Indice degli argomenti
Informazioni e News
L'insegnamento di terrà a distanza, fino a nuovo ordine, secondo il seguente orario:
- martedì 10,30-12,30
- mercoledì 14,30-16,30
- giovedì 8,30-10,30
Il modulo tenuto dal Prof. Christos Sourdis inizierà il 4 maggio e coprirà il seguente programma:
- Maximum principle, strong maximum principle, Hopf's lemma, application to the Dirichlet eigenvalue problem.
- Maximum principle for weak supersolutions. Application: regularity up to the boundary of the weak solution of the harmonic extension problem on the ball.
- Maximum principle for minimizers. The method of super and subsolutions from the variational viewpoint, applications to sublinear problems.
- Energy minimal solutions to semilinear problems in bounded domains: existence-symmetry properties.
- Uniqueness of solutions by Serrin's sweeping principle
- Radial symmetry of positive solutions by the method of moving planes and the maximum principle for domains with small volume.
- Boundary layer problems, symmetric energy minimal solutions to semilinear problems in the whole space.
- Schwarz symmetrization, the Rayleigh-Faber-Krahn inequality.
References
[1] A. Ambrosetti and A. Malchiodi, Nonlinear analysis and semilinear elliptic problems, Cambridge studies in advanced mathematics 104, 2007.
[2] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, 2nd Edition, AMS, 2001.
[3] M. Struwe, Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Dierential Equations and Hamiltonian Systems, Springer, 2008.
Registrazioni lezioni prof. Sourdis:
- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210504 0824-1
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210504 0907-2
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210505 1225-1
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210506 0634-1
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Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210511 0827-1
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210512 1250-1
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210513 0625-1
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- Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210518 0825-1
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Registrazione riunione Webex: Christos Sourdis Lectures-20210519 1225-1
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Testi di riferimento
Dacorogna - Introduction to the Calculus of Variations
Badiale, Serra - Semilinear Elliptic Equations for beginners
Struwe - Variational Methods
Sweers - Lecture Notes on Maximum Principle (disponibile in rete)
Dispense prof. Caldiroli a.a. 19/20
Altro materiale utile e eventuali argomenti non svolti
Tracce per i lavori di gruppo
Modalità per le presentazioni dei lavori di gruppo: ogni studente prepara una presentazione di 30-35 minuti, in modo che
- le presentazioni siano fondamentalmente complementari
- ogni presentazione contenga almeno un dimostrazione significativa
La presentazione può essere fatta con slides, oppure scrivendo su una lavagna (fisica o elettronica).
Il materiale scritto - slides, note (anche manoscritte) o tesina- deve venire condiviso prima del seminario.
Lezioni Prof.ssa Terracini
Operatori di Nemitskii. Condizioni di Carathéodory.Differenziali degli operatori di Nemitzkii
Operatori di Nemitskii. Condizioni di Carathéodory.Differenziali degli operatori di Nemitzkii
Differenziazione degli operatori di Nemitzkii e dei funzionali integrali. Differenziale secondo
Formula di Taylor al second'ordine, indice di Morse di una soluzione. Teorema spettrale di Hilbert Schmidt
Dimostrazione del teorema spettrale in presenza di a, Teorema dell'alternativa di Fredholm
Quoziente di Rayleigh, caratterizzazione degli autovalori di operatori ellittici mediante minimiax. Teorema del passo montano. Lemma di deformazione
Dimostrazioni del lemma del passo montano e del lemma di deformazione. Teorema del linking
Principio generale del minimax. Lemma di deformazione (caso generale). Categoria di Lusternik e Schnirelman
- Applicazioni alle equazioni ellittiche superlineari. Verifica della proprietà di Palais-Smale
Applicazione teoremi del passo montano e del linking alle equazioni semilineari alittiche. Equazione di Schrödinger non lineare.
Equazione di Schrödinger non lineare, potenziale "trapping". Problema periodico per sistemi Newtoniani: introduzione.
