Weekly outline
Informazioni e presentazione del corso
Il corso avrà luogo a distanza, finché permarrà l'emergenza COVID, con inizio il 25 febbraio 2021. Le attività previste sono le seguenti:
- ogni giovedì alle 12,30 vi sarà un incontro webex con la prof.ssa Terracini per fare il punto del programma. Il link è https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m16971df3a4a71de197daa832dc1b4c27
- le lezioni asincrone (videolezioni) avranno luogo il giovedì e il venerdì alle 12,30 e saranno caricate su moodle in anticipo.
- è previsto un lavoro di gruppo di approfondimento da consegnare alla fine del corso. Conterà il 40% dell'esame.
Cordiali saluti, Susanna Terracini
Riferimenti bibliografici e lavori di gruppo
Modalità per le presentazioni dei lavori di gruppo
Ogni studente prepara una presentazione di 30-35 minuti, in modo che
- le presentazioni siano fondamentalmente complementari
- ogni presentazione contenga almeno un dimostrazione significativa
La presentazione può essere fatta con slides, oppure scrivendo su una lavagna (fisica o elettronica). Il materiale scritto - slides, note (anche manoscritte) o tesina- deve venire condiviso prima del seminario.
Calendario seminari (aggiornato al 29/04/2020)
- Andrea Marafante - The Black-Scholes Model - 29 Aprile
- Elisa Antonioli, Enrico Mezzano ed Antonio Rainone - Geographic Spread and Control of Epidemics - 13 Maggio (link: https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m16971df3a4a71de197daa832dc1b4c27)
- Davide Gens e Davide Polimeni - Spatial Pattern Formation - 14 Maggio (link: https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m5e2fcc9f8706461e0139a2290a1edcdd)
- Francesco Piergiovanni, Matteo Priotto - Problemi scelti dal Salsa-Verzini sulle equazioni di Laplace - 21 Maggio (link: https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m5e2fcc9f8706461e0139a2290a1edcdd)
Argomenti per i lavori di gruppo:
The Black-Scholes model (Cap Salsa cap. 2.9 - adatto a una pesona sola interessata alla probabilità)
Problemi scelti dal Salsa-Verzini sulle equazioni del primo ordine, tre per ciascun partecipante (Cap 3, problemi 2.6,2.7,2.8,2.9,2.10,2.11)
Problemi scelti dal Salsa-Verzini sulle equazioni di Laplace, tre per ciascun partecipante (Cap. 2 problemi 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.10,2.11)
Biological Waves: Single-Species Models (Cap. 13 del Murray vol I)
Spatial Pattern Formation with Reaction Diffusion Systems (Cap 2 del Murray vol II)
Geographic Spread and Control of Epidemics (Cap. 13 del Murray vol II)
Riferimenti bibliografici
Libri di testo- Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp.
- Salsa, Sandro Partial differential equations in action. From modelling to theory. Third edition. Unitext, 99. La Matematica per il 3+2. Springer, [Cham], 2016. xviii+686 pp.
- Salsa, Sandro; Verzini, Gianmaria Partial differential equations in action. Complements and exercises. Translated from the 2005 Italian edition by Simon G. Chiossi. Unitext, 87. La Matematica per il 3+2. Springer, Cham, 2015. viii+422 pp.
Riferimenti per i lavori di gruppo ed eventuali ulteriori approfondimenti:
22-26 febbraio
Introduzione alle equazioni alle derivate parziali.- Equazioni del prim'ordine. Capitolo 3 delle dispense prof. Caldiroli da pag 37 a pag. 48
- 3.1 Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti
- 3.2 Equazioni lineari non omogenee
- 3.3 Equazioni quasilineari (metodo delle caratteristiche)
Esercizi: Svolgere tutti gli esercizi proposti a pag. 48
1-5 marzo
Dispense Prof. Caldiroli da pag. 49 a pag 59
-Leggi di conservazione unidimensionali
-Shock e soluzioni discontinue
8-12 marzo
-Teorema della divergenze
-Soluzioni deboli delle leggi di conservazione
- Codizioni di Rankine-Hugoniot
- soluzione degli esercizi
16-19 marzo
Teorema di Liouville. Principio della conservazione della massa e leggi di conservazione. Introduzione alla diffusione.
Attenzione! Nella videolezione 6 parte 2, la formula integrale delle soluzioni deboli deve avere un segno meno davanti al secondo membro. Le note sono invece corrette
22-26 marzo
Dispense prof. Caldiroli pagg.9-20
- Equazione del calore
- Soluzione fondamentale
5-9 aprile
- Soluzione fondamentale dell'equazione del calore
- La distribuzione di Dirac
- Soluzione del problema di Cauchy omogeneo
12-16 aprile
Argomenti della settimana (dispense prof. Caldiroli pagg 21-30)
- Problema di Cauchy non omogeneo e principio di Duhamel
- Principio del massimo
- Unicità della soluzione limitata
19-23 aprile
Dispense prof. Caldiroli, pp. 29-36
- Ancora sui problemi di unicità per le soluzioni dell'equazione del calore.
- Problemi sui domini limitati. Soluzioni in serie di Fourier
-
26-30 aprile
- Introduzione all'equazione delle onde (dispense prof. Caldiroli pp. 61-67)
- Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde in una dimensione spaziale
- Equazione delle onde nello spazio tridimensionale, formula di Kirchoff
3-7 maggio
Argomenti:
- Equazione delle onde in due dimensioni
- Esercizi
Dispense Prof. Caldiroli pagg (66-73)
10-14 maggio
Argomenti trattati (dispense prof Caldiroli, seconda parte, pp 1-15):
- Introduzione alle equazioni di Laplace e Poisson
- Potenziale elettrostatico, condenzatore, Principio di Dirichlet, funzionale dell'area
- Soluzione fondamentale. Identità di Stokes.
-
17-21 maggio
Dispense del prof. Caldiroli pp 16-29
- Complementi sulla formula di Stokes
- Funzioni armoniche in $R^2$ e funzioni olomorfe
- Proprietà della media
- regolarità delle funzioni armoniche (inizio)
24-28 maggio
Argomenti trattati (Dispense prof. Caldiroli pagg. 26-32; 51-63)):
- Regolarità delle funzioni armoniche (fine)
- Teorema di Liouville
- Disuguaglianza di Harnack
- Principio del massimo e del minimo
- Problema di Dirichlet su un aperto limitato
- Problema dul disco: serie di Fourier
31 maggio 4 giugno
Argomenti trattati (dispense prof. Caldiroli pagg. 64-72)- La funzione di Green per un dominio limitato
- Calcolo della funzione di Green per il semispazio e per la palla unitaria
- Formula di Poisson per la palla unitaria