Attività settimanale

  • Geometria Superiore

    a.a. 2024-2025


    Docenti:

    Cinzia Casagrande (cinzia.casagrande@unito.it)

    Federica Galluzzi (federica.galluzzi@unito.it)

    Pagina campusnet del corso qui

    Il programma del corso da 6CFU comprende gli argomenti svolti nella prima parte (F.Galluzzi) e metà degli argomenti svolti nella seconda parte (C.Casagrande).


    Referenze:

    Per la prima parte del corso :

    Geometria Differenziale

    Marco Abate, Francesca Tovena
    Springer
    ISBN:978-88-470-1919-5
    Url:https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1920-1

    An Introduction to Manifolds

    Loring W. Tu
    Springer 
    ISBN  : 9781441973993
    Url : https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6

    Complex Geometry - An Introduction

    Daniel Huybrechts
    Springer
    ISBN: 9783540212904
    Url: https://www.springer.com/gp/book/9783540212904

    Altro materiale sarà reso disponibile in piattaforma.

    Per la seconda parte del corso:
    Algebraic curves and Riemann surfaces
    Rick Miranda
    American Mathematical Society, 1995

  • Settimana 1 : 24-28 febbraio

    Lunedì 24 febbraio 2025 (F.Galluzzi)  Aula 5 14.30-16.30


    Presentazione del corso. Richiami su varietà differenziabili. Forme differenziali su \( \mathbb R ^n\) e su varietà differenziabili.

    Prodotto esterno di forme. Algebra delle forme differenziali su una varietà. Differenziale di forme.


    Mercoledì 26 febbraio 2025 (F.Galluzzi)  Aula 1 12.30-14.30

    Proprietà del differenziale. Definizione di forme chiue e forme esatte. Gruppi di coomologia di de Rham. Campi conservativi nel piano  e nello spazio. Forme chiuse  ed esatte nel piano e nel piano bucato : coomologia di de Rham. Coomologia di de Rham di \( \mathbb R \). Varietà differenziali diffeomorfe hanno gruppi di comologia di de Rham isomorfi.

    Esercizio. Dimostrare che le 1-forme differenziali chiuse nel piano bucato
     \(\mathbb R^2-\{(0,0)\}\) o sono esatte o sono multiple di

    \(  \omega= \displaystyle {\frac{- y \ dx + x \ dy}{x^2 +y^2} } \)

    Giovedì 27 febbraio 2025  (F.Galluzzi)  Aula 1 16.30-18.30

    Coomologia di \( \mathbb R^n\) (Lemma di Poincaré - senza dimostrazione). Successioni esatte. Successioni esatte corte. Complessi di cocatene. Coomologia di un complesso di cocatene. Teorema fondamentale dell'algebra omologica [A-T Teorema 5.1.23].

    • Settimana 2 : 3-7 marzo
      Lunedì 3 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 5 14.30-16.30
      Fine della dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'algebra omologica.
      Successione di Mayer-Vietoris : esattezza. Espressione esplicita dell'immagine del morfismo di connessione \( \delta ([\eta]) \in H^{k+1}(M)\) per \( [\eta] \in H^k(U \cap V)\). [A-T 5.2]

      Mercoledì 5 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 1 12.30-14.30
      Coomologia di \( S^1 \). Generatore di \(H^1 (S^1) \) costruito esplicitamente utilizzando la successione di Mayer-Vietoris [L.Tu 26.2]. Coomologia delle sfere \( S^n .\) Una forma volume \( \nu\) su \(S^n \) è chiusa ma non esatta (conseguenza del Teorema di Stokes), quindi la classe di \( \nu \) genera \( H^n (S^n)\). (Una forma volume su \( S^n\) è definita in [A-T Esempio 4.2.14])
      Giovedì 6 marzo 2025  (F.Galluzzi)  Aula 1 16.30-18.30
       L'isomorfismo tra \( H^n(S^n)\) e  \(\mathbb R \) è dato dall'integrazione (delle classi di coomologia) delle n-forme su \( S^n\).  Teorema di invarianza omotopica della coomologia di de Rham (solo enunciato). La coomologia di de Rham del piano bucato.
       Coomologia degli spazi proiettivi reali. Lo spazio proiettivo reale \( \mathbb P ^n \mathbb R \) è orientabile se e solo se n è dispari. Coomologia del toro [L. Tu 28.1].
    • 10 marzo - 16 marzo
      Lunedì 10 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 5 14.30-16.30
      Osservazioni sulla forma di volume della sfera. La coomologia di de Rham del nastro di Mobius (aperto). Non esistenza di campi vettoriali mai nulli ("non pettinabilità")  sulle sfere di dimensione pari. Formula di Künneth per la coomologia del prodotto di due varietà (solo enunciato). La coomologia del prodotto di sue sfere (per esercizio). Ricoprimenti aciclici. Varietà di tipo finito. Le varietà di tipo finito hanno coomologia di de Rham finito-dimensionale. Coomologia a supporto compatto.
      Mercoledì 12 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 1 12.30-14.30
      Coomologia a supporto compatto di \( \mathbb R \). Coomologia a supporto compatto di \(\mathbb R ^n\) (solo enunciato). La coomologia a supporto compatto non è un invariante omotopico. Varietà diffeomorfe hanno gruppi di coomologia a supporto compatto isomorfi.
      Generatori di \( H^n _c (\mathbb R^n)\). Dualità di Poincaré : enunciato. Successione di Mayer - Vietoris a supporto compatto.
      Giovedì 13 marzo 2025  (F.Galluzzi)  Aula 1 16.30-18.30
      Dimostrazione del Teorema di Dualità di Poincaré (solo per varietà di tipo finito).
      Corollario di DP : coomologia di dimensione massima di una varietà connessa [A-T] Corollario 5.6.9.

