Attività settimanale

  • Introduzione

    GEOMETRIA 2 - anno accademico 2023/24


    DOCENTI: 

    Alberto ALBANO, Cinzia CASAGRANDE, Elena MARTINENGO


    INFORMAZIONI GENERALI :

    Vi sono DUE versioni di questo corso, con codici diversi a seconda del corso di laurea:

    • Matematica (MAT0279): il corso vale 12 Crediti (96 ore di lezione)
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione (MAT0062): il corso vale 6 Crediti (48 ore di lezione)

    Il corso si svolge nel PRIMO semestre.


    L'orario delle lezioni si trova su Campusnet, all'indirizzo

    https://www.matematica.unito.it/do/home.pl/View?doc=Orario_LT.html


    Il primo giorno di lezione sarà lunedì 25 settembre.

    Le esercitazioni si terranno il martedì, tranne la prima settimana in cui non vi saranno esercitazioni.


    Le lezioni ed esercitazioni si svolgerano in Aula A a Palazzo Campana



    ARGOMENTO:

    Il corso si compone di più parti:

    1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Azioni di gruppo e quoziente associato. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

    2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti e retratti di deformazione. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Il teorema di Van Kampen sui generatori. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse. Il gruppo fondamentale della circonferenza.

    3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Enunciato del teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. Orientabilità di superfici. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione delle superfici compatte.

    4. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, sottospazi, proiettività. Geometria affine geometria proiettiva, punti propri e impropri. Birapporto. Spazio proiettivo duale, sistemi lineari di iperpiani. Curve algebriche piane affini e proiettive: grado, componenti irriducibili. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta, punti lisci e singolari, retta tangente. Trasformazione di una curva per affinità/proiettività. Classificazione delle coniche: casi affine/proiettivo, reale/complesso. Curve proiettive di grado d, condizioni lineari. Sistemi lineari e fasci di coniche.

    5. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un’applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Diagonalizzazione simultanea di matrici.


    Gli argomenti saranno trattati a lezione nell'ordine indicato. I programmi d'esame sono:

    • Matematica: 1 + 2 + 3 + 4 + 5
    • Matematica per la Finanza e l'Assicurazione: 1 + 2


    TESTI CONSIGLIATI:

    M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1 e 2.

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, per le parti 1 e 2.

    G. Occhetta, dispense del corso di Topologia generale ed algebrica, pag. 53-59, scaricabile liberamente, per l'algoritmo del taglia & incolla (parte 3).

    N. Hitchin, Geometry of surfaces Chapter 1, scaricabile liberamente, per la parte  3.

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri, capitolo 3 - Geometria proiettiva, per la parte 4.

    S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2, Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, scaricabili più sotto, per la parte 4. Queste note seguono il libro di Sernesi, dando maggiori dettagli.

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, per la parte 4: oltre a molti esercizi, c'e' un riassunto conciso della teoria.
    Questo libro è disponibile in e-book collegandosi da UniTO: lo strumento da utilizzare è TROVA , previa selezione del tab presente in alto, "cerca un Ebook":

    Dispense, disponibili qui sotto, per la parte 5. (Forma di Jordan)



    TUTORATO:

    Tutor: Giorgia Rosso   giorgia.rosso615@edu.unito.it

    Orario: lunedì 8:30 - 10:30, Sala S (tranne il 4 dicembre in aula Monod)

    Primo incontro: lunedì 2 ottobre


    FONTI DI ESERCIZI (oltre ai temi d'esame e agli esercizi del tutorato):


    Topologia e topologia algebrica: 
    file di esercizi qui sotto, libro di Manetti. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    M. Crossley, Essential Topology, Springer Undergraduate Mathematics Series

    C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (questo va bene anche per studiare la parte di topologia generale e omotopia)

    M. H. Mortad, Introductory Topology: Exercises and solutions, World Scientific

    J. Munkres, Topology, Pearson Education

    E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri

    O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetaev, Elementary Topology. Textbook in Problems. Questo bellissimo libro di topologia e topologia algebrica ha tutta la teoria e molti esercizi (alcuni decisamente difficili), ma nessuna dimostrazione. Si può scaricare liberamente dalla pagina web dell'autore Oleg Viro (che contiene anche altri materiali interessanti per studenti interessati alla geometria)

    http://www.math.stonybrook.edu/~oleg/easymath/educ-texts.html

    Esiste anche una versione con le dimostrazioni, che si può comprare sul sito dell'AMS

    https://bookstore.ams.org/mbk-54

    ma il vero scopo del libro (e di questo corso) è imparare a fare le dimostrazioni da soli.


    Geometria proiettiva:
    le note di Console - Fino contengono anche esercizi. Altri libri che contengono esercizi su questa parte (ci sono copie in biblioteca):

    E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer

    E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri



    ESAMI:

    L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
    La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura:

    • 1 ora e 30 minuti  (esercizi 1-2) per gli studenti di MatFin,
    • 2 ore e 30 minuti (esercizi 1-4) per gli studenti di Matematica degli anni precedenti che abbiano l'esame da 9 CFU;
    • 3 ore (esercizi 1-5) per gli studenti di Matematica.

    Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica; è consentito l'uso di calcolatrici di base.
    Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
    La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta.



    VIDEOREGISTRAZIONI:

    Nell'anno accademico 2011/12 sono state effettuate le riprese di tutte le lezioni del corso di Geometria 2 (76 ore di lezione). Il programma è cambiato e quindi solo parte delle registrazioni possono servire per il corso di quest'anno. Le videoriprese di trovano al link

    Geometria 2 e-learning

    e sono utili per:

    • Topologia generale: le videoregistrazioni coprono quasi tutto il programma di quest'anno, tranne gli argomenti sulla numerabilità e le successioni
    • Geometria proiettiva: le videoregistrazioni coprono più materiale di quanto verrà fatto. Alla fine del corso ci saranno indicazioni più precise 

    Le videoregistrazioni contengono anche le lezioni su Geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio, che fa parte del programma di Geometria 3.

    Nell'anno accademico 2020/21, a causa dell'emergenza COVID, sono state effettuate le registrazioni di tutte le lezioni ed esercitazioni. Si trovano nella pagina Moodle del corso:

    https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1303

  • 25 settembre - 1 ottobre

    LEZIONE 1 -- lunedì 25 settembre 2023 (AA)

    Introduzione al corso.

