Weekly outline

  • General

    Il corso di Istituzioni di Logica Matematica 24/25 si svolgerà esclusivamente in presenza, salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

    Le lezioni inizieranno il martedì 24 Settembre. Il corso avrà il seguente calendario:

    Martedì, 10.30-12.30, Aula 3. 

    Mercoledì, 12.30-14.30, Aula 3. 

    Giovedì, 14.30-16.30, Aula 3.


  • Teoria degli insiemi - Set Theory (4 settimane)

    Le nozioni viste a lezioni sono le seguenti, la referenza è il capitolo 5 di "Elements of Mathematical Logic" da Alessandro Andretta.

    Dalla sezione 16: assiomi di Morse-Kelly della teoria degli insiemi, insieme induttivo, differenza tra insieme e classe propria.

    Dalla sezione 18: definizioni e proprietà dei buon ordini, insiemi transitivi e ordinali. Ordinali successori e limiti. Cardinali, insieme di Hartogs, somma e prodotto cardinale, buon ordine di Gödel sui prodotti.

    Dalla sezione 19: teorema di induzione su omega e applicazione alla definizione della chiusura transitiva. Teorema generale di induzione (19.4) e applicazione al rango di una relazione ben fondata e al collasso di Mostowski. Gerarchia cardinale degli aleph e aritmetica ordinale. Gerarchia cumulativa V di von Neuman. Assolutezza e complessità logica delle formule, condizioni sufficienti per essere valide in vari livelli della gerarchia V.

    Dalla sezione 20: esponenziale cardinale e ipotesi del continuo. Equivalenze dell'assioma della scelta, ben ordinabilità di Zermelo, Lemma di Zorn e Massimalità di Hausdorff. Versioni deboli della scelta, scelta numerabile e dipendente.

    Dalla sezione 21: somma e prodotto generalizzati sui cardinali, Lemma di König. Cofinalità, cardinali regolari e singolari, conseguenza del teorema di König sull'esponenziale cardinale. Operazioni generalizzate e cardinalità della chiusura sotto un insieme di operazioni generalizzate. Insiemi chiusi illimitati (club) e stazionari. Cardinali debolmente e fortemente inaccessibili.


    Tutti gli esercizi dei capitoli 16, 18, 19, 20 e 21 costituiscono un ottimo allenamento per l'esame.

    Ecco una lista di esercizi delle dispense di Alessandro Andretta (numeri della versione del 24/04/2024) che sono tipici esercizi che si possono trovare all'esame: 16.22, 18.45, 18.46, 19.27, 19.32, 19.33, 19.36, 19.44, 20.15, 20.16, 20.20, 20.26, 20.27, 21.47, 21.51, 21.55, 21.57, 21.61.


  • Ricorsività - Computability (2 settimane)

  • Settimana VII (5-6-7 novembre)

    Lezione 1, martedì 5 novembre ore 10:30-12:30
    Ripasso sottostrutture e sottostrutture generate. Equivalenza elementare e sottostrutture elementari. Cenni di analisi non standard. Esistenza degli infinitesimi. Parte standard di un iperreale finito. Caratterizzazione del limite di una funzione reale.
    Lezione 2, mercoledì 6 novembre ore 12:30-14:30
    Strutture isomorfe sono elementarmente equivalenti. Esempi e non esempi di sottostrutture elementari. Criterio di Tarski-Vaught.
    Lezione 3, giovedì 7 novembre ore 14:30-16:30
    Teorema di Löwenheim-Skolem all'ingiù. Lemma delle catene elementari. Teorema di compattezza. I tipi.

  • Settimana VIII (12-13-14 novembre)

    Lezione 4, martedì 12 novembre ore 10:30-12:30
    Lemma del diagramma elementare. Teorema di compattezza per i tipi (versione forte). Löwenheim Skolem all'insù. Le immersioni parziali. Gli ordini densi lineari, ω-categoricità.
    Lezione 5, mercoledì 13 novembre ore 12:30-14:30
    Grafi aleatori, categoricità. Modelli ricchi, universali e omogenei (definizione).
    Lezione 6, giovedì 14 novembre ore 14:30-16:30
    Esempi vari. Ricco <=> omogeneo e universale.

  • Settimana IX (19-20-21 novembre)

    Lezione 7, martedì 19 novembre ore 10:30-12:30
    La teoria dei modelli ricchi è completa. Eliminazione dei quantificatori (definizione). La teoria dei gruppi abeliani, indipendenza.
    Lezione 8, mercoledì 20 novembre ore 12:30-14:30
    Eliminazione dei quantificatori e categoricità per DAG e ACF.
    Lezione 9, giovedì 21 novembre ore 14:30-16:30
    Modelli saturi. Modelli saturi sono ricchi. Omogeneità (elementare).

  • Settimana X (26-27-28 novembre)

    Lezione 10, martedì 26 novembre ore 10:30-12:30
    Il modello mostro. La logic topology. Definibilità e automorfismi nel modello mostro
    Lezione 11, mercoledì 27 novembre ore 12:30-14:30
    La chiusura algebrica. Le teorie fortemente minimali.
    Lezione 12, giovedì 28 novembre ore 14:30-16:30
    Teorie fortemente minimali. Il principio dello scambio. Basi e dimensione. Classificazione dei modelli ci una teoria completa fortemente minimale.

  • Incompletezza - Incompleteness (2 settimane)

  • Esami