Weekly outline
General
Il corso di Istituzioni di Logica Matematica 24/25 si svolgerà esclusivamente in presenza, salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.
Le lezioni inizieranno il martedì 24 Settembre. Il corso avrà il seguente calendario:
Martedì, 10.30-12.30, Aula 3.
Mercoledì, 12.30-14.30, Aula 3.
Giovedì, 14.30-16.30, Aula 3.
Appunti del docente per le parti relative a ricorsività e teoremi di incompletezza
Parte del corso usa parte di queste dispense. In fondo alle dispense c'è una lista degli argomenti che sono programma d'esame.
Teoria degli insiemi - Set Theory (4 settimane)
Le nozioni viste a lezioni sono le seguenti, la referenza è il capitolo 5 di "Elements of Mathematical Logic" da Alessandro Andretta.
Dalla sezione 16: assiomi di Morse-Kelly della teoria degli insiemi, insieme induttivo, differenza tra insieme e classe propria.
Dalla sezione 18: definizioni e proprietà dei buon ordini, insiemi transitivi e ordinali. Ordinali successori e limiti. Cardinali, insieme di Hartogs, somma e prodotto cardinale, buon ordine di Gödel sui prodotti.
Dalla sezione 19: teorema di induzione su omega e applicazione alla definizione della chiusura transitiva. Teorema generale di induzione (19.4) e applicazione al rango di una relazione ben fondata e al collasso di Mostowski. Gerarchia cardinale degli aleph e aritmetica ordinale. Gerarchia cumulativa V di von Neuman. Assolutezza e complessità logica delle formule, condizioni sufficienti per essere valide in vari livelli della gerarchia V.
Dalla sezione 20: esponenziale cardinale e ipotesi del continuo. Equivalenze dell'assioma della scelta, ben ordinabilità di Zermelo, Lemma di Zorn e Massimalità di Hausdorff. Versioni deboli della scelta, scelta numerabile e dipendente.
Dalla sezione 21: somma e prodotto generalizzati sui cardinali, Lemma di König. Cofinalità, cardinali regolari e singolari, conseguenza del teorema di König sull'esponenziale cardinale. Operazioni generalizzate e cardinalità della chiusura sotto un insieme di operazioni generalizzate. Insiemi chiusi illimitati (club) e stazionari. Cardinali debolmente e fortemente inaccessibili.
Tutti gli esercizi dei capitoli 16, 18, 19, 20 e 21 costituiscono un ottimo allenamento per l'esame.
Ecco una lista di esercizi delle dispense di Alessandro Andretta (numeri della versione del 24/04/2024) che sono tipici esercizi che si possono trovare all'esame: 16.22, 18.45, 18.46, 19.27, 19.32, 19.33, 19.36, 19.44, 20.15, 20.16, 20.20, 20.26, 20.27, 21.47, 21.51, 21.55, 21.57, 21.61.
Ricorsività - Computability (2 settimane)
Note del docente (Sezioni 1 e 2)
Settimana VII (5-6-7 novembre)
Lezione 1, martedì 5 novembre ore 10:30-12:30
Ripasso sottostrutture e sottostrutture generate. Equivalenza elementare e sottostrutture elementari. Cenni di analisi non standard. Esistenza degli infinitesimi. Parte standard di un iperreale finito. Caratterizzazione del limite di una funzione reale.
Lezione 2, mercoledì 6 novembre ore 12:30-14:30
Strutture isomorfe sono elementarmente equivalenti. Esempi e non esempi di sottostrutture elementari. Criterio di Tarski-Vaught.
Lezione 3, giovedì 7 novembre ore 14:30-16:30
Teorema di Löwenheim-Skolem all'ingiù. Lemma delle catene elementari. Teorema di compattezza. I tipi.
Settimana VIII (12-13-14 novembre)
Lezione 4, martedì 12 novembre ore 10:30-12:30
Lemma del diagramma elementare. Teorema di compattezza per i tipi (versione forte). Löwenheim Skolem all'insù. Le immersioni parziali. Gli ordini densi lineari, ω-categoricità.
Lezione 5, mercoledì 13 novembre ore 12:30-14:30
Grafi aleatori, categoricità. Modelli ricchi, universali e omogenei (definizione).
Lezione 6, giovedì 14 novembre ore 14:30-16:30
Esempi vari. Ricco <=> omogeneo e universale.
Settimana IX (19-20-21 novembre)
Lezione 7, martedì 19 novembre ore 10:30-12:30
La teoria dei modelli ricchi è completa. Eliminazione dei quantificatori (definizione). La teoria dei gruppi abeliani, indipendenza.
Lezione 8, mercoledì 20 novembre ore 12:30-14:30
Eliminazione dei quantificatori e categoricità per DAG e ACF.
Lezione 9, giovedì 21 novembre ore 14:30-16:30
Modelli saturi. Modelli saturi sono ricchi. Omogeneità (elementare).
Settimana X (26-27-28 novembre)
Lezione 10, martedì 26 novembre ore 10:30-12:30
Il modello mostro. La logic topology. Definibilità e automorfismi nel modello mostro
Lezione 11, mercoledì 27 novembre ore 12:30-14:30
La chiusura algebrica. Le teorie fortemente minimali.
Lezione 12, giovedì 28 novembre ore 14:30-16:30
Teorie fortemente minimali. Il principio dello scambio. Basi e dimensione. Classificazione dei modelli ci una teoria completa fortemente minimale.
Incompletezza - Incompleteness (2 settimane)
Note del docente (Sezioni 3 e 4)
Esami