    Discussione sul significato della nozione di continuità per funzioni da \( \mathbf{R}\) in \( \mathbf{R}\): punti aderenti ad un sottoinsieme, chiusura di un sottoinsieme, le funzioni continue rispettano l'aderenza cioè vale

    \( f \text{ continua } \implies f(\bar A) \subseteq \bar{f(A)} \)

    Linguaggi usati in topologia:

    • intorni di un punto: chi sono i punti vicini ad un punto dato
    • operatore di chiusura: chi sono i punti aderenti ad un sottoinsieme \(A\)
    • insiemi aperti: chi sono i sottoinsiemi che avvolgono ogni loro punto

    Definizione di spazio topologico mediante gli assiomi per gli aperti.

    Esempio: topologia euclidea in \( \mathbf{R}^n\)

    Definizione di chiusi di una topologia e assiomi dei chiusi (analoghi a quelli degli aperti).

    Definizione di chiusura e interno di un insieme.

    Definizione di spazio metrico e di topologia indotta da una distanza (o metrica)

    Esempi di distanze su \( \mathbf{R}^n\): \(d_\infty, d_2, d_p\)

    Esercizio: disegnare le palle aperte in \(\mathbf{R}^2\) rispetto alle distanze \(d_\infty, d_2, d_1\) e rispondere alla domanda: le topologia indotte da queste distanze sono la stessa oppure sono diverse?



    LEZIONE 2 -- martedì 26 settembre 2023 (AA)

    Topologia indotta da una distanza (o metrica): palle aperte e chiuse, aperti della topologia, le palle aperte sono insiemi aperti, chiusura di una palla aperta.

    Metrica che induce la topologia discreta.

    Condizione affinché due metriche inducano la stessa topologia.

    Discussione su topologie indotte da metriche: le diseguaglianze \(d_\infty \le d_2 \le d_1 \le n d_\infty\) (da dimostrare per esercizio nel primo foglio di tutorato) implicano che la topologia indotta da queste distanze su \(\mathbf{R}^n\) è la stessa.

    Esempi di topologie:

    • topologia banale, topologia discreta
    • topologia euclidea in \( \mathbf{R}\), in \( \mathbf{R}^n\)
    • topologia dei complementari finiti: in questa topologia se l'insieme è infinito allora due aperti non vuoti hanno sempre intersezione non vuota
    • insiemi che contengono un punto fissato, insiemi che non contengono un punto fisssato


    LEZIONE 3 -- mercoledì 27 settembre 2023 (AA)

    Base di una topologia. Esempio: la famiglia degli intervalli aperti è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\), più in generale la famiglia delle palle aperte è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}^n\) .

    Esempio di base: la famiglia degli intervalli aperti con estremi razionali è una base per la topologia euclidea su \(\mathbf{R}\).

    Teorema 3.7. Condizioni su una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) affinché siano la base di una topologia.

    Esempio di topologia assegnata mediante una base: la topologia \(\mathcal{S}\) che sul Manetti è chiamata retta di Sorgenfry (Esempio 3.9, pagg. 44).

    Relazione di finezza fra topologie: la topologia banale è la meno fine di tutte, la topologia discreta è la più fine. La topologia di Sorgenfry è strettamente più fine della topologia euclidea.

    Definizione di intorno. La famiglia \(I(x)\) degli intorni di un punto.

    Proprietà degli intorni (Lemma 3.20). Intorni e chiusura (Lemma 3.21).


    Attività di approfondimento: Abbiamo più volte parlato dei diversi modi di introdurre una topologia, mediante i concetti di aperto, intorno e operatore di chiusura. Gli assiomi degli intorni e gli assiomi dell'operatore di chiusura sono discussi negli esercizi 3.14 e 3.15 del Manetti.
    • svolgere l'esercizio 3.14 del Manetti su aperti e intorni
    • svolgere l'esercizio 3.15 del Manetti su aperti e operatore di chiusura
    • DOPO aver provato a svolgere gli esercizi 3.14 e 3.15, leggere il file qui sotto sui tre linguaggi della topologia. Troverete lo svolgimento completo dei due esercizi e vari commenti sulle relazioni fra aperti, intorni e operatore di chiusura

    Trovate qui sotto le pagine del Manetti con gli esercizi 3.14-3.15.



    LEZIONE 4 -- giovedì 28 settembre 2023 (AA)

    Sistemi fondamentali di intorni.

    Frontiera di un insieme, insiemi densi.


    Continuità: definizione di funzione continua tramite aperti e alcune semplici formulazioni equivalenti (tramite chiusi, basi).

    Teorema 3.26. Composizione di funzioni continue è continua.

    Esempi: le funzioni costanti sono sempre continue. Se su \(X\) ci sono due topologie distinte, l'identità è continua se e solo se la topologia di partenza è più fine della topologia di arrivo.

    Definizione di continuità in un punto tramite intorni e equivalenza delle definizioni: Teorema 3.28. Per esercizio, provare a dimostrare il teorema. Altrimenti leggere la dimostrazione sul Manetti.

    Lemma 3.25. Una funzione è continua se e solo se rispetta l'aderenza.

    Definizione di omeomorfismo (3.29), funzione aperta, funzione chiusa (3.30).

    Esempio: la proiezione \(p : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}\) data da \(p(x, y) = x\)

    • non è chiusa: la proiezione dell'iperbole \(xy = 1\), che è un chiuso, è l'asse \(x\) tranne lo \(0\) che non è un chiuso
    • è aperta: l'immagine di un disco aperto è un intervallo aperto, poi si usa il fatto che i dischi aperti sono una base per la topologia di \(\mathbf{R}^2\)

  • 2 ottobre - 8 ottobre

    LEZIONE 5 -- lunedì 2 ottobre 2023 (AA)

    SOTTOSPAZI: definizione di topologia di sottospazio. Caratterizzazione degli aperti e dei chiusi nella topologia di sottospazio. Basi della topologia di sottospazio.

    La topologia di sottospoazio è la topologia meno fine che rende continua l'inclusione.

    Per \(A \subseteq Y \subseteq X\) confronto fra la chiusura di \(A\) in \(Y\) e la chiusura di \(A\) in \(X\) (Lemma 3.55).

    Definizione di immersione ed alcuni esempi: la funzione \(f : [0, 2\pi) \to \mathbf{R}^2\) data da \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) è iniettiva e continua ma non è un'immersione.



    ESERCITAZIONE 1 -- martedì 3 ottobre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 6 e 8 della scheda 1.

