Weekly outline
Geometria Superiore
a.a. 2024-2025
Docenti:
Cinzia Casagrande (cinzia.casagrande@unito.it)
Federica Galluzzi (federica.galluzzi@unito.it)
Pagina campusnet del corso qui
Il programma del corso da 6CFU comprende gli argomenti svolti nella prima parte (F.Galluzzi) e metà degli argomenti svolti nella seconda parte (C.Casagrande).
Appelli d'esame sessione estiva: martedì 17/6 e giovedì 10/7
Referenze:
Per la prima parte del corso :
Geometria Differenziale
Marco Abate, Francesca Tovena
Springer
ISBN:978-88-470-1919-5
Url:https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1920-1- An Introduction to Manifolds
- Loring W. Tu
- Springer
- ISBN : 9781441973993
- Url : https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6
Complex Geometry - An Introduction
Daniel Huybrechts
Springer
ISBN: 9783540212904
Url: https://www.springer.com/gp/book/9783540212904Altro materiale sarà reso disponibile in piattaforma.
Per la seconda parte del corso:Algebraic curves and Riemann surfaces
Rick Miranda
American Mathematical Society, 1995Settimana 1 : 24-28 febbraio
Lunedì 24 febbraio 2025 (F.Galluzzi) Aula 5 14.30-16.30
Presentazione del corso. Richiami su varietà differenziabili. Forme differenziali su \( \mathbb R ^n\) e su varietà differenziabili.
Prodotto esterno di forme. Algebra delle forme differenziali su una varietà. Differenziale di forme.
Mercoledì 26 febbraio 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Proprietà del differenziale. Definizione di forme chiue e forme esatte. Gruppi di coomologia di de Rham. Campi conservativi nel piano e nello spazio. Forme chiuse ed esatte nel piano e nel piano bucato : coomologia di de Rham. Coomologia di de Rham di \( \mathbb R \). Varietà differenziali diffeomorfe hanno gruppi di comologia di de Rham isomorfi.
Esercizio. Dimostrare che le 1-forme differenziali chiuse nel piano bucato
\(\mathbb R^2-\{(0,0)\}\) o sono esatte o sono multiple di\( \omega= \displaystyle {\frac{- y \ dx + x \ dy}{x^2 +y^2} } \)
Giovedì 27 febbraio 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30-18.30
Coomologia di \( \mathbb R^n\) (Lemma di Poincaré - senza dimostrazione). Successioni esatte. Successioni esatte corte. Complessi di cocatene. Coomologia di un complesso di cocatene. Teorema fondamentale dell'algebra omologica [A-T Teorema 5.1.23].
Settimana 2 : 3-7 marzo
Lunedì 3 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 5 14.30-16.30
Fine della dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'algebra omologica.
Successione di Mayer-Vietoris : esattezza. Espressione esplicita dell'immagine del morfismo di connessione \( \delta ([\eta]) \in H^{k+1}(M)\) per \( [\eta] \in H^k(U \cap V)\). [A-T 5.2]
Mercoledì 5 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Coomologia di \( S^1 \). Generatore di \(H^1 (S^1) \) costruito esplicitamente utilizzando la successione di Mayer-Vietoris [L.Tu 26.2]. Coomologia delle sfere \( S^n .\) Una forma volume \( \nu\) su \(S^n \) è chiusa ma non esatta (conseguenza del Teorema di Stokes), quindi la classe di \( \nu \) genera \( H^n (S^n)\). (Una forma volume su \( S^n\) è definita in [A-T Esempio 4.2.14])
Giovedì 6 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30-18.30
L'isomorfismo tra \( H^n(S^n)\) e \(\mathbb R \) è dato dall'integrazione (delle classi di coomologia) delle n-forme su \( S^n\). Teorema di invarianza omotopica della coomologia di de Rham (solo enunciato). La coomologia di de Rham del piano bucato.
Coomologia degli spazi proiettivi reali. Lo spazio proiettivo reale \( \mathbb P ^n \mathbb R \) è orientabile se e solo se n è dispari. Coomologia del toro [L. Tu 28.1].10 March - 16 March
Lunedì 10 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 5 14.30-16.30
Osservazioni sulla forma di volume della sfera. La coomologia di de Rham del nastro di Mobius (aperto). Non esistenza di campi vettoriali mai nulli ("non pettinabilità") sulle sfere di dimensione pari. Formula di Künneth per la coomologia del prodotto di due varietà (solo enunciato). La coomologia del prodotto di sue sfere (per esercizio). Ricoprimenti aciclici. Varietà di tipo finito. Le varietà di tipo finito hanno coomologia di de Rham finito-dimensionale. Coomologia a supporto compatto.
