contengono il materiale svolto a lezione.
Giovedì 16 aprile 2026 -- (AA 7)
Risoluzioni, risoluzioni acicliche, teorema di de Rham: la coomologia di de Rham di una varietà differenziabile è isomorfa alla coomologia del fascio delle funzioni reali localmente costanti e quindi alla coomologia simpliciale (e singolare).
I fasci grattacielo sono aciclici (tutti gli \(H^p\) sono nulli per \(p \ge 1\) )
Funzioni di una variabile complessa: operatori differenziali \(\partial/\partial z\) e \(\partial/\partial \bar z\), una funzione è olomorfa se e solo se \(\partial f/\partial \bar z = 0\)
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Lunedì 20 aprile 2026 -- (AA 8)
Elementi di funzioni di una variabile complessa: formula di Cauchy (per funzioni \(\mathscr{C}^\infty\) ), \(\bar \partial\)-lemma in una variabile.
Funzioni olomorfe di più variabili: definizioni equivalenti.
Per le funzioni in più variabili valgono proprietà simili al caso di una variabile (principio del massimo, principio di identità).
Differenze: teorema di Hartogs
Varietà complesse: definizione e alcuni esempi. Lo spazio proiettivo, i tori complessi.
Mercoledì 22 aprile 2026 -- (AA 9)
Spazi tangenti a una varietà complessa, spazio tangente olomorfo. Il differenziale di una funzione olomorfa rispetta lo spazio tangente olomorfo.
La coomologia di Dolbeault: forme di tipo (p, q), operatori \(\partial\) e \(\bar \partial\), forme \(\bar \partial\)-chiuse e \(\bar \partial\)-esatte, \(\bar \partial\)-lemma di Poincaré (senza dimostrazione).
Il problema di Mittag-Leffler: ostruzioni alla soluzione in coomologia di Čech e in coomologia di Dolbeault.
Il teorema di Dolbeault: la coomologia di Dolbeault è isomorfa alla coomologia di Čech del fascio delle forme olomorfe.
Tutti gli argomenti di analisi complessa si trovano (per esempio) su Griffiths-Harris, Principles of Algebraic Geometry, nel Capitolo 0, Foundational Material. In dettaglio:
- 1. Rudiments of Several Complex Variables: Cauchy's Formula and Applications, Several Variables
- 2. Complex Manifolds: Complex Manifolds, De Rham and Dolbeault Cohomology, Calculus on Complex Manifolds
- 3. Sheaves and Cohomology: Origins: The Mittag-Leffler Problem, Sheaves, Cohomology of Sheaves, The de Rham Theorem, The Dolbeault Theorem
Giovedì 23 aprile 2026 -- (AA 10)
Superfici di Riemann
La restante parte del corso tratterà di superfici di Riemann. Il testo base che verrà seguito è il libro di Miranda citato all'inizio della pagina Moodle.
Superfici di Riemann: carte complesse, carte compatibili, esempio di carte complesse sul piano \(\mathbb{R}^2\) non compatibili che danno strutture complesse diverse.
La sfera di Riemann: struttura complessa sulla sfera \(S^2\).
Le superfici di Riemann sono orientabili (come tutte le varietà complesse), genere di una superficie di Riemann connessa e compatta.
Struttura di varietà su un insieme tramite carte locali (la topologia è indotta dalle carte locali). Esempio: la retta proiettiva complessa \(\mathbb{C}\mathbb{P}^1\). La retta proiettiva e la sfera di Riemann hanno la stessa struttura complessa.
Esercizi (dal libro di Miranda):
- Problems I.1 B, D, E, F, G, a pagina 7
- Leggere la descrizione della struttura di un toro complesso (Miranda, pag. 9) e svolgere i Problems I.2 A, B, C, D
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Lunedì 27 aprile 2026 -- (AA 11)
Esempi di superfici di Riemann: grafico di una funzione olomorfa, curve piane affini e proiettive.
Funzioni olomorfe e meromorfe su superfici di Riemann. Ordine di una funzione in un punto.
Teoremi sulle funzioni olomorfe e meromorfe dall'Analisi Complessa: Zeri e poli sono isolati, principio d'identità, principio del massimo (Miranda, pag. 29).
Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann e sulla retta proiettiva sono solo le funzioni razionali.
Esercizi (dal libro di Miranda):
- Problems I.2 G, H, I a pagina 12
- Problems I.3 C, D a pagina 18
- Problems II.1 A, B, F a pagina 30
Mercoledì 29 aprile 2026, 12:30 - 14:30 -- (CC 1)
Mappe olomorfe tra superfici di Riemann e loro proprietà: principio di identità, teorema della mappa aperta; applicazioni. Biolomorfismo tra la sfera di Riemann e la retta proiettiva complessa. Biezione tra funzioni meromorfe su X e mappe olomorfe da X alla sfera di Riemann. Forma normale locale per una mappa tra superfici di Riemann, molteplicità. La mappa F è biolomorfismo locale in p sse ha molteplicità 1 in p, sse è iniettiva nell'intorno di p.
Esercizi:
1) Dimostrare il principio di identità per mappe olomorfe tra superfici di Riemann.
2) Siano X una superficie di Riemann compatta e f una funzione meromorfa non costante su X. Mostrare che f ha almeno uno zero e almeno un polo.
3) Sia X una curva algebrica piana proiettiva complessa, non singolare. Dati due polinomi F,G omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di P^2, con G non identicamente nullo su X, mostrare che F/G definisce una funzione meromorfa su X.
4) Sia C una conica di rango massimo nel piano proiettivo complesso; mostrare che C è biolomorfa alla retta proiettiva complessa.ULTIMA LEZIONE PER IL PROGRAMMA DA 6 CFU
Giovedì 30 aprile 2026 -- (AA 12)
Molteplicità e ordine della derivata (Miranda, Lemma 4.4)
Punti di ramificazione e branch locus
Esempio: punti di ramificazione della proiezione di una curva piana sull'asse x, caso affine e proiettivo.
Ordine di una funzione meromorfa e molteplicità della corrispondete funzione olomorfa a valori nella sfera di Riemann (Miranda, Lemma 4.7)
Il grado di una mappa olomorfa: Miranda, proposizione 4.8 e corollari 4.10 e 4.11
La somma degli ordini di una funzione meromorfa è zero (Miranda, prop. 4.12)
Ripasso: rivestimenti di superfici topologiche, grado di un rivestimento, formula che lega le caratteristiche di Eulero.
Esercizi:
- da Miranda, Problems II.4 (pag. 53) C, D, E, F, G (tranne i riferimenti alla formula di Hurwitz)
- sia \(X\) la curva piana proiettiva di equazione in coordinate omogenee \(y^2 z = x(x -z)(x + z)\) e sia \( F: X \to \mathbb P^1\) la proiezione sull'asse \(x\). Verificare che \(X\) è liscia e trovare i punti di ramificazione e il branch locus (suggerimento: ci sono 4 punti di ramificazione)
- Siano \(X\) e \(Y\) due superfici topologiche connesse, compatte e orientabili e sia \(F : X \to Y\) un rivestimento topologico di grado \(d\) (cioè tutte le fibre hanno cardinalità \(d\)). Dimostrare in dettaglio (o quantomeno convincersi) la relazione fra le caratteristiche di Eulero \(\chi(X) = d\cdot\chi(Y)\)
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4/5/2026, 14:30 - 16:30 (CC 2)
Formula di Hurwitz; applicazioni. Formula del genere per una curva algebrica proiettiva piana non singolare.
Esercizi da Miranda: A p. 38, E, I p. 43, H, K p. 54.
Esercizio: sia F:P^1->P^1 una mappa olomorfa. Mostrare che esistono G,H polinomi omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di P^1 tali che F=(G:H).6/5/2026, 16:30 - 18:30 (CC 3)
Mappe tra tori complessi: ogni mappa tra tori complessi è data dalle composizione di una mappa indotta da un'applicazione lineare in C, con una traslazione. Due tori complessi sono isomorfi sse esiste un numero complesso non nullo che porta un reticolo nell'altro. Tori complessi X_t associati a un numero complesso t nel semipiano superiore. Ogni toro complesso è isomorfo a un X_t. Due tori complessi X_t e X_{t'} sono isomorfi sse t e t' sono nella stessa orbita per l'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore. Descrizione di un dominio fondamentale per quest'azione. Esistono infinite classi di isomorfismo di tori complessi.