    LEZIONE 6 -- mercoledì 4 ottobre 2023 (AA)

    Immersioni: condizioni equivalenti.

    Immersioni aperte e chiuse: condizioni sufficienti.


    PRODOTTI: definizione della topologia prodotto sul prodotto cartesiano \( P \times Q\) di due spazi topologici.
    Teorema 3.61.
    1. base della topologia prodotto
    2. le proiezioni sono aperte e inducono omeomorfismi \( p : P \times \{y\} \to P \) (e analogamente per \(Q\) )
    3. proprietà universale della topologia prodotto: \(f : X \to P\times Q \text{ continua} \iff p\circ f, q\circ f \text{ continue}\), cioè \(f \) è continua se e solo se la sue componenti sono continue.

    COMMENTO: Discussione sui prodotti di infiniti insiemi, l'Assioma della Scelta e sulla topologia prodotto nel caso di infiniti fattori:



    LEZIONE 7 -- giovedì 5 ottobre 2023 (AA)

    Dimostrazione del Teorema 3.61.

    Osservazioni sulla topologia prodotto:

    1. Se \(\mathcal{B}\) è una base per la topologia di \( P \) e \(\mathcal{C}\) è una base per la topologia di \( Q \), allora la famiglia \(\mathcal{D} = \{U \times V \mid U \in \mathcal{B}, V \in \mathcal{C} \} \) è una base per la topologia prodotto di \( P \times Q \).
    2. Se \(\mathcal{J}(x)\) è un sistema fondamentale di intorni di \(x \in P\) e \(\mathcal{J}(y)\) è un sistema fondamentale di intorni di \(y \in Q\) allora \(\mathcal{J}(x,y) = \{U \times V \mid U \in \mathcal{J}(x), V \in \mathcal{J}(y) \} \) è un sistema fondamentale di intorni di \((x,y) \in P\times Q\).
    3. Se \(A \subseteq P\) e \(B \subseteq Q\) sono chiusi, allora \(A \times B\) è chiuso in \(P\times Q\).
    4. In effetti vale una proprietà più forte: se \(A \subseteq X\) e \(B \subseteq Y\) si ha: \(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}\) nel prodotto \(P \times Q\) (questo enunciato è un esercizio nel foglio di tutorato 2)

    SPAZI DI HAUSDORFF (o spazi \(T_2\))

    Definizione (3.65)

    Esempio: ogni spazio metrico è di Hausdorff

    Definizione di spazi \(T_1\) come nel foglio di tutorato.

    Lemma 3.67. In uno spazio di Hausdorff tutti i punti sono chiusi (cioè \(T_2 \implies T_1 \) )

    Esempio: Se \(X\) è un insieme infinito con la topologia dei complementari finiti, allora \(X\) è \(T_1\) ma non \(T_2\) (cioè \(T_1\) non implica \(T_2\)).

    Ulteriori proprietà degli spazi di Hausdorff: sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff (3.68)

    Definizione di proprietà topologica: una proprietà \(P\) è topologica se per ogni coppia di spazi topologici \(X\) e \(Y\) si ha:

    \(X\) omeomorfo a \(Y\) \(\implies\) \([X\) soddisfa \(P\) \(\iff\) \(Y\) soddisfa \(P]\)

    Essere di Hausdorff è una proprietà topologica (dimostrazione usando l'esercizio 3.56, svolto in classe)

    Conseguenza: due spazi topologici \(X\) e \(Y\) sono di Hausdorff se e solo se il prodotto \(X \times Y\) è di Hausdorff

    Commento sugli assiomi di separazione: abbiamo detto a lezione che ci sono svariati assiomi, più o meno forti, indicati con nomi della forma \(T_i\), dove \(i\) è un indice numerico, non necessariamente intero. Se volete saperne di più, potete cominciare a guardare su Wikipedia. Ci sono pagine in varie lingue (italiano, inglese, francese, tedesco, spagnolo, ...) e non sono proprio uguali e quindi a volte trovate qualcosa in una pagina ma non nelle altre. La pagina in inglese sembra la più completa
    https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom
    e trovate in questa pagina anche i link alle pagine nelle altre lingue.

    Su Wikipedia c'è anche una (breve) pagina sulla storia degli assiomi
    https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms
    che mette in luce come autori diversi indicano con lo stesso nome cose diverse e con nomi diversi cose uguali. Per \(T_0, T_1, T_2\) il significato usato da tutti è lo stesso, ma per gli altri varia. Morale: leggere sempre le definizioni nei libri che leggete, in modo da sapere cosa intende dire l'autore.

  • 9 ottobre - 15 ottobre

    LEZIONE 8 -- lunedì 9 ottobre 2023 (AA)

    Teorema 3.69. \(X\) è di Hausdorff \( \iff\) la diagonale \(\Delta\) è chiusa nel prodotto \(X \times X\).

    Conseguenze del Teorema 3.69: siano \(f, g : X \to Y\) continue con \(Y \) di Hausdorff. Allora:

    1. (3.70) il luogo su cui \(f\) e \(g\) coincidono è un chiuso in \( X\).
    2. se \(f : X \to X\) è continua e \(X\) di Hausdorff, l'insieme dei punti fissi di \(f\) è un chiuso in \(X\)
    3. se \(f\) e \(g\) coincidono su un sottoinsieme denso allora coincidono ovunque

    CONNESSIONE

    Definizione di spazio connesso e condizioni equivalenti.

    Teorema 4.6. L'intervallo \( [0, 1] \) è connesso.

    Teorema 4.7. L'immagine di un connesso è connessa.

    Connessione per archi: definizione.

    Lemma 4.9. Uno spazio connesso per archi è connesso.

    Conseguenze:

    1. ogni sottoinsieme convesso (in particolare gli intervalli) di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi e quindi connesso
    2. ogni sottoinsieme stellato di \( \mathbf{R}^n \) è connesso per archi e quindi connesso

    Il Lemma di Incollamento e le ipotesi necessarie. Vedere anche Kosniowski, Lemma 12.2 oppure Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Pasting_lemma.

    Lemma 4.10. Se \(A, B\) sono connessi per archi e \(A \cap B \ne \emptyset\) allora \( A \cup B\) è connesso per archi.

    Importante: nella dimostrazione si fa uso della giunzione di cammini: \( \alpha \ast \beta \).



    ESERCITAZIONE 2 -- martedì 10 ottobre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 3 e 7 della scheda 2.