Mercoledì 12 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Coomologia a supporto compatto di \( \mathbb R \). Coomologia a supporto compatto di \(\mathbb R ^n\) (solo enunciato). La coomologia a supporto compatto non è un invariante omotopico. Varietà diffeomorfe hanno gruppi di coomologia a supporto compatto isomorfi.
Generatori di \( H^n _c (\mathbb R^n)\). Dualità di Poincaré : enunciato. Successione di Mayer - Vietoris a supporto compatto.
Giovedì 13 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30-18.30
Dimostrazione del Teorema di Dualità di Poincaré (solo per varietà di tipo finito).
Corollario di DP : coomologia di dimensione massima di una varietà connessa [A-T] Corollario 5.6.9.
17 March - 23 March
Lunedì 17 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 5 14.30-16.30
Conseguenze della dualità di Poincaré. Una n-forma di una varietà orientabile connessa e compatta di dimensione n è esatta se e solo se il suo integrale su M è nullo. Lo stesso risultato è vero per le n-forme a supporto compatto di una varietà orientabile e connessa di dimensione n. Coomologia del toro puntato. Coomologia delle superfici compatte orientabili. Generatori della coomologia del toro [L.Tu §28] .
Mercoledì 19 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 12.30-14.30
Grado di una mappa propria tra due varietà connesse compatte orientabili n-dimensionali [Esercizi 5.27 5.28 A-T]. Il grado è un numero intero (dimostrazione solo per \( \mathbb R^n \) ). Caso di due varietà orientabili.
Giovedì 20 marzo 2025 (F.Galluzzi) Aula 1 16.30-18.30
Richiami su funzioni olomorfe di una variabile complessa. Funzioni olomorfe di più variabili complesse.
Varietà analitiche. Superfici di Riemann. La sfera di Riemann.24 March - 30 March
24/3/2025, 14:30-16:30, CC1
Introduzione alla seconda parte del corso. Prefasci di gruppi, esempi. Assioma di fascio. Esempi. Morfismi di (pre)fasci. Esempi. Spiga di un (pre)fascio in un punto, germi.
Esercizi:
da Miranda p. 277 es. D, G, p.289 es. A, E.
1) Dato un morfismo di (pre)fasci f: F->G, mostrare che f è isomorfismo di (pre)fasci sse f_U: F(U)->G(U) è isomorfismo di gruppi per ogni aperto U di X.
2) Definire la categoria A degli aperti di uno spazio topologico X, e mostrare che dare un prefascio di gruppi su X è equivalente a dare un funtore controvariante dalla categoria A nella categoria dei gruppi che porti il vuoto nel gruppo banale.26/3/25, h 12:30-14:30, CC2
Esempi di spighe. Omomorfismi sulle spighe indotti da un morfismo di (pre)fasci. Fascio associato a un prefascio: proprietà universale e descrizione delle sezioni. Fascio nucleo e fascio immagine. Esempi. Esattezza per morfismi di fasci, iniettività e suriettività. Caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni. Esempi: complesso di de Rham di una varietà differenziabile, a livello di fasci. Nel piano complesso l'esponenziale dà un morfismo di fasci suriettivo.
Esercizi:
1) Dato un prefascio F, verificare che il morfismo j è isomorfismo sse F è un fascio.
2) Dimostrare la caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni.28/3/25, h 16:30-18:30, CC3
L'esattezza per morfismi di fasci è equivalente all'esattezza sulle spighe. Data una successione esatta di fasci, la successione delle sezioni globali è un complesso, ma non è necessariamente esatta. Data una successione esatta di fasci della forma 0->F->G->H, la successione delle sezioni globali è esatta. Successione esponenziale per il piano complesso.
Atlanti complessi, strutture complesse e varietà complesse. Superfici di Riemann. Struttura differenziabile data da una struttura complessa; orientabilità. Genere di una superficie di Riemann compatta. Esempi: la sfera di Riemann/la retta proiettiva complessa. Gli spazi proiettivi complessi. Tori complessi: inizio della costruzione di un atlante complesso.
