Attività settimanale
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L'obiettivo del corso è introdurre il linguaggio in cui viene formulata la geometria algebrica moderna: gli schemi. Pertanto, è inteso come un ponte tra un corso introduttivo e argomenti più specializzati. Si darà particolare rilevanza a un'introduzione completa ai concetti di base e alla discussione di molti esempi concreti che riportino gli argomenti trattati alle loro origini geometriche.
Docenti: Cinzia Casagrande e Karl Christ
Ricevimento: su appuntamento per e-mail
Testi consigliati e bibliografia: The Geometry of Schemes (Eisenbud, Harris); Algebraic Geometry (Hartshorne); The Red Book of Varieties and Schemes (Mumford); Basic Algebraic Geometry 2 - Schemes and Complex Manifolds (Shafarevich); The Rising Sea - Foundations of Algebraic Geometry (Vakil)
Esami: L'esame consiste in una prova orale. La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esempi presentati nell'insegnamento.
Date delle esercitazioni: 30/9, 13/10, 27/10, 10/11, 24/11, 11/12 (ultima lezione)
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L3 - 29/9/2025 - 12:30-14:30, CC
Il fascio strutturale su Spec(R)
Un fascio può essere definito su una base di aperti. Definizione del fascio strutturale sugli aperti principali di Spec(R), verifica degli assiomi di fascio sugli aperti principali. Fascio strutturale su Spec(R). Spazi anellati, isomorfismi di spazi anellati, schemi affini. Definizione di schema.Avviso: questa settimana ci sarà lezione di teoria lun 29/10 e gio 2/10 secondo l'orario usuale, e un'esercitazione mar 30/9 h 10:30-12:30 in aula 3.
E1, 30/09/2025, 10:30-12:30, KC
Discussione del primo foglio di esercizi.
L4 - 2/10/2025 - 10:30-12:30, CC
Schemi e morfismi di schemi
Gli aperti affini formano una base della topologia. Sottoschemi aperti. Esempi: il piano affine complesso; uno schema non affine supportato su 3 punti. Morfismi di schemi. -
L5, 6/10/2025, 12:30-14:30, CC
Morfismo tra schemi affini definito da un omomorfismo di anelli. Generalizzazione: i morfismi da X a Spec(R) sono in corrispondenza biunivoca con gli omomorfismi da R a O(X). Applicazioni. Schemi su R, schemi su un campo. Corrispondenza tra punti di x e chiusi irriducibili di X, punti generici. Sottoschemi chiusi di schemi affini; fasci di ideali.L6, 9/10/2025, 10:30-12:30, CC
Fasci di ideali quasi-coerenti. Sottoschemi chiusi. Fasci di O-moduli quasi-coerenti. Schemi ridotti, sottoschema ridotto associato a uno schema. Controimmagini di sottoschemi chiusi per un morfismo tra schemi affini, fibre sui punti chiusi, esempi. Inizio degli schemi noetheriani. -
L7, 13/10/2025, 12:30-14:30, KC
Discussione del secondo foglio di esercizi
L7, 16/10/2025, 10:30-12:30, CC
Ancora sulla noetherianità. Schemi di tipo finito su un anello / su un campo. Dimensione di uno spazio topologico, dimensione di uno schema. Dimensione locale, esempi. Definizione di spazio cotangente e tangente di Zariski, e di punto singolare / non singolare. Incollamenti di schemi. -
L8, 20/10/2025, 12:30-14:30, CC
Esempi di incollamento: la retta con due origini. Lo spazio proiettivo su un anello e su uno schema.
Se k è algebricamente chiuso e X è uno schema di tipo finito su k, i punti chiusi sono densi in X, e un punto x è chiuso in X sse è chiuso in un suo intorno aperto. Relazione tra varietà quasi proiettive su un campo k algebricamente chiuso e schemi associati.
Prodotto fibrato: definizione in termini della proprietà universale, e costruzione nel caso affine tramite il prodotto tensoriale.L9, 23/10/2025, 10:30-12:30, CC
Prodotto fibrato in generale, costruzione per incollamento (senza dimostrazione). Prodotti fibrati e immagini inverse di sottoschemi chiusi e aperti. Corrispondenza tra punti x di uno schema e morfismi Spec k(x)->X. Fibra schematica di un morfismo su un punto, esempio di fibra generica. Funtore dei punti associato a uno schema. Descrizione dei punti della retta affine reale e del piano affine reale. Punti doppi: punti doppi supportati nell'origine nel piano affine su un campo. -
E4, 10/11/2025, 12:30 -14:30, CC
Discussione del quarto foglio di esercizi
Ecco qua sotto una soluzione dell'esercizio 4.5 più facile di quella vista in classe, e che non richiede l'ipotesi di noetherianità su X
L13, 13/11/2025, 10:30 -12:30, KC
Costruzione di Proj globale ed esempi. Fasci su Proj associati a moduli graduati. Definizione e primi proprietà di divisori di Weil.
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L14, 17/11/2025, 12:30 - 14:30, KC
Definizione di equivalenza lineare. Restrizione di un divisore di Weil a un aperto. Esempi. Definizione di divisori di Cartier. Condizioni sufficiente su cui i nozioni di divisori di Weil e Cartier coincidono.
L15, 20/11/2025, 10:30 - 12:30, KC
Fasci invertibili e loro relazione con divisori di Cartier. Fasci globalmente generati e morfismi nello spazio proiettivo dati da sezioni globali di un fascio invertibile. Divisori di Cartier effetivi e sistemi lineari.
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E5, 24/11/2025, 12:30 -14:30, CC
Discussione del quinto foglio di esercizi
L16, 27/11/2025, 10:30 - 12:30, CC
Coomologia di fasci di gruppi abeliani su uno spazio topologico, come funtore derivato del funtore delle sezione globali: discussione di oggetti iniettivi, risoluzioni iniettive, fasci flasque. Alcune proprietà della coomologia degli schemi. relazione con la coomologia di Cech. Calcolo esplicito della coomologia dei fasci invertibili sullo spazio proiettivo su un anello noetheriano, tramite la coomologia di Cech relativa al ricoprimento affine standard.
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L17, 1/12/2025, KC
Fascio tangenziale, canonico, e normale. Genere geometrico come invariante birazionale. Varietà razionali. Formula di aggiunzione. Esempi di ipersuperfici nello spazio proiettivo.
L18, 4/12/2025, KC
Funzione e polinomio di Hilbert. Esempi. Piatezza di moduli e morfismi. Morfismi piatti su base 1-dimensionale. Schema di Hilbert. Limiti piatti ed esempi.
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E6, 11/12/2025, 10:30 - 12:30 - ultima lezione del corso
Discussione del foglio 6 di esercizi