    LEZIONE 9 -- mercoledì 11 ottobre 2023 (AA)

    Esempio: la sfera \(S^n\) è connessa per archi, per \(n \ge 1\) (NB: \(S^0\) è composta da due punti ed è sconnesso).

    Teorema 4.13. Per un sottoinsieme \(I \subseteq \mathbf{R}\) (con la topologia euclidea) sono equivalenti:

    1. \(I\) è un intervallo (cioè è convesso)
    2. \(I\) è connesso per archi
    3. \(I\) è connesso

    Applicazioni del concetto di connessione:

    1. Per \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) continua, l'immagine di un intervallo è un intervallo (questo implica immediatamente il teorema dei valori intermedi e il teorema di esistenza degli zeri in Analisi 1)
    2. Per \(f : S^n \to \mathbf{R}\) continua, con \(n \ge 1\) esiste \(x \in S^n\) per cui \(f(x) = f(-x)\) e in particolare \(f\) non può essere iniettiva
    3. Se \(I \subseteq \mathbf{R}\) e \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) con \(n \ge 2\) sono due aperti, allora non sono omeomorfi . Questo è un caso particolare del

      Teorema di Invarianza della Dimensione: Siano \(U \subseteq \mathbf{R}^n\) e \(V \subseteq \mathbf{R}^m\) due sottoinsiemi aperti. Se \(U\) è omeomorfo a \(V\), allora \(n = m\) (gli aperti "vedono" la dimensione).
      Nota Bene: la dimostrazione di questo teorema è piuttosto complicata e non sarà affrontata nel corso. Si potrà vedere la dimostrazione nel corso di Topologia Algebrica della Laurea Magistrale.

    Lemma 4.4

    Lemma 4.23 L'unione di connessi con intersezione non vuota è connesso.

    Teorema \(X\) e \(Y\) sono connessi per archi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso per archi.

    Teorema 4.19 \(X\) e \(Y\) sono connessi \(\iff\) \(X \times Y\) è connesso.

    Nota: la dimostrazione vista a lezione usa il Lemma 4.23 ed è diversa da quella sul libro di Manetti. Potete trovarla, per esempio, sul libro di Kosniowski, Teorema 9.7.


    Lemma 4.22 Se \(Y\) è connesso e \(Y \subseteq W \subseteq \bar Y \) allora \(W\) è connesso.

    Conseguenza importante: la chiusura di un connesso è connessa.

    Esempi di spazi connessi ma non connessi per archi: la funzione seno del topologo, la pulce e il pettine.



    LEZIONE 10 -- giovedì 12 ottobre 2023 (AA)

    Definizione di componente connessa e principali proprietà: componente connessa di un punto (Lemma 4.25), le componenti connesse sono chiuse e danno una partizione dello spazio (Teorema 4.27)


    COMPATTEZZA

    Definizione di ricoprimento (aperto) e di sottoricoprimento. Definizione di spazio compatto (Definizione 4.35)

    Vari esempi di spazi non compatti: l'intervallo aperto \( (0, 1) \), la retta \(\mathbf{R}\), lo spazio \( \mathbf{R}^n \).

    Vari esempi di spazi compatti: ogni spazio finito, ogni spazio con la topologia dei complementari finiti.

    Teorema 4.38. L'immagine di un compatto è compatta.

    Conseguenza importante: la compattezza è una proprietà topologica.

    Teorema 4.39. L'intervallo chiuso e limitato \( [0, 1] \) è compatto.

  • 16 ottobre - 22 ottobre

    LEZIONE 11 -- lunedì 16 ottobre 2023 (AA)

    Prime proprietà dei compatti:

    • Proposizione 4.41 Un chiuso in un compatto è compatto.
    • Proposizione 4.48 Un compatto in un Hausdorff è chiuso.
    • Corollario 4.42 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.43 Una funzione continua \(f : K \to \mathbf{R}\) con \(K\) compatto ammette massimo e minimo

    NOTA BENE: la dimostrazione fatta a lezione della proposizione 4.48 è diversa da quella sul libro di Manetti (non usa il teorema di Wallace). La dimostrazione fatta a lezione si può trovare sul libro di Kosniowski, Theorem 8.7.

    Ulteriori proprietà dei compatti:

    • Tube Lemma
    • Teorema 4.49 (2) Il prodotto di 2 spazi compatti è compatto.
    • Teorema 4.49 (1) Se \(Y\) è compatto, la proiezione \(p: X \times Y \to X\) è chiusa.
    • Corollario 4.50 Un sottospazio \(K\subseteq \mathbf{R}^n\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
    • Corollario 4.52 Sia \(f: X \to Y\) continua, con \(X\) compatto e \(Y\) Haursdorff. Allora \(f\) è chiusa.

    COMMENTI:

    • Il Teorema 4.49 (2) vale anche nel caso del prodotto di infiniti spazi compatti. La dimostrazione è molto più complicata di quella del caso finito. L'enunciato: "Il prodotto di un arbitrario numero di compatti è compatto" si chiama Teorema di Tychonoff ed è in realtà equivalente all'Assioma della Scelta.
    • Vale anche il viceversa del Teorema 4.49 (1) e cioè Teorema (Kuratowski-Mrówka) Sia \(Y\) uno spazio topologico. Allora \(Y\) è compatto se e solo se per ogni spazio topologico \(X\) la proiezione \(p: X \times Y \to X\) è chiusa.
    • Le dimostrazioni del Tube Lemma e del Teorema 4.49 (2) fatte a lezione si trovano sul libro di Munkres, Theorem 26.7 a pag. 167.
    • Esempio di spazio vettoriale (di dimensione infinita) con distanza in cui la palla unitaria non ha chiusura compatta.


    ESERCITAZIONE 3 -- martedì 17 ottobre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 3, 4 e 7 della scheda 3.


    LEZIONE 12 -- mercoledì 18 ottobre 2023 (AA)

    GRUPPI TOPOLOGICI: definizione ed esempi semplici \((\mathbf{R}^n, +)\), \((\mathbf{C}^n, +)\), \((\mathbf{R}^*, \cdot)\), \( (S^1, \cdot) \) = circonferenza unitaria = numeri complessi di norma 1.

    Gruppi di matrici:

    • Gruppi di matrici reali: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\)
    • Gruppi di matrici complessi: \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{C})\), \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\)

    Esempi di proprietà topologiche: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\) è aperto in \( \mathbf{R}^{n,n} \), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\) sono chiusi in \( \mathbf{R}^{n,n} \).