    • 17 marzo - 23 marzo
      Lunedì 17 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 5 14.30-16.30
      Conseguenze della dualità di Poincaré. Una n-forma di una varietà orientabile connessa e compatta di dimensione n è esatta se e solo se il suo integrale su M è nullo. Lo stesso risultato è vero per le n-forme a supporto compatto di una varietà orientabile e connessa di dimensione n. Coomologia del toro puntato. Coomologia delle superfici compatte orientabili. Generatori della coomologia del toro [L.Tu §28] . 
      Mercoledì 19 marzo 2025 (F.Galluzzi)  Aula 1 12.30-14.30
      Grado di una mappa propria tra due varietà connesse compatte orientabili n-dimensionali [Esercizi 5.27 5.28 A-T]. Il grado è un numero intero (dimostrazione solo per \( \mathbb R^n \) ). Caso di due varietà orientabili. 
      Giovedì 20 marzo 2025  (F.Galluzzi)  Aula 1 16.30-18.30
      Richiami su funzioni olomorfe di una variabile complessa. Funzioni olomorfe di più variabili complesse.
      Varietà analitiche. Superfici di Riemann. La sfera di Riemann.
    • 24 marzo - 30 marzo
      24/3/2025, 14:30-16:30, CC1
      Introduzione alla seconda parte del corso. Prefasci di gruppi, esempi. 
Assioma di fascio. Esempi. Morfismi di (pre)fasci. Esempi. Spiga di un (pre)fascio in un punto, germi.
      Esercizi: 
      da Miranda p. 277 es. D, G, p.289 es. A, E. 
      1) Dato un morfismo di 
(pre)fasci f: F->G, mostrare che f è isomorfismo di (pre)fasci sse 
f_U: F(U)->G(U) è isomorfismo di gruppi per ogni aperto U di X.
      2) Definire la categoria A degli aperti di uno spazio
 topologico X, e mostrare che dare un prefascio di gruppi su X è 
equivalente a dare un funtore controvariante dalla categoria A nella 
categoria dei gruppi che porti il vuoto nel gruppo banale.
      26/3/25, h 12:30-14:30, CC2
      Esempi di spighe. Omomorfismi
 sulle spighe indotti da un morfismo di (pre)fasci. Fascio associato a 
un prefascio: proprietà universale e descrizione delle sezioni. Fascio 
nucleo e fascio immagine. Esempi. Esattezza per morfismi di fasci, iniettività e suriettività. Caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni. Esempi: complesso di de Rham
 di una varietà differenziabile, a livello di fasci. Nel piano complesso l'esponenziale dà un morfismo di fasci suriettivo.
      Esercizi:
      1) Dato un prefascio F, verificare che il morfismo j è isomorfismo 
sse F è un fascio. 
      2)       Dimostrare la 
caratterizzazione dell'esattezza in termini di sezioni. 
      28/3/25, h 16:30-18:30, CC3
       L'esattezza
 per morfismi di fasci è equivalente all'esattezza sulle spighe. Data una 
successione esatta di fasci, la successione delle sezioni globali è un 
complesso, ma non è necessariamente esatta. Data una successione esatta di fasci della forma 0->F->G->H, la successione delle sezioni globali è esatta. Successione esponenziale per il piano complesso.
      Atlanti
 complessi, strutture complesse e varietà complesse. Superfici di 
Riemann. Struttura differenziabile data da una struttura complessa; 
orientabilità. Genere di una superficie di Riemann compatta. Esempi: la 
sfera di Riemann/la retta proiettiva complessa. Gli spazi proiettivi 
complessi. Tori complessi: inizio della costruzione di un atlante complesso.
      Esercizi:
      1)       Dimostrare 
che se una successione di fasci è esatta, allora è anche esatta sulle 
spighe.
      2) Siano H il semipiano 
superiore e D il disco unitario nel piano complesso. Verificare che 
f:H->D data da f(z)=(z-i)/(z+i) è ben definita ed è biolomorfismo. 
      3)
 Mostrare che un reticolo in C^n è un sottoinsieme discreto.
      Esercizi da Miranda: A, G pag. 7.