Divisori su superfici di Riemann, grado, divisore associato a una funzione meromorfa. Divisori principali, i divisori pricipali formano un sottogruppo. Equivalenza lineare e gruppo di Picard. Se X è compatta, divisori linearmente equivalenti hanno lo stesso grado, e il grado definisce un omomorfismo da Pic(X) in Z. Il gruppo di Picard della sfera di Riemann è isomorfo a Z, tramite il grado.Esercizi.
1) Sia F:X->Y una mappa tra tori complessi indotta da un'applicazione lineare f:C->C tale che f(L)=M. Mostrare che il grado di F è uguale all'indice di f(L) in M.
2) Verificare che si ha un'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore.
Da Miranda es. A p. 137, es. C p. 1457/5/2026, 16:30 - 18:30 (CC 4)
Il grado è isomorfismo sse X è isomorfa alla sfera di Riemann. In generale il nucleo Pic0(X) del grado è un toro complesso di dimensione g(X). Divisori effettivi. Pullback di divisori. Il pullback di un divisore principale è principale, e il pullback induce un omorfismo tra i gruppi di Picard. Divisore di ramificazione di una mappa olomorfa tra superfici di Riemann.
Fasci associati a un divisore, definizione e prime proprietà. Se X è compatta e D ha grado negativo, allora L(D)={0}. Descrizione esplicita di L(D) per un divisore D sulla sfera di Riemann, e calcolo della dimensione di L(D). Se X è compatta, non isomorfa alla sfera di Riemann, e p è un suo punto, allora dim L(p)=1. Se D e E sono linearmente equivalenti, i fasci O(D) e O(E) sono isomorfi. Successione esatta corta di fasci data da un divisore e un punto.Esercizi da Miranda:
es. D p. 137, es. D p. 145, es. C p. 152, es. G p. 153. -
11/5/2026, 14:30 - 16:30 (CC 5)
Successione esatta corta di fasci data da un divisore e da un punto: analisi della successione esatta lunga associata. Stima su h^0(O(D)). Il fascio delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann compatta ha primo gruppo di coomologia finitamente generato, come spazio vettoriale complesso (senza dimostrazione). Per ogni divisore D su una superficie di Riemann compatta, il fascio O(D) ha primo gruppo di coomologia finitamente generato. Teorema di Riemann-Roch in forma debole e prime applicazioni: ogni superficie di Riemann compatta X ha funzioni meromorfe non costanti e mappe non costanti su P^1; su X\p esistono funzioni olomorfe non costanti.
Fibrati lineari olomorfi, cocicli associati e primo gruppo di coomologia del fascio delle funzioni olomorfe mai nulle. Esempio: caclolo del cociclo del fibrato tautologico su P^1.Esercizi da Miranda: es. H p. 153.
13/5/2026, 12:30 - 14:30 (CC 6)
Ogni divisore è localmente principale. Omomorfismo dal gruppo dei divisori in H^1(X,O^*). Il cociclo di un divisore è un cobordo sse il divisore è principale. Isomorfismo tra Pic(X) e H^1(X,O^*), commenti. Esempi su P^1: cociclo di un divisore di grado d; cociclo del fibrato tangente olomorfo; il tangente ha grado 2; il fibrato tautologico ha grado -1. 1-forme olomorfe su superfici di Riemann; pullback di 1-forme olomorfe tramite mappa olomorfa tra superfici di Riemann. L'unica 1-forma olomorfa sulla sfera di Riemann è la forma nulla. 1-forme meromorfe su superfici di Riemann, ordine di una funzione meromorfa in un punto. Descrizione delle 1-forme meromorfe sulla sfera di Riemann. Se X è una superficie di Riemann compatta, esistono 1-forme meromorfe non identicamente nulle; lo spazio delle 1-forme meromorfe su X è uno spazio vettoriale di dimensione 1 sul campo delle funzioni meromorfe su X.
Esercizi: da Miranda es. A, C, D, E, I p. 111/112.