    Proprietà dei gruppi topologici: le mappe \(L_a\) e \(R_a\) di moltiplicazione a sinistra e a destra sono omeomorfismi, un gruppo topologico è di Hausdorff se e solo se è T1.


    Compattezza: i gruppi \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\) non sono compatti, i gruppi \(\text{O}(n)\), \(\text{SO}(n)\) e \(\text{U}(n)\), \(\text{SU}(n)\) sono compatti.


    Connessione: \(\text{GL}(n, \mathbf{R})\), \(\text{O}(n)\) non sono connessi.

    Lemma 4.18 sulla connessione

    Proposizione 4.58 il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) delle matrici con determinante positivo è connesso

    Ulteriori proprietà di connessione dei gruppi topologici

    • Il gruppo \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) è un aperto di \(\mathbf{R}^{n,n}\) e quindi è connesso per archi
    • Il gruppo \(\text{SL}(n, \mathbf{R})\), è immagine di \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) e quindi è connesso (per archi)
    • Il gruppo \(\text{SO}(n)\) è connesso

    COMMENTO: abbiamo accennato a lezione ad una dimostrazione della connessione per archi di \(\text{GL}(n, \mathbf{C})\) sfruttando la forma canonica di Jordan, che studierete più avanti nel corso. Potete trovare questa dimostrazione nelle note di Brian C. Hall An Elementary Introduction to Groups and Representations, disponibile all'indirizzo https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032. La dimostrazione è nel paragrafo 2.4, a pagina 16, Proposition 2.7.

    Probabilmente non risulterà chiara adesso, ma provate a leggerla dopo aver imparato la forma di Jordan. La dimostrazione non funziona per \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\) perché usa gli autovalori delle matrici e la matrici reali non sempre hanno autovalori reali.

    LEZIONE 13 - 19/10/2023, 10:30-12:30 (CC)

    Topologia quoziente. Il caso dell'insieme quoziente rispetto a una relazione di equivalenza. Relazione di equivalenza indotta da una funzione suriettiva f:X->Y, identificazione di Y con l'insieme quoziente. Identificazioni. Un'applicazione continua, suriettiva e chiusa (o aperta) è un'identificazione. L'intervallo [0,1] con gli estremi identificati è omeomorfo alla circonferenza. Esempio di una mappa continua e suriettiva che non è un'identificazione. Il disco piano con il bordo identificato a un punto è omeomorfo alla sfera. Proprietà universale della topologia quoziente; criterio perché una mappa passi al quoziente. Contrazione di un sottospazio a un punto. La connessione, la connessione per archi e la compattezza si trasmettono da uno spazio topologico a un suo quoziente. Il quoziente di uno spazio di Hausdorff in generale non è di Hausdorff (e neanche T1). Retta con due origini.

  • 23 ottobre - 29 ottobre

    L14, 23/10/2023, 12:30-14:30, CC
    Retta con due origini, conclusione.
    Azioni di gruppo dal punto di vista insiemistico (su questa parte seguiamo il Kosniowski). Relazione di equivalenza indotta da un'azione di gruppo, orbite, insieme quoziente, stabilizzatori. L'orbita di x è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore di x in G.
    Azione per omeomorfismi di un gruppo su uno spazio topologico. Se un gruppo agisce per omeorfismi, la proiezione al quoziente è aperta, ed è chiusa se il gruppo è finito.
    Esempi: azione di GL(n,R) su R^n per molitplicazione; azione di Z su R per traslazione.

    ESERCITAZIONE 4 -- martedì 24 ottobre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1 (proiezione stereografica), 3 (nastro di Moebius) e 6 della scheda 4.

    L15, 25/10/2023, 8:30-10:30, CC
    Criteri perché un quoziente sia di Hausdorff: se X è compatto e Hausdorff e f:X->Y è un'identificazione, allora Y è di Hausdorff se e solo se f è chiusa (senza dimostrazione). Se G è un gruppo finito che agisce per omeomorfismi su X di Hausdorff, allora X/G è di Hausdorff (senza dimostrazione).
    Il quoziente R/Z nell'azione di Z per traslazione è omeomorfo alla circonferenza. Il quoziente R^2/Z^2 nell'azione di Z^2 per traslazione è omeomorfo a S^1xS^1; toro come quoziente del quadrato chiuso rispetto alle identificazioni dei lati. Azione di R\{0} su R^n\{0} per moltiplicazione; spazi proiettivi reali. Lo spazio proiettivo reale è anche il quoziente della sfera rispetto all'identificazione dei punti antipodali.
    Proprietà di numerabilità (se questa parte seguiamo il Manetti). Primo e secondo assioma di numerabilità. Uno spazio metrico è sempre primo numerabile. Prodotto di spazi a base numerabile è a base numerabile. Essere a base numerabile si trasmette ai sottospazi, ma non ai quozienti (senza dim.). Il secondo assioma di numerabilità implica il primo. Se X è a base numerabile, ogni ricoprimento aperto di X ammette sottoricoprimento numerabile. Spazi topologici separabili. Se X è a base numerabile, allora è separabile. Uno spazio metrico separabile è a base numerabile.

    L16, 26/10/2023, 10:30-12:30, CC
    Esempi: se X non è numerabile e ha la topologia discreta, allora X è metrico ma non è a base numerabile né separabile. La retta di Sorgenfrey è primo numerabile, separabile, ma non a base numerabile.

    Successioni in spazi topologici. Convergenza di una successione a un punto. Se X è di Hausdorff, il limite è unico. Esempi: topologia banale, topologia discreta, spazi metrici. Punto di accumulazione per una successione. Vale la catena di implicazioni:

    {a_n} converge a p -> {a_n} ha una sottosuccessione convergente a p -> p è punto di accumulazione per {a_n} -> p è nella chiusura dell'immagine A della successione.

    Se X è primo numerabile, {a_n} ha una sottosuccessione convergente a p sse p è punto di accumulazione per {a_n}.
    Caratterizzazione della chiusura in termini di successioni, in uno spazio topologico primo numerabile.

    Data una successione K_n di chiusi, compatti e non vuoti, tali che K_n contiene K_{n+1} per ogni n, l'intersezione di tutti i K_n è non vuota.

    Se X è compatto, ogni successione in X ha punti di accumulazione.