Esercizi:
1) Dimostrare che se una successione di fasci è esatta, allora è anche esatta sulle spighe.
2) Siano H il semipiano superiore e D il disco unitario nel piano complesso. Verificare che f:H->D data da f(z)=(z-i)/(z+i) è ben definita ed è biolomorfismo.
3) Mostrare che un reticolo in C^n è un sottoinsieme discreto.
Esercizi da Miranda: A, G pag. 7.31 March - 6 April
31/3/25, h 14:30-16:30, CC4
Fine della costruzione dell'atlante complesso per i tori complessi.
Richiami sull'ordine di una funzione olomorfa in un punto. Funzioni olomorfe su superfici di Riemann, proprietà: teorema del massimo modulo, principio di identità. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann, proprietà: l'insieme degli zeri e dei poli di una funzione meromorfa (non identicamente nulla) su un aperto connesso è discreto.
Esercizi:
1) Verificare che le funzioni olomorfe e le funzioni meromorfe su una superficie di Riemann formano dei fasci di C-algebre.
2) Sottoinsiemi discreti: sia X una varietà topologica.
2a) Mostrare che dato un sottoinsieme S chiuso di X, sono equivalenti le tre proprietà: (i) ogni punto di S è isolato; (ii) la topologia indotta su S è discreta; (iii) S non ha punti di accumulazione. Diciamo allora che S è discreto in X.
2b) Dare un esempio di aperto U del piano complesso C e di un sottoinsieme S di U che sia discreto in U ma non in C.
2c) Se S è finito, mostrare che S è discreto in ogni aperto che lo contiene.
2d) Se X è compatta, mostrare che S è discreto sse è finito.
2e) Sia S in C discreto e non limitato. Mostrare che S ha un punto di accumulazione in infinito. Dare un esempio di tale S.
Esercizi da Miranda: F pag. 12, J pag. 132/4/25, h 12:30-14:30, CC5
Ordine di una funzioni meromorfa in un punto, proprietà. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali.
Mappe olomorfe tra superfici di Riemann e loro proprietà: principio di identità, teorema della mappa aperta; applicazioni. Biolomorfismo tra la sfera di Riemann e la retta proiettiva complessa. Biezione tra funzioni meromorfe su X e mappe olomorfe da X alla sfera di Riemann.
Esercizi:
1) Mostrare il teorema della mappa aperta nel piano complesso: se U è un aperto connesso di C e f:U->C è olomorfa, allora f è aperta. Traccia: preso A aperto in U e z0 in A, considerare la funzione g(z)=f(z)-f(z0), e mostrare che g deve avere uno zero isolato in z0. Allora esiste un intorno aperto U(z0), contenuto in A, tale che g(U(z0)) sia aperto, e quindi anche f(U(z0)) è aperto.
2) Mostrare che se f è una funzione meromorfa in un punto z0 del piano complesso, con ordine m in z0, localmente f(z)=(z-z0)m g(z) con g olomorfa e non nulla; verificare che l'ordine di una funzione meromorfa in un punto del piano complesso è invariante per biolomorfismo locale; determinare l'ordine del prodotto e della somma di due funzioni meromorfe in un punto.
3) Dimostrare il principio di identità per mappe olomorfe tra superfici di Riemann.
4) Completare la verifica che la funzione associata a una mappa olomorfa da X nella sfera di Riemann è meromorfa.
Da Miranda: es. C p. 30, es. A p. 38, es. E, F, G, H, I p. 43.3/4/25, h 16:30-18:30, CC6
Esempi di superfici di Riemann: grafici di funzioni olomorfe; luoghi di zeri di funzioni olomorfe; curve piane affini non singolari; curve proiettive piane non singolari. Sottovarietà complesse 1-dimensionali dello spazio proiettivo complesso. Superfici di Riemann compatte proiettive. Discussione su sottovarietà complesse dello spazio proiettivo e teorema di Chow.
Forma normale locale per una mappa tra superfici di Riemann, molteplicità. Punti di ramificazione e diramazione. I punti di ramificazione sono discreti. La mappa F è biolomorfismo locale in p sse ha molteplicità 1 in p, sse è iniettiva nell'intorno di p. Come trovare i punti di ramificazione in termini di un'espressione locale. Esempi.
Esercizi:
1) Sia X una curva algebrica piana proiettiva complessa, non singolare. Dati due polinomi F,G omogenei dello stesso grado nelle coordinate omogenee di P^2, con G non identicamente nullo su X, mostrare che F/G definisce una funzione meromorfa su X.