Approccio variazionale al problema periodico con una singolarità. Introduzione al problema e studio delle successioni di Palais-Smale
Approccio variazionale al problema periodico con una singolarità. Apetti topologici e categoria li Lusternik-Schnirelman
Lezioni Prof. Badiale
Videoregistrazioni e pdf delle lezioni (prof. Caldiroli)
Introduzione al corso. Note storiche. Alcuni esempi di problemi di Calcolo delle Variazioni. Il principio di Dirichlet.
Il problema dell'estensione armonica via principio di Dirichlet. Esistenza del minimo del funzionale di Dirichlet. Il minimo è soluzione debole del problema.
Soluzioni classiche, deboli e molto deboli dell'equazione di Laplace. Teorema di Caccioppoli-Weyl. Il problema generale del calcolo delle variazioni per funzionali integrali. Condizioni di Carathéodory, buona positura dei funzionali integrali.
Continuità dei funzionali integrali negli spazi Lp. Il metodo diretto del calcolo delle variazioni (per funzionali convessi).
Necessità delle ipotesi nel teorema sull'esistenza del minimo per funzionali d'azione con lagrangiana convessa ed esempi di non esistenza del minimo. Derivabilità direzionale dei funzionali integrali.
Equazioni di Eulero-Lagrange (forma integrale e forma differenziale). Il problema delle geodetiche: richiami su varietà riemanniane.
Il problema delle geodetiche: funzionale lunghezza. Riduzione al problema per curve in R^N. Il funzionale energia cinetica ed equivalenza tra i problemi di minimo. Il funzionale energia cinetica è coercivo.
Il problema delle geodetiche: sequenziale debole semicontinuità inferiore del funzionale energia cinetica, regolarità C^1 del punto di minimo per il problema debole e sua proprietà di velocità riemanniana costante.
Il problema delle geodetiche: regolarità C^2 del punto di minimo ed equazione delle geodetiche. Il problema di Plateau: considerazioni introduttive; formulazione analitica del problema; la classe di minimizzazione è non vuota se la curva di Jordan è C^1 a tratti.
Il problema di Plateau: ostruzioni analitiche nello studio del problema di minimizzazione dell'area; passaggio al problema di minimo per l'energia (via teorema di Morrey). I punti di minimo dell'energia verificano le condizioni di conformalità. Invarianza conforme dell'energia. La classe di minimizzazione non è debolmente chiusa.
Il problema di Plateau: condizione dei tre punti e passaggio al problema di minimo ridotto. Dimostrazione dell'esistenza del punto di minimo per il problema ridotto (tranne continuità della curva parametrica limite).
Il problema di Plateau: discussione della continuità della curva parametrica limite (via teorema di selezione di Helly e lemma di Courant-Lebesgue, non dimostrati). La superificie di area minima ha curvatura media nulla.
Problemi ellittici lineari: definizioni, problema omogeneo con condizioni di Dirichlet, teorema di decomposizione spettrale.
Problemi ellittici lineari: lemma sul risolvente, problema non omogeneo con condizioni di Dirichlet (alternativa di Fredholm). Caratterizzazione variazionale degli autovalori.
Proprietà di monotonia del primo autovalore. Osservazioni sui problemi ellittici lineari con condizioni al bordo di Neumann. Regolarità C∞ delle autofunzioni.
Principi del massimo debole e forte. Applicazione: le autofunzioni relative al primo autovalore hanno segno costante, il primo autovalore è semplice, le autofunzioni relative ad autovalori successivi devono cambiare segno.
Lemma di Hopf. Simmetrizzazione di Schwarz. Disuguaglianza di Rayleigh-Faber-Krahn.
Principio del massimo per soprasoluzioni deboli. Applicazione: regolarità fino al bordo della soluzione debole del problema dell'estensione armonica sulla palla.
La norma Lp non cambia passando al riarrangiamento sferico decrescente.
Simmetria radiale delle soluzioni positive di problemi ellittici con condizioni di Dirichlet al bordo (Gidas, Ni, Nirenberg) via principio del massimo per domini piccoli e metodo dei piani mobili.