  • 30 ottobre - 5 novembre

    Avviso: venerdì 3/11 h 10:30 - 12.30 si terrà una lezione di recupero di Geometria 2 (al posto della lezione di Analisi Numerica)

    L17, 30/10/2023, 12:30-14:30, CC

    Compattezza per successioni. Se X è compatto per successioni, ogni successione in X ha un punto di accumulazione. Se X è primo numerabile, allora X è compatto per successioni sse ogni successione in X ha un punto di accumulazione. Se X è a base numerabile, X è compatto sse è compatto per successioni. Se X è uno spazio metrico compatto per successioni, allora X è a base numerabile, e quindi compatto.
    Successioni di Cauchy in spazi metrici, prime proprietà. Spazi metrici completi. Uno spazio metrico compatto è completo. R^n (con la metrica euclidea) è uno spazio metrico completo. La completezza non è una proprietà topologica.

    FINE DELLA PARTE DI TOPOLOGIA GENERALE

    -----------------------------------------------------------------------------------------------

    OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE

    Richiami: lemma di incollamento; componenti connesse; cammini, cammino inverso, prodotto di cammini. Componenti connesse per archi.

    ESERCITAZIONE 5 -- martedì 24 ottobre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 3 e 4 della scheda 5.

    L18, 2/11/2023, 10:30-12:30, CC

    Omotopia tra funzioni continue. Esempi: omotopie lineari per funzioni a valori in un convesso di R^n. L'omotopia è una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue tra due spazi topologici fissati. Le composizioni di funzioni omotope sono omotope.
    Equivalenza omotopica tra spazi topologici. R^n è omotopicamente ad un punto. Spazi contraibili. I sottoinsiemi stellati di R^n sono contraibili. Uno spazio topologico contraibile è c.p.a. La connessione per archi e la connessione sono preservate dall'equivalenza omotopica (dimostrazione per esercizio nel tutorato).
    Retratti. Esempi: un punto di uno spazio topologico, la circonferenza nel piano bucato. Esempi di sottospazi che non sono retratti. Retratti di deformazione.

    L19, 3/11/2023, 10:30-12:30, CC

    La sfera è retratto di deformazione di R^{n+1} meno l'origine. Se A è retratto di deformazione di X, allora A e X sono omotopicamente equivalenti. Esempi di retratti di deformazione: il bouquet di 2 circonferenze è retratto di deformazione del piano meno due punti.
    Omotopia di cammini o a estremi fissi. L'omotopia di cammini è una relazione di equivalenza sull'insieme dei cammini in X a estremi fissati. Prodotti di cammini omotopi sono cammini omotopi. Cambiamento di parametro in un cammino. Proposizione riassuntiva sulle proprietà del prodotto di cammini rispetto all'omotopia di cammini, al cammino inverso e ai cammini costanti. Introduzione al gruppo fondamentale.




  • 6 novembre - 12 novembre

    L20, 6/11/2023, 12:30-14:30, CC

    Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico con punto base. Dipendenza dal punto base: il gruppo fondamentale dipende solo dalla componente cpa di X contenente il punto base; costruzione di un isomorfismo tra i gruppi fondamentali di X rispetto a due punti base nella stessa componente cpa. Omomorfismo tra i gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua.
    Cenni su categorie e funtori; esempi.
    Il gruppo fondamentale dà un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati alla categoria dei gruppi.

    ESERCITAZIONE 6 -- martedì 7 novembre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 4 e 8 della scheda 6.

    L21, 8/11/2023, 8:30-10:30, CC

    Il gruppo fondamentale dà un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati alla categoria dei gruppi. Un omeomorfismo induce isomorfismo tra i gruppi fondamentali. Se A è un sottospazio di X, in generale il gruppo fondamentale di A con punto base a non è un sottogruppo del gruppo fondamentale di X con punto base a. Se invece A è un retratto di X, allora l'inclusione induce un omomorfismo iniettivo tra i gruppi fondamentali.
    Due due mappe omotope da X a Y, gli omomorfismi indotti tra i gruppi fondamentali differiscono per un isomorfismo dei codomini (senza dimostrazione).
    Invarianza omotopica del gruppo fondamentale. Applicazioni: se X è contraibile, il gruppo fondamentale di X è banale. Spazi topologici semplicemente connessi. Applicazione ai retratti di deformazione.
    Distanza di un punto da un insieme in uno spazio metrico. Lemma del numero di Lebesgue. Applicazione ai cammini.

    L22, 9/11/2023, 10:30-12:30, CC

    Teorema di Van Kampen sui generatori. Applicazione: criterio per la semplice connessione. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse.
    Mappa esponenziale dalla retta alla circonferenza, aperti uniformemente rivestiti. Sollevamenti di cammini: esistenza.



  • 13 novembre - 19 novembre

    L23, 13/11/2023, 12:30-14:30, CC

    Unicità del sollevamento di un cammino a partire da un punto fissato. Grado in un cammino chiuso nella circonferenza. Il grado di un cammino prodotto è la somma dei gradi. Teorema di monodromia (solo enunciato): cappi omotopi hanno lo stesso grado. Il gruppo fondamentale della circonferenza è isomorfo a Z. Applicazioni: se D è un disco chiuso in R^2, il bordo di D non è un retratto di D. Teorema del punto fisso di Brouwer. L'ipotesi che A e B siano aperti nel teorema di Van Kampen è necessaria. Un caso dell'invarianza della dimensione: un aperto di R^2 non può essere omeomorfo ad un aperto di R^n con n>2.

    ESERCITAZIONE 7 -- martedì 14 novembre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 3, 4 e 7 della scheda 7.

    L24, 15/11/2023, 8:30-10:30, CC

    Il gruppo fondamentale di un prodotto. Esempio: gruppo fondamentale del toro. Descrizione del gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze come gruppo libero a due generatori. Modello piano del piano proiettivo reale, descrizione del suo gruppo fondamentale.
    Spazi topologici localmente euclidei e varietà topologiche; esempi. Gli spazi proiettivi reali sono varietà topologiche. Classificazione delle varietà topologiche di dimensione 1 (solo enunciato). La congettura di Poincaré.
    Superfici compatte, esempi. Modelli piani: come ottenere una superficie compatta come quoziente di un poligono avente un numero pari di lati.

    L25, 16/11/2023, 10:30-12:30, CC

    Modelli piani e parole. La bottiglia di Klein. Somma connessa di superfici compatte. Le superfici Tg e Pn. La somma connessa ha un modello piano dato dalla concatenazione delle parole dei modelli piani delle due superfici. La bottiglia di Klein è la somma connessa di due copie del piano proiettivo reale. Il piano proiettivo reale si può ottenere incollando un disco chiuso a un nastro di Moebius lungo il bordo. La somma connessa di T e P è omeomorfa alla somma connessa di K e P. Enunciato del teorema di classificazione delle superfici compatte. Triangoli geometrici e triangolazioni. Teorema di Radò: ogni superficie compatta ammette una triangolazione (solo enunciato). Corollario: ogni superficie compatta ammette un modello piano. Coppie di lati del primo e del secondo tipo.