2) Sia C una conica di rango massimo nel piano proiettivo complesso; mostrare che C è biolomorfa alla retta proiettiva complessa.
3) Siano X e Y curve algebriche piane proiettive complesse non singolari, e F:X->Y un morfismo algebrico. Mostrare che F è olomorfa.
Da Miranda: es. K p. 43; p. 53 es. C, F, K; es. G p. 13.7 April - 13 April
7/4/25, h 14:30-16:30, CC7
Teorema del grado per una mappa non costante tra superfici di Riemann compatte; applicazioni. Su una superficie di Riemann compatta X, la somma sui punti di X degli ordini di una funzione meromorfa è zero. Se una superficie di Riemann compatta X ha una funzione meromorfa avente un unico polo, di ordine 1, allora X è isomorfa alla sfera di Riemann. Formula di Hurwitz; applicazioni. Formula del genere per una curva algebrica proiettiva piana non singolare: inizio della dimostrazione.
Esercizi:
1) Sia f una mappa olomorfa dalla retta proiettiva complessa in se stessa. Mostrare che f è un morfismo algebrico.
2) Sia f un biolomorfismo dalla retta proiettiva complessa in se stessa. Mostrare che f è una proiettività.
3) Sia f: C->C un biolomorfismo. Mostrare che f è un'affinità.
Da Miranda p. 53 es. A, E, G, H.Mercoledì 9/4: discussione degli esercizi assegnati finora.
9/4/25, h 12:30-14:30, CC8
Discussione degli esercizi assegnati finora.
Esercizi:
da Miranda p. 54 es. I,J.Giovedì 10/4 non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
14 April - 20 April
Mercoledì 16/4 non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
14/4/25, h 14:30-16:30, CC9
Fine della dimostrazione della formula del genere.
Mappe tra tori complessi: ogni mappa tra tori complessi è data dalle composizione di una mappa indotta da un'applicazione lineare in C, con una traslazione. Due tori complessi sono isomorfi sse esiste un numero complesso non nullo che porta un reticolo nell'altro. Tori complessi X_t associati a un numero complesso t nel semipiano superiore. Ogni toro complesso è isomorfo a un X_t. Due tori complessi X_t e X_{t'} sono isomorfi sse t e t' sono nella stessa orbita per l'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore. Descrizione di un dominio fondamentale per quest'azione. Esistono infinite classi di isomorfismo di tori complessi.
Divisori su superfici di Riemann, grado, divisore associato a una funzione meromorfa.
Esercizi.
1) Sia F:X->Y una mappa tra tori complessi indotta da un'applicazione lineare f:C->C tale che f(L)=M. Mostrare che il grado di F è uguale all'indice di f(L) in M.
2) Mostrare che se t=(at'+b)/(ct'+d) con a,b,c,d reali e t,t' numeri complessi nel semipiano superiore, allora la matrice associata ha determinante positivo.
3) Verificare che si ha un'azione di SL(2,Z) sul semipiano superiore.
Da Miranda es. A p. 13721 April - 27 April
Vacanza!
28 April - 4 May
28/4/25, h 14:30-16:30, CC10
Divisori principali, i divisori pricipali formano un sottogruppo. Equivalenza lineare e gruppo di Picard. Se X è compatta, divisori linearmente equivalenti hanno lo stesso grado, e il grado definisce un omomorfismo da Pic(X) in Z. Tale omomorfismo è isomorfismo sse X è isomorfa alla sfera di Riemann. In generale il nucleo Pic0(X) del grado è un toro complesso di dimensione g(X). Divisori effettivi. Pullback di divisori. Il pullback di un divisore principale è principale, e il pullback induce un omorfismo tra i gruppi di Picard. Divisore di ramificazione di una mappa olomorfa tra superfici di Riemann. Fasci associati a un divisore, definzione e prime proprietà. Se X è compatta e D ha grado negativo, allora L(D)={0}. Descrizione esplicita di L(D) per un divisore D sulla sfera di Riemann, e calcolo della dimensione di L(D). Se X è compatta, non isomorfa alla sfera di Riemann, e p è un suo punto, allora dim L(p)=1. Se D e E sono linearmente equivalenti, i fasci O(D) e O(E) sono isomorfi.