    • Questa settimana
      31 marzo - 6 aprile
      31/3/25, h 14:30-16:30, CC4

      Fine della costruzione dell'atlante complesso per i tori complessi.
      Richiami sull'ordine di una funzione olomorfa in un punto. Funzioni olomorfe su superfici di Riemann, proprietà: teorema del massimo modulo, principio di identità. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann, proprietà: l'insieme degli zeri e dei poli di una funzione meromorfa (non identicamente nulla) su un aperto connesso è discreto.
      Esercizi:
      1) Verificare che le funzioni olomorfe e le funzioni meromorfe su una superficie di Riemann formano dei fasci di C-algebre.
      2) Sottoinsiemi discreti: sia X una varietà topologica.
      2a) Mostrare che dato un sottoinsieme S chiuso di X, sono equivalenti le tre proprietà: (i) ogni punto di S è isolato; (ii) la topologia indotta su S è discreta; (iii) S non ha punti di accumulazione. Diciamo allora che S è discreto in X.
      2b) Dare un esempio di aperto U del piano complesso C e di un sottoinsieme S di U che sia discreto in U ma non in C.
      2c) Se S è finito, mostrare che S è discreto in ogni aperto che lo contiene.
      2d) Se X è compatta, mostrare che S è discreto sse è finito.
      2e) Sia S in C discreto e non limitato. Mostrare che S ha un punto di accumulazione in infinito. Dare un esempio di tale S.
      Esercizi da Miranda: F pag. 12, J pag. 13
      2/4/25, h 12:30-14:30, CC5
      Ordine di una funzioni meromorfa in un punto, proprietà. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali.
      Mappe olomorfe tra superfici di Riemann e loro proprietà: principio di identità, teorema della mappa aperta; applicazioni. Biolomorfismo tra la sfera di Riemann e la retta proiettiva complessa. Biezione tra funzioni meromorfe su X e mappe olomorfe da X alla sfera di Riemann.
      Esercizi:
      1) Mostrare il teorema della mappa aperta nel piano complesso: se U è un 
aperto connesso di C e f:U->C è olomorfa, allora f è aperta. Traccia:
 preso A aperto in U e z0 in A, considerare la funzione g(z)=f(z)-f(z0),
 e mostrare che g deve avere uno zero isolato in z0. Allora esiste un 
intorno aperto U(z0), contenuto in A, tale che g(U(z0)) sia aperto, e 
quindi anche f(U(z0)) è aperto.
      2) Verificare che l'ordine di una funzione meromorfa in un punto del piano complesso è invariante per biolomorfismo locale; che se m è l'ordine, localmente f(z)=(z-z0)m g(z) con g olomorfa e non nulla; determinare l'ordine del prodotto e della somma di due funzioni meromorfe in un punto.
      3) Dimostrare il principio di identità per mappe olomorfe tra superfici di Riemann.
      4) Completare la verifica che la funzione associata a una mappa olomorfa da X nella sfera di Riemann è meromorfa.
      Da Miranda: es. C p. 30, es. A p. 38, es. E, F, G, H, I p. 43.
      3/4/25, h 16:30-18:30, CC6
      Esempi di superfici di Riemann: grafici di funzioni olomorfe; luoghi di zeri di funzioni olomorfe; curve piane affini non singolari; curve proiettive piane non singolari. Sottovarietà complesse 1-dimensionali dello spazio proiettivo complesso. Superfici di Riemann compatte proiettive. Discussione su sottovarietà complesse dello spazio proiettivo e teorema di Chow.
      Forma normale locale per una mappa tra superfici di Riemann, molteplicità. Punti di ramificazione e diramazione. I punti di ramificazione sono discreti. La mappa F è biolomorfismo locale in p sse ha molteplicità 1 in p, sse è iniettiva nell'intorno di p. Come trovare i punti di ramificazione in termini di un'espressione locale. Esempi. 
      Esercizi:
      1)
 Sia X una curva algebrica piana proiettiva complessa, non singolare. 
Dati due polinomi F,G omogenei dello stesso grado nelle coordinate 
omogenee di P^2, con G non identicamente nullo su X, mostrare che F/G 
definisce una funzione meromorfa su X.
      2)
 Sia C una conica di rango massimo nel piano proiettivo complesso; 
mostrare che C è biolomorfa alla retta proiettiva complessa.
      3)
 Siano X e Y curve algebriche piane proiettive complesse non singolari, e
 F:X->Y un morfismo algebrico. Mostrare che F è olomorfa.
      Da Miranda: es. K p. 43;       p. 53 es. C, F, K; es. G p. 13.
    • 7 aprile - 13 aprile
      Mercoledì 9/4: discussione degli esercizi assegnati finora.
      Giovedì 10/4 non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
      • 14 aprile - 20 aprile
        Mercoledì 16/4 non ci sarà lezione di Geometria Superiore, mentre si terrà una lezione di recupero martedì 15/4 h 10:30-12:30.
        • 21 aprile - 27 aprile
          • 28 aprile - 4 maggio
            • 5 maggio - 11 maggio
              Questa settimana non ci sarà lezione di Geometria Superiore.
              • 12 maggio - 18 maggio
                • 19 maggio - 25 maggio
                  • 26 maggio - 1 giugno
                    • 2 giugno - 8 giugno
                      Questa settimana si terrà una lezione di recupero martedì 3/6, h 10:30 - 12:30, sala S. Ultima lezione del corso: giovedì 5/6.