  • 20 novembre - 26 novembre

    Questa settimana non si terranno lezioni di teoria di Geometria 2, ma si terranno regolamente le esercitazioni di martedì.

    ESERCITAZIONE 8 -- martedì 21 novembre 2023 (EM)

    Cancellata - per motivi di salute.

  • 27 novembre - 3 dicembre

    L26, 27/11/2023, 12:30-14:30, CC

    Algoritmo del taglia e incolla. Si ottiene una somma connessa di piani proiettivi sse nel modello piano iniziale c'è almeno una coppia di lati del II tipo.
    Orientabilità di superfici topologiche. Esempi. Teorema: una superficie compatta contenuta in R^3 è sempre orientabile (senza dimostrazione). Le superfici S^2 e T_g sono orientabili, le superfici P_n no. Una superficie data da un modello piano è orientabile sse il modello non contiene coppie di lati del II tipo.
    Caratteristica di Eulero di una triangolazione di una superficie.

    ESERCITAZIONE 8 -- martedì 28 novembre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 2 e 6 (algoritmo taglia e incolla) della scheda 8.

    L27, 29/11/2023, 8:30-10:30, CC

    Suddivisione di una superficie; esempi. Caratteristica di Eulero di una suddivisione. Date due suddivisioni della stessa superficie, la caratteristica di Eulero è la stessa (senza dimostrazione). Caratteristica di Eulero di una superficie compatta; la caratteristica di Eulero è invariante per omeomorfismo. Suddivisione di una superficie indotta da un modello piano. Caratteristica di Eulero delle superfici P_n e T_g. Le superfici P_n sono tutte non omeomorfe tra loro, idem per le superfici T_g. Esercizio dallo scritto di luglio 2018.

    GEOMETRIA PROIETTIVA

    Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. Dimensione. Casi reale e complesso. Sottospazi proiettivi. Coordinate omogenee e riferimenti proiettivi. Basi multiple inducono lo stesso riferimento proiettivo. Punti coordinati e punto unità. Descrizione di un iperpiano proiettivo tramite un'equazione lineare omogenea nelle coordinate omogenee.


    L28, 30/11/2023, 10:30-12:30, CC

    Descrizione dei sottospazi proiettivi tramite equazioni lineari omogenee nelle coordinate omogenee. Intersezione di sottospazi proiettivi. Sottospazio generato da un sottoinsieme. Somma di sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva. Due sottospazi tali che la somma delle dimensioni sia almeno dim P(V) si intersecano sempre. Punti linearmente indipendenti. Esempi: 2 punti, 3 punti. Es. 2.1 FFP. Rappresentazione parametrica di un sottospazio proiettivo. Esempio: una retta in P^3. Punti in posizione generale. Esempi: dimensione 1 e 2. Due riferimenti proiettivi diversi possono avere gli stessi punti fondamentali. Dati n+2 punti in posizione generale, esiste ed è unico un riferimento proiettivo di cui tali punti sono i punti fondamentali e il punto unità.




  • 4 dicembre - 10 dicembre

    L29, 4/12/2023, 12:30-14:30, CC

    Trasformazioni proiettive e proiettività. Due isomorfismi tra spazi vettoriali inducono la stessa trasformazione proiettiva sse sono multipli. Gruppo proiettivo, rappresentazione matriciale. Sottoinsiemi proiettivamente equivalenti, esempi. Dati due gruppi di n+2 punti in posizione generale in due spazi proiettivi, esiste ed è unica la trasformazione proiettiva che manda il primo gruppo nel secondo gruppo. Esempi. Trasformazioni proiettive in coordinate. Cambiamenti di coordinate. Punti fissi di proiettività.

    ESERCITAZIONE 9 -- martedì 5 dicembre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 1, 2, 3, 5 e 6  della scheda 9.

    L30, 6/12/2023, 8:30-10:30, CC

    Richiami sullo spazio affine, affinità e sottospazi affini. Sottoinsieme U_0 dello spazio proiettivo in corrispondenza biunivoca con lo spazio affine. Chiusura proiettiva di una retta affine, punto improprio di una retta affine. I punti impropri corrispondono alle direzioni delle rette affini. Due rette affini sono parallele sse hanno lo stesso punto improprio. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine, descrizione cartesiana.
    Spazi proiettivi reali e complessi: il complementare di un iperpiano è un aperto omeomorfo a R^n / C^n. Lo spazio proiettivo P^n(C) è una varietà topologica compatta di dimensione 2n. Realizzazione di P^n(C) come quoziente della sfera S^{2n+1}. La retta proiettiva complessa P^1(C) è omeomorfa alla sfera.

    L31, 7/12/2023, 10:30-12:30, CC

    Birapporto di quattro punti si una retta proiettiva. Formula per calcolare il birapporto in un riferimento proiettivo qualsiasi. Date due quaterne ordinate di punti distinti in due rette proiettive, esiste una trasformazione proiettiva che porta l'una nell'altra sse le due quaterne hanno lo stesso birapporto. Tramite il birapporto, le classi di equivalenza proiettiva di quaterne ordinate di punti nella retta proiettiva sono in biezione con k\{0,1}. Esempio: equivalenza proiettiva di quaterne di punti ordinati nel piano proiettivo.
    Polinomi omogenei. Dato un polinomio omogeneo F nelle coordinate omogenee di P^2, la condizione F(p)=0 per un punto p di P^2 è ben posta. Curve algebriche piane proiettive: equazione, supporto, grado, irriducibilità. Rette e coniche. Coniche proiettive, forme quadratiche, matrice simmetrica associata a una conica, rango di una conica. Trasformazione di una conica tramite proiettività.


  • 11 dicembre - 17 dicembre

    Avviso:

    lunedì 11/12, martedì 12/12 e mercoledì 13/12 NON si terrà la lezione di Geometria 2.

    Giovedì 14/12 si terranno esercitazioni.


    ESERCITAZIONE 10 -- giovedì 14 dicembre 2023 (EM)

    Svolti in aula gli esercizi 2-3-6-7 della scheda 10.