Esercizi da Miranda:
es. D p. 137, es. C, D p. 145, es. C p. 152, es. G p. 153.30/4/25, h 12:30-14:30, CC11
Successione esatta corta di fasci data da un divisore e un punto. Analisi della successione esatta tra le sezioni globali. Relazione tra L(D) e L(D-p). Se X è compatta, tutti gli spazi vettoriali L(D) hanno dimensione finita.
Fibrati vettoriali complessi C^{infty} e olomorfi. Fibrato tangente complessificato e decomposizione in somma diretta dei fibrati tangenti olomorfo e antiolomorfo; descrizione puntuale in coordinate locali.
Esercizio: sia D un divisore su una superficie di Riemann compatta, e P la sua parte positiva. Mostra che dim L(D) è minore o uguale di deg(P)+1.5 May - 11 May
Questa settimana non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
12 May - 18 May
12/5: ultima lezione di teoria per la versione del corso da 6 CFU
12/5/25, h 14:30-16:30, CC12
Fibrato tangente complessificato e decomposizione in somma diretta dei fibrati tangenti olomorfo e antiolomorfo; descrizione in coordinate locali. Forme differenziali complesse, forme di tipo (p,q). Operatori di derivazione e loro proprietà. Forme olomorfe. Una forma di tipo (p,0) è olomorfa se e solo se è nel nucleo dell'operatore bar{partial}. 1-forme olomorfe su superfici di Riemann. L'unica 1-forma olomorfa sulla sfera di Riemann è la forma nulla.
Esercizi:
(1) Verificare che la base dz_i, dbar{z}_i è la base duale della base date dalle derivate rispetto a zi e a bar{z}j
(2) Verificare la scrittura di df nella base dz_i, dbar{z}_j
(3) Verificare la formula per il pullback di una 1-forma olomorfa su un aperto di C tramite una mappa olomorfa da C in C.14/5: discussione degli esercizi; ultima lezione per la versione del corso da 6 CFU
14/5/25, h 12:30-14:30, CC13
Discussione di alcuni esercizi assegnati.
Introduzione alla coomologia di fasci. Cocatene di Cech relative a un ricoprimento aperto. Coomologia di Cech relativa a un ricoprimento aperto. Esempi.
Esercizio: Calcolare i gruppi di coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente ai due ricoprimenti aperti: a) S^2\{p},S^2\{q} (due aperti); b) quattro aperti dati da intorni delle 4 facce del tetraedro.15/5/25, h 16:30-18:30, CC14
Funtorialità della coomologia relativa a un ricoprimento. Insiemi diretti, sistemi diretti e limite diretto, esempio: la spiga di un fascio in un punto. Omomorfismi di raffinamento. Coomologia di Cech. Proprietà dell'H^1.
Esercizi:
1) verificare che la formula del cobordo vale anche per indici non ordinati.
2) Verificare la costruzione dell'omomorfismo in coomologia dato da un morfismo di fasci, la funtorialità, e il caso dell'H^0.
3) Verificare che gli omomorfismi tilde{r} definiti tramite la funzione di raffimento r definiscono un morfismo di complessi.
4) Nell'esercizio assegnato sul calcolo della coomologia del fascio delle funzioni localmente costanti a valori reali sulla sfera S^2, relativamente a due ricoprimenti aperti di cui il secondo è un raffinamento del primo, scrivere una funzione di raffinamento e gli omomorfismi indotti sulle cocatene e in coomologia.
5) Mostrare che gli omomorfismi di raffinamento sugli H^0 rispettano gli isomorfismi con i gruppi delle sezioni globali.
Da Miranda es. B p. 111.es. M p. 301.19 May - 25 May
Questa settimana ci sarà una lezione di recupero venerdì 23/5 h 14:30-16:30, aula 5.
19/5/25, h 14:30-16:30, CC15
Successione esatta lunga in coomologia, dimostrazione della prima parte. Successione esatta lunga in coomologia in generale (solo enunciato). Se F è un fascio tale che F_{|U} è aciclico in U per ogni aperto U di un ricoprimento aperto A, allora H^1(A,F)=H^1(X,F). Criterio generale perché un ricoprimento aperto calcoli la coomologia di Cech (solo enunciato).
Risoluzioni, risoluzioni acicliche, enunciato del teorema astratto di de Rham.
Esercizi:
Completare la dimostrazione della prima parte della successione esatta lunga in coomologia.21/5/25, h 12:30-14:30, CC16
Dimostrazione del teorema astratto di de Rham. I fasci delle p-forme su una varietà differenziabile sono aciclici. Teorema di de Rham: la coomologia di de Rham di una varietà differenziabile è isomorfa alla coomologia del fascio delle funzioni reali localmente costanti. Digressione sulla relazione tra coomologia dei fasci costanti e coomologia singolare; relazione con coomologia di de Rham.
I fasci grattacielo hanno H^1 nullo.
Successione esatta corta di fasci data da un divisore e da un punto: analisi della successione esatta lunga associata. Il fascio delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann compatta ha primo gruppo di coomologia finitamente generato, come spazio vettoriale complesso (senza dimostrazione). Per ogni divisore D su una superficie di Riemann compatta, il fascio O(D) ha primo gruppo di coomologia finitamente generato. Teorema di Riemann-Roch in forma debole e prime applicazioni: ogni superficie di Riemann compatta X ha funzioni meromorfe non costanti e mappe non costanti su P^1; su X\p esistono funzioni olomorfe non costanti.
Esercizi:
1) data una 1-forma chiusa su una varietà differenziabile, determinare un 1-cociclo di Cech, relativo al fascio delle funzioni reali localmente costanti, che rappresenta la sua classe in coomologia;
2) se X è una varietà differenziabile e U un ricoprimento aperto fatto di aperti semplicemente connessi, mostrare H^1(U,R) (R fascio delle funzioni reali localmente costanti) è isomorfo al primo gruppo di coomologia di de Rham di X;
da Miranda es. B p. 308.22/5/25, h 16:30-18:30, CC17
1-forme olomorfe e meromorfe su superfici di Riemann. Descrizione delle 1-forme meromorfe sulla sfera di Riemann. Divisori canonici; i divisori canonici formano una classe di equivalenza lineare. Pullback di 1-forme. Relazione tra il divisore associato al pullback di una 1-forma e il pullback del divisore associato alla 1-forma. Grado del divisore canonico. Isomorfismo tra fascio delle 1-forme olomorfe e O(K). Dualità di Serre (solo enunciato).
Esercizi: da Miranda es. A, C, D, E, I p. 111/112, es. H p. 117/118.es. D p. 152, es. H, I p. 153.
1) Mostrare che data X superficie di Riemann, c'è una successione esatta corta di fasci 0->C->O->Omega->0, dove C è il fascio delle funzioni complesse localmente costanti, O è il fascio delle funzioni olomorfe, Omega è il fascio delle 1-forme olomorfe, e il morfismo O->Omega è il differenziale. Esaminare la successione esatta lunga in coomologia associata.23/5/25, h 14:30-16:30, CC18
Applicazioni della dualità di Serre: uguaglianza dei tre generi. Formula di Riemann-Roch. Una superficie di Riemann compatta di genere zero è biolomorfa alla sfera di Riemann. Mappa nello spazio proiettivo data da funzioni olomorfe; mappa associata a un divisore. Punti base. Criteri per iniettività. Criteri per embedding, divisori molto ampi.
Esercizi da Miranda: p. 193 es. B, C, D, E, G, I, J, K, p. 202 es. A, B.26 May - 1 June
26/5/25, h 14:30-16:30, CC19
Se D ha grado almeno 2g (rispettivamente 2g+1), allora D è senza punti base (rispettivamente molto ampio). Ogni superficie di Riemann compatta X si immerge nello spazio proiettivo, e per ogni p in X, X\p si immerge in Cn. Immersioni della sfera di Riemann come curva razionale normale. Immersione di una superficie di Riemann di genere 1 come cubica piana. Cenni sul come vedere che ogni superficie di Riemann X di genere 1 è un toro complesso, tramite i periodi della 1-forma olomorfa su X. Su una superficie di Riemann di genere g>0, il divisore canonico è sempre senza punti base.
Cocicli di fibrati lineari olomorfi su una superficie di Riemann e primo gruppo di coomologia del fascio O*. Ogni divisore è localmente principale. Cociclo associato a un divisore.
Esercizi da Miranda: p. 193 es. B, C, D, E, G, I, J, K, p. 202 es. A, B.28/5/25, h 12:30-14:30, CC20
Omomorfismo dal gruppo dei divisori in H^1(X,O^*). Il cociclo di un divisore è un cobordo sse il divisore è principale. Isomorfismo tra Pic(X) e H^1(X,O^*), commenti. La classe del divisore canonico corrisponde al fibrato cotangente olomorfo, verifica con il cociclo. Esempi su P^1: cociclo di un divisore di grado d. Cociclo del fibrato tangente olomorfo; il tangente ha grado 2. Costruzione del fibrato tautologico su P^1 e scrittura del cociclo; il fibrato tautologico ha grado -1. Successione esponenziale su una superficie di Riemann compatta; analisi della successione esatta lunga in coomologia. Il nucleo del grado, Pic^0(X), è un toro complesso di dimensione g.
Sistema lineare completo associato a un divisore D, biezione con il proiettivizzato dello spazio vettoriale H^0(O(D)). Sistemi lineari, dimensione e grado. Punti base. Esempio: sistemi lineari sulla sfera di Riemann.
Esercizio: mostrare che dato un sistema lineare Q corrispondente a P(V), con V sottospazio vettoriale di H^0(O(D)), un punto p è punto base per Q sse V è contenuto in H^0(O(D-p)).29/5/25, h 16:30-18:30, CC21
Esempio: sistemi lineari sulla retta proiettiva. Data X superficie di Riemann, ogni mappa olomorfa X->P^n è data da n+1 funzioni meromorfe su X, non tutte nulle. Divisore pullback di un iperpiano tramite una mappa olomorfa da X nello spazio proiettivo. Espressione esplicita per il pullback di un iperpiano. Sistema lineare associato a una mappa olomorfa da X nello spazio proiettivo, definizione e proprietà. Dato un sistema lineare Q di dimensione n e senza punti base, esiste una f:X->P^n tale che Q sia il sistema lineare associato a f; inoltre f è unica a meno di composizione con una proiettività di P^n.
Esercizi:
1) Date f_0,...,f_n e g_0,...,g_n funzioni meromorfe su X, mostrare che le mappe (f_0:...:f_n) e (g_0:...:g_n) coincidono se e solo se esiste h meromorfa tale che g_i=hf_i per ogni i.
Da Miranda: es. H, J p. 137, es. B p. 152, es. D p. 166, es. K p. 167.2 June - 8 June
Questa settimana si terrà una lezione di recupero martedì 3/6, h 14:30 - 16:30, aula 4.
3/6/25, h 14:30-16:30, CC22
Dato un sistema lineare Q di dimensione n e senza punti base, esiste una f:X->P^n tale che Q sia il sistema lineare associato a f; inoltre f è unica a meno di composizione con una proiettività di P^n. Parte fissa e parte mobile di un sistema lineare. Relazione tra mappa data da un sistema lineare e mappa data dal sistema lineare completo. Esempi. Divisore iperpiano e grado di una superficie di Riemann immersa. Se X in P^n non è contenuta in un iperpiano, allora ha grado almeno n. Se ha grado esattamente n, allora X è una curva razionale normale. Se f:X->P^n ha per immagine una sottovarietà complessa Y, allora il grado di f^*(H) è uguale al prodotto del grado di f per il grado di Y. Esempi su P^1.
Sistema lineare canonico e mappa canonica. Per g=2, la mappa canonica è una mappa di grado 2 su P^1. Una superficie di Riemann compatta X si dice iperellittica se ammette una mappa non costante di grado 2 su P^1. Per g>2, la mappa canonica è un embedding se e solo se X non è iperellittica. Per g=3, X si immerge come quartica piana.4/6/25, h 12:30-14:30, CC23
Coomologia di Dolbeault per una varietà complessa. Lemma di Dolbeault (solo enunciato). Risoluzione aciclica del fascio delle p-forme olomorfe data dai fasci delle (p,q)-forme. Teorema di Dolbeault.
Discussione senza dimostrazioni della decomposizione di Hodge per una varietà proiettiva complessa, relazione con la coomologia di Dolbeault. Numeri di Hodge e diamante di Hodge, simmetrie; implicazioni per i numeri di Betti. Caso di dimensione 1.Ultima lezione del corso: giovedì 5/6, in cui faremo una discussione degli esercizi assegnati.
5/6/25, h 16:30-18:30, CC24
Discussione di alcuni esercizi assegnati a lezione. Funtorialità della coomologia di Cech. Gli omomorfismi di raffinamento sono ben definiti. La formula del cobordo vale anche per indici non ordinati. Descrizione delle 1-forme olomorfe su una curva proiettiva piana.