Mostrare che data X superficie di Riemann, c'è una successione esatta corta di fasci 0->C->O->Omega->0, dove C è il fascio delle funzioni complesse localmente costanti, O è il fascio delle funzioni olomorfe, Omega è il fascio delle 1-forme olomorfe, e il morfismo O->Omega è il differenziale.14/5/2026, 16:30 - 18:30 (CC 7)
Divisori canonici; i divisori canonici formano una classe di equivalenza lineare. Relazione tra il divisore associato al pullback di una 1-forma e il pullback del divisore associato alla 1-forma. Grado del divisore canonico. Isomorfismo tra fascio delle 1-forme olomorfe e O(K); il cociclo associato a un divisore canonico è il cociclo del fibrato cotangente olomorfo. Dualità di Serre (solo enunciato). Applicazioni della dualità di Serre: uguaglianza dei tre generi. Formula di Riemann-Roch. Una superficie di Riemann compatta di genere zero è biolomorfa alla sfera di Riemann.
Esercizi: da Miranda es. B p. 111/112, es. H p. 117/118, es. D p. 152, es. I p. 153.
Lunedì prossimo 18/5: discussione degli esercizi assegnati a lezione
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18/5/2026, 14:30 - 16:30 (CC 8)
Discussione di alcuni esercizi assegnati a lezione.
Successione esponenziale su una superficie di Riemann compatta; analisi della successione esatta lunga in coomologia. Il nucleo del grado, Pic^0(X), è un toro complesso di dimensione g.
Mappa nello spazio proiettivo data da funzioni meromorfe; mappa associata a un divisore. Punti base.Esercizi da Miranda:
es. C p. 137, es. D p. 145, es. A p. 166, es. C, J p. 193.20/5/2026, 12:30 - 14:30 (CC 9)
Se un divisore ha grado almeno 2g, allora è senza punti base. Mappa associata a un divisore: criteri per iniettività. Criteri per embedding, divisori molto ampi. Se un divisore ha grado almeno 2g+1, allora è molto ampio. Ogni superficie di Riemann compatta è biolomorfa a una sottovarietà complessa dello spazio proiettivo complesso. Cenni sul teorema di Chow, conseguenze: ogni superficie di Riemann compatta è biolomorfa a una curva algebrica proiettiva complessa, non singolare; cenni sul principio GAGA. Data una superficie di Riemann compatta X, per ogni punto p, X\p è biolomorfa a una sottovarietà complessa di C^n. Ogni superficie di Riemann compatta di genere 1 si immerge come cubica proeittiva piana.
Fasci di 1-forme meromorfe associati a un divisore.21/5/2026, 16:30 - 18:30 (CC 10)
Il fascio di 1-forme meromorfe associato a un divisore D è isomorfo al fascio O(K+D). Applicazione: i fasci di 1-forme meromorfe associati a un divisore hanno coomologia di dimensione finita.
Dimostrazione della dualità di Serre: costruzione della mappa di dualità. Iniettività dell'omomorfismo associato. Prima parte della dimostrazione della suriettività. -
25/5/2026, 14:30 - 16:30 (CC 11)
Fine della dimostrazione della dualità di Serre: dimostrazione della suriettività.
Discussione senza dimostrazioni della decomposizione di Hodge per una varietà proiettiva complessa, relazione con la coomologia di Dolbeault. Numeri di Hodge e diamante di Hodge, simmetrie; implicazioni per i numeri di Betti. Caso di dimensione 1.Esercizi:
1) Sia X una superficie di Riemann. Esplicitare l'isomorfismo tra il primo gruppo di coomologia di Cech del fascio delle funzioni olomorfe, e il corrispondente gruppo di coomologia di Dolbeault.
2) Sia X una superficie di Riemann compatta e sia f l'applicazione dallo spazio vettoriale delle 1--forme olomorfe su X nel primo gruppo di coomologia di de Rham complessa H^1(X,C), che manda omega nella classe di omega. Mostrare che f è ben definita, iniettiva, e che ha immagine il sottospazio H^{1,0}. Dedurre che per ogni x in H^1(X,C) esistono e sono uniche due 1-forme olomorfe omega, eta su X tali che x sia la classe di omega + il coniugato di eta.Mercoledì 27/5 non ci sarà lezione di Geometria Superiore
Giovedì 28/5 ultima lezione, discussione degli esercizi