    • 18 dicembre - 24 dicembre

      L32, 18/12/2023, 12:30-14:30, CC

      Trasformazione di una conica tramite proiettività. Due coniche sono proiettivamente equivalenti sse le loro matrici sono congruenti. Classificazione delle coniche proiettive complesse tramite il rango. Classificazione delle coniche proiettive reali. Curve algebriche piane affini, equazione, supporto, grado. Omogeneizzazione di un polinomio. Chiusura proiettiva di una curva affine, punti impropri. Esempio: chiusure proiettive della parabola, dell'ellisse e dell'iperbole in R^2 e analisi dei punti impropri.

      Polinomi omogenei in due variabili e loro zeri su P^1. Molteplicità di uno zero per un polinomio F in due variabili. F ha al più d=deg(F) zeri su P^1, contati con molteplicità. Caso reale, caso complesso.
      Fasci di coniche proiettive. Analisi delle coniche degeneri: o tutte le coniche del fascio sono degeneri, oppure ogni fascio ha da 1 a 3 coniche degeneri. Punti base di un fascio.

      ESERCITAZIONE 11 -- martedì 19 dicembre 2023 (EM)

      Nell'esercitazione del 19/12 discuteremo su richiesta alcuni degli esercizi della scheda 11, gli esercizi 4 e 5 della scheda 10 riguardanti punti fissi di proiettività. Si svolgerà inoltre un ripasso generale: gli studenti sono invitati a proporre esercizi riguardanti tutto il programma svolto finora.

      Svolti in aula gli esercizi 4 e 5 della scheda 10, l'esercizio 5 della scheda 11 e l'esercizio 8 della scheda 4 sulla topologia quoziente.

      L33, 20/12/2023, 8:30-10:30, CC

      Un fascio di coniche corrisponde a una retta in P^5. I punti base di un fascio si ottengono intersecando due coniche qualsiasi del fascio (distinte).
      Intersezione tra una retta e una curva di grado d in P^2: se la retta non è contenuta nella curva, l'intersezione contiene al più d punti. Molteplicità di intersezione tra una retta e una curva in un punto. Intersezione tra una retta e una conica nel piano proiettivo.
      Se i punti base di un fascio di coniche sono finiti, sono al più 4. Se due coniche distinte non hanno una retta in comune, si intersecano al più in 4 punti. Dati 4 punti in posizione generale, la famiglia delle coniche per i 4 punti è un fascio di coniche. Dato un fascio di coniche e un punto P di P^2 che no sia un punto base, esiste ed è unica la conica del fascio passante per P. Dati 5 punti in P^2, a 4 a 4 non allineati, esiste ed è unica la conica che li contiene. Il passaggio per un punto dà una condizione lineare sulle coniche.
      Molteplicità di intersezione tra una curva affine e una retta in un punto; rette tangenti.

      Per chi ha l'esame da 9 CFU: giovedì 21/12 inizieremo l'ultima parte del corso, di algebra lineare.

      L34, 21/12/2023, 10:30-12:30, CC

      Punti singolari e non singolari di una curva affine. Se P è un punto singolare di C, ogni retta per P è tangente a C in P. Se P è non singolare per C, allora esiste ed è unica la retta tangente a C in P; equazione della tangente. 

      Formula di Eulero per i polinomi omogenei. Caratterizzazione dei punti singolari per una curva piana proiettiva, equazione della retta tangente proiettiva. Punti singolari delle coniche. Dati tre punti A,B,C non allineati e una retta r passante solo per A, la famiglia delle coniche per A,B,C e tangenti a r in A è un fascio di coniche.

      Inizio della parte sulla forma canonica di Jordan

      Ideale di una matrice quadrata. Polinomio minimo. Teorema di Cayley-Hamilton.


    • 8 gennaio - 12 gennaio

      Questa settimana ci sarà ancora lezione di Geometria 2.
      Ultima lezione di teoria: mer 10/1.
      Le esercitazioni saranno: giovedì 11/1 dalle 10.30 alle 12.30 in aula A e venerdì 12/1 dalle 12.30 alle 14.30 in aula magna.

      L35, 8/1/2024, 12:30-14:30, CC

      Le radici del polinomio minimo sono tutti e soli gli autovalori. Blocco di Jordan. Blocco di Jordan nilpotente. Matrici in forma di Jordan. Enunciato del teorema sulla forma canonica di Jordan. Una decomposizione in somma diretta di sottospazi invarianti induce una matrice a blocchi. Autospazi generalizzati. Enunciato e dimostrazione delle proprietà degli autospazi generalizzati: analisi dei nuclei e delle immagini delle potenze di A-aI, dove a è un autovalore di a.

      L36, 9/1/2024, 8:30-10:30, CC

      Lemma di separazione degli autovalori (solo enunciato). Costruzione di una base che dà la forma di Jordan in un autospazio generalizzato. Il numero di blocchi di Jordan relativi ad a e di dimensione k è dim(Sk)-dim(SK+1); unicità della forma di Jordan a meno dell'ordine dei blocchi. L'esponente di t-a nel polinomio minimo è pari all'ordine del più grande blocco di Jordan relativo ad a. Corollario: una matrice quadrata complessa è diagonalizzabile sse il suo polinomio minimo ha tutte radici di molteplicità 1. Esempio di due matrici 7x7 aventi diverse forme di Jordan ma uguali polinomio caratteristico, polinomio minimo, dimensioni degli autospazi. Se una matrice reale ha tutti gli autovalori reali, allora è simile ad una matrice informa di Jordan tramite una matrice reale.

      L37, 10/1/2024, 8:30-10:30, CC

      Esercizi sul trovare la forma di Jordan e una base che dà la forma di Jordan per: una matrice 3x3 con un unico autovalore e due blocchi, e per una matrice 5x5 con due autovalori, uno di molteplicità 1, e uno di molteplicità 4, con due blocchi 2+2.
      Matrici simultaneamente diagonalizzabili. Se due matrici A e B commutano, ogni autospazio di B è invariante per A. Due matrici sono simultaneamente diagonalizzabili sse sono entrambe diagonalizzabili e commutano. Esercizio n. 4 dallo scritto di settembre 2019.

      ESERCITAZIONE 12 -- giovedì 11 gennaio 2024 (EM)

      Svolti in aula gli esercizi 1-2-4 e 10 della scheda 12. 


      ESERCITAZIONE 13 -- venerdì 12 gennaio 2024 (EM)

      Svolti in aula gli esercizi 5-6-7 e 11 della